Меню

Как найти ток ветви с источником эдс

ЭДС. Закон Ома для полной цепи

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: электродвижущая сила, внутреннее сопротивление источника тока, закон Ома для полной электрической цепи.

До сих пор при изучении электрического тока мы рассматривали направленное движение свободных зарядов во внешней цепи, то есть в проводниках, подсоединённых к клеммам источника тока.

Как мы знаем, положительный заряд :

• уходит во внешнюю цепь с положительной клеммы источника;

• перемещается во внешней цепи под действием стационарного электрического поля, создаваемого другими движущимися зарядами;

• приходит на отрицательную клемму источника, завершая свой путь во внешней цепи.

Теперь нашему положительному заряду нужно замкнуть свою траекторию и вернуться на положительную клемму. Для этого ему требуется преодолеть заключительный отрезок пути — внутри источника тока от отрицательной клеммы к положительной. Но вдумайтесь: идти туда ему совсем не хочется! Отрицательная клемма притягивает его к себе, положительная клемма его от себя отталкивает, и в результате на наш заряд внутри источника действует электрическая сила , направленная против движения заряда (т.е. против направления тока).

Сторонняя сила

Тем не менее, ток по цепи идёт; стало быть, имеется сила, «протаскивающая» заряд сквозь источник вопреки противодействию электрического поля клемм (рис. 1 ).

Рис. 1. Сторонняя сила

Эта сила называется сторонней силой; именно благодаря ей и функционирует источник тока. Сторонняя сила не имеет отношения к стационарному электрическому полю — у неё, как говорят, неэлектрическое происхождение; в батарейках, например, она возникает благодаря протеканию соответствующих химических реакций.

Обозначим через работу сторонней силы по перемещению положительного заряда q внутри источника тока от отрицательной клеммы к положительной. Эта работа положительна, так как направление сторонней силы совпадает с направлением перемещения заряда. Работа сторонней силы называется также работой источника тока.

Во внешней цепи сторонняя сила отсутствует, так что работа сторонней силы по перемещению заряда во внешней цепи равна нулю. Поэтому работа сторонней силы по перемещению заряда вокруг всей цепи сводится к работе по перемещению этого заряда только лишь внутри источника тока. Таким образом, — это также работа сторонней силы по перемещению заряда по всей цепи.

Мы видим, что сторонняя сила является непотенциальной — её работа при перемещении заряда по замкнутому пути не равна нулю. Именно эта непотенциальность и обеспечивает циркулирование электрического тока; потенциальное электрическое поле, как мы уже говорили ранее, не может поддерживать постоянный ток.

Опыт показывает, что работа прямо пропорциональна перемещаемому заряду . Поэтому отношение уже не зависит от заряда и является количественной характеристикой источника тока. Это отношение обозначается :

Данная величина называется электродвижущей силой (ЭДС) источника тока. Как видим, ЭДС измеряется в вольтах (В), поэтому название «электродвижущая сила» является крайне неудачным. Но оно давно укоренилось, так что приходится смириться.

Когда вы видите надпись на батарейке: «1,5 В», то знайте, что это именно ЭДС. Равна ли эта величина напряжению, которое создаёт батарейка во внешней цепи? Оказывается, нет! Сейчас мы поймём, почему.

Закон Ома для полной цепи

Любой источник тока обладает своим сопротивлением , которое называется внутренним сопротивлением этого источника. Таким образом, источник тока имеет две важных характеристики: ЭДС и внутреннее сопротивление.

Пусть источник тока с ЭДС, равной , и внутренним сопротивлением подключён к резистору (который в данном случае называется внешним резистором, или внешней нагрузкой, или полезной нагрузкой). Всё это вместе называется полной цепью (рис. 2 ).

Рис. 2. Полная цепь

Наша задача — найти силу тока в цепи и напряжение на резисторе .

За время по цепи проходит заряд . Согласно формуле (1) источник тока совершает при этом работу:

Так как сила тока постоянна, работа источника целиком превращается в теплоту, которая выделяется на сопротивлениях и . Данное количество теплоты определяется законом Джоуля–Ленца:

Итак, , и мы приравниваем правые части формул (2) и (3) :

После сокращения на получаем:

Вот мы и нашли ток в цепи:

Формула (4) называется законом Ома для полной цепи.

Если соединить клеммы источника проводом пренебрежимо малого сопротивления , то получится короткое замыкание. Через источник при этом потечёт максимальный ток — ток короткого замыкания:

Из-за малости внутреннего сопротивления ток короткого замыкания может быть весьма большим. Например, пальчиковая батарейка разогревается при этом так, что обжигает руки.

Зная силу тока (формула (4) ), мы можем найти напряжение на резисторе с помощью закона Ома для участка цепи:

Это напряжение является разностью потенциалов между точками и (рис. 2 ). Потенциал точки равен потенциалу положительной клеммы источника; потенциал точки равен потенциалу отрицательной клеммы. Поэтому напряжение (5) называется также напряжением на клеммах источника.

Мы видим из формулы (5) , что в реальной цепи будет — ведь умножается на дробь, меньшую единицы. Но есть два случая, когда .

1. Идеальный источник тока. Так называется источник с нулевым внутренним сопротивлением. При формула (5) даёт .

2. Разомкнутая цепь. Рассмотрим источник тока сам по себе, вне электрической цепи. В этом случае можно считать, что внешнее сопротивление бесконечно велико: . Тогда величина неотличима от , и формула (5) снова даёт нам .

Смысл этого результата прост: если источник не подключён к цепи, то вольтметр, подсоединённый к полюсам источника, покажет его ЭДС.

КПД электрической цепи

Нетрудно понять, почему резистор называется полезной нагрузкой. Представьте себе, что это лампочка. Теплота, выделяющаяся на лампочке, является полезной, так как благодаря этой теплоте лампочка выполняет своё предназначение — даёт свет.

Количество теплоты, выделяющееся на полезной нагрузке за время , обозначим .

Если сила тока в цепи равна , то

Некоторое количество теплоты выделяется также на источнике тока:

Полное количество теплоты, которое выделяется в цепи, равно:

КПД электрической цепи — это отношение полезного тепла к полному:

КПД цепи равен единице лишь в том случае, если источник тока идеальный .

Закон Ома для неоднородного участка

Простой закон Ома справедлив для так называемого однородного участка цепи — то есть участка, на котором нет источников тока. Сейчас мы получим более общие соотношения, из которых следует как закон Ома для однородного участка, так и полученный выше закон Ома для полной цепи.

Участок цепи называется неоднородным, если на нём имеется источник тока. Иными словами, неоднородный участок — это участок с ЭДС.

На рис. 3 и источник тока. ЭДС источника равна , его внутреннее сопротивление считаем равным нулю (усли внутреннее сопротивление источника равно , можно просто заменить резистор на резистор ).

Рис. 3. ЭДС «помогает» току:

Сила тока на участке равна , ток течёт от точки к точке . Этот ток не обязательно вызван одним лишь источником . Рассматриваемый участок, как правило, входит в состав некоторой цепи (не изображённой на рисунке), а в этой цепи могут присутствовать и другие источники тока. Поэтому ток является результатом совокупного действия всех источников, имеющихся в цепи.

Пусть потенциалы точек и равны соответственно и . Подчеркнём ещё раз, что речь идёт о потенциале стационарного электрического поля, порождённого действием всех источников цепи — не только источника, принадлежащего данному участку, но и, возможно, имеющихся вне этого участка.

Напряжение на нашем участке равно: . За время через участок проходит заряд , при этом стационарное электрическое поле совершает работу:

Кроме того, положительную работу совершает источник тока (ведь заряд прошёл сквозь него!):

Сила тока постоянна, поэтому суммарная работа по продвижению заряда , совершаемая на участке стационарным элетрическим полем и сторонними силами источника, целиком превращается в тепло: .

Подставляем сюда выражения для , и закон Джоуля–Ленца:

Сокращая на , получаем закон Ома для неоднородного участка цепи:

или, что то же самое:

Обратите внимание: перед стоит знак «плюс». Причину этого мы уже указывали — источник тока в данном случае совершает положительную работу, «протаскивая» внутри себя заряд от отрицательной клеммы к положительной. Попросту говоря, источник «помогает» току протекать от точки к точке .

Отметим два следствия выведенных формул (6) и (7) .

1. Если участок однородный, то . Тогда из формулы (6) получаем — закон Ома для однородного участка цепи.

2. Предположим, что источник тока обладает внутренним сопротивлением . Это, как мы уже упоминали, равносильно замене на :

Читайте также:  Разъединитель не может отключать токи

Теперь замкнём наш участок, соединив точки и . Получим рассмотренную выше полную цепь. При этом окажется, что и предыдущая формула превратится в закон Ома для полной цепи:

Таким образом, закон Ома для однородного участка и закон Ома для полной цепи оба вытекают из закона Ома для неоднородного участка.

Может быть и другой случай подключения, когда источник «мешает» току идти по участку. Такая ситуация изображена на рис. 4 . Здесь ток, идущий от к , направлен против действия сторонних сил источника.

Рис. 4. ЭДС «мешает» току:

Как такое возможно? Очень просто: другие источники, имеющиеся в цепи вне рассматриваемого участка, «пересиливают» источник на участке и вынуждают ток течь против . Именно так происходит, когда вы ставите телефон на зарядку: подключённый к розетке адаптер вызывает движение зарядов против действия сторонних сил аккумулятора телефона, и аккумулятор тем самым заряжается!

Что изменится теперь в выводе наших формул? Только одно — работа сторонних сил станет отрицательной:

Тогда закон Ома для неоднородного участка примет вид:

где по-прежнему — напряжение на участке.

Давайте соберём вместе формулы (7) и (8) и запишем закон Ома для участка с ЭДС следующим образом:

Ток при этом течёт от точки к точке . Если направление тока совпадает с направлением сторонних сил, то перед ставится «плюс»; если же эти направления противоположны, то ставится «минус».

Источник

ЛЕКЦИЯ 3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТОКОВ

4. Составим (n −1) = 2 −1=1 уравнение по первому закону Кирхгофа:

5. Дописываем два недостающих уравнения по второму закону Кирхгофа. Рекомендуют составлять уравнения для «главных», не содержащих в

себе других контуров. Направление обхода разных контуров может быть раз-

Выберем направление обхода контуров по часовой стрелке. Тогда

−U2 +U3 = E .

Подставив выражения напряжений по закону Ома, получим следующую систему уравнений:

6. Решением системы находим токи.

Систему уравнений по законам Кирхгофа можно записать в матричной форме следующим образом:

где [a] – квадратная матрица коэффициентов; [I ] – матрица-столбец неиз-

вестных токов ветвей; [F] – матрица-столбец активных параметров, которы-

ми являются токи источников тока и ЭДС.

Уравнения в системе не однотипны, так как записаны на основании двух разных законов. В уравнениях по первому закону Кирхгофа коэффициенты aij безразмерны и могут принимать значения ±1 или 0. В правой части Fj = ΣJ .

В уравнениях по второму закону Кирхгофа коэффициенты aij имеют размерность сопротивления, Fi = ΣE . Если j – ветвь входит в i -тый контур, для которого составлено уравнение, то aij = ±Rij , не входит – aij = 0 .

Для рассмотренного примера

–1 –1 I1 –J
[ а ] = R1 R2 ; [ I ] = I2 ; [ F ] = E1
−R2 R3 I3 E3

Расчет по законам Кирхгофа является универсальным, но громоздким.

Поэтому на его основе разработаны методы, позволяющие упростить решение.

2. Метод узловых потенциалов.

В качестве промежуточных неизвестных принимают потенциалы узлов.

Потенциал – функция многозначная, поэтому потенциал одного из уз-

лов принимают равным нулю. Рационально заземлять узел, в котором схо-

дится максимальное число ветвей.

Уравнения составляют на основании первого закона Кирхгофа. В них

подставляют значения токов, выраженные по закону Ома для активной и пас-

сивной ветвей. Число уравнений равно числу незаземленных узлов. Систему

можно записать в трафаретном виде:

где G11 , G22 , . Gmm – собственные проводимости узлов, равные сумме проводимостей ветвей, соединяющихся в соответствующем узле; G12 , G21 ,

G13 , . – общие проводимости между двумя узлами, равные сумме проводи-

мостей ветвей, соединяющих эти узлы; J11, J22 , . Jmm – узловые токи, рав-

ные алгебраической сумме произведений проводимостей активных ветвей на

ЭДС этих ветвей и токов источников тока, соединяющихся в этом узле.

С положительным знаком берут ЭДС и токи, направленные к узлу.

Составим систему уравнений для схемы на рис. 3.2:

Решением системы уравнений определим потенциалы узлов. Затем рассчитаем токи ветвей по закону Ома:

3. Метод напряжения между двумя узлами.

Этот метод является частным случаем метода узловых потенциалов и применим для схемы с двумя узлами.

Так как потенциал одного из узлов принимают равным нулю, то потенциал второго узла равен напряжению между этими узлами.

Если принятьV2 = 0 , то трафаретная система даёт одно уравнение:

Формулу для определения напряжения между двумя узлами в общем виде можно записать следующим образом:

где Gi − проводимости ветвей; n − число ветвей, содержащих источники ЭДС с отличными от нуля проводимостями; m − число ветвей, содержащих источники тока; l − число ветвей без источников тока.

Число слагаемых в числителе равно числу активных ветвей. С положительным знаком записывают Е и J, направленные к первому в индексе напряжения узлу. Сумма в знаменателе формулы – арифметическая.

Вычислив напряжение между двумя узлами, по закону Ома для ветви находят токи.

4. Метод эквивалентных преобразований схем с последовательно параллельным соединением приемников.

Метод эквивалентных преобразований применяют как самостоятельный для расчета токов в схемах с одним источником энергии и несколькими приемниками. Его можно использовать и для упрощения частей сложной схемы при расчетах другими методами.

Все приемники заменяют одним с эквивалентным сопротивлением.

При этом токи и напряжения в частях схемы, не затронутых преобразовани-

ем, должны оставаться неизменными.

Находят токи в свернутой схеме. Затем возвращаются к исходной схеме с определением остальных токов.

Преобразование схемы проводят постепенно, рассматривая участки с последовательными и параллельными соединениями приемников. Предвари-

тельно нужно выявить узлы и ветви. Элементы, принадлежащие одной ветви,

соединены между собой последовательно. В них один ток. Эквивалентное

сопротивление последовательно соединенных резисторов равно сумме их со-

При параллельном соединении элементы схемы замещения находятся под одним напряжением и соединены между собой двумя выходными зажимами. Эквивалентная проводимость параллельно соединенных резисторов

равна сумме их проводимостей:

В свернутой схеме ток определяют по закону Ома:

При возвращении к исходной схеме с определением остальных токов удобно пользоваться формулой для определения тока в одной из двух парал-

лельно соединенных пассивных ветвей.

Ток в одной из двух параллельно соединенных пассивных ветвей про-

порционален току в неразветвленной части схемы. В числителе коэффициен-

та пропорциональности записывают сопротивление другой пассивной ветви,

в знаменателе – сумму сопротивлений двух пассивных ветвей.

ЛЕКЦИЯ 4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТОКОВ

План лекции

1. Метод эквивалентных преобразований для расчета схем с трехполюсниками

2. Метод наложения

3. Метод эквивалентного генератора

1. Метод эквивалентных преобразований для расчета схем с трехполюсниками.

Если схема не содержит последовательные и параллельные соединения

резисторов, необходимо соединение треугольником (рис. 4.1, а), заменить

эквивалентной ему звездой (рис. 4.1, б) или выполнить обратную замену.

Структура формул эквивалентных преобразований имеет вид:

После преобразования резисторы в схеме соединены последовательно-

параллельно, их можно заменить одним с эквивалентным сопротивлением.

2. Метод наложения

Метод наложения основан на принципе независимости действия источников энергии. Ток в любой ветви схемы равен алгебраической сумме токов, возникающих в этой ветви под действием каждого отдельно работающего источника.

Схему делят на столько подсхем, сколько источников энергии. В каждой подсхеме оставляют только один источник, остальные источники ЭДС

закорачивают, источники тока – разрывают. Приемники во всех подсхемах остаются неизменными .Токи в подсхемах ищут методом эквивалентных преобразований.

Токи в схеме вычисляют алгебраическим суммированием токов в подсхемах.

Метод наложения рационально применять, если в схеме не больше

трех источников энергии.

Рассмотрим применение метода на конкретном примере.

Пример. Вычислить токи в схеме рис. 4.2, если известны значения ЭДС

источников и сопротивления всех резисторов.

1. Выявим узлы (1, 2), ветви, направим токи.

2. Разобьем схему на две подсхемы (рис. 4.3, а, б).

3. Выявим узлы и ветви в первой подсхеме. Ток I1′ появляется в источ-

нике ЭДС, затем в узле 1 разветвляется на токи I2′ и I3′ . Направления токов

нужно указывать правильно. В подсхеме нет ветвей, содержащих больше од-

ного резистора, т. е. нет последовательных соединений. Резисторы с сопро-тивлениями R2 и R3 соединены параллельно. Их можно заменить одним ре-

После этого преобразования схема превращается в последовательное

В свернутой схеме ток I1′ вычислим по закону Ома: I1′ =E1 / R ׳ Э .

Ток I3′ можно определить с помощью первого закона Кирхгофа:

4. Выявим узлы и ветви во второй подсхеме, правильно направим токи.

Читайте также:  Почему дергает током от предметов что делать

Дата добавления: 2015-08-20 ; просмотров: 1485 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Основы электротехники и электроники: Курс лекций , страница 8

Подставим уравнения (11.2-11.4) в (11.1):

Теперь запишем уравнение по закону Ома для эквивалентной ветви (Рис. 11.1 б):

Из сравнения (11.6) и (11.5) очевидны соотношения для параметров эквивалентной цепи:

Обобщим формулы (11.7) и (11.8) на произвольное количество параллельных ветвей.

Итак, параллельные ветви с источниками энергии можно заменить одной эквивалентной ветвью, содержащей последовательно включенные сопротивление и ЭДС. При этом проводимость эквивалентной ветви равна арифметической сумме проводимостей всех ветвей:

Эквивалентная ЭДС равна дроби, в знаменателе которой – сумма проводимостей всех ветвей (как активных, так и пассивных). В числителе – алгебраическая сумма источников тока плюс алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимость своей ветви:

где p – число ветвей с ЭДС;

k – число ветвей с источниками тока;

n – число всех ветвей.

В выражении (11.10) с плюсом берутся те ЭДС и источники тока, которые совпадают по направлению с эквивалентной ЭДС, с минусом – противоположные.

Пример 11.1: Найти ток I3 (Рис. 11.2).

Исходную цепь преобразуем, свернув две активные ветви в одну эквивалентную. При этом ветвь с током I3 преобразованию не подвергнется, а значит, не изменится ток в ней (Рис. 11.3):

Параметры эквивалентной ветви:

Очевидно, что в преобразованной схеме (Рис. 11.3) ток I3 легко определяется по закону Ома:

12. ВЫНЕСЕНИЕ ЭДС И ИСТОЧНИКА ТОКА ИЗ ВЕТВИ

В сложной цепи имеется ветвь с нулевым сопротивлением и идеальной ЭДС (Рис. 12.1).

Требуется преобразовать цепь таким образом, чтобы в ней не было ветви с нулевым сопротивлением. Сделать это можно, удалив ЭДС E из ветви. Тогда потенциалы узлов d и o будут равны, эти узлы можно будет объединить и ветвь с нулевым сопротивлением исчезнет.

Идеальная ЭДС E располагается между узлами d и o. Добавим во все ветви, примыкающие к узлу o, такие же ЭДС E, но направленные не к узлу, а от узла (Рис. 12.2). Очевидно, что при этом изменится потенциал узла o, но потенциалы узлов a, b, c и d останутся неизменными.

Теперь в ветви с нулевым сопротивлением имеются две равные и противоположно направленные ЭДС. Они компенсируют друг друга, и их можно удалить из ветви (Рис. 12.3).

Узлы, соединенные ветвью с нулевым сопротивлением, не содержащей ЭДС, можно объединить. Новый узел будет иметь тот же потенциал, что и у узла d до преобразования. Таким образом, из схемы исключена ветвь с нулевым сопротивлением и узел o (Рис. 12.4).

Такая операция называется вынесением ЭДС из ветви за узел. При вынесении ЭДС из ветви за узел вместо исходной ЭДС появляются точно такие же ЭДС в остальных ветвях, примыкающих к узлу, но ориентированные противоположно (если исходная ЭДС была направлена к узлу, то ЭДС в эквивалентной схеме направлены от узла, и наоборот).

Заметим, что вынесение ЭДС из ветви за узел применимо к любым ветвям, а не только к ветвям с нулевым сопротивлением.

Для вынесения источника тока из ветви достаточно включить точно такие же источники тока параллельно другим ветвям, но так, чтобы не изменилось токораспределение в схеме.

Вынести из ветви источник тока (Рис. 12.5).

Ток источника Jk вытекает из узла c и втекает в узел d. Значит, и в преобразованной схеме ток Jk должен вытекать из узла c и втекать в узел d (Рис. 12.6).

Но если, например, в узел a будет втекать ток Jk и одновременно вытекать ток Jk (Рис. 12.7), распределение токов в схеме не изменится.

Вышеприведенные рассуждения позволяют нам включить два источника тока параллельно ветвям с резисторами R1 и R3 (Рис. 12.8).

13. МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Для расчета токов в электрической цепи достаточно знать потенциалы всех узлов. Тогда с помощью закона Ома можно найти токи.

Электрическая цепь – это система ветвей, соединенных друг с другом узлами. Каждая ветвь упирается своими концами в два узла. Справедливо и обратное утверждение: любые два узла цепи соединяются друг с другом ветвью. Это утверждение поможет нам разработать алгоритм определения потенциалов узлов.

Представим задачу в наиболее общем виде. Пусть в узле n соединяется множество ветвей. При этом каждая ветвь на своем противоположном конце также заканчивается узлом (Рис. 13.1).

Все ветви цепи можно условно разбить на три группы.

Первая – ветви, содержащие ЭДС и обладающие конечной проводимостью. Заметим, что к этой же группе можно отнести ветви с конечной проводимостью без ЭДС. Такие ветви будем обозначать индексом i (Рис. 13.2 а).

Вторая – ветви, содержащие источники тока. Проводимость этих ветвей равна нулю. Такие ветви будем обозначать индексом k (Рис. 13.2 б).

Третья – ветви с ЭДС и нулевым сопротивлением. Проводимость этих ветвей бесконечно велика. Как было показано выше, такие ветви всегда можно устранить из схемы путем вынесения ЭДС из ветви за узел. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать цепь, в которой нет ветвей с ЭДС и нулевым сопротивлением.

Пусть в узле n соединяются i‑ые и k‑ые ветви. Обозначим узлы, противоположные узлу n, индексами i и k (Рис. 13.3). Само собой разумеется, количество i‑ых и k‑ых ветвей может быть каким угодно.

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 267
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 172
  • БГТУ 603
  • БГУ 155
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 963
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 120
  • ВГУЭС 426
  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им. Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1966
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 299
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 408
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 498
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 131
  • ИжГТУ 145
  • КемГППК 171
  • КемГУ 508
  • КГМТУ 270
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2910
  • КрасГАУ 345
  • КрасГМУ 629
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 138
  • КубГУ 109
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 369
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 331
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 637
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 455
  • НИУ МЭИ 640
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 213
  • НУК им. Макарова 543
  • НВ 1001
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1993
  • НГУЭУ 499
  • НИИ 201
  • ОмГТУ 302
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 120
  • РАНХиГС 190
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 245
  • РГГМУ 117
  • РГПУ им. Герцена 123
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 123
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 131
  • СПбГАСУ 315
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 146
  • СПбГПУ 1599
  • СПбГТИ (ТУ) 293
  • СПбГТУРП 236
  • СПбГУ 578
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 194
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 114
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1654
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1473
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2424
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 325
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 309

Полный список ВУЗов

  • О проекте
  • Реклама на сайте
  • Правообладателям
  • Правила
  • Обратная связь

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник



Как найти ток ветви с источником эдс

Возьмем два участка цепи a b и c d (см. рис. 1) и составим для них уравнения в комплексной форме с учетом указанных на рис. 1 положительных направлений напряжений и токов.

Читайте также:  По двум бесконечно длинным проводникам перпендикулярно плоскости чертежа текут токи

Объединяя оба случая, получим

или для постоянного тока

Формулы (1) и (2) являются аналитическим выражением закона Ома для участка цепи с источником ЭДС, согласно которому ток на участке цепи с источником ЭДС равен алгебраической сумме напряжения на зажимах участка цепи и ЭДС, деленной на сопротивление участка. В случае переменного тока все указанные величины суть комплексы. При этом ЭДС и напряжение берут со знаком “+”, если их направление совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком “-”, если их направление противоположно направлению тока.

Основы символического метода расчета цепей
синусоидального тока

Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности.

Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.

1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС

3. Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:

§ первый закон Кирхгофа:

§ второй закон Кирхгофа

Определить:
1) полное комплексное сопротивление цепи ;
2) токи

4. Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем:

5. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это вытекает из закона Ома), то

7. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме

или после подстановки численных значений параметров схемы

Специальные методы расчета

Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с n неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если воспользоваться специальными методами расчета, к которым относятся методы контурных токов и узловых потенциалов.

Метод контурных токов

Идея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по замкнутым контурам, т.е. в случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа . Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать произвольно, лишь бы их число было равно и чтобы каждый новый контур содержал хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми. Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи.

Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных направлений перед началом расчета может не определять действительные направления токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком “-”, это означает, что его истинное направление противоположно.

Пусть имеем схему по рис. 3.

Выразим токи ветвей через контурные токи:

Обойдя контур aeda , по второму закону Кирхгофа имеем

Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров:

совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние.

Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем:

При составлении уравнений необходимо помнить следующее:

— сумма сопротивлений, входящих в i —й контур;

— сумма сопротивлений, общих для i —го и k —го контуров, причем ;

члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком “+”;

знак “+” перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление i —й и k — й контурные токи проходят в одном направлении, в противном случае ставится знак “-”;

если i —й и k — й контуры не имеют общих сопротивлений, то ;

в правой части уравнений записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур: со знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением контурного тока, и “-”, если не совпадает.

В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем:

Следует обратить внимание на то, что, поскольку , коэффициенты контурных уравнений всегда симметричны относительно главной диагонали.

Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в левых частях уравнений как известные контурные токи: k — й контурный ток, проходящий через ветвь с k — м источником тока равен этому току .

Метод узловых потенциалов

Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно , т.е. числу ветвей дерева .

Пусть имеем схему по рис. 4, в которой примем .

Допустим, что и известны. Тогда значения токов на основании закона Ома для участка цепи с источником ЭДС

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а :

и подставим значения входящих в него токов, определенных выше:

Сгруппировав соответствующие члены, получим:

Аналогично можно записать для узла b :

Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. В левой части i —го уравнения записывается со знаком “+”потенциал i —го узла, для которого составляется данное i —е уравнение, умноженный на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному i —му узлу, и со знаком “-”потенциал соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к i —му и k —му узлам.

Из сказанного следует, что все члены , стоящие на главной диагонали в левой части системы уравнений, записываются со знаком “+”, а все остальные – со знаком “-”, причем . Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали.

2. В правой части i —го уравнения записывается так называемый узловой ток , равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к i —му узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС направлена к i —му узлу, в противном случае ставится знак “-”. Если в подходящих к i —му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.

В заключение отметим, что выбор того или иного из рассмотренных методов определяется тем, что следует найти, а также тем, какой из них обеспечивает меньший порядок системы уравнений. При расчете токов при одинаковом числе уравнений предпочтительнее использовать метод контурных токов, так как он не требует дополнительных вычислений с использованием закона Ома. Метод узловых потенциалов очень удобен при расчетах многофазных цепей, но не удобен при расчете цепей со взаимной индуктивностью.

1. Основы теории цепей: Учеб.для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с

Контрольные вопросы и задачи

1. В ветви на рис. 1 . Определить ток .

2. В чем заключается сущность символического метода расчета цепей синусоидального тока?

3. В чем состоит сущность метода контурных токов?

4. В чем состоит сущность метода узловых потенциалов?

; . Методом контурных токов определить комплексы действующих значений токов ветвей.

6. В цепи на рис. 6 . Рассчитать токи в ветвях, используя метод узловых потенциалов.

Источник