Меню

Контактные напряжения сфера плоскость

Расчет на смятие шариком плоскости

В машиностроении и приборостроении контакт шарика с плоскостью присутствует в шариковых предохранительных муфтах, в некоторых видах шариковых линейных и круговых направляющих, в простейших шарнирах для исключения торцевого трения. Как выполнить…

…расчет на смятие? Как рассчитать предельно допустимую нагрузку, при которой не деформируются необратимо ни шарик, ни опорная плоскость? Как определить – образуется лунка под шариком на опорной поверхности или нет?

При нажатии шариком на плоскую опорную поверхность в обоих телах возникают нормальные напряжения, названные контактными. С увеличением силы сжатия контактные напряжения возрастают. Шарик и плоскость опорного тела упруго деформируются. Упруго – это значит, что при снятии нагрузки тела вернутся в исходное состояние. Никаких лунок – следов пластической деформации – мы не обнаружим. При дальнейшем росте силы сжатия и достижении контактными напряжениями некоего предельного значения для менее твердого из тел начнется необратимый процесс – смятие поверхности в точке соприкосновения с образованием лунки.

В теории упругости изучение контактных напряжений и деформаций входит в число наиболее сложных задач. Глубокий обобщающий взгляд на решение этой задачи предложен в статье «Методика расчета твердых тел на контактную прочность по предельным контактным нагрузкам» доктором технических наук Третьяковым Евгением Михайловичем – одним из ведущих специалистов в стране по рассматриваемой тематике. Статья опубликована в Вестнике МГТУ им. Н.Э. Баумана в серии «Машиностроение» в №4 за 2012 год. Кроме того, что работа написана интересным и понятным для обычного инженера языком, она содержит готовые к применению на практике ценные алгоритмы!

Расчет на смятие, предложенный далее, выполнен в Excel по формулам из вышеназванной статьи.

Контактные напряжения. Расчет в Excel.

Исходные данные:

1. Шарики на практике чаще всего извлекают из шарикоподшипников. Для подбора необходимого диаметра d можно воспользоваться таблицей «Применяемость шариков в подшипниках» на сайте:

2. Силу сжатия P шарика с плоскостью опорного элемента задаем, опираясь на предшествующие расчеты или предварительно — произвольно.

3. Распространенным материалом для изготовления шариков является Сталь ШХ15. Предел текучести этой стали ш, закаленной в масле до твердости HRC62, можно найти по ссылке:

4. Допустим, ответная деталь изготовлена из Стали 40Х, закаленной в масле до твердости HRC39. Предел текучести п можно найти по предыдущей ссылке.

5. Последний параметр, величину которого необходимо задать – это модуль упругости E. Можно ввести стандартное для всех сталей значение — 210 000 МПа, а можно заглянуть в марочник сталей и увидеть, что при +20°С для ШХ15 E=211 000 МПа, а для 40Х Е=214 000 МПа. Выбрать следует большее значение. Найти вышеуказанные величины модуля упругости можно в Интернете по адресу:

Формулы:

Выводы:

В рассмотренном примере (смотри скриншот программы в Excel) расчет на смятие показал, что коэффициенты запаса контактной прочности больше единицы. Это означает, что при заданной нагрузке 350 Н шарик имеет запас контактной прочности 89%, а опорная плоскость только лишь 4%. Тела будут упруго обратимо деформироваться, не достигая пластических стадий и не образуя вмятин на контактируемых участках поверхностей.

При достижении нагрузкой величины 390 Н контактные напряжения вырастут настолько, что начнется процесс смятия (пластической деформации) шариком поверхности плоской детали. При этом коэффициент запаса прочности для плоской поверхности примет значение меньше единицы.

Уважающих труд автора прошу скачать файл с расчетом после подписки на анонсы статей в окне, размещенном в конце статьи или в окне наверху страницы!

Источник



КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1983 .

Читайте также:  При каком напряжении сгорает светодиод

механические — напряжения, к-рые возникают при механич. взаимодействии твёрдых деформируемых тел на площадках их соприкасания и вблизи площадок (напр., при сжатии соприкасающихся тел). Знание К. н. важно для расчёта на прочность подшипников, зубчатых и червячных передач, шариковых и цилиндрич. катков, кулачковых механизмов и т. п. Определение К. н. составляет задачу, наз. контактной.

Решение нек-рых контактных задач для упругих тел впервые дано Г. Герцем (G. Hertz). В основу его теории К. н. положены след, предположения: материал соприкасающихся тел в зоне контакта однороден и следует закону Гука; линейные размеры площадки контакта малы по сравнению с радиусом кривизны и линейными размерами соприкасающихся поверхностей в окрестности точек контакта; силы трения между соприкасающимися телами пренебрежимо малы. При этом найдено, что при сжатии двух тел, ограниченных плавными поверхностями, площадка контакта имеет форму эллипса (в частности, круга или полоски), а интенсивность распределения К. н. по этой площадке следует эллипсоидальному закону.

2521-142.jpg

К. н. имеют местный характер, т. е. быстро убывают при достаточном удалении от места контакта (соприкасания тел). Распределение К. н. по площадке контакта и в её окрестности неравномерно и характеризуется большими градиентами. Важной особенностью распределения К. н. (напр., при сжатии шаров или пересекающихся цилиндров) является то, что макс, касательные напряжения к-рые в значит. мере предопределяют прочность сжимаемых тел, имеют место на нек-рой глубине под площадкой контакта. Вблизи самой этой площадки напряжённое состояние близко к гидростатич. сжатию, при к-ром, как известно, касательные напряжения отсутствуют.

2521-140.jpg

Рис. 1. Возникновение контактных напряжений при соприкосновении шаров.

2521-141.jpg

Рис. 2. Возникновение контактных напряжений при соприкосновении цилиндров.

Характерными случаями соприкасания упругих тел являются следующие.

2521-143.jpg

1) Соприкасание шаров (рис. 1); площадка контакта имеет форму круга радиуса а, на к-ром действует давление с интенсивностью

2521-144.jpg

2522-1.jpg

2522-2.jpg(i = l, 2) — модуль Юнга материала рассматриваемых тел, 2522-3.jpg 2522-4.jpg— коэф. Пуассона, Р — равнодействующая сил, приложенных к каждому из соприкасающихся шаров, R 1 и R 2 — радиусы кривизн соприкасающихся поверхностей. Наибольшие сжимающие К. н. (рис. 1, б) действуют в центре площадки и равны 2522-5.jpg 2522-6.jpgа между напряжениями 2522-7.jpgв центре площадки контакта существует зависимость 2522-8.jpg 2522-9.jpgМакс. касательные напряжения в этом случае равны 2522-10.jpgи имеют место в точке А, отстоящей от центра площадки контакта по оси 2522-11.jpgна расстоянии 0,786 а.

2522-12.jpg

2) Соприкасание двух цилиндров (рис. 2), оси к-рых образуют угол площадка контакта — эллипс; интенсивность распределения давления по этой площадке определяется ф-лой

2522-13.jpg

2522-14.jpg

Эксцентриситет эллипса е определяется из соотношения

2522-15.jpg

2522-16.jpg

К(е), Е(е) — полные эллиптич. интегралы 1-го и 2-го рода.

Если угол 2522-17.jpgа R 1 =R 2 (рис. 2, б), то площадка контакта будет кругом и закон распределения давления по ней будет таким же, как и в случае сжатия шаров. Характерно, что макс. К. н. 2522-18.jpgпри сжатии двух шаров радиуса R примерно в 1,6 раза больше макс. К. н. 2522-19.jpgпри сжатии двух накрест лежащих цилиндров 2522-20.jpgрадиусы к-рых равны R, а материал и равнодействующая Р такие же, как и у шаров.

Если 2522-21.jpgто большая ось площадки контакта между соприкасающимися цилиндрами увеличивается и при 2522-22.jpg(или при 2522-23.jpgстановится сравнимой с радиусом цилиндра. В этом случае ф-лы для определения деформаций, полученные в теории Герца, не применимы. Однако ф-лы, полученные на основании этой теории (когда область контакта мала), имеют смысл и в этом случае, т. е. при 2522-24.jpgВ случае 2522-25.jpg(рис. 2, в )площадка контакта имеет вид полоски шириной 2l. Распределение давления по этой полоске определяется ф-лой

Читайте также:  Как измерить напряжение мостовой схемой

2522-26.jpg

где Q — нагрузка на единицу длины цилиндра.

Теория Герца и проблема К. н. в целом получили значительное матем. развитие в течение последних двух-трёх десятилетий, что позволило изучить влияние сил трения между соприкасающимися телами на величину К. н.; исследовать случаи соприкасания тел, когда одно из них является гибким, напр. плиты и балки на упругом основании, подкрепляющие кольца и стержни; рассмотреть случаи, когда линейные размеры области контакта сравнимы с радиусом кривизны соприкасающихся тел, напр. давление цилиндра на край цилиндрич. отверстия в упругом теле, радиусы к-рых почти равны; решена задача в общем случае о давлении абсолютно жёсткого тела (штампа), круглого в плане, на упругое полупространство; решены нек-рые конкретные задачи для анизотропных тел и ряд др. задач.

Лит.: Рвачев В. Л., Проценко B. C., Контактные задачи теории упругости для неклассических областей, К., 1977; Моссаковский В. И., Гудрамович В. С., Макеев Е. М., Контактные задачи по теории оболочек и стержней, М., 1978; Галин Л. А., Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости, М., 1980; Попов Г. Я., Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений, М., 1982; Александров В. М., Мхитарян С. М., Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками, М., 1983; Теплый М. И., Контактные задачи для областей с круговыми границами, Львов, 1983. В. В. Панасюк.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое «КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ» в других словарях:

контактные напряжения — [contact stresses] напряжения, действующие на контактной поверхности при механическом взаимодеействии твердых тел; например, между металлом и инструментом в процессе деформирования или резания. Нормальные контактные напряжения, действующие на… … Энциклопедический словарь по металлургии

Контактные напряжения — напряжения, которые возникают при механических взаимодействии твёрдых деформируемых тел на площадках их соприкасания и вблизи этих площадок (например, при сжатии соприкасающихся тел). Знание К. н. важно для расчёта на прочность… … Большая советская энциклопедия

Напряжения — [stresses] (Смотри тж. Напряжение): Смотри также: фазовые напряжения термические напряжения пиковые напряжения остаточные напряжения … Энциклопедический словарь по металлургии

КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ — неравновесные электронные явления, возникающие при прохождении электрич. тока через контакт полупроводника с металлом или электролитом или через контакт двух различных полупроводников (гетеропереход )либо через границу двух областей одного и того … Физическая энциклопедия

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ — задачи распределения деформации и напряжения в системе твердых тел, имеющих общие участки границ (поверхности соприкосновения). В общей постановке результаты по контактной задаче (к. з.) ограничиваются теоремами существования и нек рыми… … Математическая энциклопедия

остаточные напряжения — [residual stresses] напряжения, сохраняющиеся после кристаллизации, различных видов температурно силового воздействия или фазовых превращений и уравновешиваемые внутри изделия (полуфабриката). Различают остаточные напряжения трех родов: 1 го рода … Энциклопедический словарь по металлургии

дополнительные напряжения — [extraneous stresses] напряжения, возникающие в твердом теле в результате действия локальных взаимно уравновешивающих сил. Термин дополнительные напряжения ввел С. И. Губкин, сформулировавший закон дополнительных напряжений: при любом… … Энциклопедический словарь по металлургии

главные напряжения — [principal stresses] экстремальные по величине нормальные и касательнеы напряжения, действующие на особых плоскостях. Главные нормольные напряжения действуют на трех взаимно перпендикулярных плоскостях (главных плоскостях), на которых отсутствуют … Энциклопедический словарь по металлургии

пиковые напряжения — [peak stresses] 1. напряжения, превышающие средний уровень статических или максимальных циклических напряжений, возникновение которых обусловленно случайным отклонением от нормальных условий эксплуатации. 2. Напряжения, превышающие средний… … Энциклопедический словарь по металлургии

Читайте также:  Импульсный преобразователь напряжения принципиальная схема

зональные напряжения — [zonal stresses] остаточные напряжения, которые уравновешиваются в объемах (зонах), сопоставимых с размерами изделия; возникают в результате выполнения различных технологических операций (литья, обработки давлением, термической обработки, сварки… … Энциклопедический словарь по металлургии

Источник

Техническая механика

Сопротивление материалов

Смятие. Контактные напряжения

Расчеты на прочность при смятии

Если детали конструкции, передающие значительную сжимающую нагрузку, имеют небольшую площадь контакта, то может произойти смятие поверхностей деталей.
Смятие стараются предотвратить различными способами, например, подкладывая различные шайбы и подкладки под контактирующие детали.

Для простоты расчетов напряжений, возникающих при смятии, полагают, что по плоскости контакта возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по площади контакта. Расчетное уравнение на смятие имеет вид:

где: F – сжимающая сила, А см – площадь контакта, [σ см] – допускаемое напряжение на смятие.

Если соприкасающиеся детали сделаны из разных материалов, то на смятие проверяют деталь из более мягкого материала.

При контакте двух деталей цилиндрической поверхности (например, заклепочное соединение) закон распределения напряжений смятия по поверхности контакта сложнее, чем по плоскости, поэтому при расчете на смятие цилиндрических отверстий в расчетную формулу подставляют не площадь боковой поверхности полуцилиндра, по которой происходит контакт, а значительно меньшую площадь диаметрального сечения отверстия (условная площадь смятия, (см. рис. 2), тогда:

где d — диаметр цилиндра, δ — толщина соединяемой детали (высота цилиндра).

При различной толщине соединяемых деталей, в расчетную формулу подставляют меньшую толщину.

Допустимые напряжения на смятие для разных материалов определяются опытным путем, их значение можно найти в справочниках.
Так, для низкоуглеродистой стали допускаемое напряжение смятия принимается в пределах 100….120 МПа, для клепаных соединений: 240….320 МПа, для древесины: 2,4….11 МПа и т. д.

Контактные напряжения

Контактными называют напряжения и деформации, возникающие при сжатии тел криволинейной формы, причем первоначальный контакт может быть линейным (например, сжатие двух цилиндров с параллельными образующими), или точечным (например, сжатие двух шаров).

В результате деформации контактирующих тел начальный точечный или линейный контакт переходит в контакт по некоторой малой площадке. Решение вопросов о контактных напряжениях и деформациях впервые дано в работах немецкого физика Г. Герца (1857-1894 г. г.).

Для деталей, в поверхностных слоях которых возникают контактные напряжения (например, подшипники качения, фрикционные катки, зубчатые колеса и т. п. ), решающую роль играет прочность рабочих поверхностей – контактная прочность.

Рассмотрим случай контакта двух цилиндров с параллельными образующими (рис 3).
Определение контактных напряжений в этом случае производится по формуле Герца, выведенной в предположении, что материалы цилиндров подчиняются закону Гука.
Очевидно, что контактные напряжения по ширине площадки контакта неравномерны.

Максимальные напряжения σ н определяются по формуле:

σ н = √ / [2π(1 — ν 2 )ρ пр]>, (здесь и далее √ — знак корня)

где:
q – нагрузка на единицу длины линии контакта;
Е пр – приведенный модуль упругости, получаемый из соотношения 2/Е пр = 1/Е 1 + 1/Е 2; (здесь 1/Е — некоторая характеристика податливости материала), откуда: Е пр = 2 Е 1Е 2 / Е 1 + Е 2;
ν — коэффициент Пуассона;
ρ пр – приведенный радиус кривизны цилиндров, определяемый из соотношения 1/ρ пр = 1/R 1 + 1/R 2, (здесь 1/ρ пр — кривизна поверхности), откуда:

При ν = 0,3 формула Герца приобретает вид:

Формула Герца широко применяется при расчетах на контактную прочность многих деталей машин и механизмов — зубчатых колес, подшипников качения и т. п.

Материалы раздела «Сопротивление материалов»:

Источник