Меню

Определить главные напряжения пример

Определение главных напряжений

date image2015-06-26
views image2216

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Главными напряжениями называются нормальные напряжения, действующие по площадкам, где отсутствуют касательные напряжения. Координатные оси, являющиеся нормалями к таким площадкам, называются главными осями тензора напряжений, а сами площадки – главными площадками.

Главные напряжения определяются из кубичного уравнения:

Подставляя численные значения инвариантов тензора напряжений из (2.1), получаем:

Кубичное уравнение всегда имеет три корня. При этом встретиться два случая:

1) уравнение имеет один действительный корень и два комплексно сопряженных;

2) уравнение имеет три действительных корня.

Уравнения для определения главных напряжений и главных деформаций всегда имеют три действительных корня. Решать их можно по-разному.

1. Можно сначала определить подбором один из корней уравнения, а затем разложить левую часть уравнения (2.2) на два сомножителя: линейный двучлен и квадратный трехчлен. После этого из решения квадратного уравнения определяются два оставшиеся корня.

2. Существует и аналитический способ решения, для этого используются формулы Кардано.

Воспользуемся вторым способом.

à Решение кубичного уравнения по формулам Кардано

Пусть задано кубическое уравнения:

получают приведенное кубичное уравнение:

Здесь и вычисляются по формулам:

Формулы Кардано для случая уравнения с тремя действительными корнями имеют вид:

Далее с помощью подстановки (2.4) в (2.3) находят корни исходного уравнения.

à Решение уравнения (2.2):

Подстановка (2.4) с новыми обозначениями получает вид:

Здесь изменен знак второго слагаемого подстановки потому, что .

Подставляя (2.10) в (2.9) получим уравнение аналогичное (2.5):

Здесь коэффициенты и вычисляются по формулам (2.6):

Далее по формулам (2.7) находим:

По формулам (2.8) находим корни уравнения (2.11):

Учитывая (2.10), находим корни исходного уравнения (2.9), являющимися главными напряжениями:

В соответствии с правилом индексации главных напряжений введены обозначения: — алгебраически максимальное напряжение; — алгебраически среднее (минимаксное) напряжение; — алгебраически минимальное напряжение.

Читайте также:  Схема работы бесконтактного регулятор напряжения

Величины и вычислялись с точностью до третьего знака после запятой для того, чтобы в дальнейшем при решении систем уравнений, в которых от зависят величины коэффициентов, избежать возможных больших погрешностей, если встретятся малые разности больших величин.

Тензор напряжений в главных осях имеет вид:

Источник



Главные напряжения и главные площадки

Главные площадки – это площадки, проходящие через исследуемую точку, на которых Касательные напряжения отсутствуют.

Главные напряжения – это возникающие на главных площадках нормальные напряжения

В общем случае нагружения (при объемном напряженном состоянии) среди множества площадок, проходящих через некоторую точку тела, всегда можно найти три взаимно перпендикулярные главные площадки . В окрестности любой точки деформированного твердого тела всегда можно выделить элементарный параллелепипед, ориентированный в пространстве таким образом, что по его граням будут возникать только нормальные (главные) напряжения (см. рис. 6.2).

изображение Главные площадки напряжения сопромат

Главные напряжения обозначаются изображение Главные площадки напряжения сопромат. Индексы расставляются после вычисления главных напряжений. Должно выполняться неравенство:

изображение Главные площадки напряжения сопромат

изображение Главные площадки напряжения сопромат– наибольшее, а изображение Главные площадки напряжения сопромат– наименьшее нормальное напряжение в исследуемой точке тела.

В частном случае нагружения может получиться так, что все три главных напряжения в исследуемой точке тела равны между собой. Тогда любая площадка, проведенная через эту точку, является главной площадкой .

По значениям главных напряжений дается оценка прочности материала в исследуемой точке деформированного твердого тела.

При плоском напряженном состоянии на грани элементарного параллелепипеда с нормалью х полностью отсутствует не только касательное, но и нормальное напряжение. Площадка тоже является главной площадкой , главное напряжение на которой равно нулю.

Пусть мы нашли для случая плоского напряженного состояния, что экстремальные напряжения в исследуемой точке тела равны изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа, а изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа. Индексы главных напряжений : изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа , изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа, изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа.

Если получилось изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа, а изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа, то тогда изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа , изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа , изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа .

Читайте также:  Р0562 напряжение бортовой сети низкий уровень что делать

Источник

ISopromat.ru

Главными называют нормальные напряжения на площадках выделенного элемента с нулевыми касательными напряжениями.

Главные напряжения

Для любого случая нагружения бруса всегда можно найти такое положение мысленно выделенного в нем элемента, на гранях которого касательные напряжения будут отсутствовать (т.е. τ=0)

Площадки (грани элемента) на которых касательные напряжения равны нулю называются главными.

Таким образом, главные – это нормальные напряжения на главных площадках.

Обозначение главных напряжений

Главные напряжения принято обозначать буквой σ с индексом 1, 2 и 3.

При этом наибольшее, с учетом знака, напряжение обозначается как σ1 а наименьшее соответственно σ3.

Другими словами, главное напряжение, расположенное на числовой оси правее других – σ1, а то, которое левее всех σ3.

Например, для случая объемного напряженного состояния:

Главные напряжения при объемном напряженном состоянии

Обозначение главных напряжений при ОНС

При плоском напряженном состоянии:

  1. Когда оба напряжения растягивающие
    Обозначение главных напряжений при плоском напряженном состоянии
  2. По одной грани напряжение растягивающее, по другой сжимающее
  3. Оба напряжения сжимающие.

При линейном напряженном состоянии единственное напряжение всегда обозначается как σ1 или просто σ.

Источник