Меню

Формула разброса для напряжения

Расчет электрических цепей: Учебное пособие для студентов, изучающих дисциплины «Электротехника и электроника», «Общая электротехника», «Теоретическая электротехника», страница 4

По II закону Кирхгофа:

Если сопротивлений не 3 а n, то:

а ток в цепи I= .

1.8 Параллельное соединение сопротивлений

Пусть имеется n параллельно включенных сопротивлений (рис. 1.9):

Рис. 1.9
По I закону Кирхгофа:

I = I 1 + I 2 + I 3 = U( ). (1.25)

Из сравнения (1.25) и (1.26) имеем:

или через проводимость:

Если сопротивление не 3, а n, то:

, . (1.28)

В частном случае, для 2 сопротивлений полезна формула:

. (1.29)

1.9. Смешанное соединение сопротивлений

Это комбинация последовательного и параллельного соединения сопротивлений. Рассмотрим способы расчета смешанного соединения:

1). Вычисление эквивалентного сопротивления.

2). Определение токов по формуле «разброса» Поливанова.

3). Определение токов методом подобия или пропорциональных величин.

I 1= ; U 2,3 = I 1R 2,3 = U – I 1R 1;

I 2= , I 3= , I 1 = I 1 + I 3 — проверка.

R = R 1+ ,

где R i R k – сумма попарных произведений из трех сопротивлений.

I = ,

U = I × R = = ,

В этих формулах в числителе берется «чужое сопротивление».

I = .

3. Метод применим только для линейных цепей, т.е. таких в которых R, L, С остаются постоянными и не зависят от величины проходящего через них тока [3].

Для этих цепей при смешанном соединении ток любой ветви пропорционален входному напряжению I k = a k U, при этом а к для каждой ветви имеет свое значение (см. формулы Поливанова).

Метод имеет смысл применять для смешанного соединения с большим количеством ветвей, если требуется определить сразу токи, не вычисляя R , например для следующей схемы (рис. 1.11):

При расчете задаются произвольным током, проще всего 1 А, в ветви, наиболее удаленной от источника

( I ¢ =1 A).

Затем, используя законы Ома и Кирхгофа, находят токи и напряжения на остальных участках, постепенно приближаясь к источнику. Наконец находят новое значение входного напряжения U ¢ , вычисляют коэффициент подобия К= и на него умножают все ранее вычисленные токи и напряжения.

2. РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ

Сложной называется такая электрическая цепь, которая не может быть сведена к смешанному соединению сопротивлений. К сложным относятся также цепи, содержащие источники энергии в разных параллельных ветвях.

Примером сложной цепи может быть мостовая схема.

Существует несколько методов расчета сложных цепей, но все они основаны на законах Кирхгофа.

2.1. Непосредственное применение законов Кирхгофа

Пусть дана следующая цепь (рис. 2.1):

Произвольно намечают стрелками направление токов в ветвях и круговыми стрелками направление обхода независимых контуров.

Число неизвестных токов будет равно числу ветвей. Вначале составляем уравнения по I закону Кирхгофа. Их число равно числу узлов без одного (независимые уравнения).

Остальные уравнения составляются по II закону Кирхгофа с соблюдением знаков (+) и (-) для ЭДС и токов в зависимости от направления обхода контура [4].

С учетом сказанного составляем систему уравнений для заданной схемы:

I 1 — I 2 + I 3 = 0 ,

Решая эту систему, сразу находим токи в ветвях. Если ток получается с (-), то его истинное направление противоположно выбранному.

Источник



1.1 Методы анализа, основанные на законах Ома и Кирхгофа

1.1 Методы анализа, основанные на законах Ома и законах Кирхгофа

Закон Ома устанавливает зависимость между напряжением и током на пассивной ветви, а также позволяет определить ток по известным потенциалам на концах ветви с источником напряжения.

Законы Кирхгофа применяют для нахождения токов в ветвях линейных и нелинейных схем при любом законе изменения во времени токов и напряжений.

Метод эквивалентных преобразований. При эквивалентных преобразований отдельные участки электрической цепи заменяются более простыми. Эквивалентность преобразования состоит в том, что токи и напряжения в непреобразованной части схемы не изменяются.

Читайте также:  Msi afterburner как сохранить настройки напряжения

Последовательное упрощение схемы продолжается до ее преобразования в одноконтурную схему, после чего для расчета используется закон Ома.

Метод эквивалентных преобразований используется для нахождения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора.

При помощи метода эквивалентных преобразований облегчают расчет расчет нелинейной цепи, упростив линейную часть цепи эквивалентными преобразованиями.

Принято пользоваться приведенным ниже алгоритмом метода законов Кирхгофа.

1. Произвольно выбирают положительные направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.

2. Составляют уравнения по первому закону Кирхгофа: на одно уравнение меньше числа узлов (для последнего узла уравнение будет зависимым от предыдущих уравнений).

3. Выбирают независимые (главные) контуры и направление их обхода. Удобно для всех контуров выбрать одинаковое направление обхода.

4. Записывают уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных контуров.

5. Решая полученную систему уравнений, определяют искомые токи.

Решение задач на закон Ома и законы Кирхгофа

Задача 1.1 . Определить эквивалентное сопротивление цепи между зажимами a и b при разомкнутом и замкнутом ключе К методом эквивалентных преобразований (рис. 1.1, a).

Решение. Сохраняя топологию схемы, трансформируем ее к виду, удобному для анализа (отправная точка – потенциалы узлов c и d равны между собой).

Из рис. 1.1, б следует:

1. При разомкнутом ключе К

R a b = R 1 ⋅ R 3 R 1 + R 3 + ( R 47 + R 5 + R 6 ) ⋅ R 2 ( R 47 + R 5 + R 6 ) + R 2 .

2. При замкнутом ключе К

R 47 = R 1 ⋅ R 3 R 1 + R 3 + R 47 ⋅ R 2 R 47 + R 2 ,

R 47 = R 4 ⋅ R 7 R 4 + R 7 .

Задача 1.2 . Определить методом эквивалентных преобразований сопротивление цепи между зажимами a и b при разомкнутом и замкнутом ключе К для схемы, изображенной на рис. 1.2.

Решение. Совершим поворот части схемы относительно зажимов c и d. В результате получим (рис. 1.3):

1. При разомкнутом ключе К

R a b = ( R 1 + R 3 ) ⋅ ( R 2 + R 4 ) ( R 1 + R 3 ) + ( R 2 + R 4 ) .

2. При замкнутом ключе К

R a b = R 1 ⋅ R 4 R 1 + R 4 + R 2 ⋅ R 3 R 2 + R 3 .

Задача 1.3 . Найти сопротивление между зажимами a и b для схемы, изображенной на рис. 1.4.

Решение. К точке 2 подходят условные «начало» сопротивления R2 и «концы» сопротивлений Rl и R3.

К точке 3 подходят «начала» сопротивлений R1 и R3 и «конец» сопротивления R2.

Но тогда, все «начала» сопротивлений и все их «концы» соединяются соответственно в одни точки. А значит, по определению, имеем параллельное соединение приемников (рис. 1.5).

Таким образом, сопротивление между зажимами a и b:

R a b = 1 Y a b = 1 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 .

Задача 1.4 . Найти сопротивление R13, R14, R17 между различными парами вершин куба, ребра которого имеют заданное сопротивление R (рис. 1.6).

Решение. Задачу проще всего решить методом амперметра и вольтметра. Суть метода заключается в следующем. Если к фиксированным точкам схемы a и b подвести условно известное напряжение Uab и определить ток I во внешней цепи, то искомое сопротивление Rab = Uab/I. При этом напряжение Uab (показание вольтметра) в соответствии с законами Кирхгофа определяется как функция тока I (показание амперметра).

1. Расчетная схема для определения сопротивления R13 имеет вид, представленный на рис. 1.7.

В силу симметрии потенциалы точек 2 и 6 (4 и 8) равны между собой. Поэтому токи в ребрах. 2 – 6 и 4 – 8 отсутствуют.

Перераспределение токов I1 и I2 легко находится из первого закона Кирхгофа и соответствует рисунку 1.7.

Соотношение между токами найдем из второго закона Кирхгофа:

U 14 = U 15 + U 58 + U 84 ; I 1 ⋅ R = I 2 ⋅ R + 1 2 I 2 ⋅ R + 0 = 3 2 I 2 ⋅ R .

I 1 = 3 2 I 2 ; I 2 = 2 3 I 1 .

А значит, общий ток

I = 2 I 1 + I 2 = 2 I 1 + 2 3 I 1 = 8 3 I 1 .

U 13 = I ⋅ R 13 = 8 3 I 1 ⋅ R 13 = U 12 + U 23 = 2 I 1 ⋅ R .

2. Расчетная схема для определения сопротивления R14 имеет вид, представленный на рис. 1.8.

В силу симметрии токи в ребрах 1 – 2, 1 – 4, 2 – 3 и 4 – 3 равны между собой. А значит, в соответствии с первым законом Кирхгофа, токи в ребрах 2 – 6 и 4 – 8 отсутствуют.

Перераспределение неизвестных токов I1, I2, I3, I4 находится из первого закона Кирхгофа (и симметрии цепи) и соответствует рис. 1.8.

Поскольку падение напряжения

U 23 = U 26 + U 67 + U 73 ; I 4 ⋅ R = I 3 ⋅ R + 2 I 3 ⋅ R + I 3 ⋅ R = 4 I 3 ⋅ R ,

то, сокращая на R, имеем:

I 2 = I 3 + I 4 = 1 4 I 4 + I 4 = 5 4 I 4

U 14 = U 15 + U 58 + U 84 ; I 1 ⋅ R = I 2 ⋅ R + I 4 ⋅ R + I 2 ⋅ R = I 2 ⋅ R + 5 4 I 2 ⋅ R + I 2 ⋅ R = 14 5 I 2 ⋅ R .

Откуда, сокращая на R, имеем:

U 14 = I ⋅ R 14 = ( I 1 + 2 I 2 ) ⋅ R 14 = ( I 1 + 10 14 I 1 ) ⋅ R 14 = 24 14 I 1 ⋅ R 14 = I 1 ⋅ R .

Читайте также:  Реле напряжения для уаз 469

3. Расчетная схема для определения сопротивления R17 имеет вид, представленный на рис. 1.9.

В силу диагональной симметрии схемы полный ток I = 3I1.

U 17 = U 14 + U 43 + U 37 ; I ⋅ R 17 = I 1 ⋅ R + 1 2 I 1 ⋅ R + I 1 ⋅ R = 5 2 I 1 ⋅ R .

Откуда искомое сопротивление R17 = 5/6·R.

Задача 1.5 . Определить методом эквивалентных преобразований токи в ветвях цепи (рис. 1 10, а) и показание вольтметра, включенного между точками c и d, считая, что его сопротивление во много раз превышает сопротивление каждого из элементов цепи.

Чему равно показание амперметра, включенного между точками c и d, сопротивление которого считать равным нулю?

Сопротивления элементов цепи: R1 =10 Ом, R2 = R3 = R5 = 25 Ом и R4 = 50 Ом, а приложенное к ней напряжение U = 120 В.

Решение. Расчет показания вольтметра. Из условия вытекает, что его включение не оказывает влияния на распределение токов в цепи. Для расчета токов сначала определяем эквивалентное сопротивление всей цепи (рис. 1.10, а):

R = R 1 + ( R 2 + R 4 ) ⋅ ( R 3 + R 5 ) ( R 2 + R 4 ) + ( R 3 + R 5 ) = 10 + 75 ⋅ 50 125 = 40 О м .

В неразветвленной части цепи протекает ток

I 1 = U R = 120 40 = 3 A .

Токи, протекающие через сопротивления (R2 + R4) и (R3 + R5) можно найти различными способами.

1. В параллельных ветвях токи распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям (формула разброса токов):

I 2 = I 1 ⋅ R 3 + R 5 ( R 2 + R 4 ) + ( R 3 + R 5 ) = 3 ⋅ 50 125 = 1,2 A ; I 3 = I 1 ⋅ R 2 + R 4 ( R 2 + R 4 ) + ( R 3 + R 5 ) = 3 ⋅ 75 125 = 1,8 A .

2. Найдем напряжение на зажимах параллельных ветвей:

U a b = I 1 ⋅ ( R 2 + R 4 ) ⋅ ( R 3 + R 5 ) ( R 2 + R 4 ) + ( R 3 + R 5 ) = 3 ⋅ 75 ⋅ 50 125 = 90 B .

I 2 = U a b R 2 + R 4 = 90 75 = 1,2 A ; I 3 = U a b R 3 + R 5 = 90 50 = 1,8 A .

Напряжение на зажимах параллельных ветвей может быть найдено как разность между приложенным напряжением и падением напряжения на сопротивлении R1: Uab = UR1·I1.

Найдем показание вольтметра, равное напряжению между точками с и d:

U V = U c d = − I 2 ⋅ R 2 + I 3 ⋅ R 3 = − 1,2 ⋅ 25 + 1,8 ⋅ 25 = 15 B .

Наконец, вычислим ток, проходящий через амперметр; он равен току короткого замыкания Icd (рис. 1.10, б). Для его нахождения вычислим токи:

I ′ 1 = U R 1 + R 2 ⋅ R 3 R 2 + R 3 + R 4 ⋅ R 5 R 4 + R 5 = 144 47 A ; I ′ 2 = I ′ 1 ⋅ R 3 R 2 + R 3 = 72 47 A ; I ′ 4 = I ′ 1 ⋅ R 5 R 4 + R 5 = 48 47 A .

Искомый ток, проходящий через амперметр,

I A = I ′ c d = I ′ 2 − I ′ 4 = 24 47 = 0,51 A .

Задача 1.6 . В схеме рис. 1.11 заданы сопротивления приемников, величины ЭДС и источника тока отдельных ветвей. Рассчитать неизвестные токи, ЭДС E2 и сопротивление R5, пользуясь законами Кирхгофа.

Правильность решения проверить по балансу мощностей. Для наружного контура построить потенциальную диаграмму и определить показание вольтметра.

Решение

1. Всего в схеме пять ветвей, неизвестных токов I1, I2, I5 – три, неизвестных величин E2 и R5 – две, для нахождения которых составам три уравнения по первому закону Кирхгофа и два – по второму закону Кирхгофа:

д л я у з л а b : J = I 4 + I 5 ; д л я у з л а d : − I 5 − I 3 + I 1 = 0 ; д л я к о н т у р а I : I 5 R 5 − I 4 R 4 = E 3 + E 4 ; д л я к о н т у р а I I : I 1 R 1 + I 2 R 2 = E 1 + E 2 − E 3 .

Из первых трех уравнений находим токи:

I 5 = J − I 4 = 4 − 2 = 2 A ; I 1 = I 5 + I 3 = 2 + 3 = 5 A ; I 2 = − J + I 1 = − 4 + 5 = 1 A .

из четвертого уравнения

R 5 = E 3 + E 4 + I 4 ⋅ R 4 I 5 = 10 + 6 + 14 2 = 15 О м .

Величину E2 определяем из последнего уравнения:

E 2 = I 1 ⋅ R 1 + I 2 ⋅ R 2 − E 1 + E 3 = 5 ⋅ 10 + 10 ⋅ 1 − 100 + 10 = − 30 B .

2. Для построения потенциальной диаграммы найдем потенциалы всех точек контура abcdea, приняв исходный потенциал точки a равным нулю:

φ e = φ a − I 1 ⋅ R 1 = 0 + 5 ⋅ 10 = 50 B ; φ d = φ e − E 1 = 50 − 100 = − 50 B ; φ b = φ d + I 5 ⋅ R 5 = − 50 + 2 ⋅ 15 = − 20 B .

3. По найденным потенциалам строим потенциальную диаграмму, откладывая по оси ординат потенциалы точек, а по оси абсцисс – сопротивления участков (рис. 1.12).

3. Из потенциальной диаграммы легко определить разность потенциалов между точками b и c Ubc = 70 В, что и будет показывать вольтметр.

4. Произведем проверку баланса мощностей:

P и с т о ч н и к о в = E 1 ⋅ I 1 + E 2 ⋅ I 2 + E 3 ⋅ ( − I 3 ) + E 4 ⋅ ( − I 4 ) + U b a ⋅ J ; P п о т р е б и т е л е й = I 1 2 ⋅ R 1 + I 2 2 ⋅ R 2 + I 4 2 ⋅ R 4 + I 5 2 ⋅ R 5 .

Читайте также:  Вилка с индикатором напряжения

В этом уравнении нам неизвестно напряжение на зажимах источника тока Uba, которое легко найти из потенциальной диаграммы: Uba = –20 В. С учетом этого

P и с т о ч н и к о в = 100 ⋅ 5 + ( − 30 ) ⋅ 1 + 10 ⋅ ( − 3 ) + 6 ⋅ ( − 2 ) + ( − 20 ) ⋅ 4 = 348 В т ; P п о т р е б и т е л е й = 5 2 ⋅ 10 + 1 2 ⋅ 10 + 3 2 ⋅ 0 + 2 2 ⋅ 7 + 2 2 ⋅ 15 = 348 В т ; P и с т о ч н и к о в = P п о т р е б и т е л е й = 348 В т .

Источник

Последовательное соединение элементов

Пример 4. В цепи с последовательным соединением элементов задано:

Uвх = 120 В,

R1 = 18 Ом, R2 = 12 Ом, R3 = 30 Ом.

Определить ток I цепи, найти напряжение и мощность, реализуемую в резисторе R1.

Решение. Поскольку напряжение задано на входе всей цепи, в формуле закона Ома следует подставить сопротивление Rвх.

I = = = = 2А,

напряжение и мощность резистора R1:

Дополнительный вопрос: допустимая мощность рассеивания резистора R3 РR3 = 25 Вт. Определить, какое можно подать напряжение на вход цепи UВХ.

Решение. Через заданную мощность находим допустимый ток в цепи

Iдоп = = = 0.91287 ≈ 0.913 А,

Допустимое напряжение на входе цепи:

UВХ = (R1+R2+R3) ∙Iдоп = (18+12+30) ∙0.913 = 54.78 В.

* Параллельное соединение элементов

При параллельном соединении резисторов расчёт цепей легче вести через проводимости элементов или ветвей, хотя заданы (известны) обычно именно сопротивления элементов. Если ветвей всего две, то достаточно просто на-ходится и непосредственно сопротивление RВХ.

Пример 5. В цепи с параллельным соединением резисторов известен об-щий ток I = 4 А, а также сопротивления ветвей

R1 = 20 Ом, R2 = R3 = 40 Ом.

Определить входное напряжение UВХ, найти токи ветвей, получить выражение входного сопротивления цепи RВХ.

Решение. По закону Ома токи ветвей запишутся:

I1 = g1Uвх = ; I2 = g2Uвх = ; I3 = g3Uвх = ;

I = I1 + I2 + I3 = (g1 + g2 + g3) ∙Uвх = gВХUвх = ; отсюда следует:

входная проводимость: gВХ = + = ,

входное сопротивление RВХ = 1/gВХ = ;

Как видим, при параллельном соединении элементов их проводимости просто складываются. Выражение общего сопротивления довольно громозд-кое. Но если параллельно соединены всего два элемента, то удобнее, пожалуй, пользоваться выражением сопротивление параллельного участка:

* В нашем примере задан общий ток I = 4А /а не напряжение Uвх /:

I = gВХUвх ; Uвх = = = 40 В.

I1 = g1Uвх = = 40/20 = 2 А, I2 = g2Uвх = 1 А, I3 = g3Uвх = 1 А.

* Для справки приведём выражения мощности, записанные через проводимости элементов:

РR1 = R1I1 2 = g1U 2 = 0.05 ∙40 2 = 80 Вт.

* Расчёт разветвлённой цепи постоянного тока

Расчёт разветвлённой цепи ведётся по закону Ома. Для этого выполняется эквивалентная замена параллельных участков, после чего цепь рассчитывается как при последовательном соединении.

Для расчёта токов параллельных ветвей часто используется так называемое правило или формула разброса тока в параллельные ветви.

Правильность расчёта токов проверяется составлением баланса мощностей.

Пример 5. Дано: UВХ = 110 В,

R = 40 Ом, R1 = 20 Ом, R2 = 60 Ом.

Рассчитать токи, проверить баланс мощностей.

Получить формулу разброса тока в параллель-ные ветви.

Решение. Так как напряжение задано на входе всей цепи, необходимо Rвх.

Rвх = R + Rab = R + = 40 + = 40 + 15 = 55 Ом.

* Входной ток I и напряжение Uab на параллельном участке :

I = = 110/55 = 2А, Uab = I0 ∙Rab = I = 2 ∙15 = 30 В

* Токи I1 и I2 в параллельных ветвях

Выражения [2] и [3] называют правилом или формулой разброса тока в параллельные ветви: ток в каждой из параллельных ветвей есть часть общего тока, пропорциональная сопротивлению противоположной ветви.

* Уравнение баланса мощностей Σ Рист = Σ Рпотр составляется для исходной (не преобразованной) схемы цепи.

Σ Рист = UистIист = 110 ∙2 = 220 Вт.

Σ Рпотр = RI 2 + R1I1 2 + R2I2 2 =40∙2 2 + 20 ∙1,5 2 + 60 ∙0,5 2 = 220 Вт.

3. ПЕРЕДАЧА ЭНЕРГИИ В НАГРУЗКУ

Источник