Меню

Формула расчета напряжения материаловедение

Формулы для расчета эквивалентных напряжений

Эквивалентное напряжение по гипотезе максимальных каса­тельных напряжений

Эквивалентное напряжение по гипотезе энергии формоизмене­ния

Условие прочности при совместном действии изгибаи кручения

где М ЭКВ — эквивалентный момент.

Эквивалентный момент по гипотезе максимальных касательных напряжений

Эквивалентный момент по гипотезе энергии формоизменения

Особенность расчета валов

Большинство валов испытывают сочетание деформаций изгиба и кручения. Обычно валы — прямые брусья с круглым или кольце­вым сечением. При расчете валов касательные напряжения от дей­ствия поперечных сил не учитывают из-за их незначительности.

Расчеты проводят по опасным поперечным сечениям. При про­странственном нагружении вала пользуются гипотезой независимо­сти действия сил и изгибающие моменты рассматривают в двух вза­имно перпендикулярных плоскостях, а суммарный изгибающий мо­мент определяют геометрическим суммированием.

Примеры решения задач

Пример 1. В опасном поперечном сечении круглого бруса воз­никают внутренние силовые факторы (рис. 35.1) М х; М у; M z.

М х и М у — изгибающие моменты в плоскостях уОх и zOx со­ответственно; M z — крутящий момент. Проверить прочность по ги­потезе наибольших касательных напряжений, если [ σ] = 120 МПа. Исходные данные: М х = 0,9 кН • м; М у = 0,8 кН • м; M z = 2,2 кН*м; d = 60 мм.

Строим эпюры нормальных напряжений от действия изгибаю­щих моментов относительно осей Ох и Оу и эпюру касательных на­пряжений от кручения (рис. 35.2).

Максимальное касательное напряжение возникает на поверхно­сти. Максимальные нормальные напряжения от момента М х возни­кают в точке А, максимальные нормальные напряжения от момента М у в точке В. Нормальные напряжения складываются, потому что изгибающие моменты во взаимно перпендикулярных плоскостях гео­метрически суммируются.

Суммарный изгибающий момент:

Рассчитываем эквивалентный момент по теории максимальных касательных напряжений:

Момент сопротивления сечения: W oce в oe = 0,1 • 60 3 = 21600мм 3 .

Пример 2. Из условия прочности рассчитать необходимый диа­метр вала. На валу установлены два колеса. На колеса действуют две окружные силы F t 1 = 1,2кН; F t 2 = 2кН и две радиальные силы в вертикальной плоскости F r 1 = 0,43кН; F r 2 = 0,72кН (рис. 35.3). Диаметры колес соответственно равны d 1 = 0,1м; d 2 = 0,06 м.

Принять для материала вала [ σ] = 50МПа.

Рассчитать размеры вала кольцевого сечения при с = 0,8 (с = d вн / d).

Расчет провести по гипотезе максимальных каса­тельных напряжений. Весом вала и колес пренебречь.

Указание. Используем принцип независимости действия сил, составляем расчетные схемы вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Определяем реакции в опорах в горизонтальной и вертикальной плоскостях в отдельности. Строим эпюры изгиба­ющих моментов (рис. 35.4). Под действием окружных сил вал скручивается. Определяем действующий на валу крутящий момент.

Составим расчетную схему вала (рис. 35.4).

1. Крутящий момент на валу:

2. Изгиб рассматриваем в двух плоскостях: горизонтальной (пл. Н) и вертикальной (пл. V).

В горизонтальной плоскости определяем реакции в опоре:

Определяем изгибающие моменты в точках С и В:

В вертикальной плоскости определяем реакции в опоре:

Определяем изгибающие моменты в точках С и В:

Суммарные изгибающие моменты в точках С и В:

В точке В максимальный изгибающий момент, здесь же дей­ствует и крутящий момент.

Расчет диаметра вала ведем по наиболее нагруженному сечению.

3. Эквивалентный момент в точке В по третьей теории прочности

4. Определяем диаметр вала круглого поперечного сечения из условия прочности

Округляем полученную величину: d = 36 мм.

Примечание. При выборе диаметров вала пользоваться стандартным рядом диаметров (Приложение 2).

5. Определяем необходимые размеры вала кольцевого сечения при с = 0,8, где d — наружный диаметр вала.

Источник



Техническая механика

Сопротивление материалов

Гипотезы прочности

Понятие эквивалентного напряжения

В предыдущей статье мы рассматривали случаи сочетания основных деформаций, когда в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, и суммарное напряжение в каждой точке можно было рассчитать простым алгебраическим сложением. Однако часто имеют место случаи сочетания основных деформаций, при которых в поперечных сечениях возникают и нормальные, и касательные напряжения, распределенные по площади сечений неравномерно и по разным законам.
Для таких случаев опытное определение величин, характеризующих прочность, невозможно, поэтому при оценке прочности детали приходится основываться на механических характеристиках данного материала, полученных из диаграммы растяжения.

Читайте также:  Типы регуляторов напряжения трансформаторов

Как известно, при растяжении прочность пластичных материалов характеризуется пределом текучести, а прочность хрупких материалов – пределом прочности. Эти напряжения считаются предельными, и в зависимости от их величины вычисляют допускаемые напряжения. Для упрощения расчетов величины напряжений при сочетании деформаций вводят понятие эквивалентного (равноопасного) напряжения.

Напряженные состояния при сочетании основных деформаций и одноосном растяжении называют равноопасными или эквивалентными, если их главные напряжения отличаются от предельного для данного материала в одинаковое число раз, т. е. коэффициенты запаса прочности для эквивалентных напряжений одинаковы.
Иными словами, эквивалентным считается такое напряжение при простом одноосном растяжении, которое равноопасно данному сочетанию основных деформаций.
Таким образом, условие прочности при сочетании основных деформаций, когда в поперечных сечениях действуют и нормальные и касательные напряжения, будет иметь вид: σ экв ≤ [σ p].

Формулы для определения эквивалентных напряжений, которые затем сопоставляют с предельно допускаемыми, выводят на основании гипотез прочности.

Гипотезы прочности – это научные предположения об основной причине достижения материалом предельного напряженного состояния при сочетании основных деформаций.

В настоящее время при вычислении эквивалентных напряжений используют три гипотезы прочности: гипотезу наибольших касательных напряжений (или третья гипотеза прочности), гипотезу Мора (четвертая гипотеза прочности) и энергетическую гипотезу (пятая гипотеза прочности).
Применявшиеся ранее при расчетах первая (гипотеза Галилея) и вторая (гипотеза Мариотта-Сен-Венана) гипотезы прочности, основанные соответственно на наибольших нормальных напряжениях и линейных деформациях, в настоящее время не используются, поскольку плохо подтверждаются опытами.

Рассмотрим подробнее суть каждой из перечисленных гипотез прочности.

Третья теория прочности

Гипотеза наибольших касательных напряжений

Согласно этой гипотезе, предложенной в конце XVIII в., опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения достигают предельной величины.

Если рассмотреть элементарную площадку в наклонном сечении продольно растягиваемого бруса, то при помощи простых геометрических выкладок можно убедиться, что касательное напряжение в такой площадке достигает максимальной величины, когда сечение располагается под углом 45˚ к оси бруса. При этом величина касательного напряжения будет равна половине разности между максимальным и минимальным нормальным напряжением:

В частном случае, если σ min = 0, то τ max = σ max/2.

Чтобы вывести формулу для вычисления эквивалентных напряжений по третьей теории прочности, рассмотрим брус, у которого в поперечном сечении действуют нормальные σ и касательные τ напряжения (см. рисунок).

Внутри бруса вблизи от произвольной точки В вырежем бесконечно малую призму abc, у которой грань ab совпадает с поперечным, грань ac – с продольным сечениями, а грань bc является главной площадкой, на которой действует главное напряжение σ 0.
Согласно закону парности касательных напряжений в грани ac призмы также будут действовать касательные напряжения τ.
Поскольку в продольном сечении бруса нормальных напряжений нет, то здесь мы имеем дело со случаем плоского напряженного состояния, который называют упрощенным.

Рассмотрим равновесие призмы abc, для чего спроецируем все действующие на нее силы на оси z и y. Площадь грани bc обозначим dA (элементарная площадка). Тогда:

Σ Z = 0; σ 0 dAsinφ — τ dA cosφ — σ dA sinφ = 0
Σ Y = 0; σ 0 dA cosφ — τ dA sinφ = 0.

Разделив обе части равенства на dA, получим:

(σ 0 – σ) sinφ = τ cosφ; σ 0 cosφ = τ sinφ.

Оба равенства разделим на cosφ и, исключив из них tgφ, получим выражение:

τ / (σ 0 — σ) = σ 0 / τ, что равнозначно квадратному уравнению σ 0 2 — σ 0σ – τ 2 = 0.

Решая это уравнение, получим:

σ 0 = σ/2 ± 1/2 √(σ 2 + 4τ 2 ).

(Здесь и далее знак √ обозначает квадратный корень).

Таким образом, главные напряжения в наклонных площадках в зонах точки А бруса определяют по формулам:

σ max = σ/2 + 1/2 √(σ 2 + 4τ 2 ) σ min = σ/2 — 1/2 √(σ 2 + 4τ 2 ).

Читайте также:  Цепь находящаяся под напряжением 120

Следовательно, исходя из формулы (1), максимальные касательные напряжения можно найти по формуле:

τ max = (σ max – σ min)/2 = 1/2 √(σ 2 + 4τ 2 ).

Поскольку τ пред = σ пред/2, а эквивалентное напряжение не должно превышать предельного, то, применяя гипотезу наибольших касательных напряжений, имеем:

τ max = τ пред = σ пред/2 = σ экв/2 = 1/2 √(σ 2 + 4τ 2 ).

В результате мы получили формулу для вычисления эквивалентных напряжений:

σ экв =√(σ 2 + 4τ 2 ).

Гипотеза наибольших касательных напряжений хорошо подтверждается опытами, в особенности для пластичных материалов.

Четвертая теория прочности

Гипотеза Мора

Большой вклад в разработке методов определения напряжений при сложном напряженном состоянии внес немецкий ученый Кристиан Отто Мор (Christian Otto Mohr, 1835-1918 г.г.).
Заслуги К.О.Мора в науке сопротивление материалов трудно переоценить — он является создателем одной из теорий прочности (теория прочности Мора), графических методов определения напряжений при сложном напряжённом состоянии (круг Мора).
Мор впервые применил расчёт конструкций на невыгодное загружение с помощью так называемых линий влияния, создал теорию расчёта статически неопределимых систем методом сил. Этот ученый разработал также метод расчёта неразрезных балок с помощью уравнений трех моментов, предложил графический метод построения упругой линии в простых и неразрезных балках.

Гипотеза Мора, предложенная им в начале XX века может быть сформулирована так:
Опасное состояние материала наступает тогда, когда на некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений.

По сути, это усовершенствованная и обобщенная гипотеза наибольших касательных напряжений, рассмотренная ранее, тем не менее, она дает возможность определять эквивалентные напряжения в балках с меньшей степенью погрешности и применима при расчетах на прочность как пластичных, так и хрупких материалов.

Формула для вычисления эквивалентных напряжений, согласно гипотезе Мора имеет вид:

σ экв = σ(1 – k)/2 + 1/2 (1 + k) √(σ 2 + 4τ 2 ) ,

где k = [σ р] / [σ с], √ — знак корня.

Очевидно, что при k = 1 формула Мора тождественна формуле третьей теории прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений).

Пятая, или энергетическая теория прочности

Энергетическая гипотеза

При деформации элементарной частицы тела в общем случае изменяются ее форма и объем. Таким образом, полная потенциальная энергия деформации состоит из двух частей: энергии формоизменения и энергии изменения объема.
Энергетическая гипотеза прочности, предложенная в начале XX века в качестве критерия перехода материала в предельное состояние принимает только энергию формоизменения.

Согласно этой гипотезе, опасное состояние материала в данной точке наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения для этой точки достигает предельной величины .

Формула для вычисления эквивалентных напряжений в соответствии с пятой (энергетической) теорией прочности имеет вид:

σ экв =√(σ 2 + 3τ 2 ).

Эта формула хорошо подтверждается опытным путем для пластичных материалов и получила широкое распространение.

Следует отметить, что во всех приведенных выше формулах σ и τ — нормальные и касательные напряжения на площадке поперечного сечения, проходящего через опасную или предположительно опасную точку.

Источник

Формулы для расчета эквивалентных напряжений

Эквивалентное напряжение по гипотезе максимальных каса­тельных напряжений σэкв = √σ 2 + 4τ 2 .

Эквивалентное напряжение по гипотезе энергии формоизменения

σэкв = √σ 2 + 3τ 2 ,

где τ = MK / WP — расчетное касательное напряжение;

σ = M И / WX — расчетное нормальное напряжение.

Условие прочности при совместном действии изгиба

И кручения

где Мэкв — эквивалентный момент.

Эквивалентный момент по гипотезе максимальных касательных
напряжений Мэкв III = √М и² + М к².

Эквивалентный момент по гипотезе энергии формоизменения

Мэкв v = √М и² + 0,75М к².

Особенность расчета валов

Большинство валов испытывают сочетание деформаций изгиба и кручения. Обычно валы — прямые брусья с круглым или кольце­вым сечением. При расчете валов касательные напряжения от дей­ствия поперечных сил не учитывают из-за их незначительности.

Тема 2.7. Расчет бруса круглого поперечного сечения 285

Расчеты проводят по опасным поперечным сечениям. При про­странственном нагружении вала пользуются гипотезой независимо­сти действия сил и изгибающие моменты рассматривают в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, а суммарный изгибающий момент определяют геометрическим суммированием.

Читайте также:  Измеряемое напряжение hantek 6022be

Примеры решения задач

Пример 1. В опасном поперечном сечении круглого бруса воз­никают внутренние силовые факторы (рис. 35.1) Мх; Му; Mz .

Мх и Му — изгибающие моменты в плоскостях уОх и zOx со­ответственно; Mz — крутящий момент. Проверить прочность по ги­потезе наибольших касательных напряжений, если [σ] = 120 МПа. Исходные данные: Мх = 0,9 кН∙м; Му = 0,8 кН•м; Mz = 2,2 кН • м; d = 60 мм.

Решение

Строим эпюры нормальных напряжений от действия изгибаю­щих моментов относительно осей Ох и Оу и эпюру касательных напряжений от кручения (рис. 35.2).

Максимальное касательное напряжение возникает на поверхно­сти. Максимальные нормальные напряжения от момента Мх возни­кают в точке А, максимальные нормальные напряжения от момента Му в точке В. Нормальные напряжения складываются, потому что изгибающие моменты во взаимно перпендикулярных плоскостях геометрически суммируются.

Суммарный изгибающий момент: Ми = √М x² + М y²;

Ми = √0,9 2 + 0,8 2 = 1,2 кН • м.

Рассчитываем эквивалентный момент по теории максимальных касательных напряжений:

Условие прочности: Мэкв

σэкв = ——— ≤ [σ] , Wосевое = Wх = Wу.

Момент сопротивления сечения: Woceeoe = 0,1 • 60 3 = 21600 мм 3 .

Проверяем прочность:

Пример 2. Из условия прочности рассчитать необходимый диа­метр вала. На валу установлены два колеса. На колеса действуют две окружные силы F t 1 = 1,2 кН; Ft 2 = 2 кН и две радиальные силы в вертикальной плоскости Fr1 = 0,43 кН; Fr 2 = 0,72 кН (рис. 35.3). Диаметры колес соответственно равны d 1 = 0,1м; d2 = 0,06м.

Принять для материала вала [σ] = 50МПа.

Рассчитать размеры вала кольце­вого сечения при с = 0,8 (с = dВН/ d). Рас­чет провести по гипотезе максималь­ных касательных напряжений. Весом вала и колес пренебречь.

Решение

Указание. Используем прин­цип независимости действия сил, соста­вляем расчетные схемы вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Определяем реакции в опорах в горизон­тальной и вертикальной плоскостях в отдельности. Строим эпюры изгибающих моментов (рис. 35.4). Под действием окружных сил вал скручивается. Определяем действующий на валу крутящий момент.

Тема 2.7. Расчет бруса круглого поперечного сечения 287

Составим расчетную схему вала (рис. 35.4).

1. Крутящий момент на валу:

2. Изгиб рассматриваем в двух плоскостях : горизонтальной (пл. Н) и вертикальной (пл. V).

В горизонтальной плоскости определяем реакции в опоре:

Определяем изгибающие моменты в точках С и В:

Мс = 400 • 0,1 = 40Н • м; М В = -2000 • 0,1 = 200Н • м.

В вертикальной плоскости определяем реакции в опоре:

Определяем изгибающие моменты в точках С и В:

Суммарные изгибающие моменты в точках С и В:

В точке В максимальный изгибающий момент, здесь же дей­ствует и крутящий момент.

Расчет диаметра вала ведем по наиболее нагруженному сечению.

3. Эквивалентный момент в точке В по третьей теории
прочности

4. Определяем диаметр вала круглого поперечного сечения из
условия прочности

Округляем полученную величину: d — 36 мм.

Примечание. При выборе диаметров вала пользоваться стандартным рядом диаметров (Приложение 2).

5. Определяем необходимые размеры вала кольцевого сечения

при с = 0,8; с = — , где d — наружный диаметр вала.

Тема 2.7. Расчет бруса круглого поперечного сечения 289

Диаметр вала кольцевого сечения можно определить по формуле

Примем d = 42 мм.

Перегрузка незначительная. dBH = 0,8 d = 0,8 • 42 = 33,6 мм.

Округляем до значения dBH = 33 мм.

6. Сравним затраты металла по площадям сечения вала в обоих случаях.

Площадь поперечного сечения сплошного вала

Площадь поперечного сечения полого вала

Площадь поперечного сечения сплошного вала почти в два раза больше вала кольцевого сечения:

Контрольные вопросы и задания

1. Какое напряженное состояние возникает в поперечном сече­нии вала при совместном действии изгиба и кручения?

2. Напишите условие прочности для расчета вала.

3. Напишите формулы для расчета эквивалентного момента при расчете по гипотезе максимальных касательных напряжений и ги­потезе энергии формоизменения.

4. Как выбирается опасное сечение при расчете вала?

Дата добавления: 2019-09-13 ; просмотров: 625 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник