Меню

2 рассчитать все токи в цепи методом контурных токов

Расчет разветвленной линейной электрической цепи постоянного тока с несколькими источниками электрической энергии

Для электрической цепи рис. 1, выполнить следующее:

  1. Составить уравнения для определения токов путем непосредственного применения законов Кирхгофа. Решать эту систему уравнений не следует.
  2. Определить токи в ветвях методом контурных токов.
  3. Построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, содержащего обе ЭДС.
  4. Определить режимы работы активных элементов и составить баланс мощностей.

Значения ЭДС источников и сопротивлений приемников:
E1 = 130 В, Е2 = 110 В, R1 = 4 Ом, R2 = 8 Ом, R3 = 21 Ом, R4 = 16 Ом, R5 = 19 Ом, R6 = 16 Ом.

Смотрите также
Пример решения схемы методом контурных токов № 1
Пример решения схемы методом контурных токов № 2
Пример решения схемы методом контурных токов № 3
Пример решения схемы методом контурных токов № 4
Пример решения схемы методом контурных токов № 5
Посмотреть видео «Метод контурных токов 2» (пример решения конкретной задачи)

1. Произвольно расставим направления токов в ветвях цепи, примем направления обхода контуров (против часовой стрелки), обозначим узлы.


Рис. 2

2. Для получения системы уравнений по законам Кирхгофа для расчета токов в ветвях цепи составим по 1-му закону Кирхгофа 3 уравнения (на 1 меньше числа узлов в цепи) для узлов 1,2,3:

По второму закону Кирхгофа составим m – (р – 1) уравнений (где m – кол-во ветвей, р – кол-во узлов ), т.е. 6 – (4 – 1) = 3 для контуров I11, I22, I33:

Токи и напряжения совпадающие с принятым направлением обхода с «+», несовпадающие с «-».
Т.е. полная система уравнений для нашей цепи, составленная по законам Кирхгофа:

3. Определим токи в ветвях методом контурных токов. Зададимся направлениями течения контурных токов в каждом контуре схемы и обозначим их I11, I22, I33 (см. рис. 2)

4. Определим собственные сопротивления трех контуров нашей цепи, а так же взаимное сопротивление контуров:

5. Составим систему уравнений для двух контуров нашей цепи:

Подставим числовые значения и решим.

(А)
(А)
(А)

Определим фактические токи в ветвях цепи:
(А) направление совпадает с выбранным
(А) направление совпадает с выбранным
(А) направление совпадает с выбранным
(А) направление тока потивоположно выбранному
(А) направление совпадает с выбранным
(А) направление совпадает с выбранным

6. Проверим баланс мощностей:

(ВА)
Небольшая разница в полученных результатах является результатом погрешности при округлении числовых значений токов и сопротивлений.

7. Построим потенциальную диаграмму контура изображенного на рис. 3. В качестве начальной точки примем узел 1.

Рис.3

Для построения потенциальной диаграммы определим падения напряжения на каждом сопротивлении, входящем в выбранный контур.
(В)
(В)
(В)
(В)
Потенциал увеличивается если обход осуществляется против направления тока, и понижается если направление обхода совпадает с направлением тока. На участке с ЭДС потенциал изменяется на величину ЭДС. Потенциал повышается в том случае, когда переход от одной точки к другой осуществляется по направлению ЭДС и понижается когда переход осуществляется против направления ЭДС.

Рис. 4. Потенциальная диаграмма. ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ!

Источник

Метод контурных токов для расчёта электрических цепей

При расчёте электрических цепей, помимо законов Кирхгофа, часто применяют метод контурных токов. Метод контурных токов позволяет уменьшить количество решаемых уравнений.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

В методе контурных токов уравнения составляются на основании второго закона Кирхгофа, причём их равно $ N_<\textrm<в>>-N_<\textrm<у>>+1 $, где $ N_<\textrm<у>> $ – число узлов, $ N_<\textrm<в>> $ – число ветвей, т.е. количество совпадает с количеством уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа.

Опишем методику составления уравнений по методу контурных токов. Рассмотрим её на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.

Электрическая схема метод контурных токов для расчёта электрической цепи

Рис. 1. Рассматриваемая электрическая цепь

Для начала необходимо задать произвольно направления контурных токов (рис. 2).

Электрическая схема метод контурных токов для расчёта электрической цепи направление контурных токов

Рис. 2. Задание направления контурных токов в электрической цепи

Количество уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно 3. Здесь контур с источником тока так же не рассматривается.

Составим уравнение для контура «1 к.». В контуре «1 к.» контурный ток $ \underline_ <11>$ протекает по всем сопротивлениям $ R_ <2>$, $ \underline_ $, $ \underline_ $. Кроме того, через сопротивление $ R_ <2>$ протекает контурный ток смежного контура «2 к.» $ \underline_ <22>$, причём контурные токи $ \underline_ <11>$ и $ \underline_ <22>$ протекают в противоположных направлениях. Через индуктивное сопротивление $ \underline_ $ также протекает контурный ток $ \underline_ <33>$, причём контурные токи $ \underline_ <11>$ и $ \underline_ <33>$ также протекают в противоположных направлениях. Про составлении уравнения нужно сложить все падения напряжения (аналогично второму закону Кирхгофа), при этом необходимо учесть направление контурных токов: если контурные токи смежных контуров протекают в определённой ветви в одном направлении, то падение напряжения в этой ветви необходимо вносить со знаком «+», в противном случае – со знаком «-». Полученная сумма будет равна сумме ЭДС данного контура, при этом ЭДС берётся со знаком «+», если направление контурного тока совпадает с направлением ЭДС, в противном случае – со знаком «-».

Читайте также:  Водопроводная вода проводит электрический ток она электролит

Учитывая вышеизложенное, уравнение по методу контурных токов для контура «1 к.» будет выглядеть следующим образом:

$$ (R_ <2>+ \underline_ + \underline_) \cdot \underline_<11>— R_ <2>\cdot \underline_<22>— \underline_ \cdot \underline_ <33>= \underline_<1>. $$

Аналогично составим уравнение для контура «2 к.». Необходимо учесть, что уравнение для контура с источником тока не составляется, но ток от источника тока также необходимо учитывать в уравнение аналогично контурным токам других контуров. Само уравнение будет выглядеть следующим образом:

$$ -R_ <2>\cdot \underline_ <11>+ (R_ <2>+ R_ <4>+ \underline_) \cdot \underline_<22>— \underline_ \cdot \underline_ <1>= \underline_<2>. $$

Для контура «3 к.»:

$$ -\underline_ \cdot \underline_ <11>+ (R_ <1>+ R_ <3>+ \underline_ + \underline_) \cdot \underline_<33>— R_ <3>\cdot \underline_ <1>= \underline_<3>. $$

В приведённых выше уравнениях $ \underline_ = -\frac<1> <\omega C>$, $ \underline_ = \omega L $.

Таким образом, для того, чтобы найти искомые контурные токи, необходимо решить следующую систему уравнений, где слагаемые с силой тока источника тока перенесены в правую часть уравнений:

$$ \begin (R_ <2>+ \underline_ + \underline_) \cdot \underline_<11>— R_ <2>\cdot \underline_<22>— \underline_ \cdot \underline_ <33>= \underline_ <1>\\ -R_ <2>\cdot \underline_ <11>+ (R_ <2>+ R_ <4>+ \underline_) \cdot \underline_ <22>= \underline_ <2>+ \underline_ \cdot \underline_ <1>\\ -\underline_ \cdot \underline_ <11>+ (R_ <1>+ R_ <3>+ \underline_ + \underline_) \cdot \underline_ <33>= \underline_ <3>+ R_ <3>\cdot \underline_ <1>\end $$

В данном случае это система из 3 уравнений с 3 неизвестными. Для решения данной системы уравнений удобно пользоваться Matlab. Для этого представим эту систему уравнений в матричной форме:

$$ \begin R_ <2>+ \underline_ + \underline_ & -R_ <2>& -\underline_ \\ -R_ <2>& R_ <2>+ R_ <4>+ \underline_ & 0 \\ -\underline_ & 0 & R_ <1>+ R_ <3>+ \underline_ + \underline_ \end \cdot \begin \underline_ <11>\\ \underline_ <22>\\ \underline_ <33>\end = \begin \underline_ <1>\\ \underline_ <2>+ \underline_ \cdot \underline_ <1>\\ \underline_ <3>+ R_ <3>\cdot \underline_ <1>\end $$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся следующим скриптом Matlab:

В результате получим вектор-столбец $ \underline<\bold> $ токов из трёх элементов, состоящий из искомых контурных токов, при этом

Далее в схеме по рис. 2 расставим направления токов в ветвях (рис. 3).

Электрическая схема метод контурных токов для расчёта электрической цепи определение токов в ветвях

Рис. 3. Задание направления токов в электрической цепи

Для определения токов в ветвях необходимо рассмотреть все контурные токи, которые протекают через данную ветвь. Видим, что через ветвь, где протекает ток $ \underline_ <1>$, проходит только один контурный ток $ \underline_ <11>$, и он сонаправлен, отсюда

Через ветвь, где протекает ток $ \underline_ <2>$, проходят контурные токи $ \underline_ <11>$ и $ \underline_ <22>$, причём ток $ \underline_ <11>$ совпадает с принятым направлением тока $ \underline_ <2>$, а ток $ \underline_ <22>$ – не совпадает. Те контурные токи, которые совпадают с принятым направлением, берутся со знаком «+», те, которые не совпадают – со знаком «-». Отсюда

Аналогично для других ветвей

$$ \underline_ <5>= \underline_<22>— \underline_<1>, $$

$$ \underline_ <7>= \underline_<33>— \underline_<1>, $$

Итак, метод контурных токов позволяет рассчитывать меньшее количество сложных уравнений для расчёта аналогичной электрической цепи по сравнению с законами Кирхгофа.

Список использованной литературы

  1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

Рекомендуемые записи

Расчёт матриц передачи многополюсников различной формы осуществляется достаточно просто. Матрицы передачи — это математическое описание рассматриваемой…

Во время работы электроэнергетических систем могут возникнуть не только режимы коротких замыканий, но и обрывы. Метод…

При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие…

Источник

Метод контурных токов

В каждой электрической цепи имеются так называемые Р – ребра (они же ветви, звенья, участки) и У – узлы. Для ее описания существует система уравнений, в которых используются два правила Кирхгофа. В них, в качестве независимых переменных, выступают токи ребер. Поэтому количество независимых переменных будет равно количеству уравнений, что дает возможность нормального разрешения данной системы. На практике используются методы, направленные на сокращение числа уравнений. Среди них очень часто используется метод контурных токов, позволяющий выполнять расчеты и получать точные результаты.

Читайте также:  Резонансное явление в цепях переменного тока называют резонансным

Суть метода контурных токов

Метод контурных токов

Основные принципы данного метода основываются на том факте, что протекающие в ребрах цепи токи, не все считаются независимыми. Присутствующие в системе У-1 уравнения для узлов, четко показывают зависимость от них У-1 токов. При выделении в электрической цепи независимого тока Р-У+1, вся система может быть сокращена до уравнений Р-У+1. Таким образом, метод контурных токов представляет собой очень простое и удобное выделение в цепи независимых токов Р-У+1.

Использование данного способа расчетов допускает, что в каждом независимом контуре Р-У+1 осуществляется циркуляция определенного виртуального контурного тока. Если какое-либо ребро относится лишь к одному конкретному контуру, то значение протекающего в нем реального тока будет равно контурному. В том случае, когда ребро входит в состав сразу нескольких контуров, ток, протекающий в нем, будет представлять собой сумму, включающую в себя соответствующие контурные токи. В этом случае обязательно учитывается направление обхода контуров. Независимыми контурами перекрывается практически вся схема, поэтому ток, протекающий в каком угодно ребре может быть выражен путем контурных токов, составляющих полную систему всех токов.

Для того чтобы построить систему независимых контуров, используется простой и наглядный метод создания планарных графов. На данной схеме ветви и узлы цепи размещаются на плоскости таким образом, что взаимное пересечение ребер полностью исключается. С помощью этого метода плоскость разбивается на области, ограниченные замкнутыми цепочками ребер. Именно они и составляют систему независимых контуров. Данный метод более всего подходит для ручных расчетов схем. Однако его применение может стать затруднительным или вовсе невозможным, если рассматриваемая схема не укладывается в рамки планарного графа.

Другим способом расчетов служит метод выделения максимального дерева. Само дерево представлено в виде подмножества звеньев электрической цепи и является односвязным графом, в котором отсутствуют замкнутые контуры. Для того чтобы оно появилось, из цепи постепенно исключаются некоторые звенья. Дерево становится максимальным, когда к нему добавляется любое исключенное звено, в результате чего образуется контур.

Применение метода выделения максимального дерева представляет собой последовательное исключение из цепи заранее установленных звеньев в соответствии с определенными правилами. Каждый шаг в цепи предполагает произвольное исключение одного звена. Если такое исключение нарушает односвязность графа, разбивая его на две отдельные части, в этом случае звено может возвратиться обратно в цепь. Если граф остается односвязным, то и звено остается исключенным. В конечном итоге, количество звеньев, исключенных из цепи, оказывается равным количеству независимых контуров, расположенных в схеме. Получение каждого нового независимого контура связано с присоединением к электрической цепи конкретного исключенного звена.

Применение метода контурных токов для расчета цепи

В соответствии с этой методикой, неизвестными величинами являются расчетные или контурные токи, предположительно протекающие во всех независимых контурах. В связи с этим, все неизвестные токи и уравнения в системе, равны количеству независимых контуров электрической цепи.

Токи ветвей в соответствии с данным методом рассчитываются следующим образом:

  • В первую очередь вычерчивается схема цепи с обозначением всех ее элементов.
  • Далее определяется расположение всех независимых контуров.
  • Направления протекания контурных токов задаются произвольно по часовой или против часовой стрелки в каждом независимом контуре. Они обозначаются с использованием цифровых или комбинированных символов.
  • В соответствии со вторым законом Кирхгофа, затрагивающего контурные токи, составляются уравнения для всех независимых контуров. В записанном равенстве направления обхода контура и контурного тока этого же контура совпадают. Необходимо учитывать и то обстоятельство, что в ветвях, расположенных рядом, протекают собственные контурные токи. Падение напряжения потребителей берется отдельно от каждого тока.
  • Следующим этапом является решение полученной системы любым удобным методом, и окончательное определение контурных токов.
  • Нужно задать направление реальных токов во всех ветвях и обозначить их отдельной маркировкой, чтобы не перепутать с контурными.
  • Далее нужно от контурных токов перейти к реальным, исходя из того, что значение реального тока конкретной ветви составляет алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по этой ветви.
Читайте также:  Секреты в тока ворлд не для доната

Если направление контурного тока совпадает с направлением реального тока, то при выполнении алгебраического суммирования математический знак не меняется. В противном случае значение контурного тока нужно умножить на -1.

Метод контурных токов очень часто применяется для расчетов сложных цепей. В качестве примера для приведенной схемы нужно задать следующие параметры: Е1 = 24В, Е2 = 12В, r1 = r2 = 4 Ом, r3 = 1 Ом, r4 = 3 Ом.

Для решения этой сложной задачи составляются два уравнения, соответствующие двум независимым контурам. Направление контурных токов будет по часовой стрелке и обозначается I11 и I22. На основании второго закона Кирхгофа составляются следующие уравнения:

После решения системы получаются контурные токи со значением I11 = I22 = 3 А. Далее произвольно обозначается направление реальных токов, как I1, I2, I3. Все они имеют одинаковое направление – вверх по вертикали. После этого выполняется переход от контурных к реальным. В первой ветви имеется течение только одного контурного тока т I11. Его направление совпадает с реальным током, поэтому I1 + I11 = 3 А.

Формирование реального тока во второй ветке осуществляется за счет двух контурных токов I11 и I22. Направление тока I22 совпадает с реальным, а направление I11 будет строго противоположно реальному. Таким образом, I2 = I22 – I11 = 3 – 3 = 0 А. В третьей ветке I3 наблюдается течение лишь контурного тока I22. Его направление будет противоположным направлению реального тока, поэтому в данном случае расчеты выглядят следующим образом: I3 = -I22 = -3А.

Основным положительным качеством метода контурных токов по сравнению с вычислениями по законам Кирхгофа, является значительно меньшее количество уравнений, используемых для вычислений. Тем не менее, здесь присутствуют определенные сложности. Например, реальные токи ветвей не всегда удается определить быстро и с высокой точностью.

Источник



1.3 Метод контурных токов

1.3 Метод контурных токов

В методе контурных токов за основные неизвестные величины принимают контурные токи, которые замыкаются только по независимым контурам (главным контурам). Контурные токи находят, решая систему уравнений, составленную по второму закону Кирхгофа для каждого контура. По найденным контурным токам определяют токи ветвей схемы.

Алгоритмом метода контурных токов:

1. Задаются направлением токов ветвей и обозначают их на схеме.

2. Определяют независимые контуры и их нумеруют. При наличии в схеме источников тока независимые контуры, для которых составляются уравнения метода контурных токов, можно определить, если мысленно удалить источники тока.

3. Выбирают направление контурных токов (целесообразно в одну сторону) и составляют уравнения по методу контурных токов, обходя каждый контур в направлении его контурного тока. Контурный ток, проходящий через источник тока, известен и равен току источника тока (через источник тока проходит только один контурный ток!).

4. Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно неизвестных контурных токов.

5. Искомые токи по методу контурных токов находят как алгебраическую сумму контурных токов, проходящих по данной ветви. Токи в ветвях связи равны контурным токам.

Решение задач методом контурных токов

Задача 1.3.1 . Определить токи в ветвях схемы рис. 1.3.1 методом контурных токов. Правильность решения проверить по балансу мощностей.

1. В соответствии с алгоритмом, зададимся направлением токов ветвей и обозначим их на схеме рис. 1.3.1.

3. Поскольку в схеме имеется ветвь, содержащая источник тока J, контурный ток Iк3 = J, а для контурных токов Iк1 и Iк2 запишем систему уравнений метода контурных токов:

Подставив значения сопротивлений, получаем численную систему уравнений метода контурных токов с двумя неизвестными контурными токами:

I к 1 = 0,4 A ; I к 2 = 3 A .

4. Определяем токи в ветвях схемы по методу контурных токов:

I 1 = I к 1 = 0,4 A ; I 5 = − I к 2 = − 3 A ; I 6 = I к 2 − I к 1 = 3 − 0,4 = 2,6 A .

для узла a:

I 4 = I 5 + J = ( − 3 ) + 2 = − 1 A ;

для узла b:

I 3 = J − I 1 = 2 − 0,4 = 1,6 A .

5. Правильность решения проверяем по балансу мощностей. Предварительно находим напряжение на зажимах источника тока:

U a d = φ a − φ d = J ⋅ R 2 + I 3 ⋅ R 3 + I 4 ⋅ R 4 − E 2 = = 2 ⋅ 10 + 1,6 ⋅ 20 + ( − 1 ) ⋅ 5 − 10 = 37 B .

E 2 ⋅ J + U a d ⋅ J + E 1 ⋅ ( − I 1 ) + E 6 ⋅ I 6 = J 2 ⋅ R 2 + I 3 2 ⋅ R 3 + I 4 2 ⋅ R 4 + I 5 2 ⋅ R 5 + I 6 2 ⋅ R 6 ; 10 ⋅ 2 + 37 ⋅ 2 + 15 ⋅ ( − 0,4 ) + 30 ⋅ 2,6 = 2 2 ⋅ 10 + 1,6 2 ⋅ 20 + ( − 1 ) 2 ⋅ 5 + ( − 3 ) 2 ⋅ 4 + 2,6 2 ⋅ 5 ; 166 В т = 166 В т .

Источник