Меню

Определить мощность множества точек окружности

Счетные множества. Мощность континуума

Эквивалентные множества

1. Установить взаимно–однозначное соответствие между множеством всех натуральных чисел и множеством натуральных чисел, кратных 5.

2. Установить биекцию полуокружности и ее диаметра.

3. Установить биекцию двух окружностей; двух кругов.

4. Найти взаимно–однозначное отображение отрезка на отрезок (геометрически и аналитически).

5. Найти взаимно–однозначное отображение интервала на всю числовую прямую (геометрически и аналитически).

6. (Отель Гилберта). Где-то в далеком космосе есть гостиница с бесконечным числом одноместных номеров, причем все они заселены. В гостиницу приехал человек и попросил поселить его в отдельный номер. Администратор сумел удовлетворить его просьбу, не выселив при этом ни одного постояльца. Как ему удалось это сделать?

Занумеруем номера числами 1, 2, 3, …, n , … Переселим постояльца из 1-го номера во 2-й, из 2-го в 3-й, …, из n-го – в (n+1)-й и т.д. Таким образом, мы освободим 1-й номер, в который и поселим нового постояльца.

7. Найти взаимно–однозначное отображение отрезка на полусегмент .

Так как на первом промежутке точек как бы на одну «больше», то нужно куда-то убрать «лишнюю» точку.

Возьмем на каждом из промежутков произвольную последовательность и поступим так же, как с отелем Гилберта: точке x1 из множества поставим в соответствие точку x2 из множества , точке x2 из А –

точку x3 из В, …, точке xn из А – точку xn+1 из В и т.д. Таким образом, в В освободится точка x1, которую мы и поставим в соответствие точке b из множества А. Остальные точки в множествах А и В одинаковые, следовательно, мы их поставим в соответствие друг другу.

Таким образом, получим взаимно-однозначное соответствие между А и В.

8. Доказать, что все конечные промежутки числовой прямой эквивалентны.

Как уже показано в № 4, все одноименные промежутки (то есть все сегменты, все интервалы и т.д.) эквивалентны между собой, а в предыдущем примере мы показали, что и разноименные промежутки тоже эквивалентны, что и требовалось доказать.

9. Доказать, что любой промежуток числовой прямой эквивалентен всей числовой прямой.

10. Существует ли непрерывная функция, отображающая взаимно–однозначно отрезок на всю числовую прямую?

Нет, так как, если функция непрерывна на сегменте, то множеством ее значений тоже является сегмент.

Домашние примеры

11. Найти взаимно–однозначное отображение отрезка на интервал .

отображаем в (аналогично задаче 7, только в последовательность «прячем» две точки).

12. Найти взаимно–однозначное отображение полусегмента на луч .

С помощью функции y = tgx.

13. Существует ли непрерывная функция, отображающая взаимно–однозначно отрезок на интервал ?

Читайте также:  Мощность формула для расчета мощности единицы мощности

14. Существует ли непрерывная функция, отображающая взаимно–однозначно отрезок на множество, состоящее из двух отрезков?

В 13 и 14 ответ «нет» (см. задачу 10).

15. Установить взаимно–однозначное соответствие между окружностью и прямой.

Точке О соответствует бесконечно удаленная точка числовой прямой.

Счетные множества. Мощность континуума

1. Какова мощность множества ?

Это множество является объединением двух последовательностей. Поскольку последовательность – это счетное множество, то и множество А счетно.

2. Какова мощность множества точек на плоскости, у которых обе координаты рациональны?.

Множество точек на плоскости с рациональными координатами можно представить в виде . Таким образом, это множество, элементы которого различаются двумя значками, пробегающими счетное множество значений, следовательно, по лемме 2.1 это множество счетно.

3. Какова мощность множества всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты?

Это множество счетно (см. задачу 2).

4. Доказать, что множество всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональны и координаты центра – рациональные числа, счетно.

5. Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества Е на прямой больше 1, то множество Е не более, чем счетно.

Окружим каждую точку множества окрестностью, длиной 1, тогда эти окрестности не будут пересекаться. В каждой окрестности выберем рациональное число. Получим некоторое множество А рациональных чисел, которое находится во взаимно-однозначном соответствии с множеством Е. Так как множество А – часть множества Q, то оно не более чем счетно, следовательно, множество Е тоже не более чем счетно.

6. Доказать эквивалентность сегмента и интервала , пользуясь теоремами о свойствах бесконечных множеств.

Так как и множество несчетно, то по теореме 3.2 эквивалентен .

7. На прямой задано множество попарно не пересекающихся отрезков. Что можно сказать о мощности этого множества?

Это множество не более чем счетно (см. задачу 5).

8. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на всей числовой прямой, конечно или счетно.

Во-первых, поскольку функция задана на всей числовой прямой, то она может иметь лишь точки разрыва 1-го рода, т.е. конечные скачки.

Поставим каждой точке разрыва, например, х1 в соответствие сегмент , характеризующий величину скачка в этой точке. Очевидно, что для монотонной функции это соответствие будет взаимно-однозначным, и указанные сегменты не пересекаются. Тогда в силу задачи 7 их множество не более чем счетно, следовательно, не более чем счетно и множество точек разрыва.

Источник



Научный форум dxdy

Вход Регистрация Donate FAQ Правила Поиск

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Читайте также:  Потеря мощности двигателя при разгоне дизель

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Окружности: Выяснить мощность множеств

Последний раз редактировалось AD 22.11.2009, 02:10, всего редактировалось 1 раз.
Изменил заголовок на более информативный.

Выясните мощность множества всех линий на плоскости, расположенных так, что эти линии попарно не пересекаются
Выясните мощность множества всех двумерных областей в пространстве, расположенных так, что эти двумерные области попарно не пересекаются и ни одна из них не лежит внутри другой
.

Выясните мощность множества всех линий на плоскости, расположенных так, что эти линии попарно не пересекаются
Выясните мощность множества всех двумерных областей в пространстве, расположенных так, что эти двумерные области попарно не пересекаются и ни одна из них не лежит внутри другой
.

Это Вы задали вопрос или это подсказка? Если второе, то какая то странная подсказка.
Уж больно сильно наводящая на правильный ответ. Даже не верится, что Вы пошли на то что бы сообщить сразу готовое решение, не дав человеку самостоятельно подумать.

А если вопрос:
тогда мощность обоих — континуум.

Меня смутило описание самого множества :
«множество всех окружностей на плоскости, расположенных так, что эти окружности попарно не пересекаются и ни одна из них не лежит внутри другой».
Описание любого множества должно быть таким, чтобы для любого объекта можно однозначно ответить (хотя бы принципиально) на вопрос, принадлежит ли этот обект множеству или нет. В этом смысле приведенное выше описание множества кажется мне некорректным. Например, попробуйте ответить на вопрос, принадлежит ли этому множеству окружность радиуса 1 с центром в начале координат? А вообще произвольно взятая окружность? Если да, то мощность указанного множества — континуум. А если нет, то почему нет?
На мой взгляд существует бесконечное число такого рода множеств, но для описания каждого из них нужно добавить конкретное описание входящих в него окружностей. И убрать слово «ВСЕХ».
И вот КАЖДОЕ такое множество действительно счетно.

Читайте также:  Таблицы расчетов методом удельной мощности

Добавлено спустя 38 минут 49 секунд:

Аналогичное замечание по описанию множеств.

Другой вопрос. Зачем настолько обобщать конкретно поставленную задачу? Такое обобщение не облегчит поиски ее решения.

Источник

08. Примеры равномощных множеств

Приведенные выше примеры и теоремы показывают, что установить равномощность различных множеств далеко не просто. В этом параграфе мы рассмотрим примеры построения биекции между различными множествами. Будут приведены примеры доказательств равномощности ряда множеств.

Пример 1. Установить биекцию между отрезком [0, 1] и отрезком [а, в].

Решение. Легко устанавливается биективность линейного отображения x = (в – a)t + a отрезка [0, 1] на отрезок [а, в].

Пример 2. Установить биекцию между интервалом (0, 1) и интервалом (–¥, +¥).

Решение. Легко устанавливается биективность отображения x= ctg(pt) интервала (0, 1) на интервал (–¥, +¥).

Задача. Рассмотреть основные элементарные функции и найти промежутки, на которых они являются биективным отображением.

Пример 3. Построить биекцию между отрезком [0, 1] и интервалом (0, 1).

Решение. Решение этой задачи основано на несчетности рассматриваемых множеств и теореме 4 из параграфа 6. Идея решения состоит в том, что из интервала (0, 1) выделяют некоторое счетное множество А. Затем к нему добавляют две точки <0>и <1>. Вновь полученное множество (обозначим его В Ì [0, 1]), также является счетным. Следовательно, множества А и В равномощны и существует биекция f, отображающая B на A. Построим теперь биекцию отрезка [0, 1] на интервал (0, 1) следующим образом:

Пример 4. Построить биекцию между окружностью единичного радиуса и отрезком [0, 1].

Схема решения. Легко устанавливается биекция между точкой окружности и углом, соответствующим этой точке. Этим получается биекция окружности и полуотрезка [0, 2p). Затем по схеме примера 3 строится биекция полуотрезка [0, 2p) на отрезок [0, 1].

Пример 5. Доказать, что множество всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональные числа и координаты центра которых — рациональные числа, есть счетное множество.

Решение. Нетрудно видеть, что каждый элемент рассматриваемого множества может быть отождествлен с тройкой чисел (х, у, r), где (х, у) — координаты центра окружности, а r — ее радиус. Этим между множеством указанных окружностей и множеством Q´Q´Q устанавливается биекция. Но произведение счетных множеств счетно (см. задачу в 6 параграфе) и, следовательно, наше множество также счетно.

Пример 6. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на отрезке [а, в], конечно или счетно.

Источник