Меню

Обобщенный закон гука для главных напряжений

Обобщенный закон Гука при объемном напряженном состоянии.

Изучая простое растяжение-сжатие, мы выяснили, что относительная продольная деформация

(1.8)

а относительная поперечная деформация

(1.9)

Эти два равенства выражали закон Гука (зависимость между напряжениями и деформациями) при простом растяжении или сжатии, то есть при линейном напряженном состоянии. Далее установим связь между напряжениями и деформациями в общем случае объемногонапряженного состояния.

Рассмотрим деформацию элемента под действием главных напряжений σ1, σ2, σ3 Все напряжения положительны. Вследствие деформации ребра элемента изменяют свою длину и становятся равными aa; bb; cc.

называются главными деформациями и представляют собой относительные удлинения в главных направлениях (рисунок 1.5).

Рисунок 1.5 – Деформации элемента под действием главных напряжений

Обобщенный закон Гука для изотропного тела, то есть зависимость между линейнымидеформациями и главными напряжениями в общемслучае объемного напряженного состояния:

(1.10)

Данные выражения справедливы и для относительных деформаций по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям:

(1.11)

2 Элементарные сведения из геометрии поверхностей вращения*

При всем разнообразии технологического оборудования и машин, применяемых в различных отраслях промышленности, в том числе нефтегазодобыче и переработке, их можно представить состоящими из элементов, выполненных в виде пластин и оболочек, соединенных друг с другом как разъемными, так и неразъемными соединениями.

При расчете таких элементов основной для инженера является теория пластин и оболочек.

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми (толщина S) мало по сравнению с другими размерами тела. Оболочки принадлежат к сплошным непрерывным системам (к дискретным системам относятся, например, стержневые системы).

Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной.

Воображаемую поверхность, равноотстоящую от обеих ограничивающих поверхностей, называют срединной поверхностью(рисунок 1.6).

Оболочкой вращенияназывается оболочка, образованная вращением какой-либо плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости и на пересекающей ее (рисунок 1.7).

Читайте также:  Что значит падение напряжения светодиода

Геометрическое наименование оболочки определяется формой ее срединной поверхности: произвольной формы (рисунок 1.8) цилиндрическая, сферическая, эллипсоидальная, торосферическая и т.д..

Рисунок 1.6 – Срединная поверхность

Ось вращения
Кривая вращения

Рисунок 1.7 – Оболочка вращения

Рисунок 1. 8– Оболочка вращения произвольной формы

Осесимметричнойназывают оболочку, если она, во-первых, является оболочкой вращения и, во-вторых, если она нагружена равномерно распределенными относительно оси нагрузками.

Например, давление на стенки может изменяться вдоль оси вращения, например, при наличии жидкости в вертикальной цилиндрической емкости (рисунок 1.9). Такую емкость можно считать осесимметричной, однако если ее положить горизонтально, то нагрузка станет несимметрична оси и емкость нельзя рассматривать как осесимметричную оболочку (рисунок 1.10).

H2O

Рисунок 1.9- Осесимметричная оболочка

Рисунок 1.10 – Схема емкости, которая не относится к осесимметричным оболочкам

В настоящем разделе рассматриваются наиболее часто применяемые осесимметричныеоболочки постоянной толщины.

Рассмотрим еще некоторые параметры оболочек.

Меридианаминазываются кривые, образованные пересечением срединной поверхности плоскостями, проходящими через ось симметрии оболочки (рисунок 1.11).

Параллелями(параллельными кругами или кольцевыми сечениями) называются окружности, образованные пересечением срединной поверхности плоскостью, перпендикулярной оси оболочки.

Полюсом оболочки называется точка пересечения срединной поверхности с осью.

Рисунок 1.11 – Основные параметры оболочки

Параметры rm, rt называются радиусами кривизны соответственно меридиана и параллельного круга (рисунок 1.12).

Рисунок 1.12 – Радиусы кривизны оболочек

Оболочки вращения широко применяются в различных отраслях техники.

Геометрическая форма объектов, которые могут быть причислены к оболочкам или пластинам, чрезвычайно разнообразна: в машиностроении — это корпуса всевозможных машин; в гражданском и промышленном строительстве — покрытия и перекрытия, навесы, карнизы; в кораблестроении — корпуса судов, сухих и плавучих доков; в авиастроении — фюзеляжи и крылья самолетов; в подвижном составе железнодорожного транспорта, кузова вагонов, цистерны, несущие конструкции локомотивов; в атомной энергетике — защитная конструкция атомных станций, корпуса реакторов и т.д.

Читайте также:  Среднее квадратическое значение выпрямленного напряжения двухполупериодным выпрямителем равно

Колонные аппараты, элементы трубопроводов, корпуса насосов и компрессоров, резервуары, воздушные и газовые баллоны также обычно представляют собой сочетание оболочек вращения цилиндрической, шаровой, эллиптической или каплевидной формы (рисунок 1.13).

Источник



Обобщенный закон Гука.

Рассмотрим общий случай объемного напряженного состояния. В пределах малых деформаций, когда справедлив закон Гука, между напряжениями и деформациями существует линейная зависимость.
В направлении действия каждого нормального напряжения возникает продольная деформация:

продольная деформация

При этом в двух поперечных направлениях появляются противоположные по знаку поперечные деформации:

поперечные деформации

Продольные и поперечные деформации во всех направлениях сведены в таблицу:

Деформации, возникающие от действия нормальных напряжений.

деформации возникающие от действия нормальных напряжений

Складывая все деформации одного направления, получают суммарные относительные деформации в направлении напряжений σx, σy , σz:

обобщенный закон гука

Эти уравнения выражают обобщенный закон Гука при объемном напряженном состоянии. Зная относительные удлинения ε, можно вычислить относительное изменение объема при деформации:

относительное изменение объема при деформации

Из этой формулы видно, что коэффициент Пуассона μ не может быть больше значения 0,5, т.к. только в этом случае объем при деформировании не изменяется.

Источник

Обобщенный закон Гука

Обобщенный закон Гука представляет собой связь между напряжениями и деформациями в случае объемного и как частый случай плоского напряженных состояний. Он может быть получен на основании закона Гука для линейного напряженного состояния и принципа независимости действия сил.

Пусть задано произвольное объемное напряженное состояние с главными напряжениями s1, s2 и s3. Представим его в виде суммы трех линейных напряженных состояний. Учитывая, что при линейном напряженном состоянии и запишем выражение для линейной относительной деформации в направлении :

.

Деформации в направлении действия главных напряжений равны

; ; .

Эти выражения носят название обобщенного закона Гука, записанного для главных площадок e1, e2, e3 в направлении главных напряжений называются главными деформациями.

Читайте также:  Увеличиваем напряжение блока питания компьютера

Соотношения обобщенного закона Гука могут быть записаны для любых (не главных) площадок, но так как при этом будут действовать кроме нормальных и касательные напряжения (рис. 3.10), необходимо добавить три соотношения для вычисления угловых деформаций. Таким образом, для произвольных площадок обобщенный закон Гука содержит шесть соотношений, связывающих деформации и напряжения:

; ;

; ;

; .

Как известно, при деформации происходит изменение формы и объема тела. Рассмотрим относительное изменение объема тела при деформировании. Обратимся к рис. 3.1. Объем элементарного прямоугольного параллелепипеда до деформации . При деформировании длина каждого ребра может измениться на некоторую величину D и объем того же параллелепипеда после деформирования будет .

Тогда относительное изменение объема может быть вычислено следующим образом:

= .

Раскрывая скобки и пренебрегая слагаемыми более высокого порядка малости по сравнению с e, получим .

Подставляя e из обобщенного закона Гука, получим

.

Учитывая, что , запишем выражение для q в виде

.

Из формулы видно, что при положительных направлениях главных напряжений относительное изменение объема может быть положительной величиной, если только коэффициент Пуассона будет ν

. (3.5)

Рассмотрим напряженное состояние чистого сдвига. Запишем выражение удельной потенциальной энергии деформации по площадкам чистого сдвига:

.

С другой стороны, чистый сдвиг – это двухосное напряженное состояние с главными напряжениями ; , поэтому можно записать u как

.

Очевидно, величина удельной потенциальной энергии деформации u не должна зависеть от того, по каким площадкам она записана, поэтому

, откуда, как упоминалось ранее .

Таким образом, постоянные упругости материалов, характеризующие жесткость при растяжении и сдвиге и поперечную деформацию, являются зависимыми. Поэтому достаточно определить лабораторным путем при растяжении две характеристики упругости Е и n, а третья G может быть вычислена аналитически.

Дата добавления: 2015-08-21 ; просмотров: 3888 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник