Меню

Формула нормальных напряжений при прямом поперечном изгибе

Изгиб.

Изгибом называется вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса. Прямые брусья, работающие на изгиб, называются балками. Прямым изгибом называется изгиб, при котором внешние силы, действующие на балку, лежат в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через продольную ось балки и главную центральную ось инерции поперечного сечения.

Изгиб называется чистым , если в любом поперечном сечении балки возникает только один изгибающий момент.

Изгиб, при котором в поперечном сечении балки одновременно действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным . Линия пересечения силовой плоскости и плоскости поперечного сечения называется силовой линией .

деформация изгиба

Внутренние силовые факторы при изгибе балки.

При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для поперечных сил Q:

правило знаков для поперечных сил

Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для изгибающих моментов M:

правило знаков для изгибающих моментов

Дифференциальные зависимости Журавского.

Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости:

дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки и изгибающим моментом

На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М:

общие закономерности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе.

1. На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q представлена прямой линией, параллельной базе эпюре, а эпюра М — наклонной прямой (рис. а).

2. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть скачок, равный значению этой силы, а на эпюре М —точка перелома (рис. а).

3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок, равный значению этого момента, (рис. 26, б).

4. На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М — по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки (рис. в, г).

5. Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение Mmax или Mmin (рис. г).

Нормальные напряжения при изгибе.

Определяются по формуле:

нормальные напряжения при изгибе

Моментом сопротивления сечения изгибу называется величина:

момент сопротивления сечения изгибу

Опасным сечением при изгибе называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение.

Касательные напряжения при прямом изгибе.

Определяются по формуле Журавского для касательных напряжений при прямом изгибе балки:

формула журавского

где S отс — статический момент поперечной площади отсеченного слоя продольных волокон относительно нейтральной линии.

Расчеты на прочность при изгибе.

1. При проверочном расчете определяется максимальное расчетное напряжение, которое сравнивается с допускаемым напряжением:

проверочный расчет на прочность при изгибе

2. При проектном расчете подбор сечения бруса производится из условия:

проектный расчет на прочность при изгибе

3. При определении допускаемой нагрузки допускаемый изгибающий момент определяется из условия:

допускаемый изгибающий момент

Далее по полученному значению [Mx] определяют допускаемые значения внешних поперечных нагрузок [Q] и внешних изгибающих моментов [Mвнеш]. Условие прочности имеет вид:

допускаемые значения внешних поперечных нагрузок и внешних изгибающих моментов

Перемещения при изгибе.

Под действием нагрузки при изгибе ось балки искривляется. При этом наблюдается растяжение волокон на выпуклой и сжатие — на вогнутой частях балки. Кроме того, происходит вертикальное перемещение центров тяжести поперечных сечений и их поворот относительно нейтральной оси. Для характеристики деформации при изгибе используют следующие понятия:

Читайте также:  Чем грозит постоянное напряжение

Прогиб балки Y — перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в направлении, перпендикулярном к ее оси.

Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z)

механизм деформации балки при изгибе

Угол поворота сечения — угол θ, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению. Угол поворота считают положительным при повороте сечения против хода часовой стрелки. Величина угла поворота меняется по длине балки, являясь функцией θ = θ (z).

угол поворота сечения

Самыми распространёнными способами определения перемещений является метод Мора и правило Верещагина.

Метод Мора.

Порядок определения перемещений по методу Мора:

1. Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений – единичный момент.

2. Для каждого участка системы записываются выражения изгибающих моментов Мf от приложенной нагрузки и М1 — от единичной нагрузки.

3. По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение:

интеграл мора

4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы.

Правило Верещагина.

Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки имеет произвольное, а от единичной нагрузки – прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина.

правило верещагина

где Af – площадь эпюры изгибающего момента Мf от заданной нагрузки; yc – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры Мf ; EIx – жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (Af*yc) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра Мf должна быть разбита на простые фигуры(применяется так называемое «расслоение эпюры»), для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести.

Источник



ISopromat.ru

Важнейшим критерием оценки прочности балок при изгибе являются напряжения.

Расчет напряжений

Возникающий в поперечных сечениях при чистом прямом изгибе изгибающий момент Mx

представляет собой равнодействующий момент внутренних нормальных сил, распределенных по сечению и вызывающих нормальные напряжения в точках сечения.

Закон распределения нормальных напряжений по высоте сечения выражается формулой:

где:
M — изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сечении относительно его нейтральной линии X;
Ix — осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси;
y – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяется напряжение.

Нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения.

По вышеуказанной формуле, нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону.

Наибольшие значения имеют напряжения у верхнего и нижнего краев сечения.

Например, для симметричного относительно нейтральной оси сечения, где y1=y2=h/2:

Напряжения в крайних точках по вертикали (точки 1 и 2) равны по величине, но противоположны по знаку.

Для несимметричного сечения

напряжения определяются отдельно для нижней точки 1 и верхней точки 2:

где:

WX — осевой момент сопротивления симметричного сечения;
WX(1) и WX(2) — осевые моменты сопротивления несимметричного сечения для нижних и верхних слоев балки.

Знаки нормальных напряжений при их расчете, рекомендуется определять по физическому смыслу в зависимости от того, растянуты или сжаты рассматриваемые слои балки.

Читайте также:  Что показывает напряжение физика

Условия прочности при изгибе

Прочность по нормальным напряжениям

Условие прочности по нормальным напряжениям для балок из пластичного материала записывается в одной крайней точке.

В случае балки из хрупких материалов, которые, как известно, по-разному сопротивляются растяжению и сжатию – в двух крайних точках сечения.

Здесь:
Mmax — максимальное значение изгибающего момента, определяемого по эпюре Mx;
[ σ], [ σ]р, [ σ]с — допустимые значения напряжений для материала балки (для хрупких материалов – на растяжение (р) и сжатие (с)).

Для балки из хрупкого материала обычно применяют сечения, несимметричные относительно нейтральной оси. При этом сечения располагают таким образом, чтобы наиболее удаленная точка сечения размещалась в зоне сжатия, так как [ σ]с>[ σ]р.

В таких случаях, проверку прочности следует обязательно проводить в двух сечениях: с наибольшим положительным изгибающим моментом и с наибольшим по абсолютной величине (модулю) отрицательным значением изгибающего момента.

При расчете элементов конструкций, работающих на изгиб, с использованием вышеуказанных условий прочности решаются три типа задач:

  1. Проверка прочности
  2. Подбор сечений
  3. Определение максимально допустимой нагрузки

Прочность по касательным напряжениям

В случае прямого поперечного изгиба в сечениях балки, кроме нормальных напряжений σ от изгибающего момента, возникают касательные напряжения τ от поперечной силы Q.

Закон распределения касательных напряжений по высоте сечения выражается формулой Д.И. Журавского

где
Sx отс — статический момент относительно нейтральной оси отсеченной части площади поперечного сечения балки, расположенной выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения;
by — ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки, в которой рассчитывается величина касательных напряжений τ.

Условие прочности по касательным напряжениям записывается для сечения с максимальным значением поперечной силы Qmax:

где [ τ] – допустимое значение касательных напряжений для материала балки.

Полная проверка прочности

Полную проверку прочности балки производят в следующей последовательности:

  1. По максимальным нормальным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольший по абсолютному значению изгибающий момент M.
  2. По максимальным касательным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольшая по абсолютному значению поперечная сила Q.
  3. По главным напряжениям для сечения, в котором изгибающий момент и поперечная сила одновременно достигают значительных величин (или когда Mmax и Qmax действуют в одном и том же сечении балки).

При анализе плоского напряженного состояния главные напряжения при изгибе, примут вид:

так как нормальные напряжения в поперечном направлении к оси балки принимаются равными нулю.

Проверка прочности осуществляется с помощью соответствующих гипотез прочности, например, гипотезы наибольших касательных напряжений:

Источник

НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ

Как уже говорилось, поперечным называют изгиб, при котором в сечении балки помимо изгибающего момента возникает поперечная сила. В этом случае в поперечных сечениях вместе с нормальными напряжениями σ появляются касательные напряжения τ. Наличие касательных напряжений вызывает сдвиг отдельных волокон относительно друг друга, и сечение, бывшее до деформации плоским, после нагружения искривляется. Это явление носит название депланации сечений (рис. 9.1, а).

Однако нарушение гипотезы плоских сечений практически не влияет на распределение нормальных напряжений, найденное нами при рассмотрении чистого изгиба – формулы (8.4), (8.5), (8.7) остаются справедливыми и при поперечном изгибе:

; ; .

Этот факт можно объяснить тем, что если поперечная сила на участке постоянна, искривление всех сечений происходит одинаково, и удлинение произвольного продольного волокна АВ (рис. 9.1, б) не зависит от того, остались ли сечения плоскими:

Читайте также:  Регулятор напряжения 125 кубов

При изменяющейся поперечной силе указанные формулы дают некоторую погрешность, величина которой пропорциональна относительной высоте сечения балки h/ l и в большинстве случаев незначительна. Сказанное даёт нам основания и при поперечном изгибе пользоваться гипотезой плоских сечений, считая, что картина деформаций в основном определяется поворотом сечений, а не их искривлением за счёт сдвиговых деформаций.

КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ. ФОРМУЛА ЖУРАВСКОГО

Наличие поперечной силы Q y приводит к появлению в плоскости сечения касательных напряжений τ zy (рис.9.2). По закону парности такие же по величине напряжения действуют в продольных сечениях:

.

Для нахождения касательных напряжений выделим из балки, подвергнутой поперечному изгибу, бесконечно малый элемент длиной dz, показанный на рис.9.3, а. В поперечных сечениях, образующих грани элемента, показаны нормальные и касательные напряжения, а также внутренние усилия. При этом учтено, что изгибающие моменты в левом и правом сечениях не равны друг другу и отличаются на величину dM x в силу того, что Q y = dM x/dz ¹ 0. Нормальные напряжения также не будет равны, их отличие с учётом (8.5) составит величину

Дополнительно рассечём выделенный элемент горизонтальной плоскостью, проходящей на произвольном расстоянии y от нейтральной оси, и рассмотрим условие равновесия нижней части элемента. Площадь поперечного сечения отсечённой части элемента обозначим A отс, положение элементарной площадки dA определим координатой y 1 (рис.9.3. б). Равнодействующая нормальных сил s dA в левом сечении равна

Входящий в последнее выражение интеграл представляет собой статический момент площади A отс относительно нейтральной оси x. Обозначив его величину , получим

. (9.2)

В правом сечении равнодействующая нормальных сил будет иной:

Разность этих сил

(9.3)

должна в проекции на ось z уравновешиваться касательной силой dT, действующей в продольном сечении элемента (рис. 9.3, б).

Предположив, что по ширине сечения b касательные напряжения t распределены равномерно, а так же учитывая малость элемента в направлении оси балки, усилие dT можно представить следующим образом

. (9.5)

Из полученных зависимостей(9.3) и (9.5) с учётом равенства (9.4) получаем формулу для нахождения касательных напряжений:

. (9.6)

При отсутствии распределённой моментной нагрузки m последнее выражение принимает вид

. (9.7)

Таким образом, мы определили напряжения в горизонтальном сечении, проведённом на расстоянии y от нейтральной оси. По закону парности они равны напряжениям в поперечном сечении балки. Напомним, что b – ширина поперечного сечения в месте его рассечения горизонтальной плоскостью , а — статический момент отсеченной площади A отс относительно горизонтальной центральной оси х. Выражение (9.7) называется формулой Журавского, по имени профессора Д.И.Журавского (1821-1891гг.), впервые получившего её при разработке методов расчёта мостовых сооружений в ходе проектирования и строительства железной дороги С.Петербург – Москва в середине XIX века.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

В БАЛКАХ РАЗЛИЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Из величин, входящих в правую часть формулы Журавского, в общем случае функциями координаты y являются статический момент и ширина сечения b. При подходе к нижней кромке сечения, площадь A отс (рис.9.3, б) стремится к нулю, а вместе с ней обращается в нуль и статический момент . При подходе к верхней кромке площадь отсечённой части A отс оказывается равна площади всего сечения A. Поскольку ось х является центральной, то статический момент и в этом случае равен нулю. Таким образом, касательные напряжения обращаются в нуль на верхней и нижней границах сечения. Характер их изменения внутри сечения рассмотрим на нескольких примерах.

Источник