Формула главного напряжения сопромат

Тензор напряжений обладает свойством симметрии. Для доказательства этого свойства рассмотрим приведенный в лекции 5 элементарный параллелепипед с действующими на его площадках компонентами тензора напряжений. Так как тело находится в равновесии, следовательно, находится в равновесии любая его часть, в том числе и элементарный объем. Запишем одно из шести уравнений равновесия этого объема, а именно сумму моментов всех сил относительно оси Ох. Все силы, кроме двух, либо не создают момента относительно ocи Ох, либо взаимно уничтожаются. Отличные от нуля моменты создают компоненты (верхняя грань) и (права грань):

После сокращения на элемент объема dV=dxdydz получим

Аналогично, приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осей Оу и Ог, получим еще два соотношения

Эти условия симметрии и тензора напряжений называются также условиями парности касательных напряжений: касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам в направлениях, ортогональных ребру, образованному пересечением этих площадок, равны по величине. С учетом этих свойств из девяти компонент тензора напряжений независимыми оказываются шесть компонент.

Покажем теперь, что компоненты тензора напряжений определенные для трех взаимно перпендикулярных площадок, полностью характеризуют напряженное состояние в точке, т. е. позволяют вычислить компоненты вектора напряжений на площадках, произвольно ориентированных относительно выбранной системы координат. Для этого рассмотрим элементарный объем, образованный сечением параллелепипеда, изображенного на рис. 1, плоскостью, пересекающей координатные оси и имеющей единичный вектор нормали

Рис.1. Элементарный четырехгранник с компонентами напряженного состояния.

п с компонентами n_x, n_y, n_z. На гранях полученного таким образом бесконечно малого тетраэдра действуют напряжения, показанные на рис. 1. При этом вектор напряжений p_n на наклонной площадке разложен па составляющие р_x, р_y, р_z вдоль координатных осей. Площади граней, ортогональных координатным осям и вектору нормали, обозначим соответственно dF_x, dF_y, dF_z, dF. Эти площади связаны между собой соотношениями

вытекающими из того, что грани, ортогональные координатным осям, есть проекции наклонной площадки на соответствующую координатную плоскость.

Проектируя силы, действующие на гранях элементарного тетраэдра, на координатные оси, получим уравнения равновесия для рассматриваемого объема. Например, проекции всех поверхностных сил на ось Ох дают

С учетом соотношений (1) после сокращения на dF получим уравнение, связывающее проекцию р_x вектора напряжений с соответствующими компонентами тензора напряжений. Объединяя это уравнение с двумя аналогичными уравнениями, полученными проектированием сил на оси Оy и Оz, приходим к следующим соотношениям

носящим название формул Коши. Эти формулы определяют вектор напряжений на произвольно выбранной площадке с вектором п через компоненты тензора напряжений.

Формулы (2) позволяют вычислить через компоненты тензора напряжений

Источник

Формулы по сопромату

Приветствую, Вас на проекте — «СопроМат». Эта страничка будет навигатором по самым ходовым формулам сопромата, которые используются при расчетах на прочность, жесткость или устойчивость. Все формулы по сопромату классифицированы по виду деформации: растяжение или сжатие, кручение и изгиб.

Навигация по формулам:

Формулы по теме поперечный изгиб

В рамках этого раздела опубликованы основные формулы по теме «Поперечный изгиб». Также его часто называют простым или прямым изгибом.

Формулы для определения напряжений при поперечном изгибе

Формула для определения нормальных напряжений в точках поперечного сечения:

где M_x — изгибающий момент в поперечном сечении, I_x — момент инерции относительно центральной оси, y — расстояние от центральной оси до точки в которой вычисляется напряжение.

Формула для определения максимального (минимального) нормального напряжения в наиболее опасных точках поперечного сечения:

где M_x — изгибающий момент в поперечном сечении, W_x — момент сопротивления относительно центральной оси.

Формула для определения момента сопротивления поперечного сечения:

где I_x — момент инерции относительно центральной оси, y _{m ax} — расстояние до наиболее удаленных точек поперечного сечения.

Формула для определения касательных напряжений в точках поперечного сечения:

где Q _y — поперечная сила в рассматриваемом сечении, S отс — статический момент относительно центральной оси отсеченной части поперечного сечения, I_x — момент инерции относительно центральной оси, b — ширина поперечного сечения на высоте h, где рассчитываются касательные напряжения.

Формула для определения главных напряжений (максимальное и минимальное) при поперечном изгибе:

Источник

ISopromat.ru

Главными называют нормальные напряжения на площадках выделенного элемента с нулевыми касательными напряжениями.

Для любого случая нагружения бруса всегда можно найти такое положение мысленно выделенного в нем элемента, на гранях которого касательные напряжения будут отсутствовать (т.е. τ=0)

Площадки (грани элемента) на которых касательные напряжения равны нулю называются главными.

Таким образом, главные – это нормальные напряжения на главных площадках.

Обозначение главных напряжений

Главные напряжения принято обозначать буквой σ с индексом 1, 2 и 3.

При этом наибольшее, с учетом знака, напряжение обозначается как σ₁ а наименьшее соответственно σ₃.

Другими словами, главное напряжение, расположенное на числовой оси правее других – σ₁, а то, которое левее всех σ₃.

Например, для случая объемного напряженного состояния:

При плоском напряженном состоянии:

Когда оба напряжения растягивающие
По одной грани напряжение растягивающее, по другой сжимающее
Оба напряжения сжимающие.

При линейном напряженном состоянии единственное напряжение всегда обозначается как σ₁ или просто σ.

Источник