Нормальные напряжения и их эпюры
Определение нормальных напряжений и деформаций при косом изгибе основано на принципе независимости действия сил. Всю нагрузку проецируют на две главные плоскости балки и строят эпюры изгибающих моментов в этих двух плоскостях. Затем по известным формулам прямого изгиба определяют напряжения и деформации. [1]
Для определения нормального напряжения в произвольной точке найдем его составляющие от каждого фактора для случая внецентренного растяжения. [2]
Для определения нормальных напряжений по сечениям вдоль образующих аппарат рассматривают как балку, лежащую на принятом числе опор. Число опор выбирают в зависимости от материала аппарата, его длины и рабочих условий. Для наиболее распространенных размеров горизонтальных аппаратов и емкостей разработан стандарт на число опор и расстояние между ними. [3]
Для определения нормальных напряжений ахх оказывается достаточно ввести гипотезу плоских сечений. [4]
При определении нормальных напряжений и перемещений обычно учитывают только изгибающие моменты и пренебрегают влиянием перерезывающих сил. Это обусловлено двумя причинами: а) малым влиянием перерезывающих сил на величину нормальных напряжений и перемещений ( особенно в тонких и длинных валах) и, главное, б) отсутствием инженерных методов расчета вала с учетом перерезывающих сил. [5]
Формула для определения нормальных напряжений, возникающих в поперечных сечениях балок при прямом изгибе, а также выводы относительно положения нейтральной оси приводились к случаю, когда поперечное сечение балки имеет по меньшей мере одну ось симметрии и силовая плоскость проходит через эту ось. [6]
Условия прочности при растяжении, сжатии. Допускаемые напряжения.
Закон Гука при растяжении, сжатии.
По определению относительная деформация стержня равна
,
где 
, 
– первоначальная и текущая длина стержня соответственно.
Если удлинение стержня 
вызвано действием растягивающих нормальных напряжений 
, то относительная деформация
называется силовой деформацией (рис. 1.10, а). Если удлинение стержня вызвано изменением температуры 
, то деформация
называется температурной деформацией (рис. 1.10, б).
Рис. 1.10. Силовая (а) и температурная (б) деформации
В общем случае удлинение стержня происходит за счёт действия приложенных нагрузок и изменения температуры. Поэтому
. (1.16)
Как показывает опыт, силовая деформация стержня (рис. 1.10, а) пропорциональна действующим напряжениям , а температурная деформация стержня (рис. 1.10, б) пропорциональна приращению температуры :
, 
. (1.17)
Постоянная 
называется модулем Юнга (модулем растяжения или модулем упругости первого рода), постоянная 
– температурным коэффициентом линейного расширения. Для углеродистых сталей при комнатной температуре модуль Юнга и коэффициент линейного расширения имеют следующий порядок величины: » 2×1011 Па, » 12×10–6 К–1.
Подставляя (1.17) в (1.16), имеем
(1.18)
. (1.19)
Равенство (1.19), как и эквивалентное ему равенство (1.18), носит название закона Гука при растяжении.
К примеру, если оба конца стержня закреплены, то его длина неизменна, а деформация 
. Тогда по формуле (1.16) при нагревании (охлаждении) стержня силовая деформация равна и противоположна по знаку тепловой деформации:
.
Согласно (1.19) возникающие при этом напряжения равны
.
Следовательно, когда приращение температуры 
, в стержне действуют сжимающие напряжения: 
. Напротив, в случае 
в стержне возникают растягивающие напряжения: 
.
Деформации при растяжении-сжатии и закон Гука
Опыты показывают, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются. При сжатии наоборот.
(2)—относительное удлинение или линейные деформации.
Для многих конструкционных материалов при нагружении до определенных пределов опыты показывают линейную зависимость линейных деформаций от нормальных напряжений.
(3)— закон Гука.
Е- модуль продольной упругости или упругости первого рода.
Срез и смятие. Основные допущения на срез и смятия.
Источник
Построение эпюр продольных сил — формулы, условия и примеры решения задач
Построение эпюр продольных сил – это решение статически определимой задачи. Производится для выявления картины нагрузки упругого тела. Вернее, уточнения ее схематизации.
Необходимо для определения наиболее напряженного, так называемого «опасного» сечения. Затем методами сопромата (сопротивления материалов) проводится анализ с прогнозированием перемещений элементов конструкции.
Но всему свое время. Сначала немного о терминах.
Основные понятия
Брусом (балкой) называют тело, вытянутое вдоль оси. То есть длина преобладает над шириной и высотой.
Если имеются только осевые (продольные) силы, то объект подвергается растяжению/сжатию. В этом случае в материале возникают только нормальные поперечному сечению силы противодействия и тело считают стержнем.
Статическая определимость подразумевает достаточность схемы для установления внутренних усилий противодействия. Участок – часть балки с неизменным сечением и характерной нагрузкой.
Правила построения учитывают знаки усилий. Растягивающие принимают положительными, сжимающие – отрицательными.
В системе СИ силы измеряются в ньютонах (Н). Длины в метрах (м).
Что такое эпюра продольных сил
Показывает, какой силой (в нашем предположении нормальной) загружен каждый участок. По всей длине стержня. Иначе говоря, эпюра – наглядное графическое изображение изменения нагрузки по всей длине конструкции.
Как построить эпюру продольных сил
Используется метод сечений. Балка виртуально рассекается на каждом участке и ищется противодействующая N. Ведь задача статическая.
Сопротивление рассчитывается по формуле:
Fl – действующие на участке l силы (Н);
ql – распределенные нагрузки (Н/м).
Порядок построения:
1. Рисуется схема балки и механизмов закрепления;
2. Производится разделение на участки;
3. Для каждого рассчитывается N с учетом знаков. Если у балки есть незакрепленный конец, то начинать удобнее именно с него. В противном случае считается реакция опор. И оптимальнее выбирать сечение с меньшим количеством действующих факторов:
Нетрудно заметить, что последнее уравнение дает еще и реакцию опоры;
4. Параллельно оси стержня намечается база эпюры. Положительные значения масштабировано проставляются выше, отрицательные – ниже. Эпюру наглядно совмещать с расчетной схемой. Итоговый результат и промежуточные сечения показаны на рис. 1.
Рис. 1. Эпюра продольных сил
Проверить эпюру можно по скачкам: изменения происходят в точках приложения сил на их величину.
Пример построения эпюр и решения задач
Построить эпюру сил для следующего случая (рис. 2):
Разбиение на участке вполне очевидно. Найдем сопротивление на выделенных:
Распределенная нагрузка зависит от длины, на которой приложена. Поскольку нарастает линейно, значение N2 будет постепенно увеличиваться/уменьшаться в зависимости от знака q.
Эпюра такого вида усилия представляет собой прямоугольный треугольник с катетами l3 и ql3 (в масштабе). Поскольку распределение линейно.
По полученным данным строим эпюру (рис. 3).
Заключение
Приведенный алгоритм является предварительным этапом в расчете модели на прочность. «Слабое» место находится уже с учетом площади поперечного сечения.
В сети имеются онлайн сервисы для помощи в расчетах при вычерчивании. Но стоит ли ими пользоваться, если процедура настолько проста? Если не запутаться в знаках, конечно. Это самая распространенная ошибка.
Источник
ISopromat.ru
Задача
Построить эпюру распределения нормальных напряжений для подобранного ранее прямоугольного сечения двухопорной балки с размерами h=155мм и b=80мм.
Пример решения
Предыдущие пункты решения задачи:
Рассмотрим пример построения эпюры распределения нормальных напряжений в опасном сечении балки.
Прямоугольное сечение имеет три характерных точки:
Для построения эпюры достаточно найти значения в любых двух точках, потому что при изгибе нормальная составляющая полных напряжений по высоте сечения меняется линейно.
где Ix – осевой момент инерции сечения,
y – расстояние от оси х проходящей через центр тяжести сечения до точки в которой рассчитывается напряжение.
Очевидно, что на самой оси x (точка №2) где координата y=0 напряжения отсутствуют.
Наибольшие значения нормальных напряжений будут на максимальном удалении от оси x, то есть при ymax=h/2 (в точках 1 и 3).
При изгибе верхний и нижний слой балки испытывают продольную деформацию разных знаков.
Знаки напряжений в точках 1 и 3 определяются по построенной ранее эпюре изгибающих моментов Mx.
В данном случае по ней видно, что в опасном сечении балки эпюра моментов имеет положительное значение (+47,6 кНм), что согласно правила знаков при изгибе говорит о том, что в рассматриваемом месте балки сжимаются верхние слои (нижние соответственно растягиваются).
Поэтому в соответствии с правилом знаков для напряжений, нормальные напряжения в верхней точке 1 будут отрицательны (потому что сжатие), а в точке 3 – положительны (растяжение) или σ т1=-148,6МПа, σ т3=148,6МПа.
По полученным данным строим эпюру
Как видно по построенной эпюре, нормальные напряжения не превышают заданных допустимых значений, что говорит о том, что размеры прямоугольного сечения были подобраны верно, и прочность балки обеспечена.
Источник