Меню

Исследование сложной цепи переменного тока

Исследование сложной цепи переменного тока

М и н с к 2 0 10

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 5Н

Исследование сложной цепи переменного тока

Цель работы

Изучение методов расчета сложных цепей переменного тока.

Теоретическая и экспериментальная проверка баланса токов в узлах цепи согласно 1-му закону Кирхгофа и баланса напряжений в контурах со­гласно 2-му закону Кирхгофа.

Теоретическая и экспериментальная проверка баланса активных и ре­ак­тивных мощностей в сложной схеме.

Изучение методов измерения комплексных токов, напряжений и потенциалов точек в сложной цепи переменного тока.

Изучение методов построения топографической диаграммы потенциалов и векторных диаграмм напряже­ний и то­ков для сложной схемы..

Исходные данные

Эквивалентная схема исследуемой сложной цепи (рис. 5.1).

Параметры элементов схемы в комплексной форме: E1 = Е1е ja 1 , E2 = Е2е ja 2 , Z1=R1 + jX1, Z2=R2 + jX2, Z3=R3 + jX3 (табл. 5.1).

Рабочая схема исследуемой цепи (рис. 5.3) и схемы включения измери­тельных приборов (рис. 5.4).

Т а б л и ц а 5.1.

5.3.Теоретические сведения и методические указания

Электрическое состояние любой сложной схемы (цепи) определяется систе­мой уравнений, составленных для нее по 1-му и 2-му законам Кирхгофа в комплексной форме.

1-ый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов в узле схемы (цепи) равна нулю, или I = 0.

2-ой закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных падений на­пряжений в замкнутом кон­туре схемы (цепи) равна алгебраической сумме ком­плексных ЭДС, или U =E.

Для любой сложной схемы в соответствии с законом сохранения энергии должен выполняться баланс (равенство) отдельно для активных мощностей ис­точников и приемников энергии Рист=Рпр, и отдельно для реактивных мощ­ностей источников и приемников энергии Qист=Qпр.

При расчете схемы в ком­плексной форме за базовый вектор (начало от­счета значений углов) рекоменду­ется принять фазное напряжение фазы А в трехфаз­ной системе, т. е. UA = Uфe j 0 .

Расчет токов в сложной схеме с двумя комплексными источниками ЭДС следует выполнить одним из методов расчета сложных схем по выбору (метод законов Кирхгофа, метод кон­турных токов, метод двух узлов), при этом урав­нения следует составлять в комплексной форме.

Система уравнений Кирхгофа:

В результате решения системы уравнений определяются комплексные токи ветвей I1, I2, I3.

Пример решения системы комплексных уравнений Кирхгофа в MathCAD приведен ниже.

Система контурных уравнений:

В результате решения системы уравнений определяются комплексные контурные токи Ik1, Ik2. Токи ветвей I1, I2, I3 определяются через контурные токи: I1 = Ik1, I2 = Ik2, I3 = Ik1 + Ik2. Напряжения на отдельных участках схемы определяются по закону Ома: U1 = I1·Z1, U2 = I2·Z2, U2 = I2·Z2.

Уравнение метода 2-х узлов:

Токи ветвей I1, I2, I3 определяются из потенциальных уравнений ветвей:

Решение задачи по расчету режима цепи переменного тока, как правило, иллюстрируется построением совмещенной векторной диаграммы напряжений и токов. Для этой цели на комплексной плоскости в выбранных масштабах mU и mI из начала координат откладываются найденные векторы напряжений и то­ков. Пример построения такой диаграммы в MathCAD приведен на рис. 5.2.

Активные и реактивные мощности отдельных источников и приемников энергии определяются в комплексной форме:

Состояние электрической цепи можно описывать потенциальной функцией, разность значений потенциалов в двух заданных точках численно равна напряжению между этими точками: Uab = VaVb. При расчете потенциалов точек схемы потенциал одной из них принимают равным нулю, а потенциалы остальных определяют через напряжение между данной точкой и точкой с нулевым потенциалом. Ниже приведен вариант расчета потенциалов точек для исследуемой схемы: Vn = 0 – принимаем; Va = E1; Vb = E1I1·R1; Ve = E2; Vd = E2I2·jX2; Vf = I3· jX3; Vc = I3·jX3 + I3·R3.

Потенциалы всех характерных точек схемы в выбранном масштабе наносятся на комплексную плоскость в виде точек. Отдельные точки соединяются между собой так, как они соединены на схеме. Таким образом формируется топографическая диаграмма потенциалов. Топографическая диаграмма потенциалов дополняется векторной диаграммой токов.

Рис. 5.2. Совмещенная векторная диаграмма напряжений и токов.

Пример построения топографической диаграммы потенциалов и векторной диаграммой токов в MathCAD приведен на рис. 5.3.

При выполнении экспериментальной части работы комплексные ЭДС с заданной начальной фазой через интервал в 120 о по­лучаются от симметричного трехфазного генератора: UA = 73e j , UB = 73e j 120 , UC = 73e j 120 . Комплексные сопротивления ветвей Z = RjX реализу­ются путем последо­вательного включения регулируемого резистора R и регули­руемой катушки L при Х > 0 или регулируемого конденса­тора C при Х j и вектором тока I = Ie j , которые подведены к обмоткам при­бора, т.е. = . Если к фазометру подведен базовый напряжения Uо = Ue j 0 с на­чальной фазой, равной нулю, то показание фазометра будет численно равно = , откуда следует, что = , т.е. на­чальная фаза вектора тока (аргумент комплекса тока) численно равна показанию фазометра с обратным знаком (рис. 5.4а). Если к фазометру подведен базовый тока Iо = Ie j 0 с на­чальной фазой, равной нулю, то показание фазометра будет численно равно = , откуда следует, что на­чальная фаза вектора напряже­ния (аргумент комплекса напряже­ния) численно равна показанию фазометра (рис. 5.4б). В качестве базового вектора напряжения принимается фазное напряжение трехфазного генератора UA = 73ej 0 ,а базовый вектор тока, совпадающий с началом отсчета углов (Iо = Iоe j 0 ), получается от спе­циального источника.

Рис. 5.3. Топографическая диаграмма потенциалов, совмещенная с векторной диаграммой токов.

Для измерения углов в 3-й и 4-й четверти следует изменить полярность одной из обмоток фазометра (переключатель полярности расположен на кор­пусе прибора), и к показанию прибора в этом случае добавить 180 о .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник

Расчёт сложных цепей переменного тока символическим методом

date image2015-03-08
views image2637

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

3.1 Комплексные числа

Для расчёта электрических цепей переменного тока с применением комплексных чисел необходимо знать формы их выражения. Алгебраическая форма имеет вид:

А=а + jb (3.1)

где а – вещественная часть, b– мнимая часть,j= – мнимая единица.

Комплексное число можно показать на комплексной плоскости как вектор, конец которого имеет координаты а и b (рисунок 3.1). По горизонтальной оси откладываются вещественные числа, а по вертикальной – мнимые.

Длина отрезка ОМ в определённом масштабе определяет абсолютное значение или модуль комплексного числа:

Формула для определения угла α зависит от квадранта, в котором находится вектор комплексного числа. Угол α откладывается в положительном направлении против часовой стрелки, а в отрицательном направле­нии — по часовой стрелке от вещественной положительной оси. Это можно показать на рис. 3.2 (а, б и в).

Поскольку при расчёте угла α учащиеся зачастую допускают ошибки, формулы для его определения можно свести в таблицу 3.1. в которой так­же указываются знаки вещественной и мнимой частей в зависимости от квад­ранта, в котором находится заданный комплекс.

Если в формулу (3.1) подставить выражения a = A * Cos aи b = A * Sina, то получаем тригонометрическую форму выражения комплексного числа:

№№ квадрантов Знаки вещественной и мнимой частей Формулы для определения угла
a b
I + + arc tg b/a
II + 180° + arc tg b/a
III 180° + arc tg b/a
IV + arc tg b/a

A= A * Cos α+jA * Sin α=A (Cos α + j Sin α).

В математике доказывается, что Cos α + j Sin α = e jα .

Тогда комплексное число можно выразить в показательной форме:

Таким образом, комплексное число можно представить в виде:

A=a + jb= A (Cos α + j Sin α)= A * e jα . (3.2)

Комплексное число A =a – jb=A (Cos α – j Sin α)=A * e jα называется сопряжённым. Действия с комплексными числами выполняются так же, как действия с алгебраическими выражениями. Наиболее удобными для расчётов в комплексной форме являются микрокалькуляторы: SR-135 «CITIZEN»; SC-503 «CEDAR»; SC-105 «SHARP» и другие, подобные им по содержанию расширенной клавиатуры, имеющие специальный ре­жим работы с комплексными числами, включаемый клавишами или + .

Читайте также:  Реостатное торможение двигателя постоянного тока

Действия с комплексными числами на этих калькуляторах выполняются в алгебраической форме. Однако они позволяют переводить комплекс из ал­гебраической формы в показательную и наоборот.

Например, переведём комплекс А = 3 – j4 в показательную форму, для этого используем тест: , , , , , , , , (получаем модуль А=5), (получаем угол α = –53,13°), то есть A = 3 – j4 = 5 * e — j 53,13 .

Расчёты можно выполнять и на отечественных программируемых микрокалькуляторах типа МК-54, МК-56 и др.

Программ для расчёта с помощью комплексных чисел много. Приводим одну из наиболее удобных.

Арифметические операции (сложение – код 0, умножение – код 1, деление –код 2) над парами комплексных чисел Z1 = a1 + jb1 и Z2 = а2 + jb2 выполняются в следующем порядке, ввод: a1, b1, a2, b2 – в регистр Х, код операции – в регистр Х, результат:

Z = а + jb : a – Р4 = PX. b – Р5 = PY.

Вводится программа последовательным нажатием клавиш и да­лее набирается содержание программы по строчкам. После ввода программы нужно нажать клавиши

Вычислить Z = ((5 – j3) * (3 + j2)) / ((5 + j3) * (2 – j4)) + (0,5 + 1). Вводим , , , , , , , , (на индикаторе высвечива­ется ), (код умножения), .

Х-П 4 С/П Х-П 5 С/П Х-П 2 С/П Х-П 3 С/П F Х≠0
F Х≠0 П-Х 2 F X 2 П-Х 3 F X 2 +
Х-П 8 П-Х 2 П-Х 8 + Х-П 2 П-Х 3 /–/ П-Х 8 + Х-П 3
П-Х 3 П-Х 5 Х Х-П 0 П-Х 4 П-Х 3 Х Х-П 1 П-Х 2 П-Х 5
Х П-Х 1 + Х-П 5 П-Х 2 П-Х 4 Х П-Х 0 Х-П 4
БП П-Х 5 П-Х 3 + Х-П 5 П-Х 4 П-Х 2 + Х-П 4
БП

После получения результата вводим , , , , (на индикаторе высвечивается ). (код деления), . После получения результата вводим , , , , , (на индикаторе выс­вечивается ), (код деления), . После получения результата вводим: , , , , (на индикаторе высвечивается ). (код сложения), :

Получаем: Z = PX + j PY = 1,1388235 + j1,4647059.

Каждое новое вычисление нужно начинать с нажатия клавиши .

3.2 Характеристики и параметры цепей переменного тока в комплексной форме.

Так как теоретический материал по данной теме рассмотрен в учеб­никах, напомним только основные формулы.

Ток в комплексной форме:

где φ — начальная фаза, I — действующее значение тока.

Напряжение в комплексной форме:

Комплексное полное сопротивление:

Z = Z * e jφ =Z *(Cos φ j Sin φ)=R jX.

где знак «плюс» берётся для индуктивной нагрузки, а знак «минус» — для емкостной.

Комплексная полная проводимость:

Y = Y * e jφ = Y *(Cos φ j Sin φ) = G jB.

где знак «плюс» берётся при ёмкостной нагрузке, а знак «минус» – при индуктивной.

Комплексная полная мощность:

S = U * I = S * e =S *(Cos φ j Sin φ) = P jQ.

Где знак «плюс» берётся при индуктивной нагрузке, а знак «минус» – при ёмкостной.

Комплексную мощность приёмников можно определить и по более простой формуле: * *

а так как произведение сопряжённых комплексов равно квадрату модуля, то есть *

мы получим формулу для определения комплексной мощности приёмников:

3.3 Расчёт сложных цепей переменного тока символическим методом

3.3.1 Метод узловых и контурных уравнений

Составляем из заданных электроприёмников цепь с двумя узлами, как это показано на рисунке 3.3. Комплексная схема замещения такой цепи показана на рисунке 3.4.

Рис. 3.3 Рис. 3.4

Сущность метода состоит в составлении системы уравнений по пер­вому и второму законам Кирхгофа. Расчёт производим в следующем порядке.

По первому закону составляем (n – 1) независимых уравнений, где n – количество узлов в схеме. Выбираем узел А.. По второму закону нам остаётся составить два уравнения, так как число уравнений в системе должно быть равно количеству неизвестных токов, а их три. Направления токов в ветвях выбираются произвольно. Направления обхода контуров принимаем (условно) по часовой стрелке. Таким образом, система уравнений в комплексной форме включает в себя одно уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа и два уравнения, составленные по второму закону:

Подставляем заданные комплексы известных величин:

Данную систему легче решить с помощью простых подстановок: из (2) определяем I1, из (3) определяем I3:

Подставляем (4) и (5) в (1) и получим:

5,38 + j8,08 + j3,61 = I2 * (–4,92 – j1,38 – 1 + 0,667 + j0,0778);

5,38 +j11,68 = I2 * (–5,253 – j0,602), отсюда

I2 =(5.38+j11.68)/(-5.253-j0.602) = –1,26 – j2,08 = 2,438e j121,21 A;

I1 = 5,38 + j8,08 + (–1,26 – j2,08) * (4,92 + j1,38) = 2,05 – j3,89 = =4,4 * A.

I3 = –3,61 – (–1,26 – j2,08)*(–0,667 – j0,778) = 0,778 – j5,97 =

Составляем уравнение баланса мощностей в заданной электрической цепи. Определяем комплексные мощности источников:

Определяем комплексные мощности приёмников электрической энергии:

Уравнение баланса комплексных мощностей!

205 + j389 – 81,9 + j135 = 38,7 – j58,1 + 82,7 – j70,8 + j652;

123,1 + j524 = 121,4 + j523, или

Относительная погрешность в балансе полных мощностей составит:

YS = (538.3-536.9) * 100%/538.3 = 0,28% 2 = (314 – j114) – (52 – j336) = 262 + j222;

Δ1 = = 35 * (14 + j6) – 65*(–14 + j12) = (490 + j210) –

– (–910 + j780) = 1400 – j570;

Δ2 = = (16 – j15) * 65 – (–14 + j12) * 35 = (1040 – j975) –

– (–490 + j420) = 1530 – j1395.

Определяем контурные токи:

Действительные токи в ветвях цепи определяем как результат наложения контурных токов:

Уравнение баланса мощностей составлено при решении данного примера предыдущим методом.

3.3.3 Метод упрощения схем

Для того чтобы показать, как рассчитывать цепь методом упрощения схем, предположим, что в источнике с э.д.с. E1 произошло короткое замыкание между зажимами, то есть E1 = 0. Электрическая схема цепи и комплексная схема замещения представлены на рисунках 3.6 и 3.7.

Определяем эквивалентные сопротивления участков и всей цепи. Со­противления Z1 и Z3 соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление

Z1 3 = = = 2,83 – j3,22 Ом

Сопротивления Z1 3 и Z2 соединены последовательно, поэтому эквива­лентное сопротивление всей цепи

Определяем ток в активной ветви:

I2 = = = 2,13 + j1,92 = 2,87 * A.

Напряжение между узлами А и В:

Токи в пассивных ветвях цепи:

I1 = = = 2,2 + j2,6 = 3,41 * A.

I3 = = = –0,0783 – j0,678 = 0,682 * A.

Уравнение баланса мощностей и векторная диаграмма выполняются аналогично примеру 3.3.1.

Источник

Символический (комплексный) метод расчета цепей переменного тока

ads

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt3, когда при времени t3 сумма ωt3 + φ = 90° и соответственно,

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt7, когда при времени t7 сумма углов ωt7 + φ = 270° и, соответственно,

и имеет два нулевых значения при ωtn + φ = 0, когда ωtn = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)

и имеет нулевое значение при угле ωt11, когда при времени t11 сумма ωt11 + φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от значения 0 В до максимальных 311 В и обратно.

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Комплексное число на комплексной плоскости

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

Читайте также:  В замкнутом контуре электрический ток появляется если магнитный поток не равен нулю

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

действующее значение

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

Действующее значение напряжения

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

1) показательная форма в виде

Показательная форма комплексного числа

2) тригонометрическая форма в виде

Тригонометрическая форма комплексного числа

3) алгебраическая форма

Алгебраическая форма комплексного числа

где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

В итоге получим

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду по следующим преобразованиям

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

      • Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
      • В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
      • При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
      • Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
      • Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.

Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

Схема с последовательным соединением элементов

Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

Схема с комплексными обозначениями

Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

По закону Ома ток в цепи равен

Закон ома в комплексной форме

где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как

Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при φ = 0° равно

Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

Находим комплексное сопротивление индуктивности

Находим комплексное сопротивление емкости

Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

Комплексные напряжения на элементах

Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2) действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;

      Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

Решение:
1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что

Комплексное сопротивление первой ветви:

Комплексное сопротивление второй ветви:

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Общее сопротивление цепи

— нагрузка носит активно-индуктивный характер

2. Находим действующие значения токов в ветвях:

Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

Действующие значения, соответственно,

3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

Источник



Лабораторная работа: Исследование цепи переменного тока

ИССЛЕДОВАНИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Изучение явления резонанса в цепи переменного тока. Проверка закона Ома для цепи переменного тока.

Оборудование: стенд для исследования явлений в цепи переменного тока, генератор переменного тока ГЗ –109 (генератор звуковой), вырабатывающий переменный ток с частотой 20 – 20 000 Гц, т. е. в «звуковом» интервале частот, магазин сопротивлений, мультиметр.

Незатухающие вынужденные электрические колебания обычно называют переменным током. Частота переменного тока f – это число колебаний в 1 секунду. Частота 50 Гц принята для промышленного тока во многих странах мира. С помощью генераторов переменного тока можно получать переменный ток любой частоты. При этом напряжение на выходе генератора обычно меняется по гармоническому закону

, (1)

где w =2 p f циклическая частота, f — линейная частота, Um – амплитуда (максимальное значение) напряжения.

Если источник переменного напряжения (генератор) с частотой w подключить к электрической цепи, то в ней возникнут колебания силы тока той же частоты. Но колебания силы тока не обязательно должны совпадать по фазе с колебаниями напряжения. В общем случае мгновенное значение силы тока i определяется по формуле

, (2)

где j — разность (сдвиг) фаз между колебаниями тока и напряжения, Im – амплитуда силы тока.

· В проводнике с активным сопротивлением (резисторе) колебания силы тока по фазе совпадают с колебаниями напряжения, а амплитуда силы тока определяется равенством:

, (3)

где R – (активное) сопротивление резистора.

· В катушке индуктивности колебания силы тока отстают от колебаний напряжения на угол j = p /2 . Амплитуда силы тока в катушке равна

.

Величину XL = w L = 2 p fL (4)

называют индуктивным сопротивлением .

· На конденсаторе колебания силы тока опережают колебания напряжение на угол j = p /2. Амплитуда силы тока равна:

.

Величину (5)

называют емкостным сопротивлением .

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 1), состоящий из соединенных последовательно резистора R , конденсатора С и катушки индуктивности L . Эта цепь является колебательным контуром, в которой возможны собственные электрические колебания с частотой

(6)

Если к концам этой цепи приложено переменное напряжение, изменяющееся по закону (1), то в ней возникнут вынужденные электрические колебания с частотой w . Сила этого переменного тока будет определяться по формуле (2), причем для нахождения амплитуды и фазы тока необходимо учесть влияние всех элементов цепи: R , L , С . Лучше всего это можно сделать с помощью векторной диаграммы (треугольника сопротивлений) (рис. 2). Из рисунка видно, что полное сопротивление цепи равно:

, (7)

а сдвиг фаз между током и напряжением

. (8)

Разность X = ( XL XC ) называется реактивным сопротивлением цепи.

(9)

называют законом Ома для цепи переменного тока (по аналогии с законом Ома для постоянного тока I = U / R ).

Обычные электроизмерительные приборы для переменного тока позволяют измерять эффективные (действующие ) значения силы тока и напряжения, которые связаны с амплитудными значениями:

. (10)

Очевидно, что вид закона Ома для цепи переменного тока не меняется, если вместо амплитудных использовать эффективные значения силы тока и напряжения.

Как известно, резкое увеличение амплитуды колебаний колебательной системы при совпадении частоты вынуждающих колебаний с частотой собственных колебаний системы называется резонансом .

Сила тока в рассматриваемой цепи зависит как от величин R , L , C , так и от частоты w вынуждающих колебаний. Если менять частоту переменного тока, подводимого к рассматриваемой цепи, то при определенной частоте индуктивное сопротивление XL становится равным емкостному сопротивлению XC

(11)

При этом полное сопротивление цепи становится минимальным и равным активному сопротивлению цепи Z = R . Сила тока достигает максимального значения — наступает резонанс, причем резонансная частота совпадает с частотой собственных колебаний контура

(12)

При последовательном соединении элементом цепи (как в данном случае) при резонансе падение напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности становятся одинаковыми по величине – резонанс напряжений

Читайте также:  Монтаж трансформаторов тока это

, (13)

причем их величины могут значительно превышать приложенное напряжение.

«Острота» резонансной кривой характеризуется ее относительной полушириной :

, (14)

где D f =( f 2 f 1 ) ) – разность значений частоты, соответствующих . Эта величина Q называется еще добротностью колебательного контура (колебательной системы). Можно показать, что добротность колебательного контура определяется его параметрами:

(15)

Добротность показывает, во сколько раз падение напряжения на конденсаторе и катушке при резонансе больше, чем приложенное напряжение

(16)

На рисунке 3 показано семейство резонансных кривых при различных значениях активного сопротивления цепи — чем больше активное сопротивление контура, тем менее выражен резонанс.

В работе для измерения различных характеристик цепи используется универсальный измерительный прибор – мультиметр. Положение переключателя прибора определяет характер измеряемой величины: сопротивление – «W» (пределы 0-200 Ом, 0,2-2 k Ом, и т.д.) ; постоянное напряжение «V-» (пределы 0-200мВ, 0,2-2В и т.д.) ; переменное напряжение – «V

» (пределы 0-2В, 2-20В и т.д .); сила переменного тока – «А

» (пределы 0-20мА, 20-200мА и т.д.), сила постоянного тока «А-» (пределы 0-20мА, 20-200 мА и т.д.). Один из щупов постоянно подключен к клемме «СОМ» мультиметра; второй щуп при измерении напряжения и сопротивления подключается к клемме «V/W,» а при измерении силы постоянного и переменного тока до 200 мА – к клемме «mA». Следует быть очень внимательным при работе с мультиметром.

В эксперименте используется стенд, собранный по схеме рис. 1. К соответствующим клеммам стенда подключается генератор синусоидальных колебаний, электроизмерительные приборы и магазин сопротивлений, играющий роль активного сопротивления. Параметры входящих в цепь элементов указаны на стенде.

У генератора используется «Выход 2», 5 Ом. При этом собственное сопротивление генератора, как источника тока, оказывается гораздо меньше, чем сопротивление исследуемой цепи, и может не учитываться при расчетах. Выходное напряжение регулируется ручкой «Напряжение – Плавно». Не следует работать в режиме, при котором стрелка индикаторного вольтметра, установленного на генераторе, «зашкалевает», так как при этом может происходить искажение формы выходного сигнала (отклонение сигнала от синусоидальной формы). Частота генерируемого переменного тока регулируется с помощью лимба и ступенчатого переключателя.

Задание 1 . Предварительные расчеты и измерения

1. На стенде указаны приблизительные значения емкости установленного конденсатора и индуктивность катушки. Рассчитайте с помощью формулы (12) приблизительное значение резонансной частоты f рез (записать в отчет). Это дает возможность определиться с областью частот, в которой предстоит делать измерения.

2. Катушка индуктивности, установленная на стенде, имеет значительное активное сопротивление, которое следует учитывать в дальнейших измерениях. Поэтому с помощью мультиметра (переключатель «W», 2k – 0,2-2 кОм, щупы подключены к клеммам «COM», «V/W») измерьте и запишите в отчет величину активного сопротивления катушки RL . Щупы подключаются к клеммам «С1 , С2 » стенда.

3. Конденсатор, установленный на стенде, не является идеальным, т.е. в процессе работы он дает утечки тока через изоляцию обкладок, что эквивалентно включению параллельно конденсатору некоторого сопротивления. Однако это явление мы не будем учитывать в дальнейшем, так как его влияние на опыт не велико.

4. Для наблюдения явления резонанса можно следить за изменением в зависимости от частоты: силы тока в цепи, напряжения на катушке или напряжения на конденсаторе. В данном опыте рекомендуется снять зависимость силы переменного тока от частоты I = f ( n ) , для чего щупы мультиметра (щупы – «СОМ», «mA», переключатель – «А

0-20мА ) подключаются к клеммам «А 1, А2 » стенда.

5. Включите генератор и дайте ему прогреться несколько минут.

6. Особо следует определить точное значение резонансной частоты. Для этого надо, медленно вращая ручку регулировки частоты в диапазоне ( f рез ± 50 Гц) и внимательно наблюдая за показаниями амперметра, «поймать» частоту, при которой сила тока в цепи принимает максимальное значение. Значение резонансной частоты заносится в отчет. Опыт лучше проводить, когда на магазине сопротивлений установлено нулевое значение.

7. Находясь на резонансной частоте, измерьте падение напряжения на конденсаторе

UC РЕЗ (клеммы «В1 , В2 » стенда) и катушке индуктивности U LРЕЗ . (клеммы «С1 , С2 » стенда). Мультиметр – щупы «COM», «V/W», переключатель «V

», 20V). Так как при этом измерении амперметр будет выведен из цепи, цепь окажется разорванной. Чтобы ее замкнуть, перемкните клеммы «А1 , А2 » стенда перемычкой.

В идеальном случае согласно теории резонанса для цепи с «сосредоточенными» параметрами U LРЕЗ . = UC РЕЗ . Если это не наблюдается, то объясните причины расхождения.

Задание 2. Снятие резонансных кривых.

1. Первый опыт можно провести при нулевом сопротивлении магазина. При этом полное активное сопротивление контура равно активному сопротивлению катушки R = RL .

2. Снятие резонансных кривых желательно провести в диапазоне частот: ( f РЕЗ – 200)Гц – ( f РЕЗ + 200)Гц с шагом приблизительно 20 Гц.

3. Подключите мультиметр к клеммам «А1 , А2 » — п. 4 задания 1. Запишите в таблицу 1 отчета значения силы тока при различных частотах.

4. Снимите еще две резонансные кривые при больших значениях активного сопротивления контура. Второй и третий опыт проведите, введя в контур с помощью магазина сопротивлений дополнительное активное сопротивление, так что R = RL + RM , где RM – сопротивление, устанавливаемое на магазине сопротивлений (например, 100 Ом, 200 Ом ).

5. Постройте (на миллиметровой бумаге – формат А4) на одном графике три резонансные кривые. Отметьте резонансную частоту (рис. 3).

6. Отметьте на графике силу тока в меньшее, чем резонансное значение в каждом из опытов. Измерьте ширины D f резонансных кривых на этих уровнях рассчитайте по формуле (14) величину добротности контура в трех случаях. Исходя из параметров контура по формуле (15) вычислите добротности контура в трех случаях. В выводе сравните измеренные и вычисленные добротности в каждом случае.

7. Сделайте вывод о влиянии активного сопротивления на вид резонансной кривой и добротность контура.

Задание 3. Проверка закона Ома для цепи переменного тока

Цель этого задания сравнить измеренное и вычисленное значение силы тока в цепи переменного тока.

1. Проверку желательно проводить на частоте, значительно (на 100-200 Гц ) отличающееся от резонансной частоты, например на частоте 300 Гц.

2. По формулам (4), (5) вычислите величины индуктивного XL и емкостного XC сопротивления на выбранной частоте. При этом используйте значения емкости конденсатора и индуктивности катушки, указанные на стенде. Вычислите величину реактивного сопротивления X = êXL XC ê.

4. Установите на магазине сопротивлений дополнительное активное сопротивление 100 – 200 Ом . Запишите полное активное сопротивление контура.

3. На миллиметровке (той же, что и для резонансных кривых) постройте треугольник сопротивлений (рис. 2). Можно выбрать масштаб 1 см = 100 Ом . Определите полное сопротивление цепи Z . Определите tg j и угол j сдвига фаз между током и напряжением.

5. Установите выбранную частоту. Измерьте подаваемое на цепь напряжение U (клеммы «D1 , D2 » стенда; мультиметр – щупы «COM», «V/W», переключатель «V

5. Вычислите по закону Ома (10) предполагаемую силу тока I в цепи при данных условиях

6. Подключите к стенду амперметр — клеммы «А 1, А2 » стенда (мультиметр, щупы – «СОМ», «mA», переключатель – «А

», 20m). Измерьте силу тока в контуре.

7. В выводе сравните между собой вычисленное и измеренное значение силы тока и сделайте вывод о выполнении закона Ома.

Отчет по лабораторной работе № 1

Исследование цепи переменного тока.

выполненной учащим…… школы «Поиск»

Задание 1 . Предварительные расчеты и измерения

Емкость конденсатора: С =……… мкФ =……… ´ 10 -6 Ф

Индуктивность катушки: L =……… мГн =…………………… Гн

Активное сопротивление катушки индуктивности: RL = ……… Ом

Расчетная резонансная частота: f рез = …………Гц

Измеренная резонансная частота: f рез = …………Гц

Падение напряжение на конденсаторе при резонансе: UC РЕЗ . = …… В

Падение напряжение на катушке индуктивности при резонансе: U LРЕЗ . = ……В

Задание 2 . Снятие резонансных кривых

Выбранный диапазон частот ………………………………………….

Источник