Меню

Мощность цепи переменного тока комплексным методом

Комплексная мощность

Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Пусть , а . Тогда комплекс полной мощности:

где — комплекс, сопряженный с комплексом .

Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей (см. рис. 4). Рис. 4 соответствует (активно-индуктивная нагрузка), для которого имеем:

Применение статических конденсаторов для повышения cos

Как уже указывалось, реактивная мощность циркулирует между источником и потребителем. Реактивный ток, не совершая полезной работы, приводит к дополнительным потерям в силовом оборудовании и, следовательно, к завышению его установленной мощности. В этой связи понятно стремление к увеличению в силовых электрических цепях.

Следует указать, что подавляющее большинство потребителей (электродвигатели, электрические печи, другие различные устройства и приборы) как нагрузка носит активно-индуктивный характер.

Если параллельно такой нагрузке (см. рис. 5), включить конденсатор С, то общий ток , как видно из векторной диаграммы (рис. 6), приближается по фазе к напряжению, т.е. увеличивается, а общая величина тока (а следовательно, потери) уменьшается при постоянстве активной мощности . На этом основано применение конденсаторов для повышения .

Какую емкость С нужно взять, чтобы повысить коэффициент мощности от значения до значения ?

Разложим на активную и реактивную составляющие. Ток через конденсатор компенсирует часть реактивной составляющей тока нагрузки :

Из (11) и (12) с учетом (10) имеем

но , откуда необходимая для повышения емкость:

Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи.

а) Постоянный ток

Для любой цепи постоянного тока выполняется соотношение:

Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.

Следует указать, что в левой части (14) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (14) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора).

б) Переменный ток.

Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е.

В ТОЭ доказывается (вследствие достаточной громоздкости вывода это доказательство опустим), что баланс соблюдается и для реактивных мощностей:

где знак “+” относится к индуктивным элементам , “-” – к емкостным .

Умножив (16) на “j” и сложив полученный результат с (15), придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока (без учета взаимной индуктивности):

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Что такое активная мощность?
  2. Что такое реактивная мощность, с какими элементами она связана?
  3. Что такое полная мощность?
  4. Почему необходимо стремиться к повышению коэффициента мощности ?
  5. Критерием чего служит баланс мощностей?
  6. К источнику с напряжением подключена активно-индуктивная нагрузка, ток в которой . Определить активную, реактивную и полную мощности.

Ответ: Р=250 Вт; Q=433 ВАр; S=500 ВА.

  1. В ветви, содержащей последовательно соединенные резистор R и катушку индуктивности L, ток I=2 A. Напряжение на зажимах ветви U=100 B, а потребляемая мощность Р=120 Вт. Определить сопротивления R и XL элементов ветви.

Ответ: R=30 Ом; XL=40 Ом.

  1. Мощность, потребляемая цепью, состоящей из параллельно соединенных конденсатора и резистора, Р=90 Вт. Ток в неразветвленной части цепи I1=5 A, а в ветви с резистором I2=4 A. Определить сопротивления R и XL элементов цепи.
Читайте также:  Мощность однофазного счетчика электроэнергии

Источник



Комплексная мощность

date image2015-05-26
views image4185

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

В символическом методе расчета и анализа цепей синусоидального тока вводится понятие о комплексной мощности , которая представляет собой произведение комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока .

Предположим, что электрическая цепь с последовательным соединением r, L,C имеет индуктивный характер, то есть напряжение на входе цепи опережает ток по фазе на угол φ.

Представим синусоиды напряжения и тока с ненулевыми начальными фазами ψU > 0 и ψI > 0, причем ψU > ψI, поскольку в цепи преобладает индуктивность:

Построим в комплексной плоскости векторную диаграмму действующих значений напряжения и тока для момента времени t = 0 (рис. 34).

Очевидно комплексы напряжения и тока в показательной форме записи имеют вид

Сопряженный комплекс тока

Комплексная мощность (по определению)

где – активная мощность;

Список литературы

1. Борисов Ю.М., Липатов Д.Н., Зорин Ю.Н. Электротехника. – М.: Энергоатомиздат, 1985.

2. Основные законы электротехники и методы расчета электрических цепей. Методическое пособие для студентов заочного факультета. Сост. Рудаков Б.В., Филимонов А.Г. – СПб.: ПГУПС, 2007.

3. Электроизмерительные приборы. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Сост. Рудаков Б.В., Филимонов А.Г. – СПб.: ПГУПС, 2008.

4. Электрические цепи трехфазного тока. Методические указания для выполнения курсовой работы по дисциплине «Электротехника и электроника» для студентов механических специальностей заочной формы обучения. Сост. Васильев П.Ю., Рудаков Б.В., Филимонов А.Г. – СПб.: ПГУПС, 2005.

5. Основы электротехники. Задания на контрольные и курсовую работы для студентов заочного факультета с методическими указаниями. Сост. Рудаков Б.В., Стрепетов В.М., Филимонов А.Г. – СПб.: ПГУПС, 2005.

6. Расчет цепей постоянного и однофазного переменного тока. Методика решения типовых задач. Сост. Хожаинов А.И., Рудаков Б.В., Тимофеев Б.А., Филимонов А.Г. – СПб.: ПГУПС, 2000.

7. Улучшение коэффициента мощности промышленной установки. Методические указания к лабораторной работе. Сост. Рудаков Б.В., Филимонов А.Г. – СПб.: ПГУПС, 1997

Контрольные вопросы

1. В чем принципиальное отличие переменного тока от постоянного?

2. Почему в электроэнергетике применяется переменный ток, изменяющийся по синусоидальному закону?

3. Что такое действующее и среднее значение синусоидального тока?

4. Что называется коэффициентом формы переменного тока? Чему он равен для синусоидального тока?

5. Что такое мгновенное значение переменного тока? Как читаются законы Ома, Кирхгофа и Джоуля-Ленца для мгновенных значений тока и напряжения?

6. В чем заключается принцип построения графика синусоидальной функции посредством вращения радиус-вектора?

7. Что такое начальная фаза и как она показывается на графике синусоиды и векторной диаграмме?

8. Как доказывается (на примере первого закона Кирхгофа для простейшего узла) возможность замены аналитического метода методом векторных диаграмм?

9. В чем преимущества и недостатки метода векторных диаграмм (графического) по сравнению с аналитическим методом?

10. Что называется векторной диаграммой?

11. Как увязать векторную диаграмму с построением синусоид, которые изображаются векторами диаграммы?

12. В чем отличие преобразования энергии в резисторе по сравнению с индуктивным и емкостным элементами?

13. Что такое мгновенная и средняя за период (активная) мощность в цепи синусоидального тока?

14. Сформулируйте три основных вывода по результатам анализа цепи с резистивным элементом.

15. Что называется индуктивностью и индуктивным сопротивлением?

16. Как строятся векторная и временные диаграммы в цепи с индуктивным элементом?

17. Как объяснить формулировку принципа Ленца, сравнивая временные диаграммы тока и э.д.с. самоиндукции для цепи с индуктивным элементом?

Читайте также:  Полная мощность судового дизеля

18. Сформулируйте три основных вывода по результатам анализа цепи с индуктивным элементом.

19. Как выглядит кривая мгновенной мощности и почему равна нулю активная мощность в цепи с индуктивным элементом? Каков характер преобразованной энергии в этой цепи?

20. Что называется емкостью и емкостным сопротивлением?

21. Как строятся векторная и временные диаграммы в цепи с емкостным элементом?

22. Сформулируйте три основных вывода по результатам анализа цепи с емкостным элементом.

23. Как выглядит кривая мгновенной мощности в цепи с емкостным элементом? Каков характер преобразованной энергии в этой цепи?

24. Каким образом используется второй закон Кирхгофа в цепи с последовательным соединением r, L, C в аналитическом, графическом и символическом методах?

25. Как производится сложение векторов по методу многоугольника?

26. Какой порядок построения векторной диаграммы для цепи с последовательным соединением r, L, C?

27. Что такое индуктивный или емкостный характер при последовательном соединении r, L, C?

28. Что такое реактивное напряжение и реактивное сопротивление в цепи с последовательным соединением r, L, C?

29. Что такое мгновенная и средняя мощность в последовательной цепи r, L, C?

30. Как получаются треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для последовательной цепи r, L, C?

31. Что называется резонансом напряжений и какие соотношения ему соответствуют? Каким образом достигается режим резонанса?

32. Каким образом используется первый закон Кирхгофа в цепи с параллельным соединением r, L, C в аналитическом, графическом и символическом методах?

33. Какой порядок построения векторной диаграммы для цепи с параллельным соединением r, L, C?

34. Что такое реактивный ток и реактивная проводимость?

35. Как получаются треугольники токов, проводимостей и мощностей для параллельной цепи r, L, C?

36. В чем отличие и сходство полной, активной и реактивной мощностей?

37. Что называется резонансом токов и какие соотношения ему соответствуют? Какими способами достигается резонанс?

38. Что такое коэффициент мощности и зачем необходимо его повышать?

39. Каким образом можно повысить коэффициент мощности активно-индуктивного приемника?

40. Изменяется ли режим работы активно-индуктивного приемника после включения компенсирующего конденсатора?

41. Что такое символический метод расчета и каковы его преимущества перед аналитическим и графическим?

42. Какие три вида записи комплексных чисел вам известны?

43. Каким образом производятся операции сложения-вычитания и умножения-деления при работе с комплексными числами?

44. Как читаются законы Ома и Кирхгофа в символическом методе?

45. Что такое комплексное сопротивление и комплексная проводимость?

46. Почему изменяется на противоположный знак реактивной составляющей при эквивалентных переходах от комплексного сопротивления к комплексной проводимости (и наоборот)?

47. Что называется комплексной мощностью и как получить ее выражение из соответствующей векторной диаграммы?

48. Как вы понимаете отличие активного приемника от реактивного, исходя из характера преобразования в них энергии?

Оглавление

Введение. 2

1. Электрические цепи однофазного синусоидального тока. 2

1.1.. Основные определения. 2

1.2.. Простейший генератор синусоидального тока. 4

1.3.. Действующее значение переменного тока. 9

1.4.. Изображение синусоидальных функций вращающимися векторами. 11

1.5.. Цепь с резистивным элементом. 15

1.6.. Цепь с индуктивным элементом. 18

1.7.. Цепь с емкостным элементом. 25

1.8.. Цепь с последовательным соединением r, L и C. 29

1.9.. Цепь с параллельным соединением r, L и C. 35

1.10.Коэффициент мощности и способы его повышения. 41

2. Символический медот расчета цепей синусоидального тока. 45

2.1.. Общие замечания. 45

2.2.Основные определения и алгебраические операции с комплексными числами. 45

Читайте также:  Получасовой профиль мощности это

2.3.. Закон Ома в комплексной форме. 49

2.4.. Законы Кирхгофа в комплексной форме. 51

Источник

Комплексный метод расчета цепей переменного тока

Тригонометрическая форма расчета электрических цепей практически применима только для простейших цепей, не содержащих большого числа контуров и источников, поэтому широкое применение получил алгебраический метод, позволяющий рассчитывать цепи переменного тока аналогично цепям постоянного тока – комплексный метод (метод комплексных амплитуд, или символический метод).

Комплексное число, соответствующее точке, в которой лежит конец вектора (рис. 2.16), может быть записано в следующих формах: алгебраической = a 1 + ja 2; тригонометрической = a(cos α + jsin α); показательной = a·e jα и полярной (угловой) = a· ∟α,

где: a 1 = a·cos α = Re[ ] – действительная (вещественная) часть комплексного числа ;

a 2 = a·sin α = Im[ ] – мнимая часть комплексного числа ;

– мнимая единица, или оператор поворота на угол

Рис. 2.16. Изображение вектора на комплексной плоскости

π/2 = 90° (умножение на j сводится к повороту вектора против часовой стрелки на угол π/2, а умножение на к повороту вектора на прямой угол по часовой стрелке);

– модуль комплексного числа (всегда положителен);

– угол или аргумент комплексного числа.

Показательная форма записи комплексного числа получается из формулы Эйлера:

cos α ± j·sin α = e ± jα

Комплексное число = a 1 – ja 2 = ae — jα называется комплексно-сопряженным числу = a 1 + ja 2 = ae jα . Произведение компексно-сопряженных чисел – число действительное, равное квадрату их модуля:

.

Умножение комплексного числа ae jα на число е jφ сводится к повороту вектора а в комплексной плоскости на угол α + φ:

ae jα · e jφ = ae j ( α + φ ) .

Сложение и вычитание комплексных чисел производится в алгебраической форме:

+ = (a 1 + ja 2) ± (b 1+ jb 2) = (a 1±b 1) + j(a 2±b 2).

Умножение и деление комплексных чисел может производиться в алгебраической и показательной формах:

· = (a 1 + ja 2)· (b 1+ jb 2) = (a 1b 1 – a 2b 2) + j (a 2b 1 + a 1b 2) = ae jα · be jβ = abe j(α+β ) .

Возведение в степень производится следующим образом:

(ae jα ) n = a n e jαn = a n (cosαn + jsinαn).

Рассмотрим проекции вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω вектора (рис. 2.17). Проекция на действительную ось – I m cos α. Проекция на мнимую ось – jI m sin α.

Рис. 2.17. Проекции вращающегося вектора на комплексную плоскость

Тогда согласно формуле Эйлера

I m e jα = I m cosα + jI m sinα.

Угол α может быть любым. Если α = ωt + ψ, где ψ – начальная фаза, то

I m e j (ω t + ψ ) = I m cos (ωt + ψ) + jI m sin (ωt + ψ),

где: I m cos (ωt + ψ) – действительная часть комплексного числа;

jI m sin (ωt + ψ) – мнимая часть комплексного числа.

Для единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени ωt = 0. Для этого момента времени вектор I m e j (ω t + ψ ) будет равен I m e jψ = , где – комплексная амплитуда тока, модуль ее равен 1 т, а угол α на комплексной плоскости равен начальной фазе ψ . Аналогично можно записать для э.д.с. и напряжения:

Например, если ток, протекающий по цепи, равен i = 12sin ( ωt + 30°)А, то в данном случае I m = 12 А, ψ = 30º , следовательно, комплексная амплитуда тока = 12 e j 30º , а комплекс тока (комплексный ток)

Источник