Как посчитать напряжения при изгибе

Техническая механика

Сопротивление материалов

Напряжения при изгибе

Нормальные напряжения при чистом изгибе

Как было установлено ранее, в поперечных сечениях балки при чистом изгибе возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия. Вопрос о распределении этих напряжений по поперечному сечению решается путем рассмотрения деформаций волокон балки.

Рассмотрим участок балки, подверженный деформации чистого изгиба. Двумя поперечными сечениями АВ и СD выделим элемент балки бесконечно малой длины ds (рис 1). Радиус кривизны нейтрального слоя балки обозначим ρ.

Рассмотрим слой волокон mn, находящийся на расстоянии y от нейтрального слоя NN. Это волокно в результате деформации изгиба удлинилось на величину nn 1. Ввиду малости расстояния ds заштрихованные треугольники будем считать прямолинейными; эти треугольники подобны (n 1F || mE):

Из подобия треугольников запишем равенство:

Так как левая часть этого равенства есть относительное удлинение, т. е. nn 1 / ds = ε, то y / ρ = ε.

Применив закон Гука при растяжении и сжатии σ = Еε, получим:

Из этой формулы видно, что нормальные напряжения при изгибе распределены по высоте сечения неравномерно: максимальные напряжения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси. По ширине сечения нормальные напряжения не меняются.
Распределение нормальных напряжений изображено на рис. 2.

Полученная формула для определения нормальных напряжений неудобна, так как в нее входит радиус кривизны нейтрального слоя.
Для вывода формулы, связывающей нормальные напряжения с изгибающим моментом, применим метод сечений и рассмотрим равновесие части балки, изображенной на рис. 3.
В плоскости поперечного сечения выделим бесконечно малую площадку dA, в пределах которой будем считать нормальные напряжения σ постоянными; тогда нормальная сила dN, действующая на площадку dA, будет равна:

Составим уравнения равновесия:

1. Σ Z = 0; ∫dN = 0, или: ∫σ dA = ∫Еy / ρ dA = Е / ρ ∫y dA = 0 .

(ρ для данного сечения, а также модуль упругости Е – величины постоянные, поэтому вынесены за знак интеграла). Поскольку ρ и Е не равны нулю, значит, ∫y dA = 0. Этот интеграл представляет собой статический момент площади сечения относительно оси x, т. е. нейтральной оси бруса (балки). Равенство нулю статического момента инерции означает, что при изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести площади поперечного сечения;

Так как при чистом изгибе изгибающий момент равен внешнему моменту М и = m, то

М и = ∫y dN = ∫y dA = ∫y Еy / ρ dA = Е / ρ ∫y 2 dA,

где: I = ∫y 2 dA – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси; ЕI – жесткость сечения при изгибе.

Так как при чистом изгибе балки постоянного сечения М и = const, то:

ρ = EI / М и = const.

Следовательно, изогнутая ось такой балки представляет собой дугу окружности. Выражение радиуса кривизны подставим в формулу для определения нормальных напряжений; тогда:

σ = Еy / ρ = Ey / EI / М и = М и y / I.

Максимальное значение нормальные напряжения будут иметь у волокон, наиболее удаленных от нейтральной оси:

σ max = М и y max / I = М и / I / y max = М и / W,

где W = I / y max – момент сопротивления изгибу (или осевой момент сопротивления).
Момент сопротивления изгибу есть отношение осевого момента инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленного волокна.
Единица момента сопротивления сечения изгибу [W] = м 3 .

Итак, наибольшие нормальные напряжения при чистом изгибе вычисляются по формуле

Нетрудно заметить, что эта формула по своей структуре аналогична формулам для определения напряжений при растяжении, сжатии, сдвиге и кручении.

Касательные напряжения при изгибе

Очевидно, что при поперечном изгибе, вызванном приложением к балке поперечной силы, в сечениях балки должны возникнуть касательные напряжения.
Определением зависимости между внешними нагрузками, геометрическими и физическими параметрами балок и касательными напряжениями, возникающими в них, занимался русский мостостроитель Д. И. Журавский, который в 1855 году предложил следующую формулу:

Эта формула называется формулой Журавского и читается так:
касательные напряжения в поперечном сечении балки равны произведению поперечной силы Q на статический момент S относительно центральной оси части сечения, лежащей выше рассматриваемого слоя волокон, деленному на момент инерции I всего сечения относительно нейтральной оси и на ширину b рассматриваемого слоя волокон.

По формуле Журавского можно вывести зависимости для определения касательных напряжений в балках, имеющих разную форму поперечного сечения (прямоугольную, круглую и т. п.).
Например, для балки круглого сечения формула Журавского в результате преобразований выглядит так:

τ max = 4Q / (3A) = 4τ сред / 3,

где Q – поперечная сила, вызывающая изгиб, А – площадь сечения балки.

Большинство балок в конструкциях рассчитывается только по нормальным напряжениям, и только три вида балок проверяют по касательным напряжениям:

— деревянные балки, т. к. древесина плохо работает на скалывание;
— узкие балки (например, двутавровые), поскольку максимальные касательные напряжения обратно пропорциональны ширине нейтрального слоя;
— короткие балки, так как при относительно небольшом изгибающем моменте и нормальных напряжениях у таких балок могут возникать значительные поперечные силы и касательные напряжения.
Максимальное касательное напряжение в двутавровой балке определяется по формуле Журавского, при этом геометрические характеристики таких балок берутся из справочных таблиц .

Расчеты на прочность при изгибе

Условие на прочность при изгибе заключается в том, что максимальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемое.
Полагая, что гипотеза о не надавливании волокон справедлива не только при чистом, но и при поперечном изгибе, мы можем нормальные напряжения при поперечном изгибе определять по такой же формуле, что и при чистом изгибе, при этом расчетная формула выглядит так:

σ max = Ми max / W ≤ [σ]

и читается так: нормальное напряжение в опасном сечении, определенное по формуле σ max = Ми max / W ≤ [σ] не должно превышать допускаемое.
Допускаемое нормальное напряжение при изгибе выбирают таким же, как при растяжении и сжатии.
Максимальный изгибающий момент определяют по эпюре изгибающих моментов или расчетом.
Так как момент сопротивления изгибу W в расчетной формуле стоит в знаменателе, то чем больше W, тем меньшие напряжения возникают в сечении бруса.

Ниже приведены моменты сопротивления изгибу для наиболее часто встречающихся сечений:

1. Прямоугольное сечение размером b x h: W пр = bh 2 / 6.

2. Круглое сечение диаметром d: W круг = π d 3 / 32 ≈ 0,1d 3

3. Кольцо размером D x d: W кольца = ≈ 0,1 (D 4 – d 4 ) / D; (момент сопротивления кольцевого сечения нельзя определять, как разность моментов сопротивления большого и малого кругов).

Источник



ISopromat.ru

Важнейшим критерием оценки прочности балок при изгибе являются напряжения.

Расчет напряжений

Возникающий в поперечных сечениях при чистом прямом изгибе изгибающий момент M_x

представляет собой равнодействующий момент внутренних нормальных сил, распределенных по сечению и вызывающих нормальные напряжения в точках сечения.

Закон распределения нормальных напряжений по высоте сечения выражается формулой:

где:
M — изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сечении относительно его нейтральной линии X;
I_x — осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси;
y – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяется напряжение.

Нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения.

По вышеуказанной формуле, нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону.

Наибольшие значения имеют напряжения у верхнего и нижнего краев сечения.

Например, для симметричного относительно нейтральной оси сечения, где y₁=y₂=h/2:

Напряжения в крайних точках по вертикали (точки 1 и 2) равны по величине, но противоположны по знаку.

Для несимметричного сечения

напряжения определяются отдельно для нижней точки 1 и верхней точки 2:

где:

W_X — осевой момент сопротивления симметричного сечения;
W_X(1) и W_X(2) — осевые моменты сопротивления несимметричного сечения для нижних и верхних слоев балки.

Знаки нормальных напряжений при их расчете, рекомендуется определять по физическому смыслу в зависимости от того, растянуты или сжаты рассматриваемые слои балки.

Условия прочности при изгибе

Прочность по нормальным напряжениям

Условие прочности по нормальным напряжениям для балок из пластичного материала записывается в одной крайней точке.

В случае балки из хрупких материалов, которые, как известно, по-разному сопротивляются растяжению и сжатию – в двух крайних точках сечения.

Здесь:
M_max — максимальное значение изгибающего момента, определяемого по эпюре M_x;
[ σ], [ σ]_р, [ σ]_с — допустимые значения напряжений для материала балки (для хрупких материалов – на растяжение (р) и сжатие (с)).

Для балки из хрупкого материала обычно применяют сечения, несимметричные относительно нейтральной оси. При этом сечения располагают таким образом, чтобы наиболее удаленная точка сечения размещалась в зоне сжатия, так как [ σ]_с>[ σ]_р.

В таких случаях, проверку прочности следует обязательно проводить в двух сечениях: с наибольшим положительным изгибающим моментом и с наибольшим по абсолютной величине (модулю) отрицательным значением изгибающего момента.

При расчете элементов конструкций, работающих на изгиб, с использованием вышеуказанных условий прочности решаются три типа задач:

1. Проверка прочности
   
2. Подбор сечений
   
3. Определение максимально допустимой нагрузки
   

Прочность по касательным напряжениям

В случае прямого поперечного изгиба в сечениях балки, кроме нормальных напряжений σ от изгибающего момента, возникают касательные напряжения τ от поперечной силы Q.

Закон распределения касательных напряжений по высоте сечения выражается формулой Д.И. Журавского

где
S_{x отс} — статический момент относительно нейтральной оси отсеченной части площади поперечного сечения балки, расположенной выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения;
b_y — ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки, в которой рассчитывается величина касательных напряжений τ.

Условие прочности по касательным напряжениям записывается для сечения с максимальным значением поперечной силы Q_max:

где [ τ] – допустимое значение касательных напряжений для материала балки.

Полная проверка прочности

Полную проверку прочности балки производят в следующей последовательности:

1. По максимальным нормальным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольший по абсолютному значению изгибающий момент M.
2. По максимальным касательным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольшая по абсолютному значению поперечная сила Q.
3. По главным напряжениям для сечения, в котором изгибающий момент и поперечная сила одновременно достигают значительных величин (или когда M_max и Q_max действуют в одном и том же сечении балки).

При анализе плоского напряженного состояния главные напряжения при изгибе, примут вид:

так как нормальные напряжения в поперечном направлении к оси балки принимаются равными нулю.

Проверка прочности осуществляется с помощью соответствующих гипотез прочности, например, гипотезы наибольших касательных напряжений:

Источник

Нормальные напряжения при изгибе

Для того, чтобы от внутренних сил перейти к напряжениям, необходимо распределить внутреннюю силу Q и внутренний момент M по поперечному сечению так, чтобы это распределение соответствовало реальной картине изгиба, наблюдаемой в опыте.

Вспомним, что момент M является результирующей нормальных напряжений в сечении (при отсутствии осевой нагрузки), а сила Q является результирующей касательных напряжений. Из этого можно сделать вывод, что в общем случае изгиба в сечении будут действовать как нормальные, так и касательные напряжения. То есть сечения изгибаемой балки будут как поворачиваться друг относительно друга, так и сдвигаться.

Следуя принципу «от простого к сложному», давайте сначала рассмотрим случай изгиба, когда в сечениях отсутствует сила Q, т.е. случай чистого изгиба.

Для того, чтобы правильно распределить момент M по сечению и разложить его на составляющие напряжения, можно для удобства рассмотреть изгиб бруса прямоугольного поперечного сечения.

До нагружения на боковой грани этого бруса нарисуем прямоугольник и нагрузим брус так, чтобы добиться чистого изгиба. После деформации нарисованный прямоугольник mmpp поменяет свою форму, как это показано ниже:

Допустим, что боковые линии mm и pp остались прямыми и на основе этой гипотезы (гипотезы плоских сечений) построим теорию изгиба.

Если замерить длину внешнего «волокна» ss’ и сравнить её со соответственной длиной ss1 в недеформированном прямоугольнике, то можно обнаружить, что длина «волокна» увеличилась (в дальнейшем под «волокном» будем понимать условную полосу материала с бесконечно малой площадью поперечного сечения).

Если же рассмотреть внутреннее волокно (на рисунке сверху), то можно обнаружить, что там имеются аналогичные деформации, только не растяжения, а сжатия.

Где-то посередине между ними есть такое волокно nn1, длина которого осталась неизменной.

Чтобы от абсолютной деформации перейти к относительной, надо абсолютную деформацию поделить на исходную длину:

Если обозначить через r радиус кривизны изогнутой оси балки, то можно выделить два подобных треугольника: ∆nOn1 и ∆s1n1s’. Если обозначить расстояние волокна s’s1 до нейтрального слоя nn1 за y, то полученное выше относительное удлинение можно выразить через y и r:

Отсюда можно получить напряжения, вызывающие такие относительные деформации:

На основе многочисленных опытов было получено, что распределение напряжений по высоте сечения будет линейным и будет зависеть от расстояния до нейтральной оси nn – чем ближе к нейтральной оси расположено волокно, тем меньше напряжения будут в нём; и чем дальше от нейтральной оси расположено волокно, тем больше напряжения будут в нём. Только для этого должно соблюдаться условие – материал при изгибе работает в пределах пропорциональности и упругости, т.е. выполняется закон Гука. Также на основе опытов выяснилось, что напряжения в сечении не меняются в направлении, параллельном nn.

Зная напряжения в любом месте сечения, можно задаться малой площадкой dF и получить действующую в ней силу:

Момент этой силы относительно нейтральной оси равен:

Если просуммировать такие моменты по площади сечения, то можно получить внутренний момент M:

Для нахождения действующих напряжений можно из формул:

выразить радиус кривизны и приравнять оба выражения:

Отсюда можно получить выражение для напряжений в любом интересующем месте сечения:

Если же суммировать не моменты, а силы по площади, то тогда получается следующее:

Так как по одну сторону от нейтральной оси действует растяжение, а по другую сторону сжатие, то сумма этих напряжений по всей площади должна дать ноль:

Данный интеграл – это статический момент площади поперечного сечения. Если статический момент относительно какой-то оси равен нулю, то эта ось проходит через центр тяжести сечения.

Возвратимся к выражению для напряжений:

Выражение в знаменателе – это момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси nn. Обычно этот интеграл обозначают как I или J. Также указывают индексы, указывающие, относительно чего берётся такая сумма (например, оси координат y, z и т.д.). Формула для нахождения напряжений принимает вид:

Для решения практических задач выведены формулы моментов инерций для самых разных типов поперечных сечений, которые можно найти в соответственных учебниках и справочниках, однако будет полезным самостоятельно вывести формулы для некоторых простейших сечений.

Давайте выведем формулу момента инерции относительно оси z для прямоугольного сечения с высотой h и шириной b:

Выделим элемент с шириной b и малой высотой dy, который отстоит от оси z на расстоянии y и просуммируем произведение квадрата расстояния и площади элемента по всей высоте прямоугольника (от –h/2 до h/2).

Теперь определим момент инерции для круглого сечения.

Момент инерции подсчитывается по следующей формуле:

Для решения этого интеграла в случае круглого сечения есть два подхода:

• С использованием декартовой системы координат
• С использованием полярной системы координат

Если решать интеграл для круга по аналогии с прямоугольником, то можно поделить его на полосы толщиной dy, расположенных на расстоянии y от оси z; длину их выразить через R и y через теорему Пифагора и затем просуммировать произведение по высоте y.

Здесь dF можно представить как:

Если решать данный интеграл, то получается слишком громоздкое решение с не вполне красивым ответом.

Это решение логически более последовательно и понятно для данного курса, однако, с другой стороны, оно настолько громоздко, что мы воспользуемся полярной системой координат, используя бесконечно малые dr (суммируя по радиусу) и dα (суммируя по окружности).

Выделим элементарную площадку dF, расположенную под углом α к Oz и на расстоянии r от начала координат. Элементарная площадка отложена малым углом dα и малым радиусом dr:

Для того, чтобы использовать интеграл момента инерции, распишем понятия y и dF:

Так как обе половину сечения одинаковы, то можно провести суммирование лишь для верхней части и результат удвоить:

упростим выражение, используя формулу косинуса двойного угла:

Если проанализировать формулу для момента инерции, то можно обнаружить, что наиболее полезным для изгиба будет такое сечение, у которого площадь максимально разнесена от нейтральной оси. В этом смысле получается, что круглое сечение – плохое сечение для восприятия изгиба, так как вся его площадь расположена близко к нейтральной оси. Однако круглое сечение можно модифицировать, если убрать его центральную часть, оставив только площадь по краям. Иными словами, перейти к кольцевому сечению (трубе).Для определения напряжений в трубе справедлив тот же подход, что и в балке круглого сечения. Единственное, что поменялось – это подсчёт момента инерции.

Если принять за r2 внешний радиус, а за r1 – внутренний, то тогда в подсчёте момента инерции изменятся границы суммирования по радиусу:

Но, тем не менее, даже кольцевое сечение не является идеальным распределением площади для восприятия изгиба, так как по-прежнему значительная часть площади располагается у нейтральной оси. Идеальным было бы сделать сечение в виде двух прямоугольников, максимально разнесённых от нейтральной оси z:

Однако в данном случае получается, что они не соединены друг с другом. Соединить их можно многими способами, но наиболее часто встречающиеся:

Левое сечение – коробчатое, правое сечение – двутавр. Данные фигуры – сложные, т.к. по сути составлены из нескольких прямоугольников.

Так как момент инерции площади – это, по сути, большой многочлен, каждое слагаемое которого представляет собой произведение площадки на квадрат расстояния до нейтральной оси, то момент инерции, например, коробчатого сечения можно представить как разность момента инерции внешнего и внутреннего прямоугольника:

Для такого подхода необходимо, чтобы оси z1 и z2 совпадали, как это показано на рисунке:

Момент инерции сечения двутавра, показанного на рисунке ниже, можно подсчитать по аналогии: из момента инерции большого прямоугольника вычитается суммарный момент инерции двух «пустот».

Формулы выше получены способом сложения/вычитания моментов инерции, однако в общем случае важно понимать, что нельзя просто суммировать или вычитать моменты инерции, подобно площади, так как помимо собственно площади в формуле фигурирует расстояние от этой площади до нейтральной оси. И в случае сечений, имеющих, например, только одну плоскость симметрии (например, двутавр с полками разной ширины, см. рисунок ->), решение способом, изложенным выше, приведёт к неправильному ответу.

Если посмотреть на формулу для нормальных напряжений:

то можно заметить, что и y, и Iz зависят от размеров сечения. В практических задачах чаще всего интересуют те «волокна» материала, которые наиболее удалены от нейтральной оси и в которых действуют наибольшие нормальные напряжения.

Логически напрашивается ввод новой величины, объединяющей обе:

В сопромате эту величину принято называть моментом сопротивления сечения.

Как и момент инерции Iz, момент сопротивления W является характеристикой сечения, и, с одной стороны, им удобнее пользоваться при подборе сечений, но, с другой стороны, это менее «гибкая» величина, и ей нельзя оперировать при определении характеристик сложных сечений, как, например, в формуле для симметричного двутавра, где использовалась величина момента инерции.

Источник