Меню

Импульсная характеристика цепи по напряжению

Расчет переходной и импульсной характеристик цепи

Чтобы судить о возможностях электротехнических устройств, принимающих и передающих входные воздействия, прибегают к исследованию их переходных и импульсных характеристик.

Переходная характеристика h(t) линейной цепи, не содержащей независимых источников, численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения в виде единичной ступенчатой функции 1(t) или 1(tt) при нулевых начальных условиях (рис. 14). Размерность переходной характеристики равна отношению размерности реакции к размерности воздействия. Она может быть безразмерной, иметь размерность Ом, Сименс (См).

Рис. 14

Импульсная характеристика k(t) линейной цепи, не содержащей независимых источников, численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса в виде d(t) или d(tt) функции при нулевых начальных условиях. Ее размерность равна отношению размерности реакции к произведению размерности воздействия на время, поэтому она может иметь размерности с –1 , Омс –1 , Смс –1 .

Импульсную функцию d(t) можно рассматривать как производную единичной ступенчатой функции d(t) = d1(t)/dt. Соответственно, импульсная характеристика всегда является производной по времени от переходной характеристики: k(t) = h(0+)d(t) + dh(t)/dt. Эту связь используют для определения импульсной характеристики. Например, если для некоторой цепи h(t) = 0,7e –100t , то k(t) = 0,7d(t) – 70e –100 t . Переходную характеристику можно определить классическим или операторным методом расчета переходных процессов.

Между временными и частотными характеристиками цепи существует связь. Зная операторную передаточную функцию, можно найти изображение реакции цепи: Y(s) = W(s)X(s), т.е. передаточная функция содержит полную информацию о свойствах цепи как системы передачи сигналов от ее входа к выходу при нулевых начальных условиях. При этом характер воздействия и реакции соответствуют тем, для которых определена передаточная функция.

Передаточная функция для линейных цепей не зависит от вида входного воздействия, поэтому она может быть получена из переходной характеристики. Так, при действии на входе единичной ступенчатой функции 1(t) передаточная функция с учетом того, что 1(t) = 1/s, равна

W(s) = L[h(t)] / L[1(t)] = L[h(t)] / (1/s), где L[f(t)] — обозначение прямого преобразования Лапласа над функцией f (t). Переходная характеристика может быть определена через передаточную функцию с помощью обратного преобразования Лапласа, т.е. h(t) = L –1 [W(s)(1/s)], где L –1 [F(s)] — обозначение обратного преобразования Лапласа над функцией F(s). Таким образом, переходная характеристика h(t) представляет собой функцию, изображение которой равно W(s) /s.

При действии на вход цепи единичной импульсной функции d(t) передаточная функция W(s) = L[k(t)] / L[d(t)] = L[k(t)] / 1 = L[k(t)]. Таким образом, импульсная характеристика цепи k(t) является оригиналом передаточной функции. По известной операторной функции цепи с помощью обратного преобразования Лапласа можно определить импульсную характеристику: k(t) W(s). Это означает, что импульсная характеристика цепи единственным образом определяет частотные характеристики цепи и наоборот, так как

W( jw) = W(s)s = jw. Поскольку по известной импульсной характеристике можно найти переходную характеристику цепи (и наоборот), то последняя тоже однозначно определяется частотными характеристиками цепи.

Пример 8. Рассчитать переходную и импульсную характеристики цепи (рис. 15) для входного тока и выходного напряжения при заданных параметрах элементов: R = 50 Ом, L1 = L2 = L = 125 мГн,
С = 80 мкФ.

Рис. 15

Решение. Примéним классический метод расчета. Характеристическое уравнение Zвх = R + pL +
+ 1 / (pC) = 0 при заданных параметрах элементов имеет комплексно-сопряженные корни: p1,2 =
= – d jwA2 = – 100 j200, что определяет колебательный характер переходного процесса. В этом случае законы изменения токов и напряжений и их производных в общем виде записывают так:

y(t) = (M сoswA2t + N sinwA2t)e – d t + yвын; dy(t) / dt =

=[(–Md + NwA2) сos wA2t – (MwA2 + Nd)sinwA2t]e – d t + dyвын / dt, где wA2 — частота свободных колебаний; yвын — вынужденная составляющая переходного процесса.

Вначале найдем решение для uC (t) и iC (t) = C duC (t) / dt, воспользовавшись вышеприведенными уравнениями, а затем по уравнениям Кирхгофа определим необходимые напряжения, токи и, соответственно, переходные и импульсные характеристики.

Для определения постоянных интегрирования необходимы начальные и вынужденные значения указанных функций. Их начальные значения известны: uC (0+) = 0 (из определения h(t) и k(t)), так как iC (t) = iL(t) = i(t), то iC (0+) = iL(0+) = 0. Вынужденные значения определим из уравнения, составленного согласно второму закону Кирхгофа для t +: u1 = R i(t) + (L1 + L2) i(t) / dt + uC(t), u1 = 1(t) = 1 = сonst,

Составим уравнения для определения постоянных интегрирования M, N:

uC (0+) = M + uC вын (0+), iC (0+) = С(–Md + NwA2) + iC вын (0+); или: 0 = M + 1; 0 = –M 100 + N 200; отсюда: M = –1, N = –0,5. Полученные значения позволяют записать решения uC(t) и iC (t) = i(t): uC (t) = [–сos200t – -0,5sin200t)e –100t + 1] B, iC (t) = i(t) = [8010 –6 (100 — 100)Aos200t – (–200 — 50) sin200t)]e –100 t ] = 0,02
sin200t)e –100 t A. Согласно второму закону Кирхгофа,

u2 (t) = uC (t) + uL2 (t), uL2 (t) = uL (t) = Ldi(t) / dt = (0,5сos200t – 0,25sin200t) e –100t B. Тогда u2 (t) =

=(–0,5сos200t – 0,75sin200t) e –100t + 1 = [–0,901sin(200t + 33,69) e –100t + 1] B.

Проверим правильность полученного результата по начальному значению: с одной стороны, u2 (0+) = –0,901 sin (33,69) + 1 = 0,5, а с другой стороны, u2 (0+) = uС (0+) + uL (0+) = 0 + 0,5 — значения совпадают.

Определим переходные и импульсные характеристики схемы: hi (t) = i(t) / u1(t) = i(t) / (1 B) = 0,02 sin200t e –100t См; ki (t) = hi(0+) d(t) + dhi (t) / dt = (4 сos200t – 2 sin200t) e –100t См/с; hu2 (t) =
= u2(t) / u1(t) = u2 (t) / (1 B) = [–0,901sin(200t + 33,69) e –100 t + 1] б/р, ku2 (t) = hu2 (0+) d(t) + dhu2 (t) / dt = 0,5d(t) + (–180,2 сos200t + 90,1 sin200t) e –100t с –1 .

Источник



Переходная и импульсная характеристика

date image2015-05-06
views image8515

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Министерство образования и науки Украины

Донецкий Национальный Университет

Доклад

на тему: Радиотехнические цепи и сигналы

Студента 3 курса дневного отделения НФ-3

Разработал студент:

Александрович С. В.

Читайте также:  Стабилизатор напряжения релейного типа однофазный настенный

Проверил преподаватель:

Долбещенков В. В.

Г.

ВВЕДЕНИЕ

«Радиотехнические цепи и сигналы» (РТЦ и С) – курс, являющийся продолжением курса «Основы теории цепей». Его целью является изучение фундаментальных закономерностей, связанных с получением сигналов, их передачей по каналам связи, обработкой и преобразованием в радиотехнических цепях. Излагаемые в курсе «РТЦ и С» методы анализа сигналов и радиотехнических цепей используют математические и физические сведения, в основном известные студентам из предшествующих дисциплин. Важная задача курса «РТЦ и С» – научить студентов выбирать математический аппарат, адекватный встретившейся проблеме, показать, как работает этот аппарат при решении конкретных задач в области радиотехники. Не менее важно научить студентов видеть тесную связь математического описания с физической стороной рассматриваемого явления, уметь составлять математические модели изучаемых процессов.

Основные разделы, изучаемые в курсе «Радиотехнические цепи и сигналы»:

1. Временной анализ цепей на основе свертки;

2. Спектральный анализ сигналов;

3. Радиосигналы с амплитудной, угловой модуляцией;

4. Корреляционный анализ сигналов;

5. Активные линейные цепи;

6. Анализ прохождения сигналов через узкополосные цепи;

7. Отрицательная обратная связь в линейных цепях;

8. Синтез фильтров;

9. Нелинейные цепи и методы их анализа;

10. Цепи с переменными параметрами;

11. Принципы генерирования гармонических колебаний;

12. Принципы обработки сигналов дискретного времени;

13. Случайные сигналы;

14. Анализ прохождения случайных сигналов через линейные цепи;

15. Анализ прохождения случайных сигналов через нелинейные цепи;

16. Оптимальная фильтрация детерминированных сигналов в шумах;

17. Оптимальная фильтрация случайных сигналов;

18. Численные методы расчета линейных цепей.

ВРЕМЕННОЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ НА ОСНОВЕ СВЕРТКИ

Переходная и импульсная характеристика

В основе временного метода лежит понятие переходной и им­пульсной характеристик цепи. Переходной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции. Обозначается переходная характеристика цепи g(t). Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воз­действие единичной импульсной функции (d-функции). Обо­значается импульсная характеристика h(t). Причем, g(t) и h(t)определяются при нулевых начальных условиях в цепи. В зави­симости от типа реакции и типа воздействия (ток или напряжение) переходные и импульсные характеристики могут быть безразмер­ными величинами, либо имеют размерность А/В или В/А.

Использование понятий переходной и импульсной характери­стик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия непе­риодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(t) или импульс­ной функции d(t), с помощью которых аппроксимируется исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи нахо­дится (с использованием принципа наложения) как сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1(t) или d(t).

Между переходной g(t) и импульсной h(t) характеристиками линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций вели­чины 1/t, сдвинутых друг относительно друга на время t:

т. е. единичная импульсная функция рав­на производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение сохраня­ется и для импульсных и переходных реак­ций цепи

т. е. импульсная характеристика является производной от переход­ной характеристики цепи.

Уравнение справедливо для случая, когда g(0) = 0 (нуле­вые начальные условия для цепи). Если же g(0) ¹ 0, то предста­вив g(t) в виде g(t) = , где = 0, получим уравнение связи для этого случая:

Для нахождения переходных и им­пуль­сных характеристик цепи можно использо­вать как классический, так и операторный методы. Сущность классического метода сос­то­ит в определении временной реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных ветвях цепи) на воздействие единичной 1(t) или импульсной d(t) функ­ции. Обычно классическим методом удобно определять переходную характеристику g(t), а импульсную характеристику h(t) находить с помощью уравнений связи или операторным мето­дом.

Следует отметить, что величина I(р) в уравнении численно равна изображению переходной проводимости. Аналогичное изо­бражение импульсной характеристики численно равно операторной проводимости цепи

Например, для -цепи имеем:

Применив к Y(p) теорему разложения, получим:

В табл. 1.1 сведены значения переходной и импульсных харак­теристик по току и напряжению для некоторых цепей первого и второго порядка.

Источник

Передаточная функция и импульсная характеристика цепи

Интеграл Дюамеля.

Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости или (и) переходную функцию по напряжению , можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода – метода расчета с помощью интеграла Дюамеля – лежит принцип наложения.

При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как , а вторую — как t.

Пусть в момент времени к цепи с нулевыми начальными условиями (пассивному двухполюснику ПДна рис. 1) подключается источник с напряжением произвольной формы. Для нахождения тока в цепи заменим исходную кривую ступенчатой (см. рис. 2), после чего с учетом, что цепь линейна, просуммируем токи от начального скачка напряжения и всех ступенек напряжения до момента t, вступающих в действие с запаздыванием по времени.

В момент времени t составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения , равна .

В момент времени имеет место скачок напряжения , который с учетом временного интервала от начала скачка до интересующего момента времени t обусловит составляющую тока .

Читайте также:  Как измерить напряжение заряда аккумулятора

Полный ток в момент времени t равен, очевидно, сумме всех составляющих тока от отдельных скачков напряжения с учетом , т.е.

Заменяя конечный интервал приращения времени на бесконечно малый, т.е. переходя от суммы к интегралу, запишем

Соотношение (1) называется интегралом Дюамеля.

Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом в (1) вместо переходной проводимости будет входить переходная функция по напряжению.

Последовательность расчета с использованием
интеграла Дюамеля

  1. Определение функции (или ) для исследуемой цепи.
  2. Запись выражения (или ) путем формальной замены t на .
  3. Определение производной .
  4. Подстановка найденных функций в (1) и интегрирование определенного интеграла.

В качестве примера использования интеграла Дюамеля определим ток в цепи рис. 3, рассчитанный в предыдущей лекции с использованием формулы включения.

Исходные данные для расчета: , , .

  1. Переходная проводимость
  1. .
  2. .

18. Передаточная функция.

Отношение оператора воздействия к собственному оператору называют передаточной функцией или передаточной функцией в операторной форме.

Звено, описываемое уравнением или уравнениями в символической или операторной форме записи можно охарактеризовать двумя передаточными функциями: передаточной функцией по входной величине u; и передаточной функцией по входной величине f.

Используя передаточные функции, уравнение записывают в виде . Это уравнение представляет собой условную более компактную запись форму записи исходного уравнения.

Наряду с передаточной функцией в операторной форме широко используют передаточную функцию в форме изображений Лапласа.

Передаточные функции в форме изображений Лапласа и операторной форме с точностью до обозначений совпадают. Передаточную функцию в форме, изображения Лапласа можно получить из передаточной функции в операторной форме, если в последней сделать подстановку p=s. В общем случае это следует из того, что дифференцированию оригинала — символическому умножению оригинала на p — при нулевых начальных условиях соответствует умножение изображения на комплексное число s.

Сходство между передаточными функциями в форме изображения Лапласа и в операторной форме чисто внешнее, и оно имеет место только в случае стационарных звеньев (систем), т.е. только при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим простую RLC (последовательно) цепь, её передаточная функция W(p)=UВЫХ/UВХ

Интеграл Фурье.

Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.

2) Если функция f(x) период Т , то функция f(ax)имеет период .

3) Если f(x)- периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Если f(x) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд: (1)

,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье.

Комплексная форма ряда Фурье

Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если определяется равенством

, где

Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

Частотные функции.

Если подать на вход системы с передаточной функцией W(p)гармонический сигнал

то после завершения переходного процесса на выходе установится гармонические колебания

с той же частотой , но иными амплитудой и фазой, зависящими от частоты возмущающего воздействия. По ним можно судить о динамических свойствах системы. Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ). Анализ ЧХ системы с целью исследования ее динамических свойств называется частотным анализом.

Подставим выражения для u(t) и y(t) в уравнение динамики

(aоp n + a1pn — 1 + a2p n — 2 + . + an)y = (bоp m + b1p m-1 + . + bm)u.

pnu = pnUmejwt = Um (jw)nejwt = (jw)nu.

Аналогичные соотношения можно записать и для левой части уравнения. Получим:

По аналогии с передаточной функцией можно записать:

W(j ), равная отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому закону, называется частотной передаточной функцией. Легко заметить, что она может быть получена путем простой замены p на j в выражении W(p).

W(j ) есть комплексная функция, поэтому:

где P( ) — вещественная ЧХ (ВЧХ); Q( ) — мнимая ЧХ (МЧХ); А( ) — амплитудная ЧХ (АЧХ): ( ) — фазовая ЧХ (ФЧХ). АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного сигналов, ФЧХ — сдвиг по фазе выходной величины относительно входной:

Если W(j ) изобразить вектором на комплексной плоскости, то при изменении от 0 до + его конец будет вычерчивать кривую, называемую годографом вектора W(j ), или амплитудно — фазовую частотную характеристику (АФЧХ) (рис.48).

Ветвь АФЧХ при изменении от — до 0 можно получить зеркальным отображением данной кривой относительно вещественной оси.

В ТАУ широко используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) (рис.49): логарифмическая амплитудная ЧХ (ЛАЧХ) L( ) и логарифмическая фазовая ЧХ (ЛФЧХ) ( ).

Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:

ЛАЧХ получают из первого слагаемого, которое из соображений масштабирования умножается на 20, и используют не натуральный логарифм, а десятичный, то есть L( ) = 20lgA( ). Величина L( ) откладывается по оси ординат в децибелах.

Читайте также:  Хладоновые огнетушители под напряжением

Изменение уровня сигнала на 10 дб соответствует изменению его мощности в 10 раз. Так как мощность гармонического сигнала Р пропорциональна квадрату его амплитуды А, то изменению сигнала в 10 раз соответствует изменение его уровня на 20дб,так как

По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе. То есть единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение w в 10 раз. Такой интервал называется декадой. Так как lg(0) = — , то ось ординат проводят произвольно.

ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом по оси . Величина ( ) откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы: — + .

ЧХ являются исчерпывающими характеристиками системы. Зная ЧХ системы можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.

Обратные связи.

Принято считать, что звено охвачено обратной связью, если его выходной сигнал через какое-либо другое звено подается на вход. При этом, если сигнал обратной связи вычитается из входного воздействия ( ), то обратную связь называют отрицательной. Если сигнал обратной связи складывается с входным воздействием ( ), то обратную связь называют положительной.

Передаточная функция замкнутой цепи с отрицательной обратной связью — звена, охваченного отрицательной обратной связью,— равна передаточной функции прямой цепи , деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи

Передаточная функция замкнутой цепи с положительной обратной связью равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу минус передаточная функция разомкнутой цепи

22. 23. Четырёхполюсники.

При анализе электрических цепей в задачах исследования взаимосвязи между переменными (токами, напряжениями, мощностями и т.п.) двух каких-то ветвей схемы широко используется теория четырехполюсников.

Четырехполюсник – это часть схемы произвольной конфигурации, имеющая две пары зажимов (отсюда и произошло его название), обычно называемые входными и выходными.

Примерами четырыхполюсника являются трансформатор, усилитель, потенциометр, линия электропередачи и другие электротехнические устройства, у которых можно выделить две пары полюсов.

В общем случае четырехполюсники можно разделить на активные,в структуру которых входят источники энергии, и пассивные, ветви которых не содержат источников энергии.

Для записи уравнений четырехполюсника выделим в произвольной схеме ветвь с единственным источником энергии и любую другую ветвь с некоторым сопротивлением (см. рис. 1,а).

В соответствии с принципом компенсации заменим исходное сопротивление источником с напряжением (см. рис. 1,б). Тогда на основании метода наложения для цепи на рис. 1,б можно записать

Решая полученные уравнения (1) и (2) относительно напряжения и тока на первичных зажимах, получим

где ; ; ; — коэффициенты четырехполюсника.

Учитывая, что в соответствии с принципом взаимности , видно, что коэффициенты четырехполюсника связаны между собой соотношением

Уравнения (3) и (4) представляют собой основные уравнения четырехполюсника; их также называют уравнениями четырехполюсника в А-форме (см. табл. 1). Вообще говоря, существует шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника. Действительно, четырехполюсник характеризуется двумя напряжениями и и двумя токами и . Любые две величины можно выразить через остальные. Так как число сочетаний из четырех по два равно шести, то и возможно шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника, которые приведены в табл. 1. Положительные направления токов для различных форм записи уравнений приведены на рис. 2. Отметим, что выбор той или иной формы уравнений определяется областью и типом решаемой задачи.

Таблица 1. Формы записи уравнений пассивного четырехполюсника

Форма Уравнения Связь с коэффициентами основных уравнений
А-форма ; ;
Y-форма ; ; ; ; ; ;
Z-форма ; ; ; ; ; ;
Н-форма ; ; ; ; ; ;
G-форма ; ; ; ; ; ;
B-форма ; . ; ; ; .

Характеристическое сопротивление и коэффициент
распространения симметричного четырехполюсника

В электросвязи широко используется режим работы симметричного четырехполюсника, при котором его входное сопротивление равно нагрузочному, т.е.

Это сопротивление обозначают как и называют характеристическим сопротивлениемсимметричного четырехполюсника, а режим работы четырехполюсника, для которого справедливо

называется режимом согласованной нагрузки.

решением которого является

С учетом (15) уравнения (13) и (14) приобретают вид

где — коэффициент распространения;коэффициент затухания(измеряется в неперах); — коэффициент фазы(измеряется в радианах).

Решая (17) и (18) относительно и , получим

получаем уравнения четырехполюсника, записанные через гиперболические функции:

Передаточная функция и импульсная характеристика цепи

В радиотехнических цепях сопротивления нагрузки обычно велики и не влияют на четырехполюсник либо сопротивление нагрузки стандартно и уже учтено в схеме четырехполюсника.

Тогда четырехполюсник может характеризоваться одним параметром, устанавливающим связь между выходным и входным напряжениями при пренебрежении током нагрузок. При синусоидальном сигнале такой характеристикой является передаточная функция цепи (коэффициент передачи), равная отношению комплексной амплитуды сигнала на выходе к комплексной амплитуде сигнала на входе: , где – фазово-частотная характеристика, — амплитудно-частотная характеристика цепи.

Передаточная функция линейной цепи вследствие справедливости принципа суперпозиции позволяет анализировать прохождение сложного сигнала через цепь, разлагая его на синусоидальные составляющие. Другой возможностью использования принципа суперпозиции является разложение сигнала на сумму сдвинутых во времени d-функций d(t). Реакцией цепи на действие сигнала в виде d-функций является импульсная характеристика g(t), т. е. это сигнал на выходе, если сигнал на входе есть d-функция. при . При этом g(t) = 0 при t

Источник