Меню

1 понятие множества подмножества мощность множества

1 понятие множества подмножества мощность множества

Рассмотрение системы как совокупности элементов дает возможность привлечь для ее математического описания аппарат теории множеств. При этом в ряде важных случаев связи между элементами удобно описываются с помощью аппарата математической логики.

Понятие множества — является одним из тех фундаментальных понятий математики, которым трудно дать точное определение, используя элементарные понятия. Поэтому ограничимся описательным объяснением понятия множества.

Множеством называется совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое. Создатель теории множеств Георг Кантор давал следующее определение множества — «множество есть многое, мыслимое нами как целое».

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита, а элементы этих множеств — маленькими буквами латинского алфавита. Множества записываются в фигурных скобках < >.

Принято использовать следующие обозначения:

  • a ∈ X — «элемент a принадлежит множеству X»;
  • a ∉ X — «элемент a не принадлежит множеству X»;
  • ∀ — квантор произвольности, общности, обозначающий «любой», «какой бы не был», «для всех»;
  • ∃ — квантор существования: ∃y ∈ B — «существует (найдется) элемент y из множества B»;
  • ∃! — квантор существования и единственности: ∃!b ∈ C — «существует единственный элемент b из множества C»;
  • : — «такой, что; обладающий свойством»;
  • → — символ следствия, означает «влечет за собой»;
  • ⇔ — квантор эквивалентности, равносильности — «тогда и только тогда».

Множества бывают конечные и бесконечные. Множества называются конечным, если число его элементов конечно, т.е. если существует натуральное число n, являющееся числом элементов множества. А=1, a2,a 3, . an>. Множество называется бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов. B=1,b2,b3, . >. Например, множество букв русского алфавита — конечное множество. Множество натуральных чисел — бесконечное множество.

Число элементов в конечном множестве M называется мощностью множества M и обозначается |M|. Пустоемножество — множество, не содержащее ни одного элемента — ∅. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. представляют собой одно и тоже множество. Множества не равны X ≠ Y, если в Х есть элементы, не принадлежащие Y, или в Y есть элементы, не принадлежащие Х. Символ равенства множеств обладает свойствами:

  • Х=Х; — рефлексивность
  • если Х=Y, Y=X — симметричность
  • если X=Y,Y=Z, то X=Z — транзитивность.

Согласно такого определения равенства множеств мы естественно получаем, что все пустые множества равны между собой или что то же самое, что существует только одно пустое множество.

Подмножества. Отношение включения.

Множество Х является подмножеством множества Y, если любой элемент множества Х ∈ и множеству Y. Обозначается X⊆Y.

Если необходимо подчеркнуть, что Y содержит и другие элементы, кроме элементов из Х, то используют символ строгого включения ⊂: X⊂Y. Связь между символами ⊂ и ⊆ дается выражением:

Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающие из определения:

  1. X⊆Х (рефлексивность);
  2. [X⊆Y и Y⊆Z] → X⊆Z (транзитивность);
  3. ∅ ⊆ M. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Исходное множество А по отношению к его подмножествам называется полным множеством и обозначается I.

Любое подмножество Аi множества А называется собственным множеством А.

Множество, состоящие из всех подмножеств данного множества Х и пустого множества ∅, называется булеаном Х и обозначается β(Х). Мощность булеана |β(Х)|=2 n .

Счетное множество — это такое множество А, все элементы которого могут быть занумерованы в последовательность (м.б. бесконечную) а1, а2, а3, . аn, . так, чтобы при этом каждый элемент получил ишь один номер n и каждое натуральное число n было бы в качестве номера дано одному и лишь одному элементу нашего множества.

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.

Пример. Множество квадратов целых чисел 1, 4, 9, . n 2 представляет собой лишь подмножество множества натуральных чисел N. Множество является счетным, так как приводится во взаимно однозначные соответствия с натуральным рядом путем приписывания каждому элементу номера того числа натурального ряда, квадратом которого он является.

Существует 2 основных способа задания множеств.

  • перечислением (X=, Y=<1>, Z=<1,2. 8>, M=1,m2,m3. mn>);
  • описанием — указывается характерное свойства , которым обладают все элементы множества.

Множество полностью определено своими элементами.

Перечислением можно задать только конечные множества (например, множество месяцев в году). Бесконечные множества можно задать только описанием свойств его элементов (например, множество рациональных чисел можно задать описанием Q=.

Способы задания множества описанием:

а) заданием порождающей процедуры с указанием множества (множеств), которое пробегает параметр (параметры) этой процедуры — рекурсивный, индуктивный.

б) заданием вычислительной процедуры формульной зависимости:

в) заданием характеристического свойства (высказывания), выделяющего элементы данного множества из элементов других множеств — предикатный.

А=; M= — множество х, обладающих свойством p

K= — множество всех квадратов натуральных чисел, N=

X= ⇔ 1, 2, 3, . где N-мн-во целых чисел.

г) заданием с помощью операций над множествами — аналитический.

Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающие из его определения:

Если X⊆Y и Y⊆X → X=Y

Для любого множества само это множество и ∅ можно рассматривать как его подмножества, называемые несобственными. Все другие подмножества — собственные.

Источник



Множества

Множество — это совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита — от A до Z.

Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:

N — множество натуральных чисел,

Z — множество целых чисел.

Элемент множества — это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака ∈ . Запись

читается так: 5 принадлежит множеству Z или 5 – элемент множества Z .

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество — множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество — множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись

означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.

Подмножество

Подмножество — это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.

Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера — это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.

Рассмотрим два множества:

знак подмножества

Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M, значит, множество L является подмножеством множества M. Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂ :

Запись LM читается так: множество L является подмножеством множества M .

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком = .

Рассмотрим два множества:

Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M.

Пересечение и объединение множеств

Пересечение двух множеств — это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком ∩ .

пересечение множеств знак

Запись LM читается так: пересечение множеств L и M .

Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком ∪ .

знак объединения множеств

Запись LM читается так: объединение множеств L и M .

При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:

если L = M, то LM = L и LM = M.

Источник

Понятие множества. Способы задания множеств.

Данная тема содержит немало терминологии, поэтому я добавлю содержание темы, которое позволит легче ориентироваться в материале.

Начнём с того, что же, собственно, понимать под словом «множество». На интуитивном уровне под множеством понимают некую совокупность объектов, именуемых элементами множества. Например, можно говорить о множестве груш на столе, множестве букв в слове «множество» и так далее. Георг Кантор (немецкий математик, основатель современной теории множеств) писал, что под «множеством я понимаю вообще всё то многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определённых элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое». Некоторое время понятие множества, введённое Кантором, полагалось довольно очевидным и не требующим дополнительных пояснений. Казалось, что появление работ Больцано, а затем и Кантора в конце 19 — начале 20 века, положит конец многим вопросам (например, окончательно разрешит апории Зенона, разрешит проблему бесконечности и т.д.) и станет началом новой математики. Гениальный немецкий математик Давид Гильберт отмечал, что «Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором».

Однако появление парадоксов (Рассел, Бурали-Форти) положило конец «канторовскому раю». Одна из формулировок парадокса Рассела, известная под названием «парадокс брадобрея» звучит так: в некотором селе брадобрей бреет тех и только тех жителей села, которые не бреются сами. Кто же тогда бреет самого брадобрея? Допустим, он бреет себя самостоятельно. Т.е. он принадлежит к тем жителям села, которые бреются сами, – а ведь согласно условию этих жителей брадобрей не имеет права брить. Следовательно, допущение о том, что брадобрей бреется сам, приводит к противоречию. Попробуем иначе: пусть брадобрей не бреется сам. Если он сам не бреется, то согласно условию его обязан брить брадобрей – вновь противоречие! Были предприняты попытки разрешить противоречия теории множеств, предложенной Кантором. Саму канторовскую теорию множеств математики назвали «наивной». Целью многих математических трудов стало построение такой системы аксиом, в которой подобные парадоксы были бы невозможны. Но задача оказалась не столь уж проста. На данный момент, насколько мне известно, единой аксиоматики теории множеств нет. Наиболее распространенной считается система аксиом Цермело-Френкеля (ZFC), в которой особняком стоит так называемая «аксиома выбора». Есть и вариации этой системы: например, автор B-метода Жан-Раймонд Абриал предложил типизированную теорию множеств, на основании которой создал формальный метод разработки программ.

Обозначение множеств. Принадлежность элемента множеству. Пустое множество.

Обычно множества записываются в фигурных скобках. Например, множество всех гласных букв русского алфавита будет записано так:

А множество всех целых целых чисел, больших 8, но меньших 15, будет таким:

Множество может вообще не содержать ни одного элемента. В этом случае его именуют пустым множеством и обозначают как $\varnothing$.

Чаще всего в математической литературе множества обозначаются с помощью больших букв латинского алфавита. Например:

Есть и устоявшиеся обозначения определённых множеств. Например, множество натуральных чисел принято обозначать буквой $N$; множество целых чисел – буквой $Z$; множество рациональных чисел – буквой $Q$; множество всех действительных чисел – буквой $R$. Есть и иные устоявшиеся обозначения, но к ним мы станем обращаться по мере необходимости.

Например, указанное выше множество $A=\<0, 5, 6, -9 \>$ – конечное множество, ибо содержит 4 элемента (т.е. конечное число элементов). Множество натуральных чисел $N$ является бесконечным. Вообще говоря, мы не всегда можем сразу с уверенностью сказать, бесконечно некое множество или нет. Например, пусть $F$ – множество простых чисел.

Что такое простое число: показать\скрыть

Простыми числами именуют такие натуральные числа большие 1, которые делятся лишь на 1 или на самое себя. Например, 2, 3, 5, 7 и так далее. Для сравнения: число 12 не является простым числом, так как оно делится не только на 12 и 1, а ещё и на иные числа (например, на 3). Число 12 является составным.

Возникает вопрос: бесконечно множество $F$ или нет? Существует ли наибольшее простое число? Для ответа на этот вопрос понадобилась целая теорема, доказанная Эвклидом, о том, что множество простых чисел – бесконечно.

Например, так как конечное множество $A=\<0, 5, 6, -9 \>$ содержит 4 элемента, то мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$.

Если нам известно, что некий объект $a$ принадлежит множеству $A$, то записывают это так: $a\in A$. Например, для вышеуказанного множества $A$ можно записать, что $5\in A$, $-9\in A$. Если же объект $a$ не принадлежит множеству $A$, то обозначается это следующим образом: $a\notin A$. Например, $19\notin A$. Кстати, сказать, элементами множеств могут быть и иные множества, например:

Элементами множества $M$ являются числа -9, 1, 0, а также множество $ \< a,\; g\>$ и пустое множество $\varnothing$. Вообще, для упрощения восприятия множество можно представлять как портфель. Пустое множество – пустой портфель. Эта аналогия пригодится чуть далее.

Подмножество. Универсальное множество. Равенство множеств. Булеан.

Например, рассмотрим множества $K=\< -9,5\>$ и $T=\<8,-9,0,5,p, -11\>$. Каждый элемент множества $K$ (т.е. -9 и 5) является также элементом множества $T$. Следовательно, множество $K$ есть подмножество множества $T$, т.е. $K\subseteq T$.

Так как все элементы любого множества $A$ принадлежат самому множеству $A$, то множество $A$ является подмножеством самого множества $A$. Пустое множество $\varnothing$ является подможеством любого множества. Т.е. для произвольного множества $A$ верно следующее:

$$A\subseteq A; \; \varnothing\subseteq A.$$

Введём ещё одно определение – универсальное множество.

Иными словами, универсум содержит в себе элементы всех множеств, которые рассматриваются в рамках некоей задачи. Например, рассмотрим такую задачу: проводится опрос студентов некоей академгруппы. Каждому студенту предлагается указать мобильных операторов РФ, сим-карты которых он использует. Данные этого опроса можно представить в виде множеств. Например, если студент Василий использует сим-карты от МТС и Life, то можно записать следующее:

Подобные множества можно составить для каждого студента. Универсумом в этой модели будет множество, в котором перечислены все операторы России. В принципе, в качестве универсума можно взять также множество, в котором перечислены все операторы СНГ, а также множество всех мобильных операторов мира. И это не будет противоречием, ибо любой оператор России входит в множество операторов как СНГ, так и всего мира. Итак, универсум определяется только в рамках некоей конкретной задачи, при этом зачастую можно рассмотреть несколько универсальных множеств.

Определение равенства множеств можно записать и по-иному: если $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$, то $A=B$.

Рассмотрим пару множеств: первое будет $\<\Delta, k \>$, а второе – $\$. Каждый элемент первого множества (т.е. $\Delta$ и $k$) является также элементом второго множества. Каждый элемент второго множества (т.е. $k$ и $\Delta$) является также элементом второго множества. Вывод: $\<\Delta, k \>=\$. Как видите, порядок записи элементов в множестве роли не играет.

Рассмотрим ещё пару множеств: $X=\$ и $Y=\<\Delta, k \>$. Каждый элемент множества $X$ является также элементом множества $Y$; каждый элемент множества $Y$ является также элементом множества $X$. Следовательно, $\=\<\Delta, k \>$. С учётом подобных равенств в теории множеств принято одинаковые элементы не повторять в записи дважды. Например, множество цифр числа 1111111555559999 будет таким: $\<1,5,9\>$. Есть, конечно, исключения: так называемые мультимножества. В записи мультимножеств элементы могут повторяться, однако в классической теории множеств повторения элементов не допускаются.

Используя понятие равенства множеств, можно классифицировать подмножества.

Если же некое подмножество множества $A$ совпадает с самим множеством $A$, то это подмножество называют несобственным. Иными словами, множество $A$ является несобственным подмножеством самого множества $A$.

Например, для рассмотренных выше множеств $K=\< -9,5\>$ и $T=\<8,-9,0,5,p, -11\>$ имеем: $K\subseteq T$, при этом $K\neq T$. Следовательно, множество $K$ является собственным подмножеством множества $T$, что записывается как $K\subset T$. Можно сказать и так: множество $K$ строго включено в множество $T$. Запись $K\subset T$ более конкретна, нежели $K\subseteq T$. Дело в том, что записывая $K\subset T$ мы гарантируем, что $K\neq T$. В то время как запись $K\subseteq T$ не исключает случая равенства $K=T$.

Примечание относительно терминологии: показать\скрыть

Вообще говоря, тут есть некая путаница в терминологии. Приведённое выше определение несобственных множеств принято в американской и части отечественной литературы. Однако в другой части отечественной литературы есть несколько иная трактовка понятия несобственных множеств.

Иными словами, пустое множество в такой трактовке исключается из собственных подмножеств и переходит в разряд несобственных. Выбор терминологии – дело вкуса.

Пусть множество $A$ содержит $n$ элементов. Булеан множества $A$ содержит $2^n$ элементов, т.е.

Рассмотрим пару примеров на использование введённых выше понятий.

Из предложенного списка выберите те утверждения, которые являются верными. Ответ аргументируйте.

  1. $\<-3,5, 9 \>\subseteq \ <-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$;
  2. $\<-3,5, 9 \>\subset \ <-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$;
  3. $\<-3,5, 9 \>\in \ <-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$;
  4. $\varnothing \subseteq \varnothing$;
  5. $\varnothing=\<\varnothing \>$;
  6. $\varnothing \in \varnothing$;
  7. $A=\ <9, -5, 8 \<7, 6 \>\>;\; |A|=5$.
  1. Нам заданы два множества: $\<-3,5, 9 \>$ и $\<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Каждый элемент первого множества является также элементом второго множества. Следовательно, первое множество есть подмножество второго, т.е. $\<-3,5, 9 \>\subseteq \<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Утверждение первого пункта – верное.
  2. В первом пункте мы выяснили, что $\<-3,5, 9 \>\subseteq \<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. При этом данные множества не равны между собой, т.е. $\<-3,5, 9 \>\neq \<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Значит, множество $\<-3,5, 9 \>$ является собственным (в иной терминологии строгим) подмножеством множества $\<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Этот факт записывается как $\<-3,5, 9 \>\subset \ <-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Итак, утверждение второго пункта истинно.
  3. Множество $\<-3,5, 9 \>$ не является элементом множества $\<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Утверждение третьего пункта ложно. Для сравнения: утверждение $\<-3,5, 9 \>\in \<9, 8, 5, 4, \<-3,5,9\>, 6 \>$ истинно.
  4. Пустое множество является подможеством любого множества. Поэтому утверждение $\varnothing \subseteq \varnothing$ истинно.
  5. Утверждение ложно. Множество $\varnothing$ не содержит элементов, а множество $\<\varnothing \>$ содержит один элемент, посему равенство $\varnothing=\<\varnothing \>$ неверно. Чтобы это было нагляднее, можно обратиться к той аналогии, что я описал выше. Множество – это портфель. Пустое множество $\varnothing$ – пустой портфель. Множество $\<\varnothing \>$ – портфель, внутри которого лежит пустой портфель. Естественно, что пустой портфель и непустой портфель, внутри которого нечто есть – разные портфели 🙂
  6. Пустое множество не содержит элементов. Ни единого. Поэтому утверждение $\varnothing \in \varnothing$ ложно. Для сравнения: утверждение $\varnothing\in\<\varnothing \>$ истинно.
  7. Множество $A$ содержит 4 элемента, а именно: 9, -5, 8 и $\<7, 6 \>$. Поэтому мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$. Следовательно, утверждение о том, что $|A|=5$ – ложно.

Ответ: Утверждения в пунктах №1, №2, №4 – истинны.

Записать булеан множества $A=\<-5,10,9\>$.

Множество $A$ содержит 3 элемента. Иными словами: мощность множества $A$ равна 3, $|A|=3$. Следовательно, множество $A$ имеет $2^3=8$ подмножеств, т.е. булеан множества $A$ будет состоять из восьми элементов. Перечислим все подмножества множества $A$. Напомню, что пустое множество $\varnothing$ является подмножеством любого множества. Итак, подмножества таковы:

Напомню, что подмножество $\<-5, 10, 9 \>$ является несобственным, так как совпадает с множеством $A$. Все остальные подмножества – собственные. Все записанные выше подмножества являются элементами булеана множества $A$. Итак:

Булеан найден, остаётся лишь записать ответ.

Способы задания множеств.

Первый способ – это простое перечисление элементов множества. Естественно, такой способ подходит лишь для конечных множеств. Например, с помощью данного способа множество первых трёх натуральных чисел будет записано так:

Часто в литературе можно встретить обозначения такого характера: $T=\<0,2,4,6,8, 10, \ldots \>$. Здесь множество задаётся не перечислением элементов, как кажется на первый взгляд. Перечислить все чётные неотрицательные числа, которые и составляют множество $T$, невозможно, ибо этих чисел бесконечно много. Запись вида $T=\<0,2,4,6,8, 10, \ldots \>$ допускается только тогда, когда не вызывает разночтений.

Второй способ – задать множество с помощью так называемого характеристического условия (характеристического предиката) $P(x)$. В этом случае множество записывается в таком виде:

Запись $\$ читается так: «множество всех элементов $x$, для которых высказывание $P(x)$ истинно». Что именно значит словосочетание «характеристическое условие» проще пояснить на примере. Рассмотрим такое высказывание:

$$P(x)=»x\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7″$$

Подставим в это высказывание вместо $x$ число 27. Мы получим:

$$P(27)=»27\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7″$$

Это истинное высказывание, так как 27 действительно является натуральным числом, последняя цифра которого равна 7. Подставим в это высказывание число $\frac<2><5>$:

$$P\left(\frac<2><5>\right)=»\frac<2><5>\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7″$$

Это высказывание ложно, так как $\frac<2><5>$ не является натуральным числом. Итак, для некоторых объектов $x$ высказывание $P(x)$ может быть ложно, для некоторых – истинно (а для некоторых вообще не определено). Нас будут интересовать лишь те объекты, для которых высказывание $P(x)$ будет истинно. Именно эти объекты и образуют множество, заданное с помощью характеристического условия $P(x)$ (см. пример №3).

Третий способ – задать множество с помощью так называемой порождающей процедуры. Порождающая процедура описывает, как получить элементы множества из уже известных элементов или неких иных объектов (см. пример №4).

Записать множество $A=\$ перечислением элементов.

Множество $A$ теперь задано с помощью перечисления элементов.

Описать элементы множества $M$, которое задано такой порождающей процедурой:

  1. $3\in M$;
  2. Если элемент $x\in M$, то $3x\in M$.
  3. Множество $M$ – является подмножеством любого множества $A$, удовлетворяющего условиям №1 и №2.

Давайте пока оставим в покое условие №3 и посмотрим, какие элементы входят в множество $M$. Число 3 туда входит согласно первому пункту. Так как $3\in M$, то согласно пункту №2 имеем: $3\cdot 3\in M$, т.е. $9\in M$. Так как $9\in M$, то согласно пункту №2 получим: $3\cdot 9\in M$, т.е. $27\in M$. Так как $27\in M$, то по тому же пункту №2 имеем: $81\in M$. Короче говоря, построенное множество 3, 9, 27, 81 и так далее – это натуральные степени числа 3.

$$3^1=1; \; 3^2=9; \; 3^3=27; \; 3^4=81;\; \ldots$$

Итак, кажется, что искомое множество задано. И выглядит оно так: $\<3,9,27,81,\ldots \>$. Однако действительно ли условия №1 и №2 определяют только это множество?

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, т.е. $N$. Число 3 – натуральное, посему $3\in N$. Вывод: множество $N$ удовлетворяет пункту №1. Далее, для любого натурального числа $x$ множество $N$ содержит также и число $3x$. Например, 5 и 15, 7 и 21, 13 и 39 и так далее. Значит, множество $N$ удовлетворяет условию №2. И, кстати сказать, не только множество $N$ удовлетворяет условиям №1 и №2. Например, множество всех нечётных натуральных чисел $N_1=\<1,3,5,7,9,11, \ldots\>$ тоже подходит под условия пунктов №1 и №2. Как же указать, что нам нужно именно множество $\<3,9,27,81,\ldots \>$?

Вот тут на помощь приходит пункт №3. Говоря огрублённо, он означает, что множество $M$ – наименьшее из всех возможных множеств. Так как множества $N$ и $\<3,9,27,81,\ldots \>$ удовлетворяют пунктам №1 и №2, но $N\nsubseteq \<3,9,27,81,\ldots \>$, то множество $N$ не удовлетворяет третьему пункту. Аналогично, так как $N_1\nsubseteq \<3,9,27,81,\ldots \>$, то множество $N_1$ также не удовлетворяет пункту №3. Можно показать (если это необходимо, отпишите мне на почту, я распишу подробнее), что всем трём пунктам удовлетворяет лишь множество $\<3,9,27,81,\ldots \>$, т.е.

Обычно при задании множества с помощью таких правил (которые часто называют рекурсивными или индуктивными) третий пункт подразумевается, но не оговаривается явно. Но нужно иметь его в виду.

Источник

Читайте также:  Как определить номинальную мощность трансформатора формула