Меню

Формула нормального напряжения при сдвиге

Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом сдвиге

date image2014-02-24
views image4061

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Рис. 6.2

Рис. 6.1

Напряжения и деформации при чистом сдвиге

Чистым сдвигом называется такой частный случай плоского напряжённого состояния, при котором на площадках бесконечно малого элемента действуют только касательные напряжения (рис.6.1).

Чистый сдвиг имеет место при работе ряда элементов конструкций. Так, мы встречались с этим напряжённым состоянием, когда рассчитывали на прочность балки при поперечном изгибе, – на нейтральной линии σ = 0 и τ = τmax (см. п.5.8). Кроме того, в условиях чистого сдвига находится материал при резке ножницами (рис.6.2,а), при кручении круглого сплошного или трубчатого стержня (рис.6,2б), в заклёпочных (рис.6.2,в), болтовых и сварных соединениях.

Определим напряжения по наклонным площадкам (рис.6.3). По формулам (3.9) и (3.10) при плоском напряжённом состоянии

.

В нашем случае σx = σy = 0, τxy = τ поэтому получим

При α = ± 45 0 Þ τα = 0 и σα = m τ, т.е. главные напряжения при чистом сдвиге (рис.6.3)

. (6.3)

Итак, главные напряжения – сжимающее и растягивающее – равны между собой и численно равны экстремальным касательным напряжениям.

Тот же самый результат можно получить, используя формулу (3.18) для определения главных напряжений при плоском напряжённом состоянии

Рассмотрим деформацию элемента abcd (рис.6.4). Закрепляем одну из граней. Квадрат abcd превращается в ромб a¢b¢cd, поскольку по граням элемента нет нормальных напряжений. В то же время диагональ ac, совпадающая с направлением σ1, удлиняется, а диагональ bd – укорачивается.

Рис.6.4 ∆S – абсолютный сдвиг (смещение грани ab); γ – угол сдвига или относительный сдвиг.

. (6.4)

ac = ℓ – длина диагонали, , ∆ℓ – абсолютное удлинение диагонали,

∆ℓ = a′a ∙ cos 45 0 = ∆S ∙ cos 45 0 = γh ∙ cos 45 0 . Относительное удлинение диагонали есть не что иное, как главное удлинение ε1 при плоском напряжённом состоянии, поскольку главное напряжение σ1 действует в направлении диагонали ac.

.

Итак, при чистом сдвиге

. (6.5)

Теперь выразим ε1 через σ, воспользовавшись обобщённым законом Гука для плоского напряжённого состояния (3.26)

. (6.6)

Приравняем правые части формул (6.5) и (6.6)

, .

Множитель перед γ является коэффициентом пропорциональности между касательным напряжением и соответствием ему углом сдвига, и называется модулем сдвига или модулем касательной упругости:

. (6.7)

Для стали G = 8 ∙10 3 кН/см 2 или G = 8 ∙ 10 4 МПа.

Модуль сдвига – это третья упругая постоянная изотропного упругого материала, выражающаяся через первые две (модуль нормальной упругости Е и коэффициент Пуассона ν) формулой (6.7).

Таким образом, закон Гука при сдвиге имеет вид

В аналогичной форме записывается этот фундаментальный закон и при линейном напряжённом состоянии – σ = Eε (см. формулу (2.9)), и при объёмном напряжённом состоянии: σcp = Kθ (см. формулу (3.36)).

Для проверки прочности детали, испытывающей деформацию чистого сдвига, необходимо использовать теории прочности (см.п.3.7). Касательные напряжения на гранях элемента равны τ, допускаемое напряжение при растяжении – [σ]. Как указывалось выше, главные напряжения при чистом сдвиге σ1 = τ, σ2 = 0, σ3 = – τ.

Составим условие прочности по четырём классическим теориям прочности:

а) по первой теории – теории наибольших нормальных напряжений в соответствии с формулой (3.41)

Подставляем значение σ1 и получаем:

Правая часть формулы (6.9) представляет собой допускаемое напряжение при чистом сдвиге; то есть по первой теории прочности

б) по второй теории – наибольших линейных деформаций в соответствии с формулой (3.44)

или τ – ν (0 – τ) ≤ [σ],

. (6.11)

Для металлов ν = 0,25 – 0,42. Следовательно, по второй теории прочности

[τ] II = (0,7 – 0,8)[σ]; (6.12)

в) по третьей теории – теории наибольших касательных напряжений в соответствии с формулой (3.48)

. (6.13)

т.е. допускаемое напряжение при сдвиге по третьей теории прочности

г) по четвёртой теории – энергетической в соответствии с формулой (3.50)

,

или ,

. (6.15)

Следовательно, допускаемое напряжение при сдвиге по четвёртой теории прочности

Отметим, что чистый сдвиг – это тот случай плоского напряжённого состояния, который легко осуществить в лабораторном эксперименте – достаточно испытать на кручение тонкостенную трубу. Опыты показали, что для пластичной и обычной конструкционной стали предел текучести при сдвиге составляет примерно 60% от предела текучести при растяжении

Таким образом, для пластичных материалов наиболее подходят формулы (6.16) и (6.14), полученные на основании четвёртой и третьей теорий прочности.

6.3. Расчёт заклёпочных и сварных соединений

Полученные выше величины допускаемых напряжений применяют при расчётах на прочность деталей, испытывающих деформацию среза (заклёпок, болтов, шпонок, некоторых сварных соединений).

Читайте также:  Напряжение короткого замыкания конденсатора

Рассмотрим заклёпочные соединения. Если в XIX веке единственным способом изготовления металлоконструкций (мостов, ферм и перекрытий зданий, котлов, трубопроводов, корпусов судов и прочих) был способ соединения деталей с помощью заклёпок, то в настоящее время заклёпки повсеместно вытеснены сваркой. Сварные соединения экономичнее и технологичнее заклёпочных. В то же время заклёпочные обладают одним весьма существенным достоинством – они надёжнее сварных. Заклёпочные соединения никогда не разрушаются внезапно, поэтому периодический контроль позволяет обнаружить плохие заклёпки и вовремя заменить их. Существует целая отрасль современной техники, в которой применяются только заклёпочные соединения – это авиация. В железнодорожных мостах, испытывающих большие динамические нагрузки, сварка не применяется – детали соединяются на заклёпках или на болтах.

При расчёте заклёпочного соединения (рис.6.5,а) считают, что усилия между заклёпками распределены равномерно. Условие прочности на срез:

, (6.17)

где i – число заклёпок, в нашем примере i=8.

Нагрузка, приложенная к каждой заклёпке, помимо среза, вызывает смятие контактирующих поверхностей. Смятие – это пластическая деформация по поверхности контакта. Расчёт на смятие так же, как и расчёт на срез, проводят приближённо, поскольку закон распределения давления по поверхности контакта точно не известен. Если принять криволинейный закон распределения (рис.6.5,б), то максимальное напряжение смятия на цилиндрической поверхности будет

,

где Fсм – площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость:

Условие прочности на смятие имеет следующий вид:

. (6.18)

Допускаемое напряжение на смятие устанавливают опытным путём; обычно его можно принять равным [σсм] = (2 – 2,5)[σ].

Учитывая, что заклёпки ослабляют листы, последние проверяют на растяжение в наиболее ослабленном сечении (рис.6.5,в):

, (6.19)

где m – число отверстий в ряду заклёпок; в нашем примере m = 2.

В соединении, показанном на рис. 6.5, силы Р стремятся сдвинуть листы относительно друг друга. Эти силы стремятся не только срезать заклёпки, но и изогнуть их. Однако изгибающий момент мал, и вызванными ими нормальными напряжениями можно пренебречь.

Болты, работающие на срез, рассчитываются аналогично заклёпкам.

Сварные соединения принято рассчитывать на срез или на растяжение. Наиболее распространены соединения встык и с помощью угловых, или валиковых, швов. Соединения встык применяются, когда листы находятся в одной плоскости. При толщине листов δ ≤ 8 мм кромки их не обрабатываются (рис.6.6,а); при δ = 8 – 20 мм кромки скашивают и заваривают листы с одной стороны (V-образный шов, рис.6.6,б); при δ ≥ 20 мм кромки скашивают и заваривают листы с двух сторон (Х-образный шов, рис.6.6,в). Расчётную толщину шва принимают равной толщине листа δ, наплывы не учитываются. Рассчитываются соединения встык на растяжение или сжатие по формуле

, (6.20)

где ℓ = b – 10 мм – расчётная длина сварного шва (10 мм – длина непровара по краям шва);

b – ширина листа;

Э] – допускаемое напряжение для сварного шва.

Соединения с помощью угловых швов делают, когда листы параллельны или перпендикулярны. Сюда относятся соединения внахлёстку (рис.6.7,а), с накладками (рис.6.7,б) и в тавр (рис.6.7,в). Если направление углового шва перпендикулярно к действующему усилию, то шов называется лобовым (рис.6.7,а); если параллельно- фланговым (рис.6.7,б).

Рассмотрим расчёт фланговых и лобовых (торцевых) швов, то есть таких швов, которые должны сопротивляться действию касательных напряжений. Ясно, что фланговые швы работают на срез в биссекторных сечениях (рис.6.8). Считается, что касательные напряжения равномерно распределены по площади сечения АА1В1В. Площадь среза каждого шва

Фланговые швы всегда ставят парами. Условие прочности на срез принимает вид (с учётом возможного непровара по краям шва)

, (6.21)

где m – число швов;

Э] – допускаемое напряжение на срез материала электрода.

Для соединения с двумя накладками, показанного на рис.6.7,б, m = 4 и δ = δ1. Для соединения внахлёст, показанного на рис.6.8, m = 2.

При расчёте лобовых швов пренебрегают составляющей нормальных напряжений на том основании, что сопротивление стали срезу ниже, чем растяжению. Лобовые швы условно рассчитывают на срез так же, как и фланговые, предполагая, что касательные напряжения равномерно распределены по площади биссекторного сечения. Условие прочности (см. схему на рис.6.7,а):

. (6.22)

Отметим, что вследствие незначительной протяжённости материала шва в направлении действия силы лобовые швы являются жёсткими, поэтому разрушаются при малых остаточных деформациях и плохо сопротивляются действию циклических и ударных нагрузок. Фланговые швы – вязкие, разрушаются после значительных остаточных деформаций, поэтому они предпочтительнее лобовых.

Источник



Техническая механика

Сопротивление материалов

Сдвиг (срез)

Напряжения при сдвиге

Сдвигом называют такой вид деформации, при которой в любом поперечном сечении бруса возникает только поперечная сила.
Деформацию сдвига можно наблюдать, например, при резке ножницами металлических полос или прутков, при пробивании отверстия в заготовках на штампе (рис. 1).

Читайте также:  Определить мгновенное значение входного напряжения если известны угловая частота

Рассмотрим брус площадью поперечного сечения А, перпендикулярно оси которого приложены две равные и противоположно направленные силы F; линии действия этих сил параллельны и находятся на относительно небольшом расстоянии друг от друга.
Для определения поперечной силы Q применим метод сечений (рис. 2).
Во всех точках поперечного сечения действуют распределенные силы, равнодействующую которых определим из условия равновесия оставленной части бруса:

Σ Y = 0 » F – Q = 0,

откуда поперечная сила Q может быть определена, как:

Поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении бруса при сдвиге.
Очевидно, что при сдвиге в поперечном сечении возникают только касательные напряжения τ.

Предполагаем, что эти касательные напряжения равномерно распределены по сечению, и, следовательно, могут быть вычислены по формуле:

На основании полученной формулы можно сделать вывод, что форма сечения на величину напряжения при деформации сдвига не влияет.

Расчеты на прочность при сдвиге

Условие прочности детали конструкции заключается в том, что наибольшее напряжение, возникающее в ней (рабочее напряжение), не должно превышать допускаемое.
Расчетная формула при сдвиге:

читается следующим образом: касательное напряжение при сдвиге не должно превышать допускаемое. (при обозначении предельно допустимых напряжений применяют квадратные скобки: [τ] или [σ] )
По этой расчетной формуле проводят проектный и проверочный расчеты и определяют допускаемую нагрузку.

Деформация сдвига, доведенная до разрушения материала, называется срезом (применительно к металлам) или скалыванием (применительно к неметаллам).
Допускаемое напряжение на срез выбирают для пластичных материалов в зависимости от предела текучести.
В машиностроении для штифтов, болтов, шпонок и других деталей, работающих на срез принимают [τ ср] = (0,25….0,35) σ т, где σ т – предел текучести материала изделия.

При расчетах на срез в случае, если соединение осуществляется несколькими одинаковыми деталями (болтами, заклепками и т. д.), полагают, что все они нагружены одинаково. Расчеты соединений на срез обычно сопровождают проверкой прочности этих соединений на смятие.

Деформация Гука при сдвиге

Для установления параметров, характеризующих деформацию при сдвиге, рассмотрим элемент бруса в виде параллелепипеда abcd, на грани которого действуют только касательные напряжения τ, а противоположную грань параллелепипеда представим жестко защемленной (рис. 3).

Деформация сдвига в указанном элементе заключается в перекашивании прямых углов параллелепипеда за счет поступательного перемещения грани bc по отношению к сечению, принятому за неподвижное.
Деформация сдвига характеризуется углом γ (гамма) и называется углом сдвига, или относительным сдвигом. Величина bb 1, на которую смещается подвижная грань относительно неподвижной, называется абсолютным сдвигом.
Относительный сдвиг γ выражается в радианах.

Напряжения и деформации при сдвиге связаны между собой зависимостью, которая называется закон Гука при сдвиге.
Закон Гука при сдвиге справедлив лишь в определенных пределах нагрузок и формулируется так: касательное напряжение прямо пропорционально относительному сдвигу.

Математически закон Гука для деформации сдвига можно записать в виде равенства:

Коэффициент пропорциональности G характеризует жесткость материала, т. е. способность сопротивляться упругим деформациям при сдвиге, и называется модулем сдвига или модулем упругости второго рода.

Модуль упругости выражается в паскалях; для различных материалов его величина определена экспериментально и ее можно найти в специальных справочниках.
При проведении ответственных расчетов на срез величина модуля упругости для каждого соединения определяется опытным путем, непосредственно перед расчетом, либо берется из справочника с применением увеличенного запаса прочности.

Следует отметить, что между тремя упругими постоянными (модулями упругости) E, G и ν существует следующая зависимость:

Принимая для сталей ν ≈ 0,25, получаем: G ст ≈ 0,4 Е ст .

Материалы раздела «Сопротивление материалов»:

Источник

Деформации и напряжения при сдвиге

Пусть на короткий и толстый брус KСDВ длиной ∆s,заделанный одним концом, действует поперечная сила F, прило­женная в крайнем сечении этого бруса (рис. 1).

Рис. 1. Деформации и напряжения при сдвиге

Вследствие малой длины бруса пренебрегаем незначительным ис­кривлением его граней и BD, тогда деформация бруса под дей­ствием силы F выразится в смещении (сдвиге) грани CD относитель­но грани KВ. Величина перемещения СС1(или DD1) называется аб­солютным или полным сдвигом.

Из треугольника KСС1видно, что при изменении длины бруса ∆s будет изменяться и величина полного сдвига СС1. Для получения деформации сдвига, не зависящей от длины ∆s, введем понятие об относительном сдвиге по аналогии с понятием относительной про­дольной деформации ε.

Читайте также:  Среднее давление это напряжение

Относительным сдвигом будем называть величину сдвига, прихо­дящуюся на единицу длины бруса, или частное от деления полного сдвига СС1на длину бруса ∆s:

Здесь tgγ приравнен углу γ ввиду его малости.

Сопоставляя деформацию сдвига с деформацией растяжения (сжатия), отметим, что первая из них характеризуется относитель­ным сдвигом γ, а вторая — относительной продольной деформацией ε, К этим двум основным видам деформаций может быть приведена любая сложная деформация тела.

Проводя мысленно сечение 1—1 (рис. 1) и рассматривая пра­вую отсеченную часть бруса, замечаем, что уравновесить внешнюю силу F могут только внутренние силы, расположенные в плоскости сечения. Это значит, что при сдвиге во всех сечениях типа 1—1 воз­никают только касательные напряжения τ. Распределение этих на­пряжений по высоте сечения не будет равномерным, но для решения многих практических задач на сдвиг можно допустить, что касатель­ные напряжения распределяются равномерно по всей площади сече­ния А (рис. 1). При этом допущении равнодействующая всех внут­ренних касательных сил будет τ∙ А.

Приравнивая нулю сумму проекций всех сил, действующих на правую отсеченную часть бруса, получим

τ∙ А − F = 0

Несмотря на внешнее сходство этой формулы с известной форму лой

необходимо помнить, что равномерный характер распределения нормальных напряжений а по всему сечению является до­статочно точным и подтверждается опытом, а равномерность распределения касательных напряжений τ является условным, упрощаю­щим расчеты допущением. В теории изгиба будет показано, что каса­тельные напряжения τ распределяются по высоте сечения далеко неравномерно, и формула (23) дает только среднее значение этих напряжений. Любое сложное напряженное состояние тела всегда можно привести к двум основным видам напряжений: нормальному σ и касательному τ. Первому из них соответствует линейная относи­тельная деформация ε, а второму — угловая γ.

Опыты подтверждают, что закон Гука справедлив и при сдвиге, если сдвигающая поперечная сила F не превосходит определенного предела.

По аналогии с формулой для нормальных напряжений σ при

растяжении и сжатии σ = Е∙ε напишем закон Гука при сдвиге

τ=G∙ γ(4)

Читается он так: касательные напряжения прямо пропорциональны относительному сдвигу.

Здесь G — коэффициент пропорциональности, называемый моду­лем упругости при сдвиге или модулем поперечной упругости. Этот модуль, так же как и модуль продольной упругости Е, характеризует физические свойства материала. Определяется он опытным путем и является мерой сопротивляемости материала при сдвиге: чем больше величина G, тем меньше деформация сдвига γ.

В сопротивлении материалов, как прави­ло, рассматриваются твердые однородные изотропные тела, т. е. такие, у которых упругие свойства во всех точках и по всем направле­ниям одинаковы.

Упругие свойства однородных и изотропных тел вполне определя­ются тремя известными характеристиками:

1) коэффициентом Пуассона μ, выражающим зависимость между
относительными поперечной εу и продольной ε деформациями;

2) модулем продольной упругости Е, характеризующим степень
сопротивляемости материала при растяжении и сжатии;

3) модулем поперечной упругости G, характеризующим степень
сопротивляемости материала при сдвиге.

Между указанными тремя упругими характеристиками μ, E и G существует зависимость, которую приводим без доказательства

Эта формула дает возможность определить любую из трех физичес­ких характеристик, если две другие известны. Зависимость (5) подтверждается зкспериментально.

Принимая коэффициент Пуассона μ = 0,25, получаем

Например, для стали Е = 2∙10 5 МПа, коэффициент Пуассона μ = 0,25 и по формуле (6) найдем, что модуль поперечной упругости G для стали равен:

G = 0,4∙2∙10 5 = 8∙10 4 МПа.

При других значениях μ будет другая зависимость между G и Е.

Из формулы (5) также следует, что при любом значении μ (от 0 до 0,5) модуль поперечной упругости G будет меньше модуля про­дольной упругости Е.

При численно равных значениях σ и τ дефор­мация сдвига γ будет всегда больше продольной деформации ε во столько раз, во сколько раз Е больше G. Это видно из сравнения формул σ = Е∙ε и τ=G∙ γ; приравнивая правые части этих выражений, получаем

Е∙ε = G∙ γ,

Решение практических задач па сдвиг (срез, скалывание) обыч­но связано с необходимостью проверки на смятие. Смятием будем на­зывать местное сжатие двух соприкасающихся тел (деталей конст­рукции). Явление сдвига в дереве называют скалыванием.

Формулы для расчета на сдвиг и смятие аналогичны формулам для расчета на растяжение и сжатие:

Здесь [τ] — допускаемое напряжение на сдвиг;

см] — допускаемое напряжение на смятие.

Значения допускаемых напряжений [τ] и [σсм] приводятся в нор­мах проектирования конструкций.

Источник