Меню

Нормальное напряжение при косом изгибе равно

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Нормальные напряжения при изгибе

При выводе формулы для вычисления нормальных напряжений рассмотрим такой случай изгиба, когда внутренние силы в сечениях балки приводятся только к изгибающему моменту, а поперечная сила оказывается равной нулю. Этот случай изгиба носит название чистого изгиба. Рассмотрим средний участок балки, подвергающийся чистому изгибу.

2015-04-18 18-51-23 Скриншот экранаВ нагруженном состоянии балка прогибается так,что ее нижние волокна удлиняются,а верхние укорачиваются.2015-04-18 18-53-48 Скриншот экрана

Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки. Нейтральная линия — это линия, в которой нормальные напряжения равны нулю.

Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений (гипотеза Бернулли). Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе.

Допущения для вывода формул нормального напряжения: 1) Выполняется гипотеза плоских сечений. 2) Продольные волокна друг на друга не давят (гипотеза о ненадавливании) и, следовательно, каждое из волокон находится в состоянии одноосного растяжения или сжатия. 3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми. 4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости. 5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков. 6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

Рассмотрим балку произвольного сечения, но имеющую ось симметрии.2015-04-18 19-24-58 Скриншот экранаИзгибающий момент представляет собой результирующий момент внутренних нормальных сил2015-04-18 19-27-34 Скриншот экрана, возникающих на бесконечно малых площадках и может быть выражен в интегральном виде: 2015-04-18 20-15-56 Скриншот экрана (1), где y — плечо элементарной силы относительно оси х

Формула (1) выражает статическую сторону задачи об изгибе прямого бруса, но по ней по известному изгибающему моменту нельзя определить нормальные напряжения, пока не установлен закон их распределения.

Выделим на среднем участке балки и рассмотрим участок длиной dz, подвергающийся изгибу. Изобразим его в укрупненном масштабе.

К выводу формул при изгибе: а) участок балки до деформации; б) участок балки после деформации

К выводу формул при изгибе: а) участок балки до деформации; б) участок балки после деформации

Сечения, ограничивающие участок dz, параллельны друг другу до деформации, а после приложения нагрузки повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол 2015-04-18 20-27-22 Скриншот экрана. Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом не изменится и будет равна:2015-04-18 20-30-57 Скриншот экрана, где 2015-04-18 20-31-30 Скриншот экрана -это радиус кривизны изогнутой оси балки. А вот любое другое волокно, лежащее ниже или выше нейтрального слоя, изменит свою длину. Вычислим относительное удлинение волокон, находящихся от нейтрального слоя на расстоянии у. Относительное удлинение — это отношение абсолютной деформации к первоначальной длине ,тогда:

2015-04-18 20-40-28 Скриншот экрана Сократим на2015-04-18 20-27-22 Скриншот экрана и приведем подобные члены, тогда получим:2015-04-18 20-42-00 Скриншот экрана(2) Эта формула выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон прямо пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя.

Теперь перейдем к напряжениям, т.е. будем рассматривать физическую сторону задачи. в соответствии с допущением о ненадавливании волокон используем закон Гука при осевом растяжении-сжатии:2015-04-18 21-37-15 Скриншот экрана, тогда с учетом формулы (2) имеем2015-04-18 21-38-26 Скриншот экрана (3),т.е. нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю. Подставим (3) в уравнение (1) и вынесем за знак интеграла дробь 2015-04-18 21-41-53 Скриншот экрана как постоянную величину, тогда имеем2015-04-18 21-44-49 Скриншот экрана. Но выражение 2015-04-18 21-45-28 Скриншот экрана — это осевой момент инерции сечения относительно оси х — Iх. Его размерность см 4 , м 4

Тогда2015-04-18 21-48-38 Скриншот экрана ,откуда2015-04-18 21-51-09 Скриншот экрана (4) ,где2015-04-18 21-52-02 Скриншот экрана — это кривизна изогнутой оси балки, а2015-04-18 21-53-03 Скриншот экрана — жесткость сечения балки при изгибе.

Подставим полученное выражение кривизны (4) в выражение (3) и получим формулу для вычисления нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения:2015-04-18 21-56-56 Скриншот экрана (5)

Читайте также:  Падает напряжение при включении поворота ваз

Т.о. максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Отношение 2015-04-18 22-01-02 Скриншот экрана (6) называют осевым моментом сопротивления сечения. Его размерность см 3 , м 3 . Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Тогда максимальные напряжения: 2015-04-18 22-02-34 Скриншот экрана (7)

Условие прочности при изгибе:2015-04-18 22-05-04 Скриншот экрана (8)

При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения,т.к. имеется поперечная сила. Касательные напряжения усложняют картину деформирования, они приводят к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений. Однако исследования показывают, что искажения, которые привносят касательные напряжения, незначительно влияют на нормальные напряжения,подсчитанные по формуле (5). Таким образом ,при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба теория чистого изгиба вполне применима.

Нейтральная линия. Вопрос о положении нейтральной линии.

При изгибе отсутствует продольная сила, поэтому можно записать 2015-04-18 22-27-18 Скриншот экранаПодставим сюда формулу нормальных напряжений (3) и получим2015-04-18 22-29-42 Скриншот экрана Так как модуль продольной упругости материала балки не равняется нулю и изогнутая ось балки имеет конечный радиус кривизны, остается положить, что 2015-04-18 22-31-54 Скриншот экрана этот интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения балки относительно нейтральной линии-оси х 2015-04-18 22-34-11 Скриншот экрана, и, поскольку он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Условие 2015-04-18 22-37-31 Скриншот экрана (отсутствие момента внутренних сил относительно силовой линии) даст2015-04-18 22-39-10 Скриншот экрана или с учетом (3) 2015-04-18 22-40-08 Скриншот экрана. По тем же соображениям (см. выше) 2015-04-18 22-41-13 Скриншот экрана. В подынтегральном выражении — центробежный момент инерции сечения относительно осей х и у равен нулю, значит, эти оси являются главными и центральными и составляют прямой угол. Следовательно, силовая и нейтральная линии пр прямом изгибе взаимно перпендикулярны.

Установив положение нейтральной линии, несложно построить эпюру нормальных напряжений по высоте сечения. Ее линейный характер определяется уравнением первой степени.

Характер эпюры σ для симметричных сечений относительно нейтральной линии, М

Характер эпюры σ для симметричных сечений относительно нейтральной линии, М Запись опубликована 18.04.2015 автором admin в рубрике Изгиб.

Источник



Нормальные напряжения при косом изгибе

Нормальные напряжения при косом изгибе Нормальные напряжения при косом изгибе Нормальные напряжения при косом изгибе Нормальные напряжения при косом изгибе Нормальные напряжения при косом изгибе Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-10-1.png

Нормальные напряжения при косом изгибе

  • Нормальное напряжение при косом изгибе косой изгиб — это вид изгиба, при котором рабочая поверхность полного изгибающего момента в поперечном сечении не совпадает ни с одной из главных осей инерции поперечного сечения. Косой изгиб происходит в балках с прямой осью из-за несогласованности линии действия внешней нагрузки(силовой линии) с какой-либо главной центральной осью инерции. В этом случае силовая линия проходит через центр тяжести поперечного сечения балки. Если все внешние силы находятся в одной плоскости, происходит плоский косой изгиб. В этом случае упругая линия балки представляет собой плоскую кривую. Если нагрузка расположена в разных плоскостях, то в балке возникает

пространственный косой изгиб, а упругая линия-пространственная кривая. Исследовано явление плоского косого изгиба. В качестве примера рассмотрим консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой F, которая направляет угол A в осевом направлении, учитывая, что силовая линия проходит через центр тяжести сечения(фиг. 22.1, а). Сила F разлагается на составляющие в направлении центрального шпинделя Oh и Oh. Fy = Feos a, Fx = F sin a. Компоненты Fy и Fx вызывают поперечный изгиб балки относительно осей oh и Oh. Изгибающий момент MX и Mu в любом сечении на расстоянии g от свободного конца балки будет равен: =FyZ=ФЗ потому что, МЮ=валютном з=ФЗ грех.

вертикальной плоскости yOz mx и график горизонтальной плоскости hog Mu — (рис. 22.1, 6, б). Признаков сюжета MX и Mu не показывают, а 251 страница 22.2 Вертикальная ось откладывает^со стороны растянутых волокон пучка. Таким образом, косой изгиб-это совокупность изгибов двух прямых линий в плоскости, перпендикулярной друг другу. Кроме изгибающего момента MX, Mu, в поперечном сечении существуют поперечные силы Qx и Qy, действующие вдоль соответствующих осей Oh и Oh. На практике поперечная сила обычно не принимается во внимание, и расчет прочности проводится по нормальному напряжению. Нормальные напряжения от каждого изгибающего момента MX и MU определяются уравнением поперечного изгиба, полученным ранее. Исходя из принципа независимости суммы — » сечение изгибающего момента M X и нормального напряжения Mar в любой точке Mu

Читайте также:  Взаимозаменяемость регуляторов напряжения генераторов

записывается следующим образом:=°MX+°mu=Mxy!J x+V / 7 1=МХ/Г Х+М ylW г. Людмила Фирмаль

Формулы(22.4)видно,что в отличие от прямого поперечного изгиба при косом изгибе нейтральная ось не перпендикулярна силовой линии(tgcp^tga). Величина угла между ними зависит от отношения главных центральных моментов инерции к сечениям Jx и Jy. Только участки с Jx=J y (круг, кольцо, квадрат, равносторонний, правильный шестиугольник и т. д.). В этих участках угол между нейтральной осью и силовой линией составляет 90°, так как вся центральная ось является главной осью, и поэтому нет косого изгиба. Построим суммарный график нормального напряжения O2 для сечения, показанного на рисунке. 22.3. Проведите через центр тяжести нейтральную ось p-p по оси Oh параллельно углу CP, который находится на ней двумя касательными к сечению. В этом разделе

точки d и B не являются точками A, а находятся дальше всего от нейтральной оси. Перпендикулярно нейтральной оси нарисуйте ось графика O2. Величина вертикальной оси напряжения o2b и o2o соединены прямой линией. Пространственный косой изгиб происходит в балке под действием нагрузок, расположенных в разных плоскостях. Например, однопролетная балка с силой L, перпендикулярной сечению C, и силой F2, горизонтальной сечению D, испытывает пространственный косой изгиб(рис. 22.4, а). Действующая нагрузка может быть разложена на составляющие в направлении главной центральной оси инерции сечения, а также плоского косого изгиба. Затем эпюру изгибающих моментов МХ и Му. Пусть основные

центральные оси инерции Oh и Oh совпадают с направлением действующих сил F2 и F на рассматриваемую балку. Затем по вертикали- 254 страницы. Рис. 22.3. 22.4 Сила F\вызывает боковой изгиб относительно оси ox, а горизонтальная сила — вызывает боковой изгиб относительно оси OU, а соответствующие участки MX и Mu(рис. 22.4, б). Общее нормальное напряжение O2 от действия на соединение изгибающего момента MX и Μ в поперечном сечении балки рассчитывается по формуле (22.1). В пространстве косого изгиба отношение изгибающего момента MX к MU изменяется по длине балки. Нейтральная ось имеет разные положения в разных сечениях, и только формула (22.3) может быть использована для определения ее направления: tg f= = = A1u/X / M X / y. В этом случае величина угла между нейтральной осью и силовой линией зависит не только от соотношения основных моментов инерции сечения, но и от соотношения изгибающих моментов MX и Mu.

Помощь студентам в учёбе
Помощь студентам в учёбе
Помощь студентам в учёбе

Помощь студентам в учёбе

Изучу , оценю , оплатите , через 2-3 дня всё будет на «4» или «5» !

Откройте сайт на смартфоне, нажмите на кнопку «написать в чат» и чат в whatsapp запустится автоматически.

Помощь студентам в учёбе

Помощь студентам в учёбеf9219603113@gmail.com


Помощь студентам в учёбе

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.9219603113.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Определение напряжений при косом изгибе

Используя принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции) найдем напряжения при косом изгибе. Рассмотрим точку A с координатами (y, z) в сечении изгибаемой балки и определим в ней напряжения от каждого из внутренних усилий, возникающих при косом изгибе:

нормальные напряжения от изгибающего момента Mz

нормальные напряжения от изгибающего момента My

касательные напряжения от поперечной силы Qy

касательные напряжения от поперечной силы Qz

Полные напряжения и при косом изгибе найдем путем геометрического суммирования составляющих:

Последнюю формулу удобно представить в виде

где – угол наклона силовой плоскости P при косом изгибе (а при сложном изгибе – угол наклона плоскости действия полного изгибающего момента M в данном сечении).

7.3 Определение положения нейтральной оси и максимальных
нормальных напряжений при косом изгибе. Условие прочности

Нейтральная ось – линия, во всех точках которой нормальные напряжения равны нулю. При этом в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси нормальные напряжения принимают свои экстремальные значения – минимум и максимум.

Заметим, что при плоском изгибе нейтральная ось совпадала с одной из главных осей сечения (Oy или Oz), при косом же изгибе это не так. Выведем формулу для определения положения нейтральной оси при косом изгибе.

Так как =0, то можем записать:

Отсюда найдем уравнение нейтральной оси:

Читайте также:  Светодиодный индикатор напряжения для автомобильного аккумулятора

Более удобно записать это уравнение через угол наклона нейтральной линии к оси Oz:

Знак «минус» в этой формуле показывает, что углы и откладываются от разноименных осей, но в одном направлении.

Как видим, в случае, когда Jz Jy, углы и не равны друг другу, а, значит, и плоскость кривизны (плоскость максимальных прогибов) бруса не будет совпадать с плоскостью действия сил. Поэтому такой изгиб и назван «косым».

Определим максимальные нормальные напряжения при косом изгибе и запишем условие прочности.

Как известно, нормальные напряжения достигают своих экстремальных значений в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси (координаты таких точек обозначим ymax и zmax):

Для прямоугольного сечения – это точки A и B. При M>0 (см. рис.7.8).

Для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению (сжатию), максимальные напряжения определяются так:

где и – моменты сопротивления сечения относительно осей z и y.

В случае косого изгиба, как правило, проверка прочности осуществляется только по нор-мальным напряжениям (действие касательных невелико). Поэтому условие прочности записывается в виде:

При косом изгибе (впрочем, как и при остальных видах нагружения) имеем три задачи расчета на прочность:

— подбор сечения (определить Wz (размеры сечения) при заданном отношении Wz/Wy);

— проверка по несущей способности (определить M).

7.4. Изгиб с кручением. Определение внутренних усилий и
напряжений

Ранее нами был рассмотрен расчет на прочность валов при чистом кручении. Однако круглые валы редко работают на чистое кручение. Как правило, при работе вал изгибается собственным весом, весом шкивов, давлением на зубья шестерен, натяжением ремней и т. д. В таком случае вал будет находиться в условиях сложного сопротивления и испытывать совместное действие кручения и изгиба.

Изгиб с кручением – частный случай сложного сопротивления, который может рассматриваться как сочетание чистого кручения и поперечного изгиба.

Определение внутренних усилий и напряжений при кручении с изгибом.Для определения внутренних усилий воспользуемся методом сечений:

Обычно две составляющие попе-речной силы (Qy, Qz) и изгибающего момента (My, Mz) приводят к их полным результирующим

Заметим, что часто поперечной силой пренебрегают (для достаточно длинных валов) и рассматривают кручение с изгибом как совместное действие крутящего (Mx, Mкр, T) и изгибающего (Mи) моментов.

Опасное сечение вала будем искать, как и прежде, по эпюрам внутренних усилий. При построении эпюр внутренних усилий при кручении с изгибом необходимо иметь ввиду следующие правила:

— эпюры крутящего момента Mx, а также эпюры составляющих поперечной силы Qy, Qz и изгибающего момента My, Mz строятся с использованием метода сечений;

— результирующая поперечная сила Q может не лежать в плоскости действия результирующего изгибающего момента Mи, а потому между ними уже не будет соблюдаться зависимость Журавского (dM/dx=Q), а, следовательно, и правила проверки эпюр, введенные для плоского изгиба;

— эпюра полного изгибающего момента будет прямой только на тех участках, где My и Mz ограничены прямыми с общей нулевой точкой, на участках, где такая общая точка отсутствует эпюра Mи будет описываться вогнутой кривой и строится по точкам (связано с тем, что вектор Mи в разных сечениях имеет различное направление).

Опасное сечение при кручении с изгибом устанавливается из совместного анализа эпюр крутящего Mx и полного изгибающего Mи моментов. Опасным будет считаться то сечение, где оба момента достигают своей максимальной величины. Если моменты достигают максимума в разных сечениях, необходимо проверить все сечения, в которых эти внутренние усилия достаточно велики.

Для определения максимальных напря-жений используем принцип независимости дей-ствия сил и найдем напряжения отдельно от кручения и отдельно от изгиба:

напряжения при кручении

напряжения при изгибе

где Jос – осевой момент инерции для круглого сечения (Jос = Jz = Jy).

Вводя обозначение , можем записать

, (7.20)

где Wос – осевой момент сопро-тивления для круглого сечения (Wос=Jос/ max, max=d/2).

Опасными точками в сечении будут являться точки наиболее удаленные от нейтральной оси (для круглого сечения – линии, перпендикулярной плоскости действия результирующего изгибающего момента). При этом в токах сечения будет возникать плоское напряженное состояние, а потому расчет на прочность необходимо проводить с привлечением известных теорий прочности.

Дата добавления: 2016-09-26 ; просмотров: 5634 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник