Меню

Мощность интервала 0 2pi

Пример выполнения типового расчета

Содержание типового расчета

Заданы результаты двух серий измерений (две случайные выборки) объема n 1 и n 2.
Требуется: По каждой выборке найти оценку математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Предполагая, что результаты измерений в каждой серии независимы и имеют нормальное распределение, найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения с доверительной вероятностью Р = 0,95. С уровнем значимости α = 0,05 проверить гипотезы о равенстве дисперсий и о равенстве математических ожиданий этих двух выборок при альтернативных гипотезах: дисперсии не равны друг другу, математические ожидания не равны друг другу. Проверить гипотезу о нормальном распределении объединения данных двух выборок, используя интервалы равной вероятности в количестве L. Построить гистограмму объединения данных двух выборок.

1. Первичная обработка результатов измерений
Рассчитать для каждой выборки оценку математического ожидания, несмещенную оценку дисперсии, оценку среднего квадратического отклонения.
Для упрощения расчетов и последующего контроля результатов вычислений следует провести кодировку данных по формуле (3.6), и найти оценки по формулам (3.7), (3.8), (3.4). Для контроля вычислений весь расчет необходимо повторить с другим началом отсчета. Результаты расчета должны совпасть с точностью до возможных ошибок округления. Пример расчета приведен в задаче 1.

Задача 1. В таблице 1 в первом столбце записаны результаты n = 18 независимых равноточных измерений величины заряда электрона q = X · 10 –10 (в единицах CGSE), полученных Милликеном. Вычислить оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения величины X, провести контроль правильности расчетов.

Таблица 1. Исходные данные и результаты расчетов (к задаче 1)
Значение X Результаты расчетов Контроль правильности расчетов
U U 2 V V 2
4,761 –19 –29
4,792
4,758 –22 –32
4,764 –16 –26
4,810
4,799
4,797
4,790
4,747 –33 –43
4,769 –11 –21
4,806
4,779 –1 –11
4,785 –5
4,790
4,777 –3 –13
4,749 –31 –41
4,781 –9
4,799
Сумма –167

Решение. Выберем С = 4,780 и, полагая h = 10 –3 , подсчитаем значения
U i = ( X i – C) / h = ( X i – 4,780) /10 –3 и U i 2 .
Суммы чисел второго и третьего столбца дают возможность рассчитать и S 2 :
= 13/18 = 0,72;
= 4,780 + 0,72 · 10 –3 = 4,7807;
S 2 = 10 –6 (6239 – 13 2 /18) /17 = 3,66 · 10 –4 ,
откуда
В последних двух столбцах приведены расчеты при другом начале отсчета С 1 = 4,790. Новые кодированные значения обозначены как V i = ( X i – 4,790)/10 –3 . Эти расчеты приводят к тем же значениям и S:
= 167/18 = –9,2, = 4,790 – 9,28 ·10 –3 = 4,7807;
S 2 = 10 –6 (7779 – (167 2 ) /18) /17 = 3,66 · 10 –4 , S = 1,91 · 10 –2 .
Внимание! Для упрощения последующих расчетов при выборе параметров кодировки C 1 (1) , C 2 (1) первой серии измерений и C 1 (2) , C 2 (2) второй серии измерений следует одно из начал отсчета C j (1) , C j (2) сделать одинаковым.

2. Построение доверительных интервалов
По условию, в каждой выборке результаты измерений независимы и имеют нормальное распределение с одинаковыми параметрами. Для каждой выборки необходимо найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения с доверительной вероятностью P, которую задает преподаватель. Построение доверительных интервалов для математического ожидания а и стандартного отклонения σ рассмотрено в задаче 2.
Задача 2. В задаче 1 для n = 18 результатов независимых измерений величины заряда электрона q = х · 10 –10 были вычислены = 4,7807 и S = 0,0191. Предполагая, что результаты измерений независимы и имеют нормальное распределение с одинаковыми параметрами. построить доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения с доверительной вероятностью P = 0,95.
Решение. По формуле (3.10) . В таблице квантилей распределения Стьюдента находим
t 1–α/2( k) = t 0,975(17) = 2,11. Тогда

По формуле (3.11) a = 4,7807 ± 0,0095, т.е. с вероятностью P = 0,95 выполняется неравенство 4,7712 a 2 α/2( k) = χ 2 0,025(17) = 7,56; χ 2 1-α/2( k) = χ 2 0,975(17) = 30,2.
По формуле (3.12) получаем
0,0191 ,
откуда
σ є (0,0143; 0,0287),
т.е. среднее квадратическое отклонение заключено между 0,0143 и 0,0287 с вероятностью 0,95.

3. Проверка гипотез о равенстве дисперсий, о равенстве математических ожиданий
Проверить гипотезу о равенстве дисперсий в двух сериях измерений Н 0: σ 1 2 = σ 2 2 (математические ожидания a 1 и a 2 неизвестны) с уровнем значимости α при альтернативной гипотезе Н 1: σ 1 2 ≠ σ 2 2 .
Если гипотеза о равенстве дисперсий отвергается, перейти к проверке гипотезы о нормальном распределении объединения двух случайных выборок, рассмотренной в следующем пункте. Если же гипотеза о равенстве дисперсий не противоречит экспериментальным данным, найти сводную оценку дисперсии (3.16) и построить доверительный интервал для σ, используя сводную оценку дисперсии.
Проверка указанной гипотезы рассмотрена в задачах 3 и 4.

Читайте также:  Задвижка 30с964нж с электроприводом мощность

Задача 3. По случайной нормальной выборке объема n 1 = 11 найдена выборочная дисперсия S 1 2 = 0,373. По другой случайной нормальной выборке объема n 2 = 9 также найдена выборочная дисперсия S 2 2 = 0,0955. Проверить гипотезу о равенстве дисперсий Н 0: ­ ­ σ 1 2 = σ 2 2 при альтернативной гипотезе Н 1: ­ ­ σ 1 2 ≠ σ 2 2 с уровнем значимости α = 0,05. Если гипотеза о равенстве дисперсий не противоречит экспериментальным данным, найти сводную оценку дисперсии и построить доверительный интервал для σ, используя сводную оценку дисперсии, с доверительной вероятностью P = 0,95.
Решение. Вычислим отношение большей дисперсии S 1 2 к меньшей S 2 2 по формуле (3.14): . По таблице квантилей распределения Фишера найдем F 0,975(10; 8) = 4,30. Так как отношение выборочных дисперсий F = 3,91 меньше значения квантили 4,30, гипотеза о равенстве дисперсий принимается (см. формулу (3.15)), как не противоречащая результатам эксперимента с уровнем значимости 0,05. Тогда можно вычислить сводную оценку дисперсии (3.16):

с числом степеней свободы k CB = k 1 + k 2 = 10 + 8 = 18.
Рассчитаем доверительный интервал для σ. По таблице квантилей хи-квадрат распределения находим: χ 2 α/2( k) = χ 2 0,025(18) = 8,23; χ 2 1–α/2( k) = χ 2 0,975(18) = 31,5.
По формуле (3.12) получаем: 0,5 , откуда 0,378 Задача 4. Задача аналогична задаче 3, но с другими исходными данными: n 1 = 26; ­ ­ S 1 2 = 0,395; ­ ­ n 2 = 19; ­ ­ S 2 2 = 1,67.
Решение. Найдем отношение большей дисперсии S 2 2 к меньшей S 1 2 : ­ ­ . По таблице квантилей распределения Фишера находим F 0,975(18; 25) = 2,35.
Так как отношение выборочных дисперсий F = 4,23 больше значения квантили 2,35, гипотезу о равенстве дисперсий отвергаем с уровнем значимости α = 0,05.
Затем необходимо проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий в двух сериях измерений Н 0: ­ а 1 = а 2 при альтернативной гипотезе Н 1: ­ а 1 ≠ а 2 с уровнем значимости α. Если гипотеза о равенстве математических ожиданий отвергается, перейти к выполнению следующего пункта. Если же гипотеза о равенстве математических ожиданий не противоречит экспериментальным данным, найти сводную оценку математического ожидания и доверительный интервал для математического ожидания, используя сводную оценку дисперсии.
Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий рассмотрена в задачах 5 и 6.

Задача 5. По двум случайным нормальным выборкам получены выборочные средние 1 = 12,95 и 2 = 12,13. Объемы выборок равны соответственно n 1 = 12 и n 2 = 15. Дисперсии обеих выборок одинаковы. Сводная оценка среднего квадратического отклонения S CB = 0,872 с числом степеней свободы k CB = 25. Проверить гипотезу H 0 о равенстве математических ожиданий при альтернативной гипотезе H 1 : ­ а 1 ≠ а 2 с уровнем значимости α = 0,05. Если гипотеза о равенстве математических ожиданий не противоречит экспериментальным данным, найти сводную оценку математического ожидания и доверительный интервал для математического ожидания, используя сводную оценку математического ожидания и сводную оценку дисперсии с доверительной вероятностью P = 0,95.
Решение. Найдем значение критерия Стьюдента t по формуле (3.17):

По таблице квантилей распределения Стьюдента t 0,975(25) = 2,06. Так как вычисленное значение | t| = 2,43 больше этого значения, гипотезу о равенстве математических ожиданий отвергаем с уровнем значимости α = 0,05 (см. формулу (3.18)).

Задача 6. Задача аналогична задаче 5, но с другими исходными данными: 1 = 27,43; n 1 = 16; 2 = 28,76; n 2 = 21; S CB = 2,35; k CB = 35.
Решение. Найдем значение критерия Стьюдента t по формуле (3.17):

По таблице квантилей распределения Стьюдента t 0,975(35) = 2,03. Так как вычисленное значение | t| = 1,71 меньше табличного, гипотезу о равенстве математических ожиданий принимаем как не противоречащую выборочным данным с уровнем значимости 0,05. Сводную оценку математического ожидания определим по формуле (3.19)

доверительный интервал для математического ожидания по формулам (3.10) и (3.11):
= t 0,975(35) 2,35 = 0,78;
a = CB ± ε = 28,18 ± 0,78.

4. Проверка гипотезы о нормальном распределении объединения двух случайных выборок
На этом этапе расчета следует проверить гипотезу о нормальном распределении объединения двух заданных случайных выборок, величину уровня значимости α выбрать ту же, что и в предыдущем пункте расчета.
Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х по критерию согласия Пирсона весь диапазон возможных значений этой величины разбивается на l интервалов (значение l задано в условии типового расчета), вычисляется p i – вероятность попадания в каждый из интервалов ( i = 1, 2, . l). Затем вычисляется величина χ 2 по формуле (3.20) и сравнивается с квантилью χ 2 1–α( k) распределения Пирсона. Так как для вычисления вероятностей p i параметры нормального распределения оцениваются по той же выборке, по которой строится критерий согласия, то число степеней свободы k = l – 3. Если χ 2 > χ 2 1–α( k), гипотеза отвергается при заданном уровне значимости α = 1 – P. Если χ 2 2 1–α( k), гипотеза принимается, как не противоречащая результатам эксперимента.
В общем случае вероятности p i определяются с помощью интеграла вероятностей Φ( t). При этом оценками параметров нормального распределения являются и S, найденные по объединению данных двух выборок. За оценку математического ожидания принимается среднее арифметическое по объединению двух выборок (3.19).
Оценка среднего квадратического отклонения σ объединения выборок зависит от результата проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий этих выборок. Если гипотеза о равенстве математических ожиданий принимается, то за оценку σ может быть взята , полученная по формуле для сводной оценки дисперсии (3.15).
Если гипотеза о равенстве математических ожиданий отвергнута, необходимо рассчитать несмещенную оценку дисперсии объединения выборок по основной формуле (3.3):

Читайте также:  Станки мощностью 160 квт

Источник



Мощность интервала 0 2pi

Пусть задана пара булевых векторов одинаковой длины:

Определение. Интервалом I(α, β) в булевом пространстве B n , заданным парой булевых векторов α и β , таких что α β, называется множество всех булевых векторов γ длины n, удовлетворяющих условию α γ β ,то есть I(α, β )=γ B n : α γ β >. Булевы векторы α и β называются границами интервала, вектор α – наименьшим элементом интервала, а β – наибольшим.

Пример. I(000, 101)=<000, 001, 100, 101>, граница α = 000 – наименьший элемент, граница β = 101 – наибольший элемент. •

Из определения интервала следует, что либо границы α и β совпадают в i-й компоненте (ai = bi), тогда все векторы γ интервала I(α, β ) имеют в i-й компоненте то же значение, либо границы не совпадают (ai n , ранг r=0, размерность s=n.

Утверждение о мощности интервала. Мощность интервала размерности s равна 2 s .

Доказательство. Так как интервал состоит из булевых векторов со всевозможными комбинациями нулей и единиц во внутренних компонентах, а внутренние компоненты образуют булев вектор длины s, то число таких векторов (по теореме о числе булевых векторов) равно 2 s . •

Примеры. Мощность интервала –0 – равна 2 2 =4, мощность интервала 101 равна 2 0 = 1, мощность интервала – – – равна 2 3 = 8. •

Алгоритм распознавания интервала и поиска его границ (основан на утверждении о мощности интервала и на теореме о числе векторов).

Начало: задано множество A булевых векторов длины n.

Шаг 1: если мощность множества A не является целой степенью двойки, то есть |A| ≠ 2 c , где c – целое, то A не является интервалом, идем на конец.

Шаг 2: считаем число s несовпадающих компонент в векторах множества A, то есть число компонент, претендующих быть внутренними. Если s ≠ c, то A – не интервал, идем на конец; иначе A является интервалом, s – его размерность, r=n-s – ранг.

Шаг 3: находим границы α и β интервала. Вектор минимального веса (из всех векторов множества A) – это наименьший элемент интервала (α), а вектор максимального веса – наибольший элемент (β).

A=<010, 011, 001>: множество не образует интервал, так как его мощность, равная 3, целой степенью двойки не является.

A=<0010, 0011, 0001, 1000>: множество не образует интервал – мощность является целой степенью двойки, но показатель степени c=2 не совпадает с количеством компонент s=3, претендующих быть внутренними (это первая, третья и четвертая компоненты).

A=<010, 011, 001, 000>: множество образует интервал, так как его мощность является целой степенью двойки (c=2), и эта степень совпадает с количеством компонент s=2, претендующих быть внутренними (это вторая и третья компоненты). Границы интервала: α=000, β=011. •

Источник

Утверждение о мощности интервала.

Представление булевыми векторами подмножеств

Пусть заданы множество M = 1, m2, . , mn> и подмножество A Í M. Построим булев вектор a = a1 a2 . an, представляющий подмножество A, по следующему правилу:

ì 1, если mi Î A;

î 0, если mi Ï A.

Примеры.В множестве M = <2, 6, 4, 7, 8 >
булев вектор a = 11101 выделяет подмножество четных чисел,
булев вектор b = 10010 выделяет подмножество простых чисел.

Представление булевыми векторами целых неотрицательных чисел

Введем следующее соответствие между булевыми векторами длины n и числами 0, 1, . , 2 n -1: пусть булев вектор a = a1 a2 . an соответствует числу

a = ai ´ 2 n — i

ai принимает значение 0 или 1.

Пример. Задан булев вектор a = 1001; подставив его компоненты в формулу, получим число: a = 1´2 3 + 0´2 2 + 0´2 1 + 1´2 0 = 8 + 1 = 9.

Читайте также:  Как можно изменить коэффициент мощности всей цепи

2. Булев вектор, расстояние между булевыми векторами, отношение предшествования.

Булев вектор — это последовательность конечного числа булевых констант, называемых компонентами булева вектора.

Булев вектор обозначают греческими буквами, а компоненты вектора — латинскими с указанием номеров компонент.

Определение. Говорят, что булевы векторы a и b ортогональны по i‑й компоненте, если ai ¹ bi .

Расстояниеммежду булевыми векторами называют число ортогональных компонент в данной паре векторов (его еще называют расстоянием по Хэммингу).

Булевы векторы называются соседними,если они ортогональны по одной и только одной компоненте.

Булевы векторы называют противоположными (антиподами), если они ортогональны по всем компонентам.

Булев вектор a = a1 a2 . an предшествуетбулеву вектору b = b1 b2 . bn (обозначают a £ b), если для любого i = 1, 2, . , n выполняется условие: ai £ bi . В этом случае также говорят, что булев вектор b следует за булевым вектором a, булев вектор a называют предшественником, а b — последователем.

Пример. Расстояние по Хэммингу между булевыми векторами a = 1010 и b = 1001 равно двум.

Пример.a = 1010, b = 1110: a £ b.

3. Булево пространство, способы задания булева пространства.

Булевым пространством B n размерности n называется множество всех булевых векторов длины n, расстояние между которыми вычисляется по Хэммингу.

1) Явным перечислением векторов.

2) Матрицей в коде Грея. Булево пространство размерности n представляется матрицей, состоящей из 2 s строк и 2 p столбцов, где s и p — целые числа, такие что s + p = n и s = p либо s = p — 1. Строкам матрицы поставлены в соответствие булевы векторы длины s (их называют кодами строк), а столбцам — булевы векторы длины p (коды столбцов).

Элемент матрицы, стоящий в i – й строке и j – м столбце, задает булев вектор, который получается приписыванием к коду строки i кода столбца j.

Можно задавать матрицу в позиционном коде, или матрицей Грея.

Пример. Пусть n = 5. Тогда a = 2, b = 3, строк 2 2 = 4, столбцов 2 3 = 8.

Выделенная клетка задает булев вектор 10011. На левой матрице показан процесс построения кодов столбцов.

На правой матрице коды изображены условно: единица — черточкой, а ноль — ее отсутствием: такой код более нагляден, да и быстрее рисуется.

На правой матрице пунктирными линиями обозначены места смены значений компонент, эти линии называются осями симметрии компонент.

Нетрудно заметить, что пара соседних векторов располагается в матрице симметрично относительно оси той компоненты, по которой векторы ортогональны.

4. Интервал в булевом пространстве, утверждение о мощности интервала, способы задания интервала.

Пусть задана пара векторов одинаковой длины: a = a1 a2 . an и b = b1 b2 . bn .

Интервалом I (a,b) в булевом пространстве B n , заданным парой булевых векторов a и b, таких что a £ b, называется множество всех булевых векторов g длины n, удовлетворяющих условию a £ g £ b, т.е. I (a,b) = . Булевы векторы a и b называются границами интервала, вектор a — наименьшим элементом интервала, а b — наибольший элемент.

Пример. I (000,011) = <000, 001, 010, 011>.

Утверждение о мощности интервала.

Мощность интервала размерности s равна 2 s .

Доказательство. Так как интервал состоит из булевых векторов со всевозможными комбинациями нулей и единиц во внутренних компонентах, а внутренние компоненты образуют булев вектор длины s, то число таких векторов (Теоремао числе булевых векторов: Число различных булевых векторов длины n равно 2 n ) равно 2 s .

Определение.Компоненты, по которым границы (а значит и все векторы интервала) совпадают, называются внешними компонентами интервала, остальные – внутренними. Число внешних компонент называется рангоминтервала (r), а число внутренних – его размерность(s).

Пример: Мощность интервала – 0 – равна 2 2 = 4, мощность интервала 101 равна 2 0 = 1.

Способы задания интервалов

1) Границамиинтервала.

I (000,101) = <000, 001, 100, 101>, граница a = 000 – наименьший элемент, граница b = 101 – наибольшим.

I (010, 010) = 010, границы интервала совпадают, значит он состоит из одного

I (000, 111) = — — — , интервал — все булево пространство B 3 ,

2) Явным перечислением всех векторов, образующих интервал.

3) Троичным вектором.0 и 1 задают значения внешних компонент, а черточка внутренние компоненты.

Примеры.

4) На матрице в коде Грея. Булево пространство представляется матрицей Грея, а все булевы векторы (клетки), образующие интервал, отмечаются.Все строки и все столбцы, коды которых совпадают с векторами интервала по внешним компонентам – на их пересечении и будет лежать интервал.

Примеры.

5. Соседние интервалы. Утверждение о соседних интервалах.

Соседние интервалы

Рассмотрим пару интервалов булева пространства B n : I1 (a1, b1) и I2 (a2, b2) .

Интервалы I1, I2 называют соседними, если они совпадают по номерам внешних компонент, но различаются по значению одной из них; ее называют ортогональной компонентой, а интервалы I1, I2 — соседями по данной компоненте.

Примеры.Рассмотрим три пары интервалов

Интервалы I1, I2 являются соседями (по первой компоненте), I’1, I’2 не являются соседями (различаются по двум внешним компонентам), I»1, I»2 также не соседи (различаются по номерам внешних компонент).

Источник