Меню

Как построить эпюру нормальных напряжений ступенчатого стержня

НОРМАЛЬНЫЕ СИЛЫ И ИХ ЭПЮРЫ

РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Растяжение ( сжатие) – вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня появляются только нормальные силы, а остальные силовые факторы равны нулю. При этом положительная нормальная сила направлена в сторону внешней нормали к сечению, т.е. вызывает растяжение, а отрицательная – сжатие. Внешние силы в этом случае приводятся к равнодействующей, направленной вдоль оси стержня.

Формально растяжение от сжатия отличается только знаком нормальной силы. Ниже будет показано, что это не всегда справедливо. В частности, при растяжении и сжатии могут сильно различаться механизмы разрушения. Кроме того, при сжатии длинных гибких стержней возникает опасность их изгиба, что значительно усложняет методы их расчета (см. раздел “Устойчивость сжатых стержней”).

Для нахождения нормальных сил применяется метод сечений – стержень мысленно рассекается плоскостью, перпендикулярной его оси, на две части. Взаимодействие частей стержня заменяется силой N, величина которой определяется из условия равновесия какой-либо из частей:

Отметим, что в тех случаях, когда направление силы N заранее неизвестно, ее рекомендуется направлять в положительную сторону. Если при этом из решения уравнения равновесия сила получится положительной, это будет соответствовать чертежу, т.е. стержень окажется растянут, а при отрицательной силе – сжат.

Действующие на стержень внешние силы могут быть как сосредоточенными, так и распределенными. Примером распределенной продольной нагрузки может служить собственный вес массивного вертикально расположенного стержня (колонны). Интенсивность распределенной нагрузки в этом случае можно найти как произведение удельного веса материала γ на площадь поперечного сечения A( z):

Между интенсивностью распределенной нагрузки и нормальной силой в сечении существует дифференциальная зависимость, которую находят из рассмотрения равновесия выделенного из стержня элемента длиной dz.

Интенсивность нагрузки в пределах элемента ввиду его малости можно считать постоянной:

Тогда, проектируя силы на ось z ,получим

S F z = 0 : -N – qdz + N + dN = 0 .

Интегрируя, находим выражение для нормальной силы:

N = N(0) +

Здесь N(0) – постоянная интегрирования – значение нормальной силы в начале участка ( z = 0) .

В случае одновременного действия на стержень нескольких нагрузок, для наглядности строят эпюру нормальной силы, т.е. график ее изменения вдоль оси стержня.

Пример 2.1. Построение эпюры нормальной силы.

Решение. Стержень разбивается на силовые участки, границами которых служат сечения, где приложены сосредоточенные нагрузки, либо начинается или заканчивается действие распределенных нагрузок. В нашем примере стержень имеет три таких участка. Для нахождения нормальной силы на каждом из участков поочередно мысленно проводится сечение, рассекающее стержень на две части. Записывая условия равновесия для показанных на рисунке отсеченных частей стержня, получаем выражения для нормальной силы на каждом из выделенных участков:

III. .
I. ;
II.

На основе этих уравнений строим эпюру N( z).

НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ.

В соответствии с принципом Сен-Венана можно считать, что на некотором удалении от места приложения нагрузки, способ нагружения роли не играет, и нормальная сила определяется только равнодействующей нагрузки. Для большей части растянутого стержня справедлива гипотеза плоских сечений, согласно которой поперечные сечения смещаются параллельно начальному положению, оставаясь плоскими.

Если представить себе стержень, состоящим из тонких продольных элементов, торцы которых образуют плоскости поперечных сечений, то все они будут удлиняться одинаково. Следовательно, напряжения в каждой точке поперечного сечения так же будут одинаковы, что позволяет однозначно определить их из интегрального условия равновесия:

(2.1)

Все изложенное справедливо и для коротких сжимаемых стержней.

Подчеркнем, что найти напряжение σ ( x,y) только из условий равновесия

не удаётся, т.к. этим условиям могут удовлетворять различные законы распределения напряжения по сечению стержня σ( x, y).

Поэтому для нахождения функции σ( x,y) кроме условий равновесия необходимо дополнительно привлекать геометрические соображения, в нашем случае – гипотезу плоских сечений.

Рассмотрим возникающие при растяжении и сжатии деформации. При растяжении длина стержня l получит приращение на величину Δ l , а поперечные размеры сократятся соответственно на Δ a и Δ b.

При сжатии соответственно уменьшится длина, и увеличатся поперечные размеры.

Рассмотрим элемент стержня длиной dz

Относительным удлинением стержня (продольной линейной деформацией)

Отсюда проинтегрировав это выражение по всей длине, получим абсолютное удлинение стержня

Эксперименты показывают, что линейная деформация по длине однородного стержня при растяжении постоянной силой не меняется, т.е. , или

;

(2.2)

Аналогично продольной деформации определяется поперечная деформация в направлении размеров a и b:

Читайте также:  Токоизмерительные клещи измерение напряжения

;

Знак «минус» в этом выражении отражает тот факт, что поперечные размеры уменьшаются при растяжении и увеличиваются при сжатии.

Для изотропных материалов можно принять , причем отношение поперечной деформации к продольной для каждого материала есть постоянная величина, называемая коэффициентом Пуассона:

У всех существующих материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5. Конструкционные стали имеют m = 0,25 ¸ 0,3.

Значение коэффициента Пуассона, близкое к 0,5, свидетельствует о несжимаемости материала, т.е. независимости его объема от действующих нагрузок.

Между напряжениями и деформациями при растяжении существует зависимость, известная как закон Гука:

(2.3)

Здесь E — модуль упругости при растяжении (модуль упругости I рода). Модуль упругости E и коэффициент Пуассона μ являются основными упругими константами материала. Для сталей модуль упругости E составляет величину 2,0 ¸ 2,2 . 10 5 МПа; для ряда других конструкционных материалов его значение можно найти, например, в справочных таблицах[6]. Подставив в формулу (2.3) выражения (2.1), (2.2), получим ещё одну формулу записи закона Гука, позволяющую найти абсолютное удлинение стержня при растяжении:

(2.4)

Знаменатель этой формулы (произведение модуля упругости на площадь поперечного сечения) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

Для ступенчатого стержня, нагруженного несколькими сосредоточенными силами, удлинения вычисляются на участках, где сила N и жесткость EA постоянны, а результаты алгебраически суммируются:

(2.5)

Формулу ( 2.5 ) можно обобщить на тот случай, когда нормальная сила и жесткость стержня непрерывно меняются по длине:

(2.6)

Полученные зависимости позволяют найти продольные перемещения сечений растягиваемого стержня.

где u(0) – перемещение сечения, расположенного в начале координат. Принимая за начало отсчета неподвижное сечение, перемещение произвольного сечения u( z) можно найти как удлинение части стержня, расположенного между этим сечением и заделкой.

Пример 2.2. Построение эпюр нормальных сил, нормальных напряжений и продольных перемещений в вертикальном стержне. Площадь поперечного сечения A, удельный вес материала γ.

Пример 2.3. Построение эпюр нормальных сил, нормальных напряжений и продольных перемещений в ступенчатом стержне.

м кН кН кН

Решение. Построение эпюры нормальных сил ведем аналогично тому, как это делалось в примере 2.1. Выделяем три силовых участка, границами которых являются сечения, нагруженные внешними силами; на каждом из участков мысленно рассекаем стержень на две части, одну из которых отбрасываем, а ее действие на оставшуюся часть заменяем нормальной силой N. В нашем случае удобнее отбрасывать левые части стержня и находить силу N из условия равновесия правых частей. Принимая за начало отсчета крайнее правое сечение стержня и нумеруя участки справа налево, получим:

I. 0 ≤ z ≤ a N = F 3 = 1,0 кН;

II. a ≤ z ≤ 2,5 a N = F 3 – F 2 = −2,0 кН;

III. 2,5 ≤ z ≤ 3,0 a N = F 3 – F 2 + F 1 = 3,0 кН.

Пользуясь найденными значениями, строим эпюру N.

Для нахождения нормальных напряжений воспользуемся формулой (2.1), при этом учтем, что на втором силовом участке (при z = 2 a) площадь поперечного сечения стержня изменяется:

I. 0 ≤ z ≤ a σ = N/A 3 =1,0∙10 3 /(1,0∙10 -4 )=10∙10 -6 =10 МПа;

a ≤ z ≤ 2 a σ = N/A 2 =(−2,0∙10 3 )/(1,5∙10 -4 )=−13,33∙10 6 =−13,33 МПа;

II. 2 a ≤ z ≤ 2,5 a σ = N/A 1 =(−2,0∙10 3 )/(2,0∙10 -4 )=−10,0∙10 6 =−10 МПа;

III. 2,5 a ≤ z ≤ 3,0 a σ = N/A 1 =3,0∙10 3 /(2,0∙10 -4 )=15,0∙10 6 =15 МПа.

Поскольку левый торец стержня неподвижен, сначала найдем перемещение ближайшего к нему характерного сечения B – места приложения силы F 1. Для этого воспользуемся формулой (2.4), учитывая, что перемещение любого сечения равно удлинению части стержня между этим сечением и заделкой:

Далее определим перемещение сечения C, воспользовавшись формулой (2.5):

Аналогично находим перемещения остальных характерных сечений.

Между характерными сечениями перемещения изменяются по линейному закону. По найденным значениям строим эпюры (см. рисунок).

НАПРЯЖЕНИЯ В НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЯХ

Пусть площадь поперечного сечения n-n равна A, тогда площадь наклонного сечения с нормалью u

.

Проекции продольной силы на нормаль u и на плоскость сечения будут равны

Считая распределение напряжений по сечению равномерным, получим:

Здесь — нормальное напряжение в поперечном сечении n – n.

Анализируя полученные зависимости (2.7), можно сделать несколько выводов:

1) наибольшие нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях, где a = 0 ; cos 2 a = 1 ;

2) наибольшие касательные напряжения возникают в сечениях, повернутых к оси стержня на 45°, и достигают половины наибольших нормальных;

Читайте также:  Цвет электрической вилки по напряжениям

3) в продольных сечениях ( ) как нормальные, так и касательные напряжения равны нулю, т.е. отсутствуют взаимное давление и сдвиг волокон;

4) сумма нормальных напряжений на любых двух взаимно перпендикулярных площадках постоянна и равна s:

ПОНЯТИЕ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ

Равномерное распределение напряжений по площади поперечного сечения стержня нарушается не только в окрестности приложения нагрузок, но и вблизи мест резкого изменения формы или площади сечения.

Это явление носит название концентрации напряжений, а сами факторы, вызывающие ее – концентраторами напряжений. Концентрация напряжений значительно усложняет картину их распределения по сечению. Однако это усложнение носит местный характер. На рис.2.1 показано распределение напряжений на некотором удалении от концентраторов (сечения B,C) и вблизи них.

На некотором расстоянии от концентратора, обычно очень небольшом, напряжения можно считать распределенными по сечению равномерно и вычислять по формуле (2.1). Напряжения, найденные по этой же формуле для сечений с концентраторами называют номинальными:

здесь A нетто – площадь поперечного сечения с учетом ослаблений, вносимых концентратором .

Рост напряжений вблизи концентраторов описывают с помощью теоретического коэффициента концентрации напряжений :

Принято считать, что при статическом нагружении пластичные материалы мало чувствительны к наличию концентраторов. Если же нагрузки циклически меняются во времени, либо материал хрупкий, то влияние концентрации напряжений на прочность необходимо учитывать.

Источник



Построение эпюр продольных сил — формулы, условия и примеры решения задач

Построение эпюр продольных сил – это решение статически определимой задачи. Производится для выявления картины нагрузки упругого тела. Вернее, уточнения ее схематизации.

Необходимо для определения наиболее напряженного, так называемого «опасного» сечения. Затем методами сопромата (сопротивления материалов) проводится анализ с прогнозированием перемещений элементов конструкции.

Но всему свое время. Сначала немного о терминах.

Основные понятия

Брусом (балкой) называют тело, вытянутое вдоль оси. То есть длина преобладает над шириной и высотой.

Если имеются только осевые (продольные) силы, то объект подвергается растяжению/сжатию. В этом случае в материале возникают только нормальные поперечному сечению силы противодействия и тело считают стержнем.

Статическая определимость подразумевает достаточность схемы для установления внутренних усилий противодействия. Участок – часть балки с неизменным сечением и характерной нагрузкой.

Правила построения учитывают знаки усилий. Растягивающие принимают положительными, сжимающие – отрицательными.

В системе СИ силы измеряются в ньютонах (Н). Длины в метрах (м).

Что такое эпюра продольных сил

Показывает, какой силой (в нашем предположении нормальной) загружен каждый участок. По всей длине стержня. Иначе говоря, эпюра – наглядное графическое изображение изменения нагрузки по всей длине конструкции.

Как построить эпюру продольных сил

Используется метод сечений. Балка виртуально рассекается на каждом участке и ищется противодействующая N. Ведь задача статическая.

Сопротивление рассчитывается по формуле:

Fl – действующие на участке l силы (Н);

ql – распределенные нагрузки (Н/м).

Порядок построения:

1. Рисуется схема балки и механизмов закрепления;

2. Производится разделение на участки;

3. Для каждого рассчитывается N с учетом знаков. Если у балки есть незакрепленный конец, то начинать удобнее именно с него. В противном случае считается реакция опор. И оптимальнее выбирать сечение с меньшим количеством действующих факторов:

Нетрудно заметить, что последнее уравнение дает еще и реакцию опоры;

4. Параллельно оси стержня намечается база эпюры. Положительные значения масштабировано проставляются выше, отрицательные – ниже. Эпюру наглядно совмещать с расчетной схемой. Итоговый результат и промежуточные сечения показаны на рис. 1.

Рис. 1. Эпюра продольных сил

Проверить эпюру можно по скачкам: изменения происходят в точках приложения сил на их величину.

Пример построения эпюр и решения задач

Построить эпюру сил для следующего случая (рис. 2):

Разбиение на участке вполне очевидно. Найдем сопротивление на выделенных:

Распределенная нагрузка зависит от длины, на которой приложена. Поскольку нарастает линейно, значение N2 будет постепенно увеличиваться/уменьшаться в зависимости от знака q.

Эпюра такого вида усилия представляет собой прямоугольный треугольник с катетами l3 и ql3 (в масштабе). Поскольку распределение линейно.

По полученным данным строим эпюру (рис. 3).

Заключение

Приведенный алгоритм является предварительным этапом в расчете модели на прочность. «Слабое» место находится уже с учетом площади поперечного сечения.

В сети имеются онлайн сервисы для помощи в расчетах при вычерчивании. Но стоит ли ими пользоваться, если процедура настолько проста? Если не запутаться в знаках, конечно. Это самая распространенная ошибка.

Читайте также:  Каково напряжение у холодильника

Источник

Построение эпюр при растяжении и сжатии: продольных сил и нормальных напряжений для ступенчатого стержня (бруса)

Автор: Константин Вавилов · Опубликовано 23.11.2017 · Обновлено 14.03.2021

Приветствую, друзья! Сегодня дебютирует наш курс – «сопромат для чайников», Вы находитесь на сайте проекта SoproMats, который связан с сопроматом и не только. На этой страничке будет выложен первый урок из заявленного экспресс курса, который связан с таким простейшим видом деформации как растяжение (сжатие). В частности, будем учиться строить эпюры для бруса (стержня), который загружен растягивающей и сжимающей силой. Как правило, такое домашнее задание, одним из первых, дают всем студентам, которые начинают знакомиться с сопроматом. После изучения материалов данного урока вы научитесь строить следующие эпюры: продольных сил и нормальных напряжений. Не пугайтесь мудреных названий, на самом деле все эти эпюры строятся очень просто. Что же давайте приступим к изучению!

Построение эпюры продольных сил

Так как это курс для чайников, я многие моменты буду упрощать и рассказывать только самое основное, чтобы написанное здесь, было понятно даже самому неподготовленному студенту — заочнику. Если вы хотите более детально изучить рассматриваемые здесь вопросы, то могу предложить Вам другие материалы нашего сайта. Например, что касается данного блока статьи, то у нас есть материалы про продольную силу, где представлено полное досье на данный внутренний силовой фактор: что эта за сила, зачем нужна и т.д. Но если Вам некогда залазить в эти дебри, и хотите по-быстрому освоить продольную силу, то оставайтесь здесь, сейчас покажу как строится первая эпюра!

Кстати, вот объект нашего сегодняшнего исследования:

Эпюры при растяжении или сжатии

Чтобы построить эпюру продольных сил, нужно разбить наш брус на несколько участков, на которых эта эпюра будет иметь постоянное значение. Конкретно, для продольной эпюры, границами участков служат те точки, где прикладываются силы. То бишь, для нашего примера, нужно рассмотреть всего 2 участка:

Важно! На эпюру продольных сил, никак не влияет форма бруса, в отличие от других эпюр, которые будем дальше рассчитывать и строить.

На первом участке сила F1 растягивает брус на величину 5кН, поэтому на этом участке, продольная сила будет положительной и равной:

Откладываем это значение на графике. Эпюры в сопромате, принято штриховать перпендикулярно нулевой линии, а также для продольных сил, на эпюрах проставляются знаки:

На втором же участке, сила F2 сжимает брус, тем самым в уравнение продольных сил, она пойдет с минусом:

Откладываем полученное значение на эпюре:

Построение эпюры продольных сил на втором участке

Вот так, достаточно просто, строится эта эпюра!

Построение эпюры нормальных напряжений

Переходим к эпюре нормальных напряжений. В отличие от продольных сил, нормальные напряжения зависят от формы бурса, а если точнее, то от площади его поперечных сечений и вычисляются они, по следующей формуле:

То бишь, чтобы найти нормальное напряжение в любом сечении бруса, нужно: продольную силу в этом сечении разделить на его площадь.

Для того чтобы построить эпюру нормальных напряжений, нужно рассчитать ее для любого сечения, каждого участка. В отличие, от продольной силы, здесь границами участков также служат места изменения геометрии бруса. Таким образом, для нашего подопытного бруса, нужно наметить три участка и вычислить напряжение, соответственно, 3 раза:

Разбивка бруса на участки

Зададим брусу на первом участке (I) площадь поперечного сечения A1=2 см 2 , а вторая ступень бруса, допустим, будет иметь площадь A2=4 см 2 (II, III участки). В вашей домашней задаче, эти величины будут даны по условию. Также в задачах, часто, просят определить эти площади из условия прочности, с учетом допустимого напряжения, обязательно сделаю статью про это.

Вычисляем напряжения на каждом участке:

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений:

Построение эпюры нормальных напряжений

Вот так, достаточно просто можно построить эпюры для бруса, работающего на растяжение (сжатие). В рамках статьи, была рассмотрена достаточно простая расчетная схема, если Вы хотите развить свои навыки по построению эпюр, то приглашаю Вас на страничку про различные эпюры, где можно найти примеры расчета более сложных брусьев с распределенными нагрузками, где о каждой эпюре подготовлена отдельная статья.

Если Вам понравилась статья, расскажите о ней своим друзьям, подписывайтесь на наши социальные сети, где публикуется информация о новых статьях проекта. Также, там можно задать любой интересующий Вас вопрос о сопромате и не только.

Источник