Как определить среднюю мощность за определенное время

Но с другой стороны, по известной формуле

Подставляя выражения и произведения синусов в формулу () получим:

Таким образом, мгновенная мощность переменного тока может быть представлена в виде суммы постоянной величины и синусоидальной величины изменяющейся с двойной (по сравнению с током и напряжением) частотой.

Средняя (за период) мощность P может быть определена по формуле

и так как среднее значение второго члена равно 0, то

Это основная формула средней мощности переменного тока. Так как вывод ее не связан с какими-либо особенностями рассматриваемой цепи, то она может быть применена к любой цепи синусоидального переменного тока или к любому участку такой цепи.

Средняя мощность называется также активной мощностью в отличие от реактивной и кажущейся мощностей.

Найденное значение средней мощности отличается от выражения мощности постоянного тока наличием множителя , называемого коэффициентом мощности. Чем меньше коэффициент мощности, то есть чем больше сдвиг фаз между напряжением и током, тем меньше средняя мощность при тех же значениях тока и напряжения или тем больше ток при заданных значениях напряжения и мощности.

Низкий коэффициент мощности имеет следствием неполное использование оборудования электрической установки и уменьшение ее КПД. Если, например, генератор теплоэлектрической станции, работающей при напряжении 6000В, или 6кВ, рассчитан на наибольший ток 200А, то при =0,9 он может давать среднюю мощность

на которую будут рассчитаны и вращающая этот генератор паровая турбина и соответствующие паровые котлы. Но если окажется, что приемник, получающий энергию от этого генератора, имеет в действительности =0,45, т.е. вдвое меньше, то вдвое уменьшится и средняя мощность, которую можно получить от генератора, а следовательно, генератор, турбина и котлы будут использованы на половину своей мощности. Вместе с тем, так как тепловые потери в генераторе и соединительных проводах при неизменном токе также останутся неизменными, то в процентах от средней мощности они окажутся уже вдвое большими, т.е. КПД генератора и соединительных проводов заметно снизится. Отсюда понятна важность поддержания на достаточно высоком уровне.

Чтобы стимулировать работу при высоком , применяется дифференциальный тариф на электрическую энергию, при котором стоимость единицы энергии ( ) зависит от среднего (за месяц), уменьшаясь по мере его увеличения. Низкий чаще всего бывает обусловлен недогрузкой электродвигателей; поэтому правильный выбор мощности электродвигателей является основным средством для получения высокого . На уже существующих установках недостаточно высокий может быть увеличен путем применения конденсаторов.

представляющей собой наибольшее значение активной мощности при заданных действующих значениях напряжения и тока. Хотя единицей кажущейся мощности является тот же ватт (или киловатт), который служит для измерения любой мощности, однако в применении кажущейся мощности ей дается измененное название вольт-ампер (или киловольт-ампер). Благодаря этому можно вместо кажущаяся мощность генератора можно говорить просто мощность генератора, не рискуя быть неправильно понятым. Так, в выражении «генератор мощностью 20 000 ква» имеется в виду кажущаяся мощность этого генератора.

Кажущаяся мощность связана с активной мощностью очевидным соотношением

позволяющим найти активную мощность генератора в определенных условиях нагрузки или подобрать необходимую кажущуюся мощность генератора, способного принять заданную нагрузку.

Пользуясь величинами P и S, можно представить выражение мгновенной мощности в более компактной форме:

представляет собой переменную составляющую мгновенной мощности. Последнее выражение показывает, что кажущаяся мощность является амплитудой этой переменной составляющей.

Если в цепи находится два или более последовательно соединенных приемника с разными , то есть с разными отношениями активной мощности к кажущейся, то кажущаяся мощность всей цепи (или равная ей необходимая кажущаяся мощность генератора) не может быть получена простым сложением кажущихся мощностей отдельных приемников. Действительно, кажущаяся мощность всей цепи

Где I-ток в любом из приемников, а U— общее напряжение в цепи, которое является, как уже известно, векторной, а не арифметической суммой напряжения отдельных приемников. Его абсолютная величина может быть определена по формуле:

Источник

Виды мощности, используемые при исследовании электрических систем. Расчет мощности в цепях постоянного тока

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Ответы на контрольные вопросы:

1. Виды мощности, используемые при исследовании электрических систем.

Различают мгновенную, среднюю и импульсную мощности электрического тока

Мгновенная мощность определяется выражением

Средняя мощность Р равна среднему значению мгновенной мощности за время, равное периоду колебаний.

Импульсная мощность определяют как среднюю мощность за время действия импульса напряжения или тока р=1/t_н∫pdt

В цепях синусоидального тока различают средне активную, реактивную и полную мощности, которые рассчитываются по формулам:

В цепях несинусоидального тока активную и реактивную мощности рассчитывают по формуле:

где P и Q – мощности отдельных гармоник

2. Как рассчитывают мощности в цепях постоянного тока

В цепях постоянного тока мощность рассчитывается по формулам

P = U∙I = I 2 ∙R = U 2 ∙P -1

где U и I – значения постоянного напряжения и тока; R – сопротивление цепи.

3. Как рассчитывают мощность в цепи переменного тока?

В цепях синусоидального тока различают средние активную, реактивную и полную мощности, которые рассчитываются по формулам:

где — действующие значения напряжения и тока в цепи; — активное, реактивное, полное сопротивление цепи соответственно; — сдвиг фаз.

В цепях несинусоидального тока активную и реактивную мощности рассчитывают по формуле:

где — мощности отдельных гармоник

Ферродинамические ваттметры применяются для измерения мощности в цепях переменного тока, главным образом, промышленной частоты.

4. Как определяют импульсную и среднюю мощности?

Различают мгновенную, среднюю и импульсную мощности электрических тока. При этом средняя мощность равна среднему значению мгновенной мощности за время, равное периоду колебания:

Импульсную мощность определяют как среднюю мощность за время действия импульса напряжения или тока:

Между импульсной и средней мощностями имеется взаимосвязь, определяемая выражением:

5. Какие методы измерения мощности используют на низкой частоте?

Методы измерения мощности делятся на электрические, тепловые и механические. Электрические методы могут быть прямыми и косвенными. Тепловые и механические являются косвенными.

Косвенный электрический метод измерения мощности основан на использовании амперметра и вольтметра.

Прямой электрический метод измерения мощности основан на использовании электродинамических, ферродинамических или электронных ваттметров.

Схема измерения мощности методом амперметра и ваттметра

Схема включения электродинамических и ферродинамических ваттметров

6. Какие методы измерения мощности используют на высокой частоте?

В диапазоне СВЧ измерения этих величин затруднены, так как размеры входных цепей измерительных приборов соизмеримы с длиной волны. Любое отличие сопротивлений источника и нагрузки от характеристического сопротивления передающего тракта приводит к неоднозначности отсчета напряжения, В волноводах измерение напряжения вообще невозможно. Поэтому на высокой и сверхвысокой частотах измерение мощности производят только по эквивалентному тепловому эффекту. Наиболее широкое распространенное получение приборы, базирующиеся на тепловых методах измерения мощности. К их числу относят системы калориметрических ваттметров, которые измеряют приращение температуры рабочего тела

Источник

Физика

Скорость совершения работы характеризуется мощностью.

Различают среднюю и мгновенную мощность.

Средняя мощность определяется формулой

где A — работа, совершаемая за время ∆ t .

Для вычисления средней мощности также пользуются формулой

N = ( F → , 〈 v → 〉 ) = F → ⋅ 〈 v → 〉 = F 〈 v 〉 cos α ,

где F → — сила, совершающая работу; 〈 v → 〉 — средняя скорость перемещения; α — угол между векторами F → и 〈 v → 〉 .

В Международной системе единиц мощность измеряется в ваттах (1 Вт).

Мгновенная мощность определяется формулой

где A ′( t ) — производная от функции работы по времени.

Для вычисления мгновенной мощности также пользуются формулой

N = ( F → , v → ) = F → ⋅ v → = F v cos α ,

где F → — сила, совершающая работу; v → — мгновенная скорость перемещения; α — угол между векторами F → и v → .

Пример 20. Тело массой 60 г к моменту падения на Землю имеет скорость 5,0 м/с. Определить мощность силы тяжести в этот момент.

Решение. На рисунке показаны направления скорости тела и силы тяжести, действующей на тело.

В задаче задана мгновенная скорость тела; следовательно, мощность, которую необходимо рассчитать, также является мгновенной мощностью. Величина мгновенной мощности силы тяжести определяется формулой

где mg — модуль силы тяжести; m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения; v — модуль скорости тела; α = 0° — угол между векторами скорости и силы.

N = 60 ⋅ 10 − 3 ⋅ 10 ⋅ 5,0 ⋅ 1 = 3,0 Вт.

Пример 21. При скорости 36 км/ч мощность двигателя автомобиля равна 2,0 кВт. Считая, что сила сопротивления движению автомобиля со стороны воздуха и дороги пропорциональна квадрату скорости, определить мощность двигателя при скорости 72 км/ч.

Решение. Мощность двигателя автомобиля определяется силой тяги и скоростью:

N * = F тяги v cos α ,

где F тяги — величина силы тяги двигателя автомобиля; v — модуль скорости автомобиля при заданной мощности; α = 0° — угол между векторами силы тяги и скорости.

Силы, действующие на автомобиль, направление его скорости и выбранная система координат показаны на рисунке.

Для определения величины силы тяги запишем второй закон Ньютона с учетом того, что автомобиль движется с постоянной скоростью:

F → тяги + F → сопр + m g → + N → = 0 ,

или в проекциях на координатные оси —

O x : F тяги − F сопр = 0 ; O y : N − m g = 0, >

где F сопр — модуль силы сопротивления движению автомобиля; N — модуль силы нормальной реакции, действующей на автомобиль со стороны дороги; m — масса автомобиля; g — модуль ускорения свободного падения.

Из первого уравнения системы следует равенство модулей сил тяги и сопротивления:

По условию задачи сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости автомобиля:

где k — коэффициент пропорциональности.

Подстановка данного выражения в формулу для силы тяги

а затем в формулу для вычисления мощности дает:

N * = k v 3 cos α .

Таким образом, мощность двигателя автомобиля определяется формулой:

при скорости v 1 —

N 1 * = k v 1 3 cos α ;

при скорости v 2 —

N 2 * = k v 2 3 cos α ,

где v 1 = 36 км/ч — первая скорость автомобиля; v 2 = 72 км/ч — вторая скорость автомобиля.

N 1 * N 2 * = k v 1 3 cos α k v 2 3 cos α = ( v 1 v 2 ) 3

позволяет вычислить искомую мощность автомобиля:

N 2 * = N 1 * ( v 2 v 1 ) 3 = 2,0 ⋅ 10 3 ⋅ ( 72 36 ) 3 = 16 ⋅ 10 3 Вт = 16 кВт.

Пример 22. Два автомобиля одновременно трогаются с места и движутся равноускоренно. Массы автомобилей одинаковы. Во сколько раз средняя мощность первого автомобиля больше средней мощности второго, если за одно и то же время первый автомобиль развивает скорость вдвое большую, чем второй? Сопротивлением движению пренебречь.

Решение. Мощность двигателей автомобилей определяется формулой:

для первого автомобиля

N 1 * = F тяги 1 v 1 cos α ,

для второго автомобиля

N 2 * = F тяги 2 v 2 cos α ,

где F тяги1 — величина силы тяги двигателя первого автомобиля; v 1 — модуль скорости первого автомобиля; F тяги2 — величина силы тяги двигателя второго автомобиля; v 2 — модуль скорости второго автомобиля; α = 0° — угол между векторами силы тяги и скорости.

Силы, действующие на первый и второй автомобиль, направление движения и выбранная система координат показаны на рисунке.

Для определения величины силы тяги запишем второй закон Ньютона с учетом того, что автомобили движутся равноускоренно:

для первого автомобиля

F → тяги 1 + m 1 g → + N → 1 = m 1 a → 1 ,

или в проекциях на координатные оси —

O x : F тяги 1 = m 1 a 1 ; O y : N 1 − m 1 g = 0, >

для второго автомобиля

F → тяги 2 + m 2 g → + N → 2 = m 2 a → 2 ,

или в проекциях на координатные оси —

O x : F тяги 2 = m 2 a 2 ; O y : N 2 − m 2 g = 0, >

где m 1 — масса первого автомобиля; m 2 — масса второго автомобиля; g — модуль ускорения свободного падения; N 1 — модуль силы нормальной реакции, действующей на первый автомобиль со стороны дороги; N 2 — модуль силы нормальной реакции, действующей на второй автомобиль со стороны дороги; a 1 — модуль ускорения первого автомобиля; a 2 — модуль ускорения второго автомобиля.

Из записанных уравнений следует, что величины сил тяги первого и второго автомобиля определяются формулами:

для первого автомобиля

F тяги1 = m 1 a 1 ,

для второго автомобиля

F тяги2 = m 2 a 2 .

Отношение модулей сил тяги ( F тяги1 / F тяги2 ) определяется отношением

F тяги 1 F тяги 2 = m 1 a 1 m 2 a 2 .

Движение автомобилей происходит равноускоренно без начальной скорости, поэтому их скорость с течением времени изменяется по законам:

для первого автомобиля

для второго автомобиля

Отношение модулей скоростей ( v 1 / v 2 ) определяется отношением величин ускорений ( a 1 / a 2 ):

v 1 v 2 = a 1 a 2 ,

а отношение мощностей —

N 1 * N 2 * = F тяги 1 v 1 cos α F тяги 2 v 2 cos α = F тяги 1 F тяги 2 v 1 v 2 .

Подставим в полученное отношение выражения для ( F тяги1 / F тяги2 ) и ( v 1 / v 2 ):

N 1 * N 2 * = m 1 a 1 m 2 a 2 a 1 a 2 = m 1 m 2 ( a 1 a 2 ) 2 .

Преобразование формулы с учетом равенства масс автомобилей ( m 1 = m 2 = m ) и замены ( a 1 / a 2 = v 1 / v 2 ) дает искомое отношение мощностей:

N 1 * N 2 * = ( v 1 v 2 ) 2 = ( 2 v 2 v 2 ) 2 = 2 2 = 4 .

Таким образом, мощность первого автомобиля в 4 раза больше мощности второго автомобиля.

Источник