Меню

Какие силовые факторы при изгибе вызывают нормальные напряжения

Внутренние силовые факторы и напряжения при изгибе

date image2014-02-09
views image2753

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

При плоском поперечном изгибе в случае отсутствия осевых нагрузок в поперечных сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент Мx и поперечная сила Qy. При расчете конструктивных элементов машин поперечная сила в сечении обычно не учитывается ввиду ее малости.

При анализе внутренних силовых факторов используют, как описано выше, метод сечений. Разбивая мысленно балку на однородные участки, составляют уравнения равновесия сил для отсеченных частей. из которых находят изгибающие моменты Мx в сечениях.

Знак момента в поперечном сечении определяется по знаку кривизны изогнутой балки (рис.2.7,а). При построен эпюр моментов ординаты откладываются на сжатых волокнах (рис.2.7,б).

После определения изгибающих моментов в поперечных сечениях балки могут быть исследованы внутренние напряжения.

Рассмотрим прямолинейную балку постоянного сечения (рис.2.8), к торцам которой приложены изгибающие моменты М (чистый изгиб).

В этом случае изгибающий момент в всех поперечных сечениях постоянный Мx = М. Под действием внешних моментов М балка изогнется, при этом все сечения останутся плоскими и нормальными к его оси, однако горизонтальные слои-волкна на выпуклой стороне удлиняются, а на вогнутой — укорачиваются. Слой, совпадающий с осью балки, не изменяет своей длины и поэтому называется нейтральным слоем.

При чистом изгибе в поперечном сечении возникают нормальные напряжения s, которые возрастают по линейному закону по мере удаления от нейтральной линии (продольной нейтральной плоскости), где s = 0. Эта линия перпендикулярна к поперечным сечениям и проходит через их центры тяжести, т.е совпадает с осью балки. Максимальные значения напряжений в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси, находятся по формуле

где осевой момент сопротивления Wx поперечного сечения балки при изгибе относительно оси x (размерность м 3 ), для сечений приводится в справочниках.

Значение Wx для основных видов сечений определяется по формулам

  • для круглого сечения диаметром d: Wx = 0,1d 3 ; (2.7)
  • для прямоугольного сечения шириной b и высотой h: Wx = bh 2 /6 (2.8)

Построение эпюр изгибающих моментов в опасных сечениях

Работа выполняется в такой последовательности: 1) определяются реакции опор; 2) выявляются все внутренние силовые факторы в сечениях на отдельных участках балки; 3) выполняется построение эпюр моментов.

Рассмотрим построение эпюр для балки, показанной на рис.2.9.

Рис.2.9. Однопролетная балка, нагруженная

поперечной силой и ее эпюра изгибающих

моментов в поперечных сечениях

1. Реакции опор из уравнений моментов относительно шарниров А и В составляют

SMА = 0: RB = Fa/l и SMВ = 0: RA = F(1- a)/l .

2. Разбиваем балку на два участка: 1 — от опоры А до силы F, 2 — от опоры В до F.

Для определения величин внутренних изгибающих моментов Мх на первом и втором участках запишем уравнения моментов в сечениях на расстоянии z1 и z2:

1-й участок при момент Мх1 = RA∙ z1 = F(1- a)z1/l; Mx max = F(1- a)a/l при z1 = а.

2-й участок при момент Мх2 = RA∙ z2F(z2a); Mx max = F(1- a)a/l при z2 = а.

На опорах при z1 = 0 и z2 = l изгибающий момент max = Mx min = 0.

3. Строим эпюру изгибающих моментов.

Проводим горизонтальную ось под схемой балки и на вертикалях, проходящих через опоры А и В, а также по линии действия силы F откладываем соответствующие значения момента Mx. Значение Mx max откладываем вверх (на сжатых волокнах), — величина положительная. Соединяем эти значения прямыми линиями, поскольку зависимость Mx от координаы сечения z линейная.

Источник



Изгиб.

Изгибом называется вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса. Прямые брусья, работающие на изгиб, называются балками. Прямым изгибом называется изгиб, при котором внешние силы, действующие на балку, лежат в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через продольную ось балки и главную центральную ось инерции поперечного сечения.

Изгиб называется чистым , если в любом поперечном сечении балки возникает только один изгибающий момент.

Изгиб, при котором в поперечном сечении балки одновременно действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным . Линия пересечения силовой плоскости и плоскости поперечного сечения называется силовой линией .

Читайте также:  Номинальное напряжение красного светодиода

деформация изгиба

Внутренние силовые факторы при изгибе балки.

При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для поперечных сил Q:

правило знаков для поперечных сил

Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для изгибающих моментов M:

правило знаков для изгибающих моментов

Дифференциальные зависимости Журавского.

Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости:

дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки и изгибающим моментом

На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М:

общие закономерности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе.

1. На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q представлена прямой линией, параллельной базе эпюре, а эпюра М — наклонной прямой (рис. а).

2. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть скачок, равный значению этой силы, а на эпюре М —точка перелома (рис. а).

3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок, равный значению этого момента, (рис. 26, б).

4. На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М — по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки (рис. в, г).

5. Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение Mmax или Mmin (рис. г).

Нормальные напряжения при изгибе.

Определяются по формуле:

нормальные напряжения при изгибе

Моментом сопротивления сечения изгибу называется величина:

момент сопротивления сечения изгибу

Опасным сечением при изгибе называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение.

Касательные напряжения при прямом изгибе.

Определяются по формуле Журавского для касательных напряжений при прямом изгибе балки:

формула журавского

где S отс — статический момент поперечной площади отсеченного слоя продольных волокон относительно нейтральной линии.

Расчеты на прочность при изгибе.

1. При проверочном расчете определяется максимальное расчетное напряжение, которое сравнивается с допускаемым напряжением:

проверочный расчет на прочность при изгибе

2. При проектном расчете подбор сечения бруса производится из условия:

проектный расчет на прочность при изгибе

3. При определении допускаемой нагрузки допускаемый изгибающий момент определяется из условия:

допускаемый изгибающий момент

Далее по полученному значению [Mx] определяют допускаемые значения внешних поперечных нагрузок [Q] и внешних изгибающих моментов [Mвнеш]. Условие прочности имеет вид:

допускаемые значения внешних поперечных нагрузок и внешних изгибающих моментов

Перемещения при изгибе.

Под действием нагрузки при изгибе ось балки искривляется. При этом наблюдается растяжение волокон на выпуклой и сжатие — на вогнутой частях балки. Кроме того, происходит вертикальное перемещение центров тяжести поперечных сечений и их поворот относительно нейтральной оси. Для характеристики деформации при изгибе используют следующие понятия:

Прогиб балки Y — перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в направлении, перпендикулярном к ее оси.

Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z)

механизм деформации балки при изгибе

Угол поворота сечения — угол θ, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению. Угол поворота считают положительным при повороте сечения против хода часовой стрелки. Величина угла поворота меняется по длине балки, являясь функцией θ = θ (z).

угол поворота сечения

Самыми распространёнными способами определения перемещений является метод Мора и правило Верещагина.

Метод Мора.

Порядок определения перемещений по методу Мора:

1. Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений – единичный момент.

2. Для каждого участка системы записываются выражения изгибающих моментов Мf от приложенной нагрузки и М1 — от единичной нагрузки.

Читайте также:  Указатель напряжения ун 453э однополюсный

3. По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение:

интеграл мора

4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы.

Правило Верещагина.

Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки имеет произвольное, а от единичной нагрузки – прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина.

правило верещагина

где Af – площадь эпюры изгибающего момента Мf от заданной нагрузки; yc – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры Мf ; EIx – жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (Af*yc) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра Мf должна быть разбита на простые фигуры(применяется так называемое «расслоение эпюры»), для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести.

Источник

Техническая механика

Сопротивление материалов

Напряжения при изгибе

Нормальные напряжения при чистом изгибе

Как было установлено ранее, в поперечных сечениях балки при чистом изгибе возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия. Вопрос о распределении этих напряжений по поперечному сечению решается путем рассмотрения деформаций волокон балки.

Рассмотрим участок балки, подверженный деформации чистого изгиба. Двумя поперечными сечениями АВ и СD выделим элемент балки бесконечно малой длины ds (рис 1). Радиус кривизны нейтрального слоя балки обозначим ρ.

Рассмотрим слой волокон mn, находящийся на расстоянии y от нейтрального слоя NN. Это волокно в результате деформации изгиба удлинилось на величину nn 1. Ввиду малости расстояния ds заштрихованные треугольники будем считать прямолинейными; эти треугольники подобны (n 1F || mE):

Из подобия треугольников запишем равенство:

Так как левая часть этого равенства есть относительное удлинение, т. е. nn 1 / ds = ε, то y / ρ = ε.

Применив закон Гука при растяжении и сжатии σ = Еε, получим:

Из этой формулы видно, что нормальные напряжения при изгибе распределены по высоте сечения неравномерно: максимальные напряжения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси. По ширине сечения нормальные напряжения не меняются.
Распределение нормальных напряжений изображено на рис. 2.

Полученная формула для определения нормальных напряжений неудобна, так как в нее входит радиус кривизны нейтрального слоя.
Для вывода формулы, связывающей нормальные напряжения с изгибающим моментом, применим метод сечений и рассмотрим равновесие части балки, изображенной на рис. 3.
В плоскости поперечного сечения выделим бесконечно малую площадку dA, в пределах которой будем считать нормальные напряжения σ постоянными; тогда нормальная сила dN, действующая на площадку dA, будет равна:

Составим уравнения равновесия:

1. Σ Z = 0; ∫dN = 0, или: ∫σ dA = ∫Еy / ρ dA = Е / ρ ∫y dA = 0 .

(ρ для данного сечения, а также модуль упругости Е – величины постоянные, поэтому вынесены за знак интеграла). Поскольку ρ и Е не равны нулю, значит, ∫y dA = 0. Этот интеграл представляет собой статический момент площади сечения относительно оси x, т. е. нейтральной оси бруса (балки). Равенство нулю статического момента инерции означает, что при изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести площади поперечного сечения;

Так как при чистом изгибе изгибающий момент равен внешнему моменту М и = m, то

М и = ∫y dN = ∫y dA = ∫y Еy / ρ dA = Е / ρ ∫y 2 dA,

где: I = ∫y 2 dA – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси; ЕI – жесткость сечения при изгибе.

Читайте также:  Указатель напряжения причина поломки

Так как при чистом изгибе балки постоянного сечения М и = const, то:

ρ = EI / М и = const.

Следовательно, изогнутая ось такой балки представляет собой дугу окружности. Выражение радиуса кривизны подставим в формулу для определения нормальных напряжений; тогда:

σ = Еy / ρ = Ey / EI / М и = М и y / I.

Максимальное значение нормальные напряжения будут иметь у волокон, наиболее удаленных от нейтральной оси:

σ max = М и y max / I = М и / I / y max = М и / W,

где W = I / y max – момент сопротивления изгибу (или осевой момент сопротивления).
Момент сопротивления изгибу есть отношение осевого момента инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленного волокна.
Единица момента сопротивления сечения изгибу [W] = м 3 .

Итак, наибольшие нормальные напряжения при чистом изгибе вычисляются по формуле

Нетрудно заметить, что эта формула по своей структуре аналогична формулам для определения напряжений при растяжении, сжатии, сдвиге и кручении.

Касательные напряжения при изгибе

Очевидно, что при поперечном изгибе, вызванном приложением к балке поперечной силы, в сечениях балки должны возникнуть касательные напряжения.
Определением зависимости между внешними нагрузками, геометрическими и физическими параметрами балок и касательными напряжениями, возникающими в них, занимался русский мостостроитель Д. И. Журавский, который в 1855 году предложил следующую формулу:

Эта формула называется формулой Журавского и читается так:
касательные напряжения в поперечном сечении балки равны произведению поперечной силы Q на статический момент S относительно центральной оси части сечения, лежащей выше рассматриваемого слоя волокон, деленному на момент инерции I всего сечения относительно нейтральной оси и на ширину b рассматриваемого слоя волокон.

По формуле Журавского можно вывести зависимости для определения касательных напряжений в балках, имеющих разную форму поперечного сечения (прямоугольную, круглую и т. п.).
Например, для балки круглого сечения формула Журавского в результате преобразований выглядит так:

τ max = 4Q / (3A) = 4τ сред / 3,

где Q – поперечная сила, вызывающая изгиб, А – площадь сечения балки.

Большинство балок в конструкциях рассчитывается только по нормальным напряжениям, и только три вида балок проверяют по касательным напряжениям:

— деревянные балки, т. к. древесина плохо работает на скалывание;
— узкие балки (например, двутавровые), поскольку максимальные касательные напряжения обратно пропорциональны ширине нейтрального слоя;
— короткие балки, так как при относительно небольшом изгибающем моменте и нормальных напряжениях у таких балок могут возникать значительные поперечные силы и касательные напряжения.
Максимальное касательное напряжение в двутавровой балке определяется по формуле Журавского, при этом геометрические характеристики таких балок берутся из справочных таблиц .

Расчеты на прочность при изгибе

Условие на прочность при изгибе заключается в том, что максимальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемое.
Полагая, что гипотеза о не надавливании волокон справедлива не только при чистом, но и при поперечном изгибе, мы можем нормальные напряжения при поперечном изгибе определять по такой же формуле, что и при чистом изгибе, при этом расчетная формула выглядит так:

σ max = Ми max / W ≤ [σ]

и читается так: нормальное напряжение в опасном сечении, определенное по формуле σ max = Ми max / W ≤ [σ] не должно превышать допускаемое.
Допускаемое нормальное напряжение при изгибе выбирают таким же, как при растяжении и сжатии.
Максимальный изгибающий момент определяют по эпюре изгибающих моментов или расчетом.
Так как момент сопротивления изгибу W в расчетной формуле стоит в знаменателе, то чем больше W, тем меньшие напряжения возникают в сечении бруса.

Ниже приведены моменты сопротивления изгибу для наиболее часто встречающихся сечений:

1. Прямоугольное сечение размером b x h: W пр = bh 2 / 6.

2. Круглое сечение диаметром d: W круг = π d 3 / 32 ≈ 0,1d 3

3. Кольцо размером D x d: W кольца = ≈ 0,1 (D 4 – d 4 ) / D; (момент сопротивления кольцевого сечения нельзя определять, как разность моментов сопротивления большого и малого кругов).

Источник