Анализ напряженного состояния при плоском изгибе главные напряжения при плоском поперечном изгибе

Анализ напряженного состояния в балках при

Изгибе. Главные напряжения

В предыдущем параграфе было показано, что при плоском прямом изгибе в поперечных сечениях балки действуют нор­мальные и касательные напряжения, определяемые по форму­лам

Таким образом, если в произвольной точке балки мысленно вырезать бесконечно малый элемент (рис. 6.27), то на его гра­нях, перпендикулярных к осиОх, будут действовать напряже­ния и , а на гранях, перпендикулярных к оси Оу, — каса­тельные напряжения (согласно закону парности). В силу гипотезы об отсутствия взаимного давле­ния между продольными слоями нормаль­ные напряжения принимаются равными нулю.

Следовательно, напряженное состояние в балках при изгибе представляет собой ча­стный случай двухосного напряженного состояния. При этом величины главных напряжений и и углы наклона норма­лей к главным площадкам и можно определить по формулам:

Определим, например, величины и направления главных на­пряжений в трех характерных точках А, В и С балки прямо­угольного поперечного сечения (рис. 6.28, а). Эпюры нормаль­ных и касательных напряжений в этом сечении при > 0 и > 0 показаны на рис. 6.28, б.

Согласно (6.31) и (6.32) в нижних волокнах (точкаА на рис. 6.28) имеем

В верхних волокнах (точка В)

На уровне нейтрального слоя (точка С) имеет место напря­женное состояние чистого сдвига

На рис. 6.28, в, г, е показаны главные площадки и главные напряжения в точкахА, Ви С.

Таким образом, при поперечном изгибе в точках нейтрально­го слоя возникает напряженное состояние чистого сдвига, а в нижних и верхних волокнах — одноосное напряженное состоя­ние.

Расчет балок на прочность при изгибе

При расчете изгибаемых элементов строительных конструк­ций на прочность применяется метод расчета по предельным состояниям.

В большинстве случаев основное значение при оценке проч­ности балок и рам имеют нормальные напряжения в попереч­ных сечениях. При этом наибольшие нормальные напряжения, действующие в крайних волокнах балки, не должны превышать некоторой допустимой для данного материала величины. В ме­тоде расчета по предельным состояниям эта величина принима­ется равной расчетному сопротивлению R, умноженному на ко­эффициент условий работы .

Условие прочности имеет следующий вид

Значения R и для различных материалов приведены в СНиП по строительным конструкциям.

Для балок из пластичного материала, одинаково сопротивля­ющегося растяжению и сжатию, выгодно использовать балки с сечениями, имеющими две оси симметрии. В этом случае усло­вие прочности (33) с учетом формулы (6.19) записывается в виде

Иногда по конструктивным соображениям применяются бал­ки с несимметричным сечением типа тавра, разнополочного двутавра и т.п. В этих случаях условие прочности (6.33) с учетом (6.17) записывается в виде

В формулах (6.34) и (6.35) и — моменты сопротивле­ния сечения относительно нейтральной оси Oz , — наиболь­ший по абсолютной величине изгибающий момент от действия расчетных нагрузок, т.е. с учетом коэффициента надежности по нагрузке .

Сечение балки, в котором действует наибольший по абсо­лютной величине изгибающий момент, называется опасным се­чением.

При расчете на прочность элементов конструкций, работаю­щих на изгиб, решаются следующие задачи: проверка прочности балки; подбор сечения; определение несущей способности (грузо­подъемности) балки, т.е. определение значений нагрузок, при которых наибольшие напряжения в опасном сечении балки не превышают значения R.

Решение первой задачи сводится к проверке выполнения ус­ловий прочности при известных нагрузках, форме и размерах сечения и свойствах материала.

Решение второй задачи сводится к определению размеров се­чения заданной формы при известных нагрузках и свойствах материала. Вначале из условий прочности (6.34) или (6.35) оп­ределяется величина требуемого момента сопротивления

а затем устанавливаются размеры сечения.

Для прокатных профилей (двутавры, швеллеры) по величине момента сопротивления подбор сечения производится по сорта­менту. Для непрокатных сечений устанавливаются характерные размеры сечения.

При решении задачи по определению грузоподъемности бал­ки вначале из условий прочности (6.34) или (6.35) находится ве­личина наибольшего расчетного изгибающего момента по фор­мулам

Затем изгибающий момент в опасном сечении выражается через приложенные к балке нагрузки и из полученного выраже­ния определяются соответствующие величин нагрузок. Напри­мер, для стальной двутавровой балки I30, изображенной на рис. 6/29, при R = 210 МПа, = 0,9, = 472 см 3 находим

По эпюре изгибающих моментов находим

Рис. 6.29 Рис. 6.30

В балках, нагруженных большими по величине сосредото­ченными силами, близко расположенными к опорам (рис. 6.30), изгибающий момент может оказаться сравнительно неболь­шим, а поперечная сила по абсолютной величине может быть значительной. В этих случаях необходимо производить проверку прочности балки по наибольшим касательным напря­жениям . Условие прочности по касательным напряжениям можно записать в виде

где — расчетное сопротивление материала балки при сдвиге. Значения для основных строительных материалов приведены в соответствующих разделах СНиП.

Касательные напряжения могут достигать значительной ве­личины в стенках двутавровых балок, особенно в тонких стен­ках составных балок.

Расчет на прочность по касательным напряжениям может иметь решающее значение для деревянных балок, так как дере­во плохо сопротивляется скалыванию вдоль волокон. Так, на­пример, для сосны расчетное сопротивление растяжению и сжа­тию при изгибе R = 13 МПа, а при скалывании вдоль волокон = 2,4 МПа. Такой расчет необходим также при оценке проч­ности элементов соединений составных балок — сварных швов, болтов, заклепок, шпонок и т. п.

Условие прочности на скалывание вдоль волокон для дере­вянной балки прямоугольного сечения с учетом формулы (6.27) можно записать в виде

Рациональные типы поперечных сечений балок

Как видно из формулы (6.37), несущая способность балки при изгибе пропорциональна моменту сопротивления W, а рас­ход материала — площади поперечного сечения F. Поэтому ра­циональными с точки зрения расхода материала являются такие типы сечений, у которых отношение W/F имеет возможно большее значение. Определим это отношение для некоторых сече­ний с одинаковой высотой h (рис. 6.31).

Круглое сечение (рис. 6.31, а)

Прямоугольное сечение (рис. 31, б).

Прямоугольное сечение является более рациональным, чем круглое.

Из эпюры а (рис. 6.31, г) видно, что волокна в области ней­трального слоя испытывают меньшие напряжения, чем волокна, более удаленные от этого слоя. Отсюда следует, что для повы­шения рациональности сечений с точки зрения расхода матери­ала желательно располагать материал балки возможно дальше от нейтральной оси, т.е. в области действия наибольших нормаль­ных напряжений. Например, образуя из прямоугольного сече­ния двутавровое путем удаления части материала (рис. 31, в), можно существенно увеличить отношение W/F. Для прокатных двутавров это отношение изменяется в пределах от 0,309h до 0,351h.

Таким образом, из трех поперечных сечений, показанных на рис. 31, наиболее рациональным является двутавровое сече­ние, так как в этом случае требуется меньший расход матери­ала.

Отметим, что выбор типа сечения балки зависит также от конструктивных, технологических и многих других факторов.

Источник



Главные напряжения при изгибе

Лекция №18

Тема: «Изгиб»

Касательные напряжения при поперечном изгибе

Центр изгиба

Главные напряжения при изгибе. Линии главных площадок

Касательные напряжения при изгибе

При поперечном изгибе помимо изгибающего момента М в сечении возникает поперечная сила Q, которая вызывает касательные напряжения. Для их определения рассмотрим верхнюю часть отрезка балки (см. рис. 1), длиной dz: от линии m-n.

Рис. 1

В левом сечении будут возникать нормальные напряжения:

В сечении m-n будут возникать касательные напряжения. Для определения их величины рассмотрим условие статического равновесия кусочка балки относительно оси Z.

Разность значений моментов на бесконечно близком расстоянии один от другого представляет собой дифференциал момента dM, а — статический момент заштрихованной части сечения, образуемой верхней частью сечения до линии m-n (отсеченной частью сечения) относительно оси X.

где — площадь заштрихованной части сечения.

Первая производная от момента по Z равна поперечной силе Q, поэтому получим окончательную формулу:

Согласно закону парности касательных напряжений, касательные напряжения в поперечных сечениях по линии m-n будут равны касательным напряжениям в продольном сечении, определяемым по формуле (1). Из формулы видно, что касательные напряжения прямо пропорциональны . Определим характер изменения касательных напряжений по высоте сечения для прямоугольного профиля. Пусть рассматриваемая точка В лежит на расстоянии Y от оси X. Через точку В проводим прямую, параллельную оси X (см. рис. 1). Эта прямая рассекает сечение на мне части, статические моменты которых относительно оси X равны, так что безразлично какую часть сечения рассматривать.

Будем рассматривать верхнюю (заштрихованную) часть. Статический момент любой фигуры равен произведению площади на координату центра тяжести.

В результате получим:

т.е. изменяется по закону параболы, так как Y во второй степени. Поскольку между t и прямая пропорциональность, то и эпюра t будет изменяться по высоте по закону квадратичной параболы. При ; =0 и t=0. Наибольшее значение будет при y=0, поэтому наибольшие касательные напряжения будут возникать на нейтральной линии.

У двутаврового сечения характер распределения касательных напряжений будет следующий (см. рис. 3). Резкий скачок на эпюре t в месте перехода полки к стенке вызван резким уменьшением ширины сечения b, входящей в знаменатель формулы (1). Касательные напряжения, возникающие в полках незначительны по сравнению с возникающими в стенке, и ими обычно игнорируют. Поэтому эпюру t изображают без этих участков (показано справа).

Рис. 3

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в нейтральном слое, сравнивают с расчетным сопротивлением на срез R_s:

Центр изгиба

Для балок целесообразно применять тонкостенные профили с развитыми горизонтальными полками и тонкой стенкой. Такие профили обычно изготавливают прокаткой или гибкой из листовой заготовки. При этом особенно технологичны профили с одной осью симметрии, например, швеллер (см. рис. 4, а).

При поперечном изгибе в стенке возникнут касательный напряжения , определяемые но формуле (1), и эпюра представляет параболу. В полках тоже будут возникать касательные напряжения. Их можно определить таким же путем, делая вертикальные разрезы полки. Эпюра касательных напряжений представляет треугольник. Касательные напряжения в верхней и нижней полках направлены в разные стороны и будут создавать момент, подвергающий сечение скручиванию (см. рис. 4, б). Его можно исключить, если внешнюю силу приложить в точке С. Из условия равенства моментов, определим расстояние а, на котором нужно приложить внешнюю силу:

где Т — усилие, возникающее в полках от напряжения ,

t — толщина полки,

h — высота профиля.

Рис. 4

Главные напряжения при изгибе

При поперечном изгибе в поперечных сечениях возникают нормальные и касательные напряжения, определяемые по формулам:

В продольном сечении нормальные напряжения отсутствуют, а касательные равны касательным напряжениям в поперечном сечении (закон парности касательных напряжений).

Поэтому элемент будет иметь вид (см. рис. 5).

Главные напряжения определяют по формуле:

Рис. 5

В данном случае:

Главные напряжения имеют индексы:

Положение главной площадки определяют по формуле:

Вторая главная площадка будет перпендикулярна найденной.

Исследуем напряженное состояние в тpex точках, лежащих в одном и том же поперечном сечении, но взятых на разной высоте (см. рис. 6), а именно: в верхнем сжатом волокне (точка 1), в нейтральном слое (точка 2) и в нижнем растянутом волокне (точка 3).

вторая площадка перпендикулярна, следовательно,

Если на площадках действуют только касательные напряжения, то это чистый сдвиг.

Рис. 6

Вычисляя главные напряжения для целого ряда точек какого-либо поперечного сечения, можно построить эпюры и и определить углы, под которыми расположены главные площадки.

Скачки в эпюрах и объясняются наличием скачка в эпюре в месте перехода полки к стенке. В этих местах и зачастую превышают . Это обстоятельство обязательно должно быть учтено при проверке прочности двутавровых балок.

Наглядное представление о потоке внутренних сил в нагруженном теле дают траектории главных напряжений. Так называется линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением главного напряжения в этой точке.

Источник

Анализ напряженного состояния при изгибе

При поперечном изгибе балки в произвольных сечениях действуют изгибающие моменты М_х и поперечные силы Q_y. Изгибающие моменты приводят к действию нормальных напряжений, поперечные силы – касательных напряжений (рис. 8.26).

Рассмотрим бесконечно малый элемент на боковой поверхности балки, находящимся на расстоянии у от нейтральной оси х. Он будет испытывать плоское напряженное состояние. Нормальные напряжения на горизонтальной площадке отсутствуют, так как продольные волокна не давят друг на друга. На вертикальных площадках действуют нормальные напряжения. Для плоского напряженного состояния величина главных напряжений определяется как:

В нашем случае σ_x = σ, σ_y = 0, τ_xy = τ. Следовательно,

Положение главных площадок определяется как:

Исследуем напряженное состоянии в трех точках поперечного сечения (рис. 8.23в):

· точка 1 – верхние волокна ,

· точка 2 – нейтральный слой ,

· точка 3 – нижние волокна .

Наибольшие касательные напряжения в каждой рассматриваемой точке можно найти как:

Вычислив аналогично главные напряжения для промежуточных точек поперечного сечения, можно построить эпюры главных растягивающих σ₁ и главных сжимающих напряжений, а также эпюру наибольших касательных напряжений (рис.8.26с).

По найденным значениям главных напряжений можно построить траектории главных напряжений. Траекториями главных напряжений при изгибе называются линии, в каждой точке которых касательная совпадает с направлением главных напряжений в этой точке.

На рис. (8.27а) показаны траектории главных напряжений для однопролетной балки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой. Сплошными линиями показаны траектории главных растягивающих напряжений σ₁, пунктирными – главных сжимающих напряжений σ₂.

Трещины в материалах, плохо работающих на растяжение, появляются перпендикулярно траекториям главных растягивающих напряжений σ₁. При проектировании железобетонных балок арматуру целесообразно располагать по направлению траекторий главных растягивающих напряжений σ₁. Траектории главных растягивающих σ₁ и главных сжимающих напряжений σ₂ пересекаются под углом 45 0 .

Траектории главных напряжений зависят от типа нагрузки и вида закреплений балки. На рис. (8.27в) показаны траектории главных напряжений для консольной балки, загруженной сосредоточенной силой Р.

Дата добавления: 2015-12-11 ; просмотров: 1988 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник