Меню

Контактные напряжения при изгибе

ISopromat.ru

Важнейшим критерием оценки прочности балок при изгибе являются напряжения.

Расчет напряжений

Возникающий в поперечных сечениях при чистом прямом изгибе изгибающий момент Mx

представляет собой равнодействующий момент внутренних нормальных сил, распределенных по сечению и вызывающих нормальные напряжения в точках сечения.

Закон распределения нормальных напряжений по высоте сечения выражается формулой:

где:
M — изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сечении относительно его нейтральной линии X;
Ix — осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси;
y – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяется напряжение.

Нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения.

По вышеуказанной формуле, нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону.

Наибольшие значения имеют напряжения у верхнего и нижнего краев сечения.

Например, для симметричного относительно нейтральной оси сечения, где y1=y2=h/2:

Напряжения в крайних точках по вертикали (точки 1 и 2) равны по величине, но противоположны по знаку.

Для несимметричного сечения

напряжения определяются отдельно для нижней точки 1 и верхней точки 2:

где:

WX — осевой момент сопротивления симметричного сечения;
WX(1) и WX(2) — осевые моменты сопротивления несимметричного сечения для нижних и верхних слоев балки.

Знаки нормальных напряжений при их расчете, рекомендуется определять по физическому смыслу в зависимости от того, растянуты или сжаты рассматриваемые слои балки.

Условия прочности при изгибе

Прочность по нормальным напряжениям

Условие прочности по нормальным напряжениям для балок из пластичного материала записывается в одной крайней точке.

В случае балки из хрупких материалов, которые, как известно, по-разному сопротивляются растяжению и сжатию – в двух крайних точках сечения.

Здесь:
Mmax — максимальное значение изгибающего момента, определяемого по эпюре Mx;
[ σ], [ σ]р, [ σ]с — допустимые значения напряжений для материала балки (для хрупких материалов – на растяжение (р) и сжатие (с)).

Для балки из хрупкого материала обычно применяют сечения, несимметричные относительно нейтральной оси. При этом сечения располагают таким образом, чтобы наиболее удаленная точка сечения размещалась в зоне сжатия, так как [ σ]с>[ σ]р.

В таких случаях, проверку прочности следует обязательно проводить в двух сечениях: с наибольшим положительным изгибающим моментом и с наибольшим по абсолютной величине (модулю) отрицательным значением изгибающего момента.

При расчете элементов конструкций, работающих на изгиб, с использованием вышеуказанных условий прочности решаются три типа задач:

  1. Проверка прочности
  2. Подбор сечений
  3. Определение максимально допустимой нагрузки

Прочность по касательным напряжениям

В случае прямого поперечного изгиба в сечениях балки, кроме нормальных напряжений σ от изгибающего момента, возникают касательные напряжения τ от поперечной силы Q.

Закон распределения касательных напряжений по высоте сечения выражается формулой Д.И. Журавского

где
Sx отс — статический момент относительно нейтральной оси отсеченной части площади поперечного сечения балки, расположенной выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения;
by — ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки, в которой рассчитывается величина касательных напряжений τ.

Условие прочности по касательным напряжениям записывается для сечения с максимальным значением поперечной силы Qmax:

где [ τ] – допустимое значение касательных напряжений для материала балки.

Полная проверка прочности

Полную проверку прочности балки производят в следующей последовательности:

  1. По максимальным нормальным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольший по абсолютному значению изгибающий момент M.
  2. По максимальным касательным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольшая по абсолютному значению поперечная сила Q.
  3. По главным напряжениям для сечения, в котором изгибающий момент и поперечная сила одновременно достигают значительных величин (или когда Mmax и Qmax действуют в одном и том же сечении балки).

При анализе плоского напряженного состояния главные напряжения при изгибе, примут вид:

так как нормальные напряжения в поперечном направлении к оси балки принимаются равными нулю.

Читайте также:  Что такое внутреннее напряжение человека

Проверка прочности осуществляется с помощью соответствующих гипотез прочности, например, гипотезы наибольших касательных напряжений:

Источник



Допускаемые контактные и изгибные напряжения

2.5.1 Допускаемые напряжения при расчете передачи на контактную выносливость [σ]H

Допускаемые контактные напряжения рассчитываются отдельно для материала шестерни и колеса по формуле:

.

Поясним составляющие данной формулы.

SH – коэффициент запаса прочности при расчете на контактную прочность; его минимальные значения: SH = 1,1 – для колес с однородной структурой материала (нормализованных, улучшенных или объемно-закаленных), SH = 1,2 – для колес с поверхностным упрочнением зубьев.

σНlim – предел контактной выносливости (см. таблицу 3).

Таблица 3 – Значения предела контактной выносливости

Способ термической или химико-термической обработки Средняя твердость на поверхности Сталь , МПа
Улучшение 56 HRCЭ Легированная 23· HRCЭср
Азотирование > 52 HRCЭ

– коэффициент долговечности, учитывает влияние ресурса работы передачи:

при условии, что . (1)

В соответствии с кривой усталости контактные напряжения не могут иметь значений меньших σНlim. Поэтому при > в расчетах принимают = . В противном случае ( и, следовательно, , что и учитывает первый знак неравенства в формуле (1). Второй знак неравенства ограничивает допускаемые напряжения по условию предотвращения пластической деформации или хрупкого разрушения поверхностного слоя: для материалов с однородной структурой (нормализованных, улучшенных, объемно закаленных) и для поверхностно-упрочненных материалов (закалка ТВЧ, цементация, азотирование).

– коэффициент, учитывающий влияние шероховатости сопряженных поверхностей зубьев, который принимают для зубчатого колеса пары с более грубой поверхностью в зависимости от параметра Ra шероховатости ( =1¸0,9). Большие значения соответствуют шлифованным и полированным поверхностям (Ra =0,63¸1,25 мкм). Для материалов первой группы принимать =0,9, а для материалов второй группы принимать =1.

– коэффициент, учитывающий влияние окружной скорости V на допускаемое контактное напряжение ( =1¸1,15). Меньшие значения соответствуют твердым передачам, работающим при малых окружных скоростях (V до 5 м/с). При более высоких значениях окружной скорости возникают лучшие условия для создания надежного масляного слоя между контактирующими поверхностями зубьев, что позволяет повысить допускаемые напряжения:

, при H 350HB.

На предварительном этапе расчета принимать = 1.

Для колес с прямыми зубьями, расчетное допускаемое напряжение [σ]Н следует принимать для более слабого и лимитирующего колеса. При термической обработке улучшение обычно лимитирует материал колеса, т.е.

H= Hmin= H2.

Для колес с косыми, шевронными зубьями и с раздвоенным потоком мощности:

,

где [s]HMAX – предельно допускаемое контактное напряжение, которое равно:

здесь [s]Hmin – меньшее из двух допускаемых напряжений для шестерни и колеса.

В случае если вышеуказанное условие не выполняется, то за расчетное контактное напряжение принимается [s]H = [s]HMAX.

2.5.2 Допускаемые напряжения изгиба [σ]F

Допускаемые напряжения изгиба зубьев шестерни и колеса также определяются по общей зависимости, но с подстановкой соответствующих параметров для шестерни и колеса, учитывая влияние на сопротивление усталости при изгибе долговечности (ресурса), шероховатости переходной поверхности между смежными зубьями и реверса (двухстороннего приложения) нагрузки:

.

Поясним составляющие данной формулы.

Предел изгибной выносливости при отнулевом цикле напряжений (см. таблицу 4).

SF – коэффициент запаса прочности при расчете на изгибную прочность; его минимальные значения:

SF = 1,55 – для цементированных и нитроцементированных колес,

SF = 1,75 – для остальных материалов.

Коэффициент долговечности учитывает влияние ресурса передачи:

, при условии, что , (2)

где и — для улучшенных зубчатых колес, а и — для закаленных и поверхностно упрочненных зубьев.

В соответствии с кривой усталости изгибные напряжения не. могут иметь значений меньших . Поэтому при > в расчетах принимают = . В противном случае (

Для длительно работающих быстроходных передач > и, следовательно, , что и учитывает первый знак неравенства в формуле (2). Второй знак неравенства ограничивает допускаемые напряжения по условию предотвращения пластической деформации или хрупкого разрушения зуба.

Читайте также:  Питание преобразователя частоты постоянным напряжением

Таблица 4 – Значения предела изгибной выносливости

Таблица 5 — Коэффициенты приведения

Режим нагрузки
1,0 1,0 1,0
I 0,500 0,300 0,200
II 0,250 0,143 0,100
III 0,180 0,065 0,036
IV 0,125 0,038 0,016
V 0,063 0,013 0,004

– коэффициент, учитывающий влияние шероховатости переходной поверхности между зубьями, который принимают: при шлифовании или зубофрезеровании с параметрами шероховатости мкм; при полировании (большие значения при улучшении и после закалки ТВЧ).

– коэффициент, учитывающий влияние двухстороннего приложения нагрузки (реверса). При одностороннем приложении нагрузки . При реверсивном нагружении и одинаковой нагрузке и числе циклов перемены напряжений в прямом и обратном направлении (например, зубья сателлита в планетарной передаче): — для нормализованных и улучшенных сталей; — для закаленных и цементированных сталей; — для азотированных сталей.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Техническая механика

Сопротивление материалов

Напряжения при изгибе

Нормальные напряжения при чистом изгибе

Как было установлено ранее, в поперечных сечениях балки при чистом изгибе возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия. Вопрос о распределении этих напряжений по поперечному сечению решается путем рассмотрения деформаций волокон балки.

Рассмотрим участок балки, подверженный деформации чистого изгиба. Двумя поперечными сечениями АВ и СD выделим элемент балки бесконечно малой длины ds (рис 1). Радиус кривизны нейтрального слоя балки обозначим ρ.

Рассмотрим слой волокон mn, находящийся на расстоянии y от нейтрального слоя NN. Это волокно в результате деформации изгиба удлинилось на величину nn 1. Ввиду малости расстояния ds заштрихованные треугольники будем считать прямолинейными; эти треугольники подобны (n 1F || mE):

Из подобия треугольников запишем равенство:

Так как левая часть этого равенства есть относительное удлинение, т. е. nn 1 / ds = ε, то y / ρ = ε.

Применив закон Гука при растяжении и сжатии σ = Еε, получим:

Из этой формулы видно, что нормальные напряжения при изгибе распределены по высоте сечения неравномерно: максимальные напряжения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси. По ширине сечения нормальные напряжения не меняются.
Распределение нормальных напряжений изображено на рис. 2.

Полученная формула для определения нормальных напряжений неудобна, так как в нее входит радиус кривизны нейтрального слоя.
Для вывода формулы, связывающей нормальные напряжения с изгибающим моментом, применим метод сечений и рассмотрим равновесие части балки, изображенной на рис. 3.
В плоскости поперечного сечения выделим бесконечно малую площадку dA, в пределах которой будем считать нормальные напряжения σ постоянными; тогда нормальная сила dN, действующая на площадку dA, будет равна:

Составим уравнения равновесия:

1. Σ Z = 0; ∫dN = 0, или: ∫σ dA = ∫Еy / ρ dA = Е / ρ ∫y dA = 0 .

(ρ для данного сечения, а также модуль упругости Е – величины постоянные, поэтому вынесены за знак интеграла). Поскольку ρ и Е не равны нулю, значит, ∫y dA = 0. Этот интеграл представляет собой статический момент площади сечения относительно оси x, т. е. нейтральной оси бруса (балки). Равенство нулю статического момента инерции означает, что при изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести площади поперечного сечения;

Так как при чистом изгибе изгибающий момент равен внешнему моменту М и = m, то

М и = ∫y dN = ∫y dA = ∫y Еy / ρ dA = Е / ρ ∫y 2 dA,

где: I = ∫y 2 dA – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси; ЕI – жесткость сечения при изгибе.

Так как при чистом изгибе балки постоянного сечения М и = const, то:

ρ = EI / М и = const.

Следовательно, изогнутая ось такой балки представляет собой дугу окружности. Выражение радиуса кривизны подставим в формулу для определения нормальных напряжений; тогда:

Читайте также:  При тушении электроустановок находящихся под напряжением допускается подносить раструб огнетушителя

σ = Еy / ρ = Ey / EI / М и = М и y / I.

Максимальное значение нормальные напряжения будут иметь у волокон, наиболее удаленных от нейтральной оси:

σ max = М и y max / I = М и / I / y max = М и / W,

где W = I / y max – момент сопротивления изгибу (или осевой момент сопротивления).
Момент сопротивления изгибу есть отношение осевого момента инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленного волокна.
Единица момента сопротивления сечения изгибу [W] = м 3 .

Итак, наибольшие нормальные напряжения при чистом изгибе вычисляются по формуле

Нетрудно заметить, что эта формула по своей структуре аналогична формулам для определения напряжений при растяжении, сжатии, сдвиге и кручении.

Касательные напряжения при изгибе

Очевидно, что при поперечном изгибе, вызванном приложением к балке поперечной силы, в сечениях балки должны возникнуть касательные напряжения.
Определением зависимости между внешними нагрузками, геометрическими и физическими параметрами балок и касательными напряжениями, возникающими в них, занимался русский мостостроитель Д. И. Журавский, который в 1855 году предложил следующую формулу:

Эта формула называется формулой Журавского и читается так:
касательные напряжения в поперечном сечении балки равны произведению поперечной силы Q на статический момент S относительно центральной оси части сечения, лежащей выше рассматриваемого слоя волокон, деленному на момент инерции I всего сечения относительно нейтральной оси и на ширину b рассматриваемого слоя волокон.

По формуле Журавского можно вывести зависимости для определения касательных напряжений в балках, имеющих разную форму поперечного сечения (прямоугольную, круглую и т. п.).
Например, для балки круглого сечения формула Журавского в результате преобразований выглядит так:

τ max = 4Q / (3A) = 4τ сред / 3,

где Q – поперечная сила, вызывающая изгиб, А – площадь сечения балки.

Большинство балок в конструкциях рассчитывается только по нормальным напряжениям, и только три вида балок проверяют по касательным напряжениям:

— деревянные балки, т. к. древесина плохо работает на скалывание;
— узкие балки (например, двутавровые), поскольку максимальные касательные напряжения обратно пропорциональны ширине нейтрального слоя;
— короткие балки, так как при относительно небольшом изгибающем моменте и нормальных напряжениях у таких балок могут возникать значительные поперечные силы и касательные напряжения.
Максимальное касательное напряжение в двутавровой балке определяется по формуле Журавского, при этом геометрические характеристики таких балок берутся из справочных таблиц .

Расчеты на прочность при изгибе

Условие на прочность при изгибе заключается в том, что максимальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемое.
Полагая, что гипотеза о не надавливании волокон справедлива не только при чистом, но и при поперечном изгибе, мы можем нормальные напряжения при поперечном изгибе определять по такой же формуле, что и при чистом изгибе, при этом расчетная формула выглядит так:

σ max = Ми max / W ≤ [σ]

и читается так: нормальное напряжение в опасном сечении, определенное по формуле σ max = Ми max / W ≤ [σ] не должно превышать допускаемое.
Допускаемое нормальное напряжение при изгибе выбирают таким же, как при растяжении и сжатии.
Максимальный изгибающий момент определяют по эпюре изгибающих моментов или расчетом.
Так как момент сопротивления изгибу W в расчетной формуле стоит в знаменателе, то чем больше W, тем меньшие напряжения возникают в сечении бруса.

Ниже приведены моменты сопротивления изгибу для наиболее часто встречающихся сечений:

1. Прямоугольное сечение размером b x h: W пр = bh 2 / 6.

2. Круглое сечение диаметром d: W круг = π d 3 / 32 ≈ 0,1d 3

3. Кольцо размером D x d: W кольца = ≈ 0,1 (D 4 – d 4 ) / D; (момент сопротивления кольцевого сечения нельзя определять, как разность моментов сопротивления большого и малого кругов).

Источник