Меню

Контурный ток это определение

Метод контурных токов для расчёта электрических цепей

При расчёте электрических цепей, помимо законов Кирхгофа, часто применяют метод контурных токов. Метод контурных токов позволяет уменьшить количество решаемых уравнений.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

В методе контурных токов уравнения составляются на основании второго закона Кирхгофа, причём их равно $ N_<\textrm<в>>-N_<\textrm<у>>+1 $, где $ N_<\textrm<у>> $ – число узлов, $ N_<\textrm<в>> $ – число ветвей, т.е. количество совпадает с количеством уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа.

Опишем методику составления уравнений по методу контурных токов. Рассмотрим её на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.

Электрическая схема метод контурных токов для расчёта электрической цепи

Рис. 1. Рассматриваемая электрическая цепь

Для начала необходимо задать произвольно направления контурных токов (рис. 2).

Электрическая схема метод контурных токов для расчёта электрической цепи направление контурных токов

Рис. 2. Задание направления контурных токов в электрической цепи

Количество уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно 3. Здесь контур с источником тока так же не рассматривается.

Составим уравнение для контура «1 к.». В контуре «1 к.» контурный ток $ \underline_ <11>$ протекает по всем сопротивлениям $ R_ <2>$, $ \underline_ $, $ \underline_ $. Кроме того, через сопротивление $ R_ <2>$ протекает контурный ток смежного контура «2 к.» $ \underline_ <22>$, причём контурные токи $ \underline_ <11>$ и $ \underline_ <22>$ протекают в противоположных направлениях. Через индуктивное сопротивление $ \underline_ $ также протекает контурный ток $ \underline_ <33>$, причём контурные токи $ \underline_ <11>$ и $ \underline_ <33>$ также протекают в противоположных направлениях. Про составлении уравнения нужно сложить все падения напряжения (аналогично второму закону Кирхгофа), при этом необходимо учесть направление контурных токов: если контурные токи смежных контуров протекают в определённой ветви в одном направлении, то падение напряжения в этой ветви необходимо вносить со знаком «+», в противном случае – со знаком «-». Полученная сумма будет равна сумме ЭДС данного контура, при этом ЭДС берётся со знаком «+», если направление контурного тока совпадает с направлением ЭДС, в противном случае – со знаком «-».

Учитывая вышеизложенное, уравнение по методу контурных токов для контура «1 к.» будет выглядеть следующим образом:

$$ (R_ <2>+ \underline_ + \underline_) \cdot \underline_<11>— R_ <2>\cdot \underline_<22>— \underline_ \cdot \underline_ <33>= \underline_<1>. $$

Аналогично составим уравнение для контура «2 к.». Необходимо учесть, что уравнение для контура с источником тока не составляется, но ток от источника тока также необходимо учитывать в уравнение аналогично контурным токам других контуров. Само уравнение будет выглядеть следующим образом:

$$ -R_ <2>\cdot \underline_ <11>+ (R_ <2>+ R_ <4>+ \underline_) \cdot \underline_<22>— \underline_ \cdot \underline_ <1>= \underline_<2>. $$

Для контура «3 к.»:

$$ -\underline_ \cdot \underline_ <11>+ (R_ <1>+ R_ <3>+ \underline_ + \underline_) \cdot \underline_<33>— R_ <3>\cdot \underline_ <1>= \underline_<3>. $$

В приведённых выше уравнениях $ \underline_ = -\frac<1> <\omega C>$, $ \underline_ = \omega L $.

Таким образом, для того, чтобы найти искомые контурные токи, необходимо решить следующую систему уравнений, где слагаемые с силой тока источника тока перенесены в правую часть уравнений:

$$ \begin (R_ <2>+ \underline_ + \underline_) \cdot \underline_<11>— R_ <2>\cdot \underline_<22>— \underline_ \cdot \underline_ <33>= \underline_ <1>\\ -R_ <2>\cdot \underline_ <11>+ (R_ <2>+ R_ <4>+ \underline_) \cdot \underline_ <22>= \underline_ <2>+ \underline_ \cdot \underline_ <1>\\ -\underline_ \cdot \underline_ <11>+ (R_ <1>+ R_ <3>+ \underline_ + \underline_) \cdot \underline_ <33>= \underline_ <3>+ R_ <3>\cdot \underline_ <1>\end $$

В данном случае это система из 3 уравнений с 3 неизвестными. Для решения данной системы уравнений удобно пользоваться Matlab. Для этого представим эту систему уравнений в матричной форме:

$$ \begin R_ <2>+ \underline_ + \underline_ & -R_ <2>& -\underline_ \\ -R_ <2>& R_ <2>+ R_ <4>+ \underline_ & 0 \\ -\underline_ & 0 & R_ <1>+ R_ <3>+ \underline_ + \underline_ \end \cdot \begin \underline_ <11>\\ \underline_ <22>\\ \underline_ <33>\end = \begin \underline_ <1>\\ \underline_ <2>+ \underline_ \cdot \underline_ <1>\\ \underline_ <3>+ R_ <3>\cdot \underline_ <1>\end $$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся следующим скриптом Matlab:

В результате получим вектор-столбец $ \underline<\bold> $ токов из трёх элементов, состоящий из искомых контурных токов, при этом

Далее в схеме по рис. 2 расставим направления токов в ветвях (рис. 3).

Электрическая схема метод контурных токов для расчёта электрической цепи определение токов в ветвях

Рис. 3. Задание направления токов в электрической цепи

Для определения токов в ветвях необходимо рассмотреть все контурные токи, которые протекают через данную ветвь. Видим, что через ветвь, где протекает ток $ \underline_ <1>$, проходит только один контурный ток $ \underline_ <11>$, и он сонаправлен, отсюда

Через ветвь, где протекает ток $ \underline_ <2>$, проходят контурные токи $ \underline_ <11>$ и $ \underline_ <22>$, причём ток $ \underline_ <11>$ совпадает с принятым направлением тока $ \underline_ <2>$, а ток $ \underline_ <22>$ – не совпадает. Те контурные токи, которые совпадают с принятым направлением, берутся со знаком «+», те, которые не совпадают – со знаком «-». Отсюда

Аналогично для других ветвей

$$ \underline_ <5>= \underline_<22>— \underline_<1>, $$

$$ \underline_ <7>= \underline_<33>— \underline_<1>, $$

Итак, метод контурных токов позволяет рассчитывать меньшее количество сложных уравнений для расчёта аналогичной электрической цепи по сравнению с законами Кирхгофа.

Список использованной литературы

  1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

Рекомендуемые записи

Расчёт матриц передачи многополюсников различной формы осуществляется достаточно просто. Матрицы передачи — это математическое описание рассматриваемой…

Во время работы электроэнергетических систем могут возникнуть не только режимы коротких замыканий, но и обрывы. Метод…

При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие…

Источник

Контурный ток это определение

Метод контурных токов

Метод Контурных Токов очень похож на Метод Токов Ветвей. Для определения неизвестных токов цепи здесь используются система уравнений, Второй Закон Кирхгофа и Закон Ома, но, в отличие от метода Токов Ветвей, не применяется Первый Закон Кирхгофа. Отсюда вытекает меньшее количество неизвестных и меньшее количество уравнений, что особенно приятно, если вы работаете без калькулятора.

Давайте посмотрим, как этот метод работает на схеме из предыдущей статьи:

analiz5

Первый шаг данного метода заключается в определении «контуров» цепи, охватывающих все ее компоненты. В нашем примере будет два контура: первый — образованный компонентами В1, R1, R2 и второй — образованный компонентами B2, R2 и R3. Внутри каждого контура нужно нарисовать предполагаемое направление тока:

analiz31

Как и в Методе Токов Ветвей, выбор направления каждого из токов носит совершенно произвольный характер, но полученные уравнения будет легче решить, если токи в общих для нескольких контуров компонентах будут иметь одинаковые направления (в нашем примере резистор R2 будет общим для обоих контуров, проходящие через него токи I1 и I2 имеют одинаковое направление). Если предполагаемое направление тока окажется неверным, то вы увидите это в ходе математических расчетов (ответ будет иметь отрицательное значение).

На следующем шаге нам нужно промаркировать полярности напряжений всех резисторов в соответствии с предполагаемыми направлениями токов. Конец резистора, в который ток втекает — будет отрицательным, а из которого вытекает — будет положительным (электрон заряжен отрицательно, и течет от минуса к плюсу):

analiz32

Теперь можно приступить к формированию уравнений Второго Закона Кирхгофа. В данной статье мы не будем подробно рассматривать сам процесс формирования, его вы можете посмотреть в предыдущей статье. По аналогии с Методом Токов Ветвей, напряжения в этих уравнениях мы будем выражать через произведения сопротивлений (в Омах) и соответствующих им токов (которые на данный момент неизвестны). Там где два тока пересекаются (в нашем случае они пересекаются в резисторе R2), напряжение нужно выразить как произведение сопротивления и суммы этих двух токов (U2 = R2(I1+I2)).

Итак, проанализировав левый контур схемы, начиная с верхнего левого угла и двигаясь против часовой стрелки (выбор точки отсчета и направления может быть произвольным), мы получим следующее уравнение:

analiz33

Обратите внимание, что средний член уравнения использует сумму токов I1 и I2. Это то, о чем мы с вами только что говорили: через резистор R2 протекают два тока — I1 и I2. Данное уравнение можно упростить следующим образом:

analiz34

На данный момент у нас есть одно уравнение с двумя неизвестными. Чтобы найти эти два неизвестных значения, нам потребуется система из двух уравнений. Второе уравнение мы можем получить, если проанализируем другой контур схемы:

Читайте также:  Какую силу тока выдерживает кабель сечением 0 75

analiz35

Если это уравнение упростить, то оно примет следующий вид:

analiz36

Теперь мы имеем два уравнения, и можем использовать один из нескольких математических методов для нахождения неизвестных токов I1 и I2:

analiz37

Мы нашли значения токов в контурах, а нам нужно знать значения токов на каждом из компонентов, поэтому давайте вернемся к схеме, чтобы увидеть как полученные величины сочетаются друг с другом:

analiz38

Значение -1 ампер для тока I2 означает, что наше первоначально предполагаемое направление данного тока оказалось неверным. В действительности I2 течет в противоположном направлении, а его значение имеет положительный знак:

analiz40

Изменив направление тока I2, мы должны соответствующим образом изменить полярность напряжения на резисторах R2 и R3. Теперь можно сказать, что ток через резистор R1 равен 5 амперам, а напряжение на данном резисторе будет составлять 20 вольт (U = IR = 4 х 5 = 20). Кроме того, мы с уверенностью можем сказать, что ток через резистор R3 равен 1 амперу, а напряжение на нем составляет 1 вольт (U = IR = 1 x 1 = 1). Ну а что же происходит в резисторе R2?

Контурный ток I1 идет «вверх» через этот резистор, в то время как контурный ток I2 идет через него «вниз». Чтобы определить фактический ток через резистор R2, мы должны увидеть, как эти контурные токи взаимодействуют (в нашем случае они находятся в оппозиции), и алгебраически сложить их. Так как I1 величиной в 5 ампер идет «вверх», а I2 величиной в 1 ампер идет «вниз», реальный ток через резистор R2 будет иметь значение 4 ампера, и идти он будет «вверх»:

analiz41

Ток 4 ампера через резистор R2, сопротивлением 2 Ома, даст нам напряжение 8 вольт на этом резисторе (U = IR = 4 x 2 = 8).

Основное преимущество данного метода состоит в том, что он использует меньшее количество неизвестных величин и меньшее количество уравнений при анализе сложных схем. Для анализа вышерассмотренной схемы нам потребовалось 3 уравнения при применении Метода Токов Ветвей, и только 2 уравнения — при применении Метода Контурных Токов. Это преимущество становится более явным, когда сложность схемы возрастает:

analiz42

При анализе этой схемы Методом Токов Ветвей, мы должны найти пять неизвестных (неизвестные токи I1 — I5). Для выполнения поставленной задачи нам потребуется система из пяти уравнений: два уравнения Первого Закона Кирхгофа (в узлах схемы) и три уравнения Второго Закона Кирхгофа (в каждой из ветвей схемы):

analiz43

analiz44

Метод Контурных токов, в отличии от Метода Токов Ветвей, значительно проще. При применении данного метода нам потребуется найти только три неизвестных величины, для чего мы будем использовать только три уравнения:

analiz45

analiz46

Меньшее количество уравнений дает определенное преимущество, особенно при решении системы уравнений вручную (без калькулятора).

Еще одним типом схем, которые хорошо поддаются анализу методом Контурных токов, является мост Уитстона. В качестве примера мы рассмотрим следующую схему:

analiz47

Поскольку в этой цепи соотношения R1/R4 и R2/R5 не равны, на резисторе R3 будет определенное напряжение, и через него будет проходить некоторое количество тока. Как уже говорилось в начале статьи, к данному типу схем не применим обычный, последовательно-параллельный анализ.

Мы могли бы проанализировать эту схему при помощи Метода Токов Ветвей, но тогда нам потребовалось бы найти шесть неизвестных значений (токи I1 — I6) при помощи системы из шести уравнений. Не будем усложнять себе задачу и применим для анализа Метод Контурных Токов, который позволит найти все неизвестные значения с гораздо меньшим количеством уравнений.

Первое, что мы должны сделать при анализе Методом Контурных Токов — это определить контуры схемы, которые будут охватывать все ее компоненты. Так как два контура видны невооруженным взглядом, давайте разместим в них два тока:

analiz48

Направления этих токов вы можете выбрать произвольно. Но для нашей схемы двух контурных токов будет недостаточно, потому что ни I1, ни I2 не проходят через батарею. Исходя из этого, добавим еще один контурный ток — I3:

analiz49

Здесь для тока I3 мы выбрали контур начинающийся в нижней части батареи, затем проходящий через резисторы R4, R3 и возвращающийся к верхней части батареи. Это не единственный путь, который можно выбрать для тока I3, но нам он кажется самым простым.

Теперь нам нужно проставить полярности напряжений на резисторах в соответствии с выбранными направлениями токов:

analiz50

Обратите внимание на очень важный момент: полярность напряжений на резисторе R4 для токов I2 и I3 будет противоположной. Такое стало возможным из-за того, что вышеуказанные токи проходят через резистор R4 в разных направлениях. Однако, данный факт не исключает возможности применения для анализа схемы Метода Контурных токов, хотя и осложнит его в некоторой степени. Позже мы вам покажем, как избежать столкновения токов в резисторе R4 (Смотрите пример ниже).

Ну вот, у нас все готово для проведения анализа. Давайте создадим уравнение Второго Закона Кирхгофа для верхнего контура схемы (начиная с верхнего узла и двигаясь по часовой стрелке):

analiz51

Напряжения в этом уравнении представлены как произведения соответствующих сопротивлений и токов. Причем общие для компонентов токи обозначены их суммой (если они текут в одном направлении). Например, напряжение на резисторе R3, имеющем сопротивление 100 Ом, представлено выражением 100(I1 + I2), так как оба тока I1 и I2 проходят через данный резистор в одном направлении — справа налево. То же самое можно сказать и про напряжение на резисторе R1: оно представлено выражением 150(I1 + I3). Токи I1 и I3 здесь так же текут в одном направлении — снизу вверх.

Сформировать уравнение Второго Закона Кирхгофа для нижнего контура схемы будет немного сложнее, так как токи через резистор R4 движутся в разных направлениях. Мы делаем это следующим образом (начиная с правого узла и двигаясь против часовой стрелки):

analiz52

Обратите внимание, что второй член первоначального вида уравнения представлен как произведение R4, сопротивлением 300 Ом, и разницы токов I2 и I3 (I2 — I3). Так мы представляем совместное действие двух противоположных по направлению контурных токов в одном компоненте. Выбор соответствующего математического знака здесь очень важен: 300(I2 — I3) — это не то же самое, что и 300(I3 — I2). Мы решили написать 300(I2 — I3) прежде всего потому, что контурный ток I2 (создающий положительную полярность напряжения на нижнем выводе резистора и отрицательную полярность — на верхнем) для нас первичен, так как он протекает в анализируемом контуре, а контурный ток I3 (создающий противоположную полярность) — вторичен. Если бы мы за первичный ток взяли I3, а за вторичный — I2, то выражение имело бы вид: -300(I3 + I2). Заметим, что это выражение математически эквивалентно первому: +300(I2 — I3).

Итак, мы имеем два уравнения, но для нахождения трех неизвестных величин нам потребуется еще одно. Это третье уравнение должно включать в себя напряжение батареи, которое в двух предыдущих уравнениях отсутствовало. Давайте создадим уравнение Второго Закона Кирхгофа для левого контура схемы (начиная с нижнего конца батареи и двигаясь по часовой стрелке):

analiz53

Теперь нам остается решить следующую систему уравнений:

analiz54

Практическое задание:

Найдите значения токов I1, I2 и I3, и спользуя программу Octave и приведенную выше систему уравнений. (Скачать программу Octave, являющуюся клоном Matlab® с открытым исходным кодом, можно >)

Решение:

Для начала введите в матрицу А коэффициенты токов, заключив их в квадратные скобки (элементы сток при этом разделяются запятой, а столбцы — точкой с запятой). Затем введите в матрицу b значения напряжений. И наконец, рассчитайте неизвестные токи I1, I2 и I3 при помощи команды x = A\b:

analiz55

Отрицательное значение тока I1 говорит нам о том, что мы неправильно выбрали его предполагаемое направление. Фактические направления и значения токов в каждом из компонентов схемы будут следующими:

analiz56

Сейчас у нас есть все данные для расчета напряжений на каждом из резисторов:

analiz57

PSPICE моделирование подтвердит правильность найденных нами значений напряжения:

analiz58

analiz59

Практическое задание:

1. Найдите новый путь для тока I3, который не приведет к конфликту полярностей напряжения на любом из резисторов схемы (в прошлом примере у нас был конфликт полярностей на резисторе R4);

3. Найдите значения токов, протекающих через каждый резистор, и сравните их с полученными ранее значениями.

Решение:

1. Новый путь для тока I3 будет проходить через резисторы R5, R3 и R1, как показано на рисунке:

analiz60

Обратите внимание, что конфликт полярности на резисторе R4 в данном случае устранен. Кроме того, ни один из резисторов схемы не имеет подобного конфликта.

2. Рассчитаем значения токов I1, I2 и I3 при помощи программы Octave:

Читайте также:  Лечение грушевидной мышцы током

analiz61

Как видите, не все полученные значения идентичны значениям из предыдущего примера. Это обусловлено, прежде всего, различиями в путях прохождения токов. Однако, если мы рассчитаем значения токов на каждом из компонентов .

analiz62

. то увидим, что они идентичны значениям из предыдущего примера.

Источник

Метод контурных токов

В каждой электрической цепи имеются так называемые Р – ребра (они же ветви, звенья, участки) и У – узлы. Для ее описания существует система уравнений, в которых используются два правила Кирхгофа. В них, в качестве независимых переменных, выступают токи ребер. Поэтому количество независимых переменных будет равно количеству уравнений, что дает возможность нормального разрешения данной системы. На практике используются методы, направленные на сокращение числа уравнений. Среди них очень часто используется метод контурных токов, позволяющий выполнять расчеты и получать точные результаты.

Суть метода контурных токов

Метод контурных токов

Основные принципы данного метода основываются на том факте, что протекающие в ребрах цепи токи, не все считаются независимыми. Присутствующие в системе У-1 уравнения для узлов, четко показывают зависимость от них У-1 токов. При выделении в электрической цепи независимого тока Р-У+1, вся система может быть сокращена до уравнений Р-У+1. Таким образом, метод контурных токов представляет собой очень простое и удобное выделение в цепи независимых токов Р-У+1.

Использование данного способа расчетов допускает, что в каждом независимом контуре Р-У+1 осуществляется циркуляция определенного виртуального контурного тока. Если какое-либо ребро относится лишь к одному конкретному контуру, то значение протекающего в нем реального тока будет равно контурному. В том случае, когда ребро входит в состав сразу нескольких контуров, ток, протекающий в нем, будет представлять собой сумму, включающую в себя соответствующие контурные токи. В этом случае обязательно учитывается направление обхода контуров. Независимыми контурами перекрывается практически вся схема, поэтому ток, протекающий в каком угодно ребре может быть выражен путем контурных токов, составляющих полную систему всех токов.

Для того чтобы построить систему независимых контуров, используется простой и наглядный метод создания планарных графов. На данной схеме ветви и узлы цепи размещаются на плоскости таким образом, что взаимное пересечение ребер полностью исключается. С помощью этого метода плоскость разбивается на области, ограниченные замкнутыми цепочками ребер. Именно они и составляют систему независимых контуров. Данный метод более всего подходит для ручных расчетов схем. Однако его применение может стать затруднительным или вовсе невозможным, если рассматриваемая схема не укладывается в рамки планарного графа.

Другим способом расчетов служит метод выделения максимального дерева. Само дерево представлено в виде подмножества звеньев электрической цепи и является односвязным графом, в котором отсутствуют замкнутые контуры. Для того чтобы оно появилось, из цепи постепенно исключаются некоторые звенья. Дерево становится максимальным, когда к нему добавляется любое исключенное звено, в результате чего образуется контур.

Применение метода выделения максимального дерева представляет собой последовательное исключение из цепи заранее установленных звеньев в соответствии с определенными правилами. Каждый шаг в цепи предполагает произвольное исключение одного звена. Если такое исключение нарушает односвязность графа, разбивая его на две отдельные части, в этом случае звено может возвратиться обратно в цепь. Если граф остается односвязным, то и звено остается исключенным. В конечном итоге, количество звеньев, исключенных из цепи, оказывается равным количеству независимых контуров, расположенных в схеме. Получение каждого нового независимого контура связано с присоединением к электрической цепи конкретного исключенного звена.

Применение метода контурных токов для расчета цепи

В соответствии с этой методикой, неизвестными величинами являются расчетные или контурные токи, предположительно протекающие во всех независимых контурах. В связи с этим, все неизвестные токи и уравнения в системе, равны количеству независимых контуров электрической цепи.

Токи ветвей в соответствии с данным методом рассчитываются следующим образом:

  • В первую очередь вычерчивается схема цепи с обозначением всех ее элементов.
  • Далее определяется расположение всех независимых контуров.
  • Направления протекания контурных токов задаются произвольно по часовой или против часовой стрелки в каждом независимом контуре. Они обозначаются с использованием цифровых или комбинированных символов.
  • В соответствии со вторым законом Кирхгофа, затрагивающего контурные токи, составляются уравнения для всех независимых контуров. В записанном равенстве направления обхода контура и контурного тока этого же контура совпадают. Необходимо учитывать и то обстоятельство, что в ветвях, расположенных рядом, протекают собственные контурные токи. Падение напряжения потребителей берется отдельно от каждого тока.
  • Следующим этапом является решение полученной системы любым удобным методом, и окончательное определение контурных токов.
  • Нужно задать направление реальных токов во всех ветвях и обозначить их отдельной маркировкой, чтобы не перепутать с контурными.
  • Далее нужно от контурных токов перейти к реальным, исходя из того, что значение реального тока конкретной ветви составляет алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по этой ветви.

Если направление контурного тока совпадает с направлением реального тока, то при выполнении алгебраического суммирования математический знак не меняется. В противном случае значение контурного тока нужно умножить на -1.

Метод контурных токов очень часто применяется для расчетов сложных цепей. В качестве примера для приведенной схемы нужно задать следующие параметры: Е1 = 24В, Е2 = 12В, r1 = r2 = 4 Ом, r3 = 1 Ом, r4 = 3 Ом.

Для решения этой сложной задачи составляются два уравнения, соответствующие двум независимым контурам. Направление контурных токов будет по часовой стрелке и обозначается I11 и I22. На основании второго закона Кирхгофа составляются следующие уравнения:

После решения системы получаются контурные токи со значением I11 = I22 = 3 А. Далее произвольно обозначается направление реальных токов, как I1, I2, I3. Все они имеют одинаковое направление – вверх по вертикали. После этого выполняется переход от контурных к реальным. В первой ветви имеется течение только одного контурного тока т I11. Его направление совпадает с реальным током, поэтому I1 + I11 = 3 А.

Формирование реального тока во второй ветке осуществляется за счет двух контурных токов I11 и I22. Направление тока I22 совпадает с реальным, а направление I11 будет строго противоположно реальному. Таким образом, I2 = I22 – I11 = 3 – 3 = 0 А. В третьей ветке I3 наблюдается течение лишь контурного тока I22. Его направление будет противоположным направлению реального тока, поэтому в данном случае расчеты выглядят следующим образом: I3 = -I22 = -3А.

Основным положительным качеством метода контурных токов по сравнению с вычислениями по законам Кирхгофа, является значительно меньшее количество уравнений, используемых для вычислений. Тем не менее, здесь присутствуют определенные сложности. Например, реальные токи ветвей не всегда удается определить быстро и с высокой точностью.

Источник

Метод контурных токов

Все расчеты электрических схем базируются на простых формулах. Сложность и громоздкость вычислений зависят от сложности схем. Для упрощения расчетов без ущерба качеству разработано несколько методик, позволяющих сократить число вычислений до разумных пределов.

Основные формулы электротехники

Основные принципы

Любая электротехническая цепь состоит из участков (ветвей), образующих узлы и контуры. Для определения значений тока через любой элемент используют два закона Кирхгофа. Прямое составление уравнений дает систему с их максимальным количеством, равным количеству ветвей. В результате, если множество узлов цепи равно У, а число ветвей Р, то уравнения распределяются следующим образом:

  • Для узлов У-1 по закону Кирхгофа для токов;
  • Для ветвей Р-У+1 по закону Кирхгофа для напряжений.

Данное количество избыточно и приводит к образованию громоздкой системы уравнений большой размерности.

Для упрощения расчетов разработаны методики, которые позволяют сократить количество уравнений до приемлемых значений без снижения точности результатов. Наиболее простым является метод контурных токов.

Определение и суть метода контурных токов

По данному методу в исследуемой цепи выделяются независимые плоские замкнутые контуры, включающие все, без исключения, элементы. Предполагается, что в каждом контуре может протекать некоторый контурный ток. В том случае, если цепь с элементом принадлежит только одному контуру, то ток через входящие в нее элементы равен контурному. Если элемент охватывается несколькими контурами, то он в ней равен алгебраической (с учетом направления) сумме контурных токов.

Разбиение цепи на контуры

Важно! Суммирование должно производиться строго с учетом направления движения при обходе контура. Знак «плюс» – при совпадении направления, «минус» – при противоположном.

Читайте также:  Рассчитать мощность блока питания по силе тока

При составлении уравнений учитываются входящие в схему источники ЭДС и тока.

На практике удобнее преобразовать идеальный источник тока в идеальный источник ЭДС. Преобразование выполняется согласно закона Ома:

U=I∙r, где r – внутреннее сопротивление источника тока (напряжения).

Методика расчета используется как в цепях постоянного, так и переменного напряжения. При расчетах цепей переменного напряжения с реактивными элементами используются комплексные величины, затем вычисляются мгновенные и амплитудные величины токов и напряжений и углы сдвига фаз между ними.

Цепь с реактивными элементами

Построение системы контуров

Основная сложность заключается в правильном выделении контуров. Количество контурных токов будет равняться числу выбранных контуров.

Важно! Каждый элемент схемы должен входить хотя бы в один контур.

Распространены две методики выбора контуров.

Использование планарных графов

Метод планарных графов применяется при ручном расчете, поскольку он наиболее прост и нагляден. Для построения плоского графа схему рисуют таким образом, чтобы не было взаимного пересечения ветвей. Получается, что схему можно разбить на несколько ограниченных участков, которые образуют контуры.

Рассматриваемая методика неприменима без дополнительных преобразований, если невозможно выразить схему в виде планарного графа.

Метод выделения максимального дерева

Метод выделения максимального дерева более абстрактный и используется при автоматизированных расчетах и наличия специализированных программ. Суть метода заключается в исключении из цепи некоторых ветвей в соответствии со строгими правилами, которые таковы:

  • При каждом шаге исключается только одна ветвь;
  • Исключение ветви не должно приводить к разбиению графа на несколько частей или к «висячим узлам»;
  • Количество удаленных звеньев равняется числу независимых контуров;
  • Подключение удаленной ветви образует соответствующий контур.

Построение системы уравнений

Построение системы уравнений по рассматриваемой методике выполняется по следующим правилам:

  • Для каждого выбранного контура задается направление обхода;
  • С левой стороны равенств записывается сумма всех произведений искомых токов в ветвях на сопротивление веток. В правую часть записывается сумма источников напряжений, присутствующих в контуре;
  • Если направление искомой величины или источника напряжения такое же, как у заданного направления обхода, то слагаемые пишутся со знаком «плюс», в ином случае они имеют отрицательное значение;
  • Значение токов в ветвях заменяют на их выражение через токи контура.

После выполнения арифметических действий (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых) получается система уравнений, в которых неизвестными величинами являются виртуальные контурные токи.

Решая систему уравнений, получают значения контурных, а затем искомых величин.

Оптимизированная процедура составления системы

По упрощенной методике поступают следующим образом:

  • В уравнениях в левой части записывают произведение суммы всех входящих в контур сопротивлений на контурный ток;
  • От полученного выражения вычитаются умноженные на сумму сопротивлений общей ветви соседние контурные токи;
  • Справа записывается сумма источников ЭДС контура.

Формальный подход

Формальный подход предполагает матричную форму записи системы уравнений. Для расчетов исходные данные записывают в матричной форме. Используются такие матрицы:

  • C – в которой i строк, соответствующих количеству контуров, и j столбцов по количеству ветвей;
  • Z – диагональная матрица сопротивлений, количество строк и столбцов которой соответствуют числу веток;
  • Ct – транспонированная матрица С;
  • I – матрица контурных величин;
  • J – матрица источников тока;
  • Е – матрица ЭДС.

При составлении матрицы С каждый элемент Сij:

  • 0, если ветвь j не входит в контур;
  • -1, если ветвь входит в контур, направление тока противоположно контурному;
  • 1 – то же самое, но направление тока совпадает с контурным.

В матрице Z диагональные элементы равняются сопротивлению участков, остальные приравниваются нулю.

Итоговая формула для расчетов имеет вид:

Такая форма записи решения в матричной форме показывает, каким образом выполняются действия над составленными матрицами.

Пример системы уравнений

Ниже рассмотрен пример расчета конкретной схемы без учета номиналов элементов.

Пример решения

В заданной цепи выделяют три контура. Как выразить токи в ветвях через контурные:

  • i1=I1;
  • i2=I2;
  • i3=I3;
  • i4=I2+I3;
  • i5=I1+I2;
  • i6=I1-I3.

Как составить систему уравнений:

  • i1R1+i5R5+i6R6=E1;
  • i2R2+i4R4+i5R5=E2;
  • i3R3+i4R4-i6R6=0

Как подставить контурные значения:

  • I1R1+( I1+I2)R5+( I1-I3)R6=E1;
  • I2R2+( I2+I3)R4+( I1+I2)R5=E2;
  • I3R3+( I2+I3)R4-( I1-I3)R6=0

После преобразования получается необходимая система уравнений:

  • (R1+R5+R6)I1+R5I2+R6I3=E1;
  • R5I1+(R2+R4+R5)I2+R4I3=E2;
  • -R6I1+R4I2+(R3+R4+R6)I3=0.

Система из трех уравнений легко решается после подстановки известных параметров. Из полученных значений контурных токов затем можно найти искомые величины.

Данный пример решения задач по методу контурных токов показывает, что любую достаточно сложную схему можно существенно упростить для решения, руководствуясь указаниями.

Важно! Метод неприменим, если нет возможности преобразовать цепь без взаимного пересечения ветвей.

В некоторых случаях упростить схему можно путем преобразования ветвей, соединенных по схеме «звезда» в треугольник.

Точно такие же результаты получаются при использовании метода узловых потенциалов. В основе расчетов – поиск потенциала каждого узла (так называемый узловой потенциал). Существуют программы, позволяющие произвести онлайн расчет параметров по рассмотренным методам.

Видео

Источник



Метод контурных токов.Решение задач

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m — количество ветвей, а n — количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.

Основные понятия

Контурный ток — это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура. Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например I11, I22 и тд.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС — это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.

Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I1-I6.

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I11,I22,I33. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R4 принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:

Ток первого контура I11, умножаем на собственное сопротивление R11 этого же контура, а затем вычитаем ток I22, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R21 и ток I33, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R31. Данное выражение будет равняться ЭДС E1 этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.

Например, через резистор R4 протекает ток I4, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

А для остальных

Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!

Источник