Меню

Эквивалентные преобразования цепей переменного тока

Эквивалентные преобразования электрических цепей

Последовательное соединение — это совокупность связанных элементов электрической цепи, не имеющая узлов .

Отсюда следует, что по всем элементам последовательного соединения протекает одинаковый ток , т.к. изменение тока может происходить только в узлах электрической цепи.

В последовательное соединение в общем случае может входить любое количество резисторов и источников ЭДС (рис. 1), но не может входить более одного источника тока, т.к. это противоречило бы свойству каждого из источников создавать в цепи ток не зависящий от внешних элементов.

Падение напряжения между точками a и b рис. 1 можно представить разностью потенциалов этих точек U ab = j a — j b . Формально в эту разность можно включить произвольное число значений потенциалов (например, потенциалов точек соединения элементов) с противоположными знаками, а затем попарно объединить их —

Таким образом, любое последовательное соединение можно преобразовать к последовательному соединению одного эквивалентного резистора и одного источника ЭДС. Причем, сопротивление эквивалентного резистора равно сумме всех сопротивлений входящих в соединение, а ЭДС эквивалентного источника равна алгебраической сумме ЭДС источников входящих в соединение.

Последовательное соединение элементов обладает свойством коммутативности , т.е. любые элементы этого соединения могут произвольно переставляться в пределах соединения. Это свойство непосредственно следует из коммутативности слагаемых выражений (1).

Так как эквивалентное сопротивление R представляет собой сумму положительных слагаемых, то R > r max , где r max — наибольшее из сопротивлений, входящих в соединение.

Если последовательное соединение подключено к узлам электрической цепи, то его определение тождественно определению ветви , следовательно, ветвь может быть образована только последовательным соединением.

В отличие от последовательного соединения, в параллельном следует различать параллельное соединение элементов цепи и параллельное соединение ветвей.

Параллельное соединение элементов — это совокупность элементов электрической цепи, объединенных двумя узлами и не имеющих связей с другими узлами .

В параллельное соединение элементов в общем случае могут входить резисторы и
источники тока (рис. 2), но не может входить более одного источника ЭДС, т.к. это противоречило бы их свойству создавать на выходе разность потенциалов не зависящую от внешней цепи .

Все элементы в параллельном соединении подключены к двум узлам и падение напряжения между этими узлами одинаково для всех элементов.

Общий ток, протекающий через параллельное соединение I можно представить суммой токов в отдельных элементах в виде I = I 1 + I 2 +. + I n — J 1 + J 2 +. + J m . Отсюда, раскрывая токи через сопротивления через напряжение между узлами U , получим

Таким образом, параллельное соединение любого количества элементов можно преобразовать к параллельному соединению одного эквивалентного резистора и одного источника тока. Причем, сопротивление эквивалентного резистора равно величине обратной сумме всех проводимостей резисторов входящих в соединение, а ток эквивалентного источника равен алгебраической сумме токов источников входящих в соединение.

Аналогично последовательному соединению, параллельное обладает свойством коммутативности , вытекающим из свойства коммутативности сумм выражений (2).

При параллельном соединении для эквивалентной проводимости G , являющейся суммой проводимостей отдельных элементов, справедливо отношение G > g max , где g max — наибольшая из проводимостей элементов, образующих соединение. Отсюда G =1/ R > g max =1/ r min Ю R r min , т.е. эквивалентное сопротивление резисторов, входящих в параллельное соединение меньше наименьшего из них r min .

Понятие сопротивления более привычно и употребимо, чем эквивалентное ему понятие проводимости. Поэтому при параллельном соединении приходится решать задачу определения именно эквивалентного сопротивления. Для двух, трех и четырех соединенных параллельно резисторов эквивалентные сопротивления R приведены в таблице 1. Для большего числа сопротивлений нетрудно получить аналогичные выражения из соотношений, приведенных на рис. 2.

В параллельное соединение могут входить не только элементы, но и ветви, каждая из которых может быть последовательным соединением элементов (рис. 3 а)). В этом случае используется понятие параллельного соединения ветвей , под которым понимают совокупность ветвей электрической цепи, объединенных двумя узлами и не имеющих связей с другими узлами .

На рис. 3 а) ветви R 1 R 2 и R 3 соединены параллельно , но элементы R 1 R 3 и R 2 R 3 параллельного соединения не образуют , т.к. эти пары элементов не объединены двумя узлами. Очевидно, что для них не выполняется и условие равенства падений напряжения.

Схемы цепей рис. 3 относят обычно к смешанному соединению , понимая под ним совокупность последовательного и параллельного соединений элементов и ветвей цепи.

Можно показать, что любую электрическую цепь путем поэтапных преобразований соединений элементов можно привести к последовательному соединению R-E или эквивалентному параллельному соединению G — J . Этот метод позволяет решать довольно сложные задачи и особенно эффективен, если требуется определить режим в какой-либо отдельной ветви цепи. Пример таких преобразований приведен на рис. 4.

Здесь на отдельных этапах преобразования параметры элементов определяются из выражений: R 34 = R 3 + R 4 ; J 2 = E 2 / R 2 ; R 234 =( R 2 R 34 )/( R 2 + R 34 ) ; J ‘ = J + J 2 ; E ‘ = J ‘ R 234 ; R = R 1 + R 234 ; E = E ‘ — E 1 ; J = E / R .

Особая задача, связанная с преобразованием цепей, состоит в определении сопротивления ( входного сопротивления ) цепи относительно точек разрыва . Она возникает, в частности, при использовании метода эквивалентного генератора для анализа электрических цепей в статических режимах, а также при составлении характеристического уравнения для анализа переходных процессов. Можно показать, что эквивалентное сопротивление R на рис. 4, является входным сопротивлением этой цепи и может быть определено по описанной ниже методике.

Собственно, методика заключается в том, что до начала эквивалентных преобразований в цепи нужно заменить все источники ЭДС и тока их эквивалентными сопротивлениями, а затем определить эквивалентное сопротивление . Как известно, сопротивление источника ЭДС равно нулю, а сопротивление источника тока — бесконечности. Поэтому на электрической схеме источники ЭДС нужно заменить связью, а источники тока — разрывом цепи. Рассмотрим этот процесс на примере рис. 5, где точка разрыва цепи, относительно которой нужно определить входное сопротивление, помечена крестиком.

Вначале заменим источники их эквивалентными сопротивлениями и изобразим разрыв в явном виде точками a и b (рис. 5 б)). Теперь задача становится очевидной, т.к. цепь от точки a к точке b представляет собой последовательное соединение R 1 и R 3 .

На рис. 2.1 изображена электрическая цепь с последовательно соединенными сопротивлениями.

Напряжение на зажимах источника ЭДС равно величине электродвижущей силы. Поэтому часто источник на схеме не изображают.
Падения напряжений на сопротивлениях определяются по формулам

В соответствии со вторым законом Кирхгофа, напряжение на входе электрической цепи равно сумме падений напряжений на сопротивлениях цепи.

где — эквивалентное сопротивление.

Эквивалентное сопротивление электрической цепи, состоящей из n последовательно включенных элементов, равно сумме сопротивлений этих элементов.

На рис. 2.2 показана электрическая цепь с параллельным соединением сопротивлений.

Токи в параллельных ветвях определяются по формулам:

где — проводимости 1-й, 2-й и n-й ветвей.

В соответствии с первым законом Кирхгофа, ток в неразветвленной части схемы равен сумме токов в параллельных ветвях.

Эквивалентная проводимость электрической цепи, состоящей из n параллельно включенных элементов, равна сумме проводимостей параллельно включенных элементов.
Эквивалентным сопротивлением цепи называется величина, обратная эквивалентной проводимости

Пусть электрическая схема содержит три параллельно включенных сопротивления.
Эквивалентная проводимость

Эквивалентное сопротивление схемы, состоящей из n одинаковых элементов, в n раз меньше сопротивлений R одного элемента

Возьмем схему, состоящую из двух параллельно включенных сопротивлений (рис. 2.3). Известны величины сопротивлений и ток в неразветвленной части схемы. Необходимо определить токи в параллельных ветвях.

а эквивалентное сопротивление

Ток в параллельной ветви равен току в неразветвленной части схемы, умноженному на сопротивление противолежащей, чужой параллельной ветви и деленному на сумму сопротивлений чужой и своей параллельно включенных ветвей.

Читайте также:  Чем больше ток тем быстрее зарядка

Встречаются схемы, в которых отсутствуют сопротивления, включенные последовательно или параллельно, например, мостовая схема, изображенная на рис. 2.4. Определить эквивалентное сопротивление этой схемы относительно ветви с источником ЭДС описанными выше методами нельзя. Если треугольник сопротивлений R1-R2-R3, включенных между узлами 1-2-3 заменить трехлучевой звездой сопротивлений, лучи которой расходятся из точки 0 в те же узлы 1-2-3, эквивалентное сопротивление полученной схемы легко определяется.

Сопротивления R0 и Rλ1 включены последовательно, а ветви с сопротивлениями Rλ1 + R4 и Rλ3 + R5 соединены параллельно.

Иногда для упрощения схемы полезно преобразовать звезду сопротивлений в эквивалентный треугольник.
Рассмотрим схему на рис. 2.5. Заменим звезду сопротивлений R1-R2-R3 эквивалентным треугольником сопротивлений RΔ1-RΔ2-RΔ3, включенных между узлами 1-2-3.

Сопротивление стороны эквивалентного треугольника сопротивлений равно сумме сопротивлений двух прилегающих лучей звезды плюс произведение этих же сопротивлений, деленное на сопротивление оставшегося (противолежащего) луча. Сопротивления сторон треугольника определяются по формулам:

Эквивалентное сопротивление преобразованной схемы равно

Источник

Эквивалентные преобразования электрических цепей.

1 Московский физико-технический институт Эквивалентные преобразования электрических цепей. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам. Составитель: Паркевич Егор Вадимович Москва 2014

2 Введение. В электротехнике части приходится иметь дело с очень сложными электрическими цепями, которые содержат самые разные элементы, например: резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, источники ЭДС, диоды, транзисторы и другие. В связи с чем необходимы какие-то методы для расчёта тех или иных параметров таких цепей, к примеру нужно найти суммарное сопротивление схемы или ёмкость, или найти напряжение на каком-то элементе. Поэтому, как правило, схему сперва нужно упростить или, как говорят, сделать эквивалентное преобразование, подразумевая под этим замену данной схемы на некоторую более простую, сохраняющую все параметры исходной схемы без изменения. Основными правилами, которыми можно довольствоваться здесь, являются следующие правила: во-первых, это закон Ома неоднородного участка цепи и для замкнутой цепи, во-вторых, правила Кирхгофа. Существуют, конечно, и другие специальные методы, однако в данной статье мы будем в основном использовать приведенные выше правила. Дадим их формулировку: 1-ое: если участок цепи содержит источник ЭДС, для него справедлив закон Ома для неоднородного участка цепи. Для случаев, изображенных на рисунках a) и b), закон Ома для неоднородного участка цепи имеет вид: a) RI = ϕ 1 ϕ 2 + ε b) RI = ϕ 1 ϕ 2 ε 1

3 Для замкнутой электрической цепи, содержащей источник тока с ЭДС ε и внутренним сопротивлением (r) и внешним сопротивлением (R), справедлив закон ома для замкнутой цепи: I = ε r + R где r сопротивление источника ЭДС, R нагрузочное сопротивление. Для расчёта разветвленных электрических цепей используются правила Кирхгофа: Первое правило Кирхгофа (правило узлов): алгебраическая сумма сил токов, втекающих в любой узел, равна нулю: I i = 0 где I i токи в проводниках, сходящихся в узле. В эту сумму с полюсом входят токи, втекающие в узел, с минусом вытекающие, в данном случае: I 1 +I 2 I 3 I 4 = 0. Первое правило Кирхгофа является выражением того факта, что при протекании постоянных токов в узлах не накапливаются электрические заряды. i Второе правило Кирхгофа (правило контуров): в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвлённой электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов I i на сопротивление R i соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме имеющихся в этом контуре ЭДС ε i : I i R i = ε j i j Токи I i входят в сумму в левой части со знаком +, если они совпадают совпадают по направлению с произвольно выбранным направлением 2

4 обхода контура, и со знаком в обратном случае. Второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома для неоднородного участка цепи, т.к. при обходе замкнутого контура изменение потенциала оказывается равным нулю. При составлении электрической цепи проводники могут соединяться последовательно или параллельно. При последовательном соединении проводников: сила тока во всех частях цепи одинакова: I 1 = I 2 =. = I n ; падение напряжения в цепи равно сумме падений напряжений на отдельных участках: U = U 1 + U U n ; эквивалентное сопротивление цепи R равно сумме сопротивлений отдельных участков: R = R 1 + R R n. сила тока во всех частях цепи одинакова: I 1 = I 2 =. = I n ; падение напряжения в цепи равно сумме падений напряжений на отдельных участках: U = U 1 + U U n ; эквивалентное сопротивление цепи R равно сумме сопротивлений отдельных участков: R = R 1 + R R n. При параллельном соединении проводников: сила тока в не разветвлённой части цепи равна сумме сил токов, текущих по отдельным проводникам: I = I 1 + I I n ; падения напряжения в параллельно соединенных участках цепи одинаковы: U 1 = U 2 =. = U n ; складываются величины, обратные сопротивлениям параллельно 1 соединенных участков: R = R 1 R n Рассмотрим следующие примеры: 3

5 Примеры. Задача 1. Из однородной проволоки изготовили плоскую решетку. Электрические сопротивления каждого участка равно R. Каким будет общее сопротивление такой решетки, если её подключить так, как показано на рисунке? Основной идеей этой задачи, как и многих других, является то, что точки одинакового потенциала можно разъединять или соединять. Т.к. наша система симметрична, разрежем её в точках равного потенциала (3; 4; 5). Схема имеет вид: (второй её кусок будет иметь сопротивление аналогичное сопротивлению данной схемы). Имеем, R 1 2 = 26 7 R R общее = 13 7 R R AB = R R CD = 3R R P K = R

6 Ответ: R общее = 13 7 R Задача 2. Из однородной проволоки изготовлен тетраэдр. Электрическое сопротивление каждой стороны тетраэдра равно R. Каким будет общее сопротивление тетраэдра, если его включить в цепь двумя соседними вершинами? Запишем эквивалентную схему: Найдём R AB, т.е. рассмотрим теперь схему: Воспользуемся правилами Кирхгофа и законом Ома: 1) R экв I = RI 2 + RI 5 ; 2) I = I 1 + I 2 = I 4 + I 5 = I 4 + I 2 + I 3 ; 3) I 2 = I 3 + T 4, I 5 = I 2 + I 3. 5

7 Решаем эти уравнения и находим, что R экв = R AB = R, т.e. вся схема эквивалентна теперь следующей: откуда R общее = R 2 Ответ: R общее = R 2 Задача 3. Определите силу тока, идущего через амперметр, в цепи, если ЭДС источника ε. Внутренними сопротивлениями источника и амперметра пренебречь, известно, что: 1-й случай: R 1 = R 2 = r; R 2 = R 3 = 2r; 2-й случай: R 1 = R 2 = R 3 = r; R 4 = 2r. 1-й случай: Запишем систему уравнений для токов, воспользовавшись правилами Кирхгофа. ϕ 3 ϕ 1 + ϕ 4 ϕ 3 (ϕ 4 ϕ 1 ) = 0 (1) 6

8 0 = I 1 R 1 I 2 R 2 I 1 R 1 = R 2 I 2 ϕ 5 ϕ 4 + ϕ 4 ϕ 3 (ϕ 5 ϕ 3 ) = 0 (2) 0 = I 5 R 4 I 3 R 3 2rI 3 = ri 5 I 5 = 2I 3 I 1 = I 3 + I 4 I 5 = I 4 + I 2 I 1 + I 2 = I 3 + I 5 (3) I 5 = 2I 3 I 1 = 2I 2 2I 2 + I 2 = I 3 + 2I 3 I 2 = I 3 = I 1, откуда также находим, что 2 I 1 = I I 4 I 4 = I 1 2. Имеем: I 1 = 2 3 I, I 2 = I 3 = I 3 ; I 4 = I 3 ; I 5 = 2 3 I 1. Т.к. мы пренебрегли внутренним сопротивлением амперметра, то ϕ 3 = ϕ 4, тогда наша схема эквивалентна: R об1 5 = 2 r 2 = 4 3 r, откуда ε = 4 3 ri I = 3 ε 4 r I 1 + I 2 = 3 ε 4 r I 1 = ε 2r I 4 = ε 4r. Ответ: I 4 = ε 4r. 2-й случай: R 1 = R 2 = R 3 = r, r 4 = 2r, в этом случае ток I 4 поменяет своё направление. Из тех же систем имеем: I 1 = I 3 +I 4. I 4 = I 1 3, эквивалентная схема при этом имеет вид: R об = 7 6 r ε = I 7 6 I 1 = 3 ε 7 r I 4 = ε 7r. 7

9 Ответ: I 4 = ε 7r. Задача 4. Рассчитайте сопротивление электрической цепи, состоящей из большого количества одинаковых звеньев. Идея заключается в следующем: поскольку цепь состоит из очень большого количества одинаковых звеньев, то убрав одно, сопротивление всей цепи не изменится, тогда пусть x сопротивление всей цепи. На Рис. 1 изображена эквивалентная схема. Рис. 1 x = 2r + xr x + r x2 2rx 2r 2 = 0, D/4 = 2 3 x 1,2 = r(1 ± 3) x = r(1 ± 3) 2, 73 r. Ответ: x = r(1 ± 3) 2, 73 r. Задача 5. Величина каждого сопротивления R = 1 Ом. Найти сопротивление цепи между 1 и 2. 8

10 Заметим, что потенциалы точек a), c) и b), d) равны, следовательно их можно соединить. Имеем: R 234 = R 3 ; R 2346 = 4 3 R; R = 4 R, откуда 7 R 1 2 = R = 11 R 1, 57 7 Ом. Ответ: R 1 2 1, 57 Ом. Задача 6. Из проволоки сопротивлением R = 10 Ом сделали кольцо. Где следует присоединить к кольцу провода, подводящие ток, чтобы сопротивление между точками присоединения равнялось r = 1 Ом? Пусть l длина всего кольца, x длина одного из участков кольца между точками присоединения проводов, тогда (l x) длина другого участка кольца, следовательно сопротивление отдельных участков кольца R 1 = x l R и R 2 = l x R. Т.к. участки соединены параллельно, l то эквивалентное сопротивление между точками проводов будет равно x R экв = R 1 R 2 = l R l x R l = r. Решая полученное квадратное уравнение, найдём отношение x для двух участков, на которые нужно раз- R 1 + R 2 r l 9

Читайте также:  Блок питания для цепей постоянного тока

11 делить кольцо: x l = 1 2 ( 1 ± 1 4r ) = 1 ( 1 ± R 2 ) 3 0, 112; 0, Ответ: нужно разделить в отношении x l = 0, 112 или 0, 887. Задача 7. Определить сопротивление R AB бесконечных цепей, состоящих из периодически повторяющихся элементов. а) б) в) а) Цепь, которая начинается со второго из периодически повторяющихся элементов, подобна исходной, обозначим её сопротивление через r, тогда исходная цепь эквивалентна следующей: R AB = R(R + 2r) 2R + 3r = r r = R 3. 10

12 Ответ: r = R 3. б) В этом случае схема эквивалентна следующей: или (R + x) R Имеем: 2 = x 3 2×2 + 2Rx R2 = 0, D = 12R2, x = 2 R + 3 ( 3 1)R. 2 Ответ: x = ( 3 1)R. 2 в) x = R(1 + 3). 2 Ответ: x = R(1 + 3). 2 Задача 8. Найти сопротивление цепи, образованной двенадцатью одинаковыми проводниками сопротивлением R каждый. 11

13 Эту цепь удобно представить в виде: Точки цепи, которые находятся на оси симметрии новой схемы, проходящей между A и B, имеют одинаковые потенциалы и их можно объединить, при этом два сопротивления, пересекаемые осью симметрии, следует представить как сумму двух сопротивлений, каждое величиной R 2. В итоге найдём, что R AB = 4 5 R. Ответ: R AB = 4 5 R. Наличие конденсатора в электрической цепи. Задача 9. Рассчитайте ёмкость батареи конденсаторов цепи, состоящей из бесконечного числа одинаковых звеньев. Т.к. число звеньев бесконечно, то в приближённом значении, схема эквивалентна следующей: 12

14 откуда имеем: 1 x = 1 3C + 1 C + 1 2C + x ( ) x 2 + 4xC 3C 2 = 0 x = C 0, 58 C. 2 Ответ: 0, 58 C Задача 10. Из проводников изготовлен куб. В середине каждой стороны куба расположен конденсатор. Какой будет ёмкость такого соединения конденсаторов, если куб включить в цепь вершинами, наиболее удалёнными друг от друга? Заметим, что потенциалы точек 1, 2, 3 равны и 5, 4, 6. Соединим их и получим эквивалентную схему: откуда находим C об : 1 = 1 C об 3C + 1 6C + 1 3C C = 6 5 C. 13

15 Ответ: C об = 6 5 C Задача 11. Рассмотрим предыдущую задачу в случае, когда куб подключён в цепь вершинами 0 и 3. Видим, что точки 4, 6 и 2, 1 равного потенциала, соединим их, получим следующую схему: C об = 5 7 C + C = 12 7 C. Ответ: C об = 12 7 C Задача 12. Определите заряд на конденсаторе, подключенном между точками 2 и 4. Ёмкости всех конденсаторов одинаковы и равны C Разобьём конденсаторы между точками 2 и 4 на два с ёмкостями 2C, и разобьём источник на два с ε 2. Имеем: 14

16 Заметим, что потенциалы точек A, B, 3 равны, поэтому соединим их проводником. Тогда схема примет вид: (правую часть можно отбросить для простоты). Согласно закону сохранения заряда, можно записать, что заряд на конденсаторе, подключенном между точками 1 и 2, равен общему заряду на конденсаторах, подключенных параллельно, между точками 2 и 3, т.е. CU 12 = 3CU 23. С учётом наличия источника тока можно записать, что U 12 + U 23 = ε 2, получаем: U 23 = ε, следовательно, с учётом симметрии схемы 8 U 24 = 1 4 ε Q 24 = Cε 4. Ответ: Q 24 = Qε 4 Дополнительно. 1) Скажем несколько слов о катушки индуктивности в электрической цепи с постоянным током. Основным параметром катушки является её индуктивность, численно равная отношению создаваемого током потока магнитного поля, пронизывающего катушку к силе протекающего тока. При последовательном соединении катушек общая индуктивность равна сумме индуктивностей всех соединённых катушек: L = N i=1 L i 15

17 При параллельном соединении общая индуктивность равна: L = 1 N i=1 1 L i 2) Соединение источников тока: для источников тока с внутренними сопротивлениями r 1. выполняются те же правила, что и для обычных резисторов: a) последовательное соединение: ε = ε i, r = r i ; I ист = ε r б) параллельное соединение: r = 1 1 r i ; I ист = ε 1 r 1 + ε 2 r ε n r n. Параллельно соединять элементы разумно при условии, что они имеют одинаковые ЭДС, в противном случае внутри батареи будут циркулировать тока, приводящие к расходу энергии батареи. Задача 13. Батарея состоит из 100 источников тока с внутренним сопротивлением 0,1 Ом каждый. Источники одинаковы с ε = 10 В. Источники соединили по 5 штук последовательно, и эти группы соединили 16

18 параллельно. Какая максимальная полезная мощность может выделиться в нагрузочном сопротивлении этой батареи? При последовательном соединении ε 1 = 5ε и r 1 = 5r, при параллельном ε 2 = ε 1 = 5ε (т.е. ε 2 = ε 1, иначе будут циркулировать тока через батарею источников), r 2 = r 1 20 = r, тогда наша исходная батарея эквивалентна схеме с источником напряжения ε и сопротивлением r Мощность, которая выделится на R, равна: P 0 = P i P источника = 5εI I 2 r 4. Найдём максимальное значение: 0 = 5ε r 2 I 0 P max = 25ε 2 r = 25 квт. Ответ: P max = 25ε2 r = 25 квт. Задачи для самостоятельного решения. 1. Определите сопротивление цепи, образованной 12 проволочками, составляющими рёбра куба и соединёнными между собой в вершинах куба, при подключении к точкам A и B. Сопротивление каждой проволочки R. Рассмотрите три варианта расположения точек A и B. 17

19 а) б) в) 2. Представьте себе усечённый икосаэдр. Предположим, что в каждом ребре находится резистор с сопротивлением R/конденсатор с ёмкостью C. Найти сопротивление/ёмкость этой системы. 3. Постойте график зависимости общего сопротивления цепей, показанных на рисунках, от сопротивления реостата r. а) б) в) 4. Найдите заряд на конденсаторе C 2, внутренним сопротивлением источника ЭДС пренебречь. Ёмкость конденсаторов равны: C 1 = 1 мкф, C 2 = 2 мкф, C 3 = 3 мкф, R 1 = 10 Ом, R 2 = 10 Ом, ε = 6 В. 5. Шесть лампочек для карманного фонарика включены в сеть с помощью реостата, обеспечивающего нормальный накал каждой лампочки. Как изменится создаваемая этими лампочками освещённость, если одна из них перегорит? 18

20 Литература [1] Учебное издание: Варламов С. Д., Зинковский В. И., Семёнов М. В., Старокуров Ю. В., Шведов О. Ю., Якута А. А. Задачи Московских городских олимпиад по физике [2] Методическое пособие для поступающих в вузы/ МФТИ, 2008 год. [3] В. Горшковский, Польские физические олимпиады, 1982 год. [4] И.Ш. Слободецкий, В.А. Орлов, Всесоюзные олимпиады по физике, 1982 год. [5] А.Н. Долгов, С.Е.Муравьёв, В.П.Протасов,Б.В.Соболев, задачи по физике, часть 3, МИФИ, [6] Т.В.Котырло, Г.Г.Спирин, В.В.Евстигнеев, электричество и магнетизм, практический курс физики,

Источник

Сложные цепи. Метод эквивалентного преобразования схемы

date image2015-03-20
views image35126

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Метод эквивалентного преобразования схемы используют при расчете простых электрических цепей. В отдельных случаях имеется возможность применить его и для расчета сложных электрических цепей.

Суть метода эквивалентного преобразования схемы заключается в упрощении схемы, когда два (или несколько) однотипных элемента электрической цепи замещаются одним эквивалентным элементом того же типа. Под термином «эквивалентный элемент» подразумевается такой элемент, замещение на который не меняет значений токов и напряжений в остальной части электрической цепи.

Схематичный пример использования метода эквивалентного преобразования схемы для расчета сложной электрической цепи изображен ниже:

Например, после замены источника тока источником напряжения (рис. 1.3) в обобщенной ветви последняя будет выглядеть так:

=
Рис.3.1 Рис.3.2

где . Обратите внимание, направление эквивалентного источника ЭДС совпадает с напряжением источника тока . Ниже будет показано, что данный участок цепи можно упростить, как показано на рис. (3.2), где .

3.2. Последовательное соединение резисторов при эквивалентной замене суммируется:

Читайте также:  Вращающаяся часть машины постоянного тока это

где – число последовательно соединенных резисторов. При данном соединении всегда больше большего из сопротивлений. В частном случае, если каждое из сопротивлений равно , то .

Пример. Определить эквивалентное сопротивление цепи на зажимах .

=
Рис 3.4 Рис 3.5

Здесь , т.к. разрыв цепи между точками и имеет бесконечно большое сопротивление.

3.3. При параллельном соединении резистора суммируется их проводимость , где — число параллельно соединенных резисторов, и . При параллельном соединении всегда меньше меньшего из сопротивлений. В частном случае, если каждое из сопротивлений равно , то . В случае двух параллельно соединенных сопротивлений и :

=
Рис 3.7 Рис 3.8
,
или .

Пример. Определить на зажимах .

Здесь , т.к. сопротивление закоротки равно нулю.

РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Тип элемента Последовательное соединение m-элементов Параллельное соединение m-элементов
Резисторы
Конденсаторы
Катушки индуктивности

3.4. При смешанном соединении резисторов эквивалентное сопротивление цепи определяет последовательным упрощением схемы и «сворачиванием» ее к одному сопротивлению, равному . При расчете токов в отдельных ветвях ЭЦ «разворачивают» в обратной последовательности.

Пример. Определить относительно зажимов .

= =
Рис 3.11 Рис 3.12 Рис 3.12

В последнем примере сопротивление закорочено, а сопротивления , , имеют только одну общую точку со схемой и поэтому они не учитываются. Сопротивления и включены последовательно и эквивалентное им сопротивление , а и включены параллельно, поэтому:

3.5. Преобразование пассивного треугольника сопротивлений в эквивалентную трехлучевую звезду. Схемы будут эквивалентны, если сопротивления между узлами и , и , и в обеих схемах «звезды» и «треугольника» будут одинаковыми:

=
Рис. 3.20 Рис. 3.21

Решая совместно эти уравнения, получим:

Обратное преобразование трехлучевой звезды в треугольник:

Пример. Определить эквивалентное сопротивление ЭЦ относительно зажимов .

=
Рис 3.22 Рис 3.23
=
Рис 3.24 Рис 3.25

Сначала преобразуем треугольник сопротивлений , , в эквивалентную трехлучевую звезду , , ; затем преобразуем последовательно соединенные резисторы , и , , эквивалентные сопротивления которых соединены между собой параллельно и могут быть заменены одним :

Резистор включен параллельно резисторам и , соединенным между собой последовательно. Поэтому эквивалентное сопротивление всей ЭЦ относительно зажимов :

3.6. Преобразование ветвей, содержащих последовательные и параллельные соединения источников ЭДС и тока.

=
Рис 3.26 Рис 3.27
=
Рис 3.28 Рис 3.29
Если . Два источника тока могут быть соединены последовательно, если они равны и одинаково направлены в противном случае не будет выполняться ЗТК в месте соединения двух источников.

3.7. Часть схемы, состоящей из параллельных ветвей ЭДС и проводимостями , эквивалентно либо одной ветви с проводимостью и ЭДС :

либо двум параллельным ветвям с той же проводимостью и источником тока :

ПРАВИЛО ЗНАКОВ. Слагаемые , берутся с плюсом при совпадении направления ЭДС и , при несовпадении – с минусом.

Пример. Преобразовать схему с параллельными ветвями, содержащими источники ЭДС, в эквивалентную.

= =
Рис 3.33 Рис 3.34 Рис 3.35

Пример.В заданной ЭЦ (рис.2.1) найти токи, используя эквивалентные преобразования.

Для начала преобразуем источник тока в источник напряжения: .

Заменим сопротивления и на эквивалентные и , на .

Элементы , , соединены в трехлучевую звезду, которую можно преобразовать в треугольник с сопротивлениями: , , .

После преобразований схема приобретает вид:

Þ

Последовательно упрощаем схему,

Схему можно заменить на , где

Заменяя и на эквивалентное :

Тогда ток, протекающий через элементы , будет равен:

Токи, протекающие через , равны: ( ):

Посредством найдем токи на резисторах и ( и ):

Остальные токи можно найти посредством ЗТК для изначальной схемы:

Источник



Лекция № 7 — Эквивалентные преобразования фрагментов электрических цепей

Фрагменты эл. цепи называются эквивалентными , если при замене одного из них другим состояние остальной части цепи не изменяется.

Замена фрагментов цепи эквивалентными применяется в основном для упрощения расчетов и схем эл. цепей.

Рассмотрим часто встречающиеся эквивалентные фрагменты эл цепей.

Доказательство эквивалентности основано на законах Кирхгофа и уравнениях элементов эл. цепей.

Эквивалентное преобразование треугольника и звезды сопротивлений

Пусть требуется рассчитать цепь, показанную на рис. 1, а.

Рис. 1. Преобразования электрической цепи
Расчет можно осуществить одним из известных методов. Но так как в цепи имеется только один источник питания, наиболее простым было бы использование закона Ома. Однако попытка определения общего сопротивления цепи оказывается безрезультатной, так как здесь мы не находим ни последовательно, ни параллельно соединенных сопротивлений. Решить задачу помогает преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.
Треугольник и звезда сопротивлений имеют вид, показанный на рис. 1.13.

Рис. 1.13. Треугольник и звезда сопротивлений

Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. В этом случае говорят, что схемы эквивалентны.
Можно показать, что условием эквивалентности являются следующие уравнения:
а) при преобразовании треугольника в звезду:
; ;
;
б) при преобразовании звезды в треугольник:
; ;
.
Структура приведенных формул проста и легко запоминается.
Например, сопротивление звезды R1, присоединенное к узлу 1, получается перемножением сопротивлений R12 и R31 треугольника, присоединенных к этому же узлу, и делением полученного произведения на сумму всех сопротивлений треугольника.
При обратном преобразовании сопротивление треугольника R12, лежащее между узлами 1 и 2, равно сумме сопротивлений звезды R1 и R2, присоединенных к этим узлам, плюс их произведение, деленное на сопротивление третьего луча звезды R3.

Пример 1.3. Рассчитать токи в цепи, изображенной на рис. 1.12, а, при следующих числовых значениях ее параметров: Е = 660 В,
R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 5 Ом, R4 = 20 Ом, R5 = 50 Ом.

а) Р е ш е н и е п р е о б р а з о в а н и е м т р е у г о л ь н и к а в з в е з д у.
После преобразования треугольника, образованного сопротивлениями R1, R2 и R5, в звезду, получаем схему, показанную на рис. 1.12, б. Обращаем внимание на то, что токи в непреобразованной части схемы (I, I3 и I4) остались теми же.
Сопротивления звезды определяем по сформулированному выше правилу:
6 Ом; = 10 Ом;
= 15 Ом.
Теперь общее сопротивление цепи легко находится:
=16,5 Ом.
Ток, протекающий по источнику (одинаковый в заданной и преобразованной схемах), равен
40 А.
Токи в параллельных ветвях:
28 A; 12 A.
Возвращаемся к исходной схеме (рис. 1.12, а):
26 A; 14 A.
Ток в пятой ветви находим из первого закона Кирхгофа: I5 = I1–I3 = 26–28 = –2 A. Знак минус говорит о том, что действительное направление тока I5противоположно указанному на схеме.

б) Р е ш е н и е п р е о б р а з о в а н и е м з в е з д ы в т р е у г о л ь н и к.
Преобразуем звезду, образуемую в схеме на рис. 1.12, асопротивлениями R1, R R3,в эквивалентный треугольник (рис. 1.12, в).
Определяем сопротивления треугольника:

Теперь рассчитываем преобразованную цепь.
Сначала находим эквивалентные сопротивления участков ac и cd:
;
Затем определяем общее сопротивление и токи:

Возвращаемся к исходной схеме:

Рекомендуем подставить в приведенные формулы числовые значения параметров цепи и сравнить результаты вычислений с полученными в примере 1.3а.

Источник