Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Инвариант — тензор — напряжение
Инварианты тензора напряжений (1.16) и (1.17) являются основными характеристиками напряженного состояния в точке твердого деформируемого тела. [1]
Инварианты тензора напряжений имеют весьма важное значение, так как они характеризуют напряженное состояние независимо от выбранной системы осей координат. Так, например, если написаны два тензора, то, пользуясь инвариантами, мы сразу можем определить, выражают ли они разные напряженные состояния или представляют собой одно и то же напряженное состояние при разных осях координат. [2]
Третьи инварианты тензоров напряжений и деформаций ползучести не оказывают существенного влияния на процесс деформирования. [3]
Между инвариантами тензоров напряжений и деформаций существует соотношение, не зависящее от вида напряженного состояния. [4]
Они называются инвариантами тензора напряжений и являются основными характеристиками напряженного состояния в точке. [5]
Sr — второй инвариант тензора напряжений ; ф, — статически определяемые поверхности текучести, стремящиеся к остаточной прочности в ходе процесса ослабления геоматериала; % — параметр ослабления (1.86); ; — параметр вязкости. [6]
В теории напряжений инварианты тензора напряжений рассматривают как основные характеристики напряженного состояния в точке. [7]
ЯГа ] — инвариант тензора напряжений . [8]
Поэтому их называют инвариантами тензора напряжений . [9]
При действительных значениях компонент напряжения инварианты тензора напряжений действительны и, следовательно, все коэффициенты уравнения (2.38) — действительные величины. По теории таких уравнений хотя бы один корень ( главное значение) должен быть действительным. [10]
Первое слагаемое ( aikim3ikplm представляет собой совместный инвариант тензора напряжений и тензора прочности, а второе слагаемое выражает зависимость прочности анизотропных тел от двух инвариантов — J и / 2 тензора напряжений. В осях симметрии ортотропного материала из соображений симметрии следует приравнять нулю все величины art m, кроме тех, у которых индексы попарно равны друг другу ( аналогично сшп, см. гл. Первое слагаемое уравнения (3.6) в развернутом виде является пластическим потенциалом. Инвариантное уравнение равноопасных состояний (3.6) можно в физическом аспекте рассматривать как обобщение пластического потенциала Мизеса для анизотропных тел в случае, когда имеется явная зависимость предельного состояния от первого инварианта тензора напряжений ( от гидростатического давления JJ. В полностью развернутом виде критерий (3.6) представляет собой полином четвертой степени относительно шести компонент действующих напряжений. Поэтому уравнение (3.6) называется полиномиальным критерием четвертой степени. [11]
Пластический потенциал введем как функцию инвариантов тензора напряжений , определяющих пластическое а деформирование. [12]
Формулировки критериев разрушения анизотропных сред через инварианты тензора напряжений обусловлены, по-видимому, историческим развитием критериев текучести изотропных материалов. Предположение об изотропии ( независимости от направления) означает, что формулировка условий разрушения не зависит от направления осей координат. Наиболее подходящим средством обеспечения указанной инвариантности является запись критерия разрушения в виде скалярной функции от инвариантов тензора напряжений. В опытах Бриджмена [7] было установлено, что условие текучести изотропного материала не зависит от гидростатического давления; учет этого обстоятельства позволил дополнительно упростить условие текучести, представив его лишь через компоненты девиатора напряжений. [13]
Здесь / ( 2) — квадратичный инвариант тензора напряжений ; C ( i, с ( 2), п, т — постоянные материала. В частности, при п 2, т 1 получается линейно-упругое тело. [14]
В связи с этим коэффициенты являются инвариантами тензора напряжений . [15]
Источник
ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЕ НАПРЯЖЕНИЙ
Напряженное состояние в точке деформируемого тела определяется девятью векторами, тремя нормальными и шестью касательными напряжениями. Совокупность этих девяти величин, характеризующих напряженное состояние точки тела, образует тензор
напряжения, который выражают в виде матрицы:
Если напряженное состояние задано в главных напряжениях, то тензор напряжений упрощается:
Шаровой тензор, характеризующий изменение объема деформируемого тела, записывается в виде матрицы:
Шаровой тензор описывает напряженное состояние точки, подвергнутой действию равномерного всестороннего сжатия или растяжения, когда касательные напряжения отсутствуют. Шаровой тензор может вызвать изменение объема при упругой деформации, но не изменение формы. Средним напряжением называется инвариант
Физический смысл среднего напряжения: среднее напряжение и первый инвариант тензора напряжений определяют давление в индивидуальной частице сплошной среды, появление которого связано с изменением объема индивидуальных частиц.
Рис.7. Схема действия сил шарового тензора при σ1 = σ2 = σ3 и σ = —р
Вычтем из тензора напряжений шаровой тензор. Разность между тензором напряжений и шаровым тензором называется девиатором напряжений; он характеризует изменение формы деформируемого тела и определяется следующим выражением:
или в главных напряжениях:
При формулировке свойств металла большое значение имеют инварианты девиатора тензора напряжений — скалярные величины, составленные из компонент тензора напряжений, не зависящие от выбора системы координат и не изменяющиеся при переходе от одной системы координат к другой.
Первый инвариант — линейный I1 = σ1 + σ2 + σ3 = const равен утроенному октаэдрическому нормальному напряжению или гидростатическому давлению
С тензорами можно производить различные математические действия.
.4. Октаэдрические напряжения.
Наряду с площадками, по которым действует σ и τ в теории ОМД рассматриваются площадки, равнонаклонённые к главным осям и следовательно отсекающие на них отрезки одинаковой длины. Эти площадки называются октаэдрическими. Всего таких площадок 8 , и вместе они образуют октаэдр.
 |
Эти площадки попарно взаимно параллельны , поэтому независимых площадок только 4. Напряжения действующие на октаэдрические площадки называют октаэдрическими: полное октаэдрическое напряжение Sокт;нормальное октаэдрическое: σокти касательное октаэдрическоенапряжение τокт.
Sокт= = среднему гидростатическому напряжению.
Нормальное октаэдрическое напряжение: σокт = σср =
Октаэдрическое касательное напряжение τокт.
Источник
1.7. Инварианты тензора напряжений
Инвариантами называют величины, которые не меняются при повороте осей координат.
Вернемся к кубическому уравнению, из которого определим главные напряжения: .
Чтобы иметь одни и те же главные напряжения необходимо чтобы , , не менялись при повороте осей координат, то есть , , — инварианты, которые будут равны, если их записать в системе координат x, y, z и 1, 2, 3.
Тогда можно записать [4]:
— линейный инвариант; — квадратный; — кубический. Они дают полную характеристику напряженного состояния материальной частицы.
1.8. Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор
Тензор напряжений можно представлять в виде суммы двух тензоров:
где — среднее нормальное напряжение:
Напряжение — инвариантная величина, характеризующая уровень нормального напряжения в точке деформированного тела.
Таким образом, тензор в виде суммы тензоров можно записать следующим образом:
Величина , определяемая равенствами:
называется симметричным символом Кронекера. Она образует квадратичную единичную матрицу:
Тензор называется шаровым:
Тензор называется девиатором напряжений:
Компоненты обозначают . Тогда (1.20) можно переписать:
Таким образом, напряженное состояние точки представили как два наложенных напряженных состояния. При этом характеризует уровень нормальных напряжений. Под его действием происходит изменение объема, то есть гидростатическое давление ответственно за изменение объема.
характеризует касательные напряжения. Он ответственен за изменение формы.
Инварианты шарового тензора:
Инварианты девиатора [4]:
Наибольшее практическое значение имеет второй инвариант .
— интенсивность касательных напряжений.
Это неотрицательная скалярная характеристика напряженного состояния в точке. Используется для определения условий перехода материала в данной точке в пластическое состояние.
Если в выражение для подставлять вместо величину и произвести преобразования то получим команду:
Величина Т в главных напряжениях:
Можно показать, что с помощью тензорных символов Т запишется:
1.9. Возможные схемы напряженного состояния металла
Возможны 3 схемы напряженного состояния металла: линейная, плоска и объемная (рис. 1.7), они отличаются характером нагружения металла [5].
а 
) Линейная схема
б 
) Плоская схема
в) Объемная схема
Рис. 1.7. Схемы напряженного состояния металла (главные напряжения
действуют на грани элементарных ячеек)
На рис. 1.8 показаны схемы напряженного ( ) и деформированного ( ) состояний металла для разных схем нагружения, которые встречаются в опытах по определению механических свойств металлов и в реальных промышленных процессах деформации.
Рис. 1.8. Схемы напряженного ( ) и деформированного
Л.С., П.С., О.С.- соответственно линейная, плоская и объемная схемы; х,y,z — прямоугольная система координат; — цилиндрическая система координат; 1, 2, 3 — система координат, связанная с главными осями тензоров напряжений и деформаций; а — осадка без контактного трения (идеальный случай); б — равномерное растяжение (без образования шейки); в — осадка (F — сила трения)
Рис. 1.7 (окончание). Схемы напряженного ( ) и
г — чистый сдвиг ( -предел текучести на сдвиг); д — плоское напряженное состояние (пластина находится под действием сил, приложенных к ее контуру параллельно плоскости пластины и распределенных равномерно по ее толщине); е – выдавливание; ж – волочение
Источник