Меню

Характеристики деформации механическое напряжение

Деформация растяжения-сжатия

В машиностроении, строительстве и архитектуре при расчетах прочности и жесткости материалов используется математический аппарат технической механики. Деформация растяжения – одно из ключевых понятий, характеризующее механические процессы, происходящие в материалах при приложении к ним внешних воздействий. Для наглядности изучаются изменения, происходящие в брусе с постоянным сечением, характерные для упругой деформации при приложении внешних усилий.

Деформация растяжения

Закон Гука (английский физик Р. Гук, 1653-1703) для упругой деформации растяжения/сжатия гласит, что нормальное напряжение находится в линейной зависимости (прямо пропорционально) к относительному удлинению/укорочению. Математический аппарат технической механики описывает эту формулу следующим образом:

Коэффициент пропорциональности E (модуль упругости, модуль Юнга) – величина определяющая жесткость материала, единица измерения – паскаль (ПА).

Его значения были установлены эмпирическим путем для большинства конструкционных материалов, необходимую информацию можно почерпнуть в справочниках по машиностроению. Относительная деформация является отношением изменения длины бруса к его изначальным размерам, это безразмерная величина, которая иногда отражается в процентном соотношении.

При растяжении или сжатии у бруса меняется не только длина, но происходят поперечные деформации: при сжатии образуется утолщение, при растяжении толщина сечения становится меньше. Величины этих изменений находятся в линейной зависимости друг от друга, причем установлено, что коэффициент пропорциональности Пуассона (фр. ученый С. Пуассон, 1781-1840) остается всегда неизменным для исследуемого материала.

Внутренние усилия при растяжении и сжатии

При приложении к брусу с постоянным сечением внешних воздействий, действие которых в любом поперечном разрезе направлено параллельно его центральной оси и перпендикулярно сечению, с ним происходит следующий вид деформации: растяжение или сжатие. На основе гипотезы о принципе независимости внешнего воздействия для каждого из поперечных разрезов можно рассчитать внутреннее усилие как векторную сумму всех приложенных внешних воздействий. Растягивающие нагрузки в сопромате принято считать положительными, а сжимающие отрицательными.

Рассмотрев произвольный разрез бруса или стержня, можно сказать что внутренние напряжения равны векторной сумме всех внешних сил, сгруппированных по одной из его сторон. Это верно только с учетом принципа Сен-Венана (фр. инженер А. Сен-Венан, 1797-1886) о смягчении граничных условий, т.к. распределение внутренних усилий по поверхности разреза носит сложный характер с нелинейными зависимостями, но в данном случае значением погрешности можно пренебречь как несущественным.

Применяя гипотезу Бернулли (швейцарский математик, И. Бернулли, 1667-1748) о плоских сечениях, для более наглядного представления процессов распределения сил и напряжений по центральной оси бруса можно построить эпюры. Визуальное представление более информативно и в некоторых случаях позволяет получить необходимые величины без сложных расчетов. Графическое представление отражает наиболее нагруженные участки стержня, инженер может сразу определить проблемные места и ограничиться расчетами только для критических точек.

Определение деформации растяжения

Все вышесказанное может быть применимо при квазистатической (система может быть описана статически) нагрузке стержня с постоянным диаметром. Потенциальная энергия системы на примере растяжения стержня определяется по формуле:

Потенциальная энергия растяжения U концентрируется в образце и может быть приравнена к выполнению работы W (незначительное выделение тепловой энергии можно отнести к погрешности), которая была произведена силой F для увеличения длины стержня на значение абсолютного удлинения. Преобразуя формулу, получаем, что вычислить значение величины потенциальной энергии растяжения можно, рассчитав отношение квадрата продольной силы N помноженной на длину стержня l и удвоенного произведения модуля Юнга E материала на величину сечения A.

Внутренние усилия при растяжении и сжатии

Как видно из формулы, энергия растяжения всегда носит положительное значение, для нее невозможно применить гипотезу о независимости действия сил, т.к. это не векторная величина. Единица измерения – джоуль (Дж). В нижней части формулы стоит произведение EA – это так называемая жесткость сечения, при неизменном модуле Юнга она растет только за счет увеличения площади. Величина отношения жесткости к длине бруса рассматривается как жесткость бруса целиком.

Напряжения при растяжении сжатии

Используя гипотезу Бернулли для продольной упругой деформации стержня, можно определить продольную силу N как равнодействующую всех рассредоточенных по сечению внутренних усилий. Гипотеза Бернулли совместно с гипотезой о ненадавливании волокон позволяет сказать, что σ в произвольной точке разреза будут постоянны, т.к. реакция продольных волокон одинакова на всем поперечном разрезе. Для определения величины нормального напряжения σ используется следующая формула:

Напряжение для упруго деформированного стержня описывается как отношение внутренней силы N к площади сечения A. Считается положительным при растяжении, при сжатии рассматривается как отрицательное.

Абсолютная деформация зависит от жесткости сечения, величины продольной силы и длины бруса. Зависимость можно описать по следующей формуле:

Таким образом, методика расчета величины абсолютного изменения длины такова: необходимо просчитать отношение значения продольной силы N умноженной на длину стержня l и жесткости сечения (произведение модуля Юнга E на площадь сечения A).

В реальных расчетах на брус действует достаточно много разнонаправленных сил, для решения таких задач требуется построение эпюр, которые могут наглядно показать какие напряжения действуют на разных участках, чем обусловлена деформация при растяжении и сжатии.

Читайте также:  Что означает механическое напряжение

Напряжения при растяжении сжатии

В рамках такой квазистатической (условно статической) системы, как брус или стержень с переменным сечением или отверстием, потенциальная энергия растяжения может быть рассмотрена как сумма энергий однородных участков. При проведении расчетов важно правильно разделить стержень на участки и смоделировать все участвующие в процессе силы и напряжения. Для реальных расчетов построение эпюр – сложная задача, которая требует от инженера хорошего понимания действующих на деталь нагрузок. Например, вал со шкивами разного диаметра требует сначала определения критических точек и разбивки на соответствующие участки, затем построения графиков по ним.

Деформации при растяжении сжатии

При растяжении/сжатии бруса могут возникать 2 вида деформации. Первый – упругая, второй – пластическая. Для упругой деформации характерно восстановление первоначальных параметров после прекращения воздействия. В случае пластической стадии деформации материала он утрачивает и не восстанавливает форму и размеры. Величина воздействия для перехода одного вида в другой называется пределом текучести.

Для расчета перемещения при растяжении бруса или стержня следует использовать метод разделения на участки, в рамках которых осуществляется приложение внешних воздействий. В точках воздействия силы следует вычислить величину изменения длины, используя формулу: Δl=Nl/EA. Как видно она зависит от жесткости сечения, длины бруса или стержня и величины действующей продольной силы. Итоговым перемещением для бруса целиком будет сумма всех частичных перемещений, рассчитанных для точек приложения силы.

Деформации при растяжении сжатии

Поперечные деформации бруса (становится более толстым при сжатии и тонким при растяжении) также характеризуются абсолютной и относительной величиной деформации. Первая – разность между размером сечения после и до приложения внешних воздействий, вторая – отношение абсолютной деформации к его исходному размеру. Коэффициент Пуассона, отражающий линейную зависимость продольной и поперечной деформаций, определяет упругие качества материалов и считается неизменным для растяжения и сжатия. Продольные наиболее наглядно отражают процессы, происходящие в брусе или стержне при внешнем воздействии. Зная величину любой из них (продольной или поперечной) и используя коэффициент Пуассона, можно рассчитать значение неизвестной.

Для определения величины деформации пружины при растяжении можно применить закон Гука для пружин:

В данном случае х – увеличение длины пружины, k – коэффициент жесткости (единица измерения Н/м), F – сила упругости, направленная в противоположную от смещения сторону. Величина абсолютной деформации будет равна отношению силы упругости к коэффициенту жесткости. Коэффициент жесткости определяет упругие свойства материала, используемого для изготовления, может быть использован для выбора материала изготовления в условиях решения конкретной задачи.

Расчеты на прочность и жесткость

Прочность характеризует способность конструкционного материала сопротивляться внешним воздействиям без разрушений и остаточных изменений. Жесткость находится в линейной зависимости от модуля Юнга и размера сечения. Чем больше площадь, модуль упругости не меняется, тем больше жесткость. В общем случае жесткость подразумевает способность деформироваться без значительных изменений. Коэффициент запаса прочности – безразмерная величина, равная отношению предельного напряжения к допустимому. Запас прочности характеризует штатный режим работы конструкции даже с учетом случайных и не предусмотренных нагрузок. Наименьшим запасом прочности обладают пластические (1.2-2.5) и хрупкие (2-5) материалы.

Применение в расчетах этих коэффициентов позволяет, например, рассчитать опасную толщину для стержня, при которой может возникнуть максимальное нормальное напряжение. Используя коэффициент прочности и возможное предельное напряжение возможно произвести расчет необходимого диаметра вала, который гарантированно обеспечит упругую деформацию и не приведет к пластической. Для инженеров-экономистов важны расчеты наименьших безопасных размеров деталей конструкции по заданным нагрузкам.

Большинство практических расчетов на прочность и жесткость производятся для получения минимальных значений геометрических размеров конструкционных элементов и деталей машин в условиях известных внешних воздействий и необходимого и достаточного запаса прочности. Может решаться обратная задача получения значений предельных нагрузок при условии сохранения геометрических размеров и для конкретного материала.

Сложные конструкции могут быть разделены на элементарные части, для которых будут производиться расчеты, затем полученные результаты интерпретируются в рамках всей системы, для этого удобно строить эпюры распределения внешних воздействий и внутренних напряжений статически определенной системы.

С помощью известной жесткости материала делают расчеты максимально возможной длины балки или стержня (вала) при условии неизменности его сечения. Для ступенчатых валов необходимо строить эпюры воздействия внешних сил и возникающих в точках их приложения внутренних напряжений в критических точках. От правильно построенной теоретической модели будет зависеть насколько эффективно и долго прослужит вал для станка, не разрушится ли он от динамических крутящих моментов. На этапе проектирования можно выявить потенциальные слабые точки и рассчитать необходимые параметры для заданного предела прочности.

С расчетами на прочность связаны такие понятия, как срез и смятие. Срез проявляется в виде разрушения детали соединения в условиях возникновения в ее поперечном сечении перпендикулярной к нему и достаточной силы.

При расчетах соединений используют пределы текучести используемых материалов и коэффициенты запаса прочности, вычисляют максимально возможные напряжения.

Читайте также:  Формула напряжения гравитационного поля

Исследования на прочность обычно подразумевают решение нескольких задач: в условиях проведения поверочного расчета на проверку прочности при известных усилиях и площади сечения оценивают фактический коэффициент запаса прочности; подбор оптимального диаметра при заданных нагрузках и допустимом напряжении; вычисляют грузоподъемность или несущую способность с помощью определения внутреннего усилия при известной площади сечения и напряжении.

Расчеты на прочность и жесткость

Прочностные расчеты при разных видах воздействий в рамках условно статических систем сложны, требуют учета многих, иногда не очевидных, факторов, их практическая ценность заключается в вычислении допустимых размеров конструкционных материалов для заданных параметров запаса прочности.

Источник



Виды деформаций. Деформация и напряжение

Полный текст Вакансии Курсы Консультации

§3. Виды деформаций. Деформация и напряжение

Атомы и молекулы твердых тел находятся в равновесных положениях, в которых результирующая сила их взаимодействия равна нулю. При сближении атомов преобладает сила отталкивания, а при их удалении от положения равновесия – сила притяжения. Это и обуславливает механическую прочность твердых тел, т. е. их способность противодействовать изменению формы и объема. Растяжению тел препятствует силы межатомного притяжения, а сжатию – силы отталкивания [7, c.85].

Внешнее механическое воздействие, приложенное к твердому телу, вызывает смещение атомов из равновесных положений и приводит к изменению формы и объема тела, т. е. к его деформации. Абсолютно твердых тел в природе не существует. В то же время часто приходится иметь дело со столь малыми деформациями, что их невозможно обнаружить. Но деформации в крупных конструкциях бывают весьма заметными.

Из повседневного опыта известно, что величина деформации тела зависит от материала, из которого оно изготовлено, величины силы и точки ее приложения. В этом легко убедиться на опытах по деформации пластин одинаковых размеров из различных материалов – дерева, стали, алюминия; и пластин из одного и того же материала, но разной длины, толщины и ширины [7, c.85].

Среди деформаций, возникающих в твердых телах, различают пять основных видов: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение и изгиб. Для рассмотрения этих видов деформаций воспользуемся моделью твердого тела, состоящей из нескольких деревянных пластинок, скрепленных по углам

Рис. 6. Модель твердого тела: а – недеформированного, б – подвергнутого деформации сжатия, в – растяжения, г – сдвига.

одинаковыми пружинками (рис. 6).

При деформации сжатия и растяжения пластинки остаются параллельными друг другу и расстояния между каждой парой соседних пластин изменяются на одну и ту же величину.

На практике растяжение испытывают тросы подъемных кранов, канатных дорог, буксирные тросы. Сжатию подвергаются колонны, стены и фундаменты зданий.

Деформацию сдвига можно получить, смещая верхнюю пластину параллельно самом себе и удерживая нижнюю неподвижной. При этом все пластины сместятся так, что расстояния между ними останутся неизменными. Деформацию сдвига испытывают заклепки и болты, соединяющие металлические конструкции.

Деформацию кручения можно наблюдать при повороте верхней пластины модели вокруг вертикальной оси (рис. 7). При этом расстояния Рис. 7.

между пластинами не меняются, но точки пластин, ранее лежавшие на одной прямой, теперь не укладываются на одну прямую. Деформации кручения возникают при завинчивании гаек, при работе валов машины.

Деформацию изгиба можно наблюдать на бруске, один конец которого закреплен, а к другому подвешен груз (рис. 8). Изгиб испытывают балки перекрытий в зданиях, мостах, опирающиеся на опоры двумя концами (рис. 9). Наибольшая величина Рис. 8. Испытание балки. прогиба х называется стелой прогиба.

Рассмотрим деформацию изгиба на нашей модели. Для этого расположим ее так, как показано на рисунке 10, закрепив одну нижнюю пластину в тисках или в штативе, а к другой подвесив груз. Видно, что деформация изгиба сводится к деформации сжатия и растяжения, различным в разных частях тела Рис. 9. [7, c.86]. В середине бруска существует слой, не подвергающийся ни растяжению, ни сжатию. Этот слой называют нейтральным слоем.

Качественно деформацию сжатия и растяжения можно характеризовать величиной абсолютного удлинения l, равной разности длин образца до растяжения l и после него l:

l = l l.

Абсолютное удлинение l при растяжении положительно, при сжатии имеет отрицательное значение. Рис. 10.

Как показывает опыт, образцы из одного и того же материала при одинаковом поперечном сечении и одинаковой величине действующей силы получают различные абсолютные удлинения при различной начальной длине образцов [7, c.89].

Но отношение абсолютного удлинения l к длине образцов при этом оказывается одинаковым для всех образцов. Его называют относительным удлинением ε:

l l

Опыты с растяжением образцов твердых тел одинаковой длины, но различных сечений показывают, что при одинаковой величине действующей силы абсолютное и относительное удлинения обратно пропорциональны сечениям образцов [7, c.89]. Поэтому при расчете деформации удобнее пользоваться не величиной деформирующей силы, а величиной механического напряжения, равной отношению деформирующей силы к сечению образца:

Механическое напряжение, или просто напряжение, имеет такую же размерность, как и давление. За единицу измерения механического напряжения в системе СИ принята единица давления Па. Паскаль – это давление, вызываемой сильной 1 Н, равномерно распределенной по поверхности площадью 1 м2.

Читайте также:  Змн защита минимального напряжения это

Напряжение, как и относительное удлинение, не зависит от длины образца.

Закрепим в тисках стальную пластину, затем согнем ее и отпустим. Мы увидим, что пластина восстановила свою форму. Если повторить опыт со свинцовой, алюминиевой или медной пластинами таких же размеров, то они при тех же деформациях не восстанавливают свою форму полностью. Если после снятия напряжения форма тела восстанавливается, деформация называется упругой. Если же форма тела не восстанавливается, деформация называется пластической [7, c.89].

Получить полный текст Подготовиться к ЕГЭ Найти работу Пройти курс Упражнения и тренировки для детей

Нужно отметить, что идеально упругих и идеально пластических деформаций не существует.

Для всех видов упругих деформаций справедлив закон Гука, согласно которому удлинение и укорачивание стержней, пружин, прогибы и сдвиги в различных телах пропорциональны деформирующим силам:

F = kx,

где k – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом жесткости деформируемого тела (стержня, пружины и т. п.); x – величина деформации, равная абсолютному удлинению l при растяжении или сжатии, углу поворота ∆φ при деформации кручения и т. д. Формулу закона Гука мы записали без знака «минус» потому, что под F понимаем не равнодействующую всех внутренних сил упругости, возникающих в деформируемом теле, а равную, но противоположно направленную им равнодействующую внешних сил [7, c.90].

Как показывает эксперимент, величиной, однозначно характеризующей механические свойства материала, независимо от конструкции изготовленных из него деталей, является для деформации растяжения отношение относительного удлинения растягиваемого стержня ε к механическому напряжению σ. Величина этого отношения α, называемого коэффициентом упругости при малых упругих деформациях (l

Источник

Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов
Роман Сиренко, 2009

Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.

Оглавление

  • 1. Задачи сопротивления материалов
  • 2. Классификация сил
  • 3. Понятие о деформациях и напряжениях
  • 4. Вычисление напряжений по площадкам, перпендикулярным к оси стержня
  • 5. Деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука. Коэффициент поперечной деформации
  • 6. Механические характеристики свойств материала
  • 7. Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии
  • 8. Напряжения, возникающие при изменении температуры
  • 9. Напряжения по наклонным сечениям при осевом растяжении и сжатии (линейное напряженное состояние)

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

3. Понятие о деформациях и напряжениях

Воздействие на тело внешних сил изменяет его внутренние силы. Деформация тела вызывает изменение расстояний между атомами, при этом возникающие дополнительные внутренние силы стремятся вернуть тело в первоначальное положение. Если неограниченно увеличивать действие внешних сил, то при определенном возрастании внутренних сил происходит разрушение тела. Чтобы произвести расчет на прочность, надо уметь определять внутренние силы, зная внешние. Для определения внутренних сил (или внутренних силовых факторов) используют метод сечения. Мысленно рассекаем твердое тело и отбрасываем одну из частей. Оставшаяся часть тела находится в положении равновесия под действием приложенных внешних сил и сил, приложенных к сечению (заменяющих воздействие отброшенной части тела). Теперь при помощи теоретической физики можно определить главный вектор действия внутренних сил по сечению (закон распределения этих сил установить сложно). Совмещая плоскость сечения с системой координат, имеем в сечении шесть силовых факторов: продольная сила Nz, пара поперечных сил Qx,Qy, изгибающие моменты Mx,My, крутящий момент Mz.

Соответственно видам внутренних силовых факторов различают четыре вида деформаций тела:

— если в сечении имеется только продольная сила — растяжение или сжатие;

— если в сечении возникают только поперечные силы — сдвиг;

— если в сечении возникают только изгибающие моменты — чистый изгиб, если кроме изгибающих моментов возникают поперечные силы — поперечный изгиб;

— если в сечении возникает крутящий момент — кручение.

Если в сечении действуют несколько силовых факторов, то возникает сложный вид деформации.

Как уже было сказано, при определении внутренних сил методом сечения считаем эти силы приложенными к центру тяжести сечения. На самом деле они распределены по всей поверхности сечения, и интенсивность внутренних силовых факторов может быть различной. Увеличение внешней нагрузки приводит к увеличению внутренней, заставляет возрастать интенсивность во всех точках сечения и может привести к разрушению элемента или возникновению остаточных деформаций. Таким образом, говоря о прочности тела, рассматривать надо не значение внутренних сил, а их интенсивность. Меру интенсивности внутренних сил характеризует напряжение. Для удобства математического и физического анализа напряжение рассматривают как совокупность двух компонент: вектора нормального напряжения и вектора касательно напряжения, являющихся соответственно его составляющими по нормали к сечению и касательно к его плоскости.

Источник