Меню

Определить напряжение между узлами ответ вводить без размерности

Основы электротехники и электроники: Курс лекций, страница 9

Для узла n запишем первый закон Кирхгофа:

С другой стороны, по закону Ома для активного участка цепи:

Подставим (13.2) в (13.1):

Перегруппируем слагаемые в (13.3):

Мы получили уравнение для потенциала произвольного узла цепи. Как видно, в нем фигурируют параметры ветвей, примыкающих к узлу, и потенциалы узлов, на которые опираются эти ветви.

Первый закон Кирхгофа позволяет получить независимые уравнения для всех узлов, кроме одного. Вместе с тем, потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Следовательно, потенциал одного узла можно задать, например, приравнять нулю. В этом случае получим систему линейных алгебраических уравнений, имеющую единственное решение.

Пользуясь общим выражением (13.4), сформулируем алгоритм метода узловых потенциалов.

Алгоритм расчета цепи методом узловых потенциалов

  1. Заземляется произвольный узел цепи, то есть его потенциал принимается равным нулю. Для укорочения уравнений целесообразно заземлять узел с наибольшим числом подходящих к нему ветвей. Если в цепи есть одна ветвь с нулевым сопротивлением и ЭДС, заземляется узел этой ветви. Потенциал второго узла этой ветви вычисляется автоматически. Если подобных ветвей несколько, необходимо их устранить вынесением ЭДС из ветви.
  2. Для оставшихся узлов составляется система линейных алгебраических уравнений. Уравнение для каждого узла составляется так:

а) потенциал узла умножается на сумму проводимостей, подходящих к узлу;

б) из полученного произведения вычитаются потенциалы всех других узлов, умноженные на проводимости связующих ветвей;

в) в правой части уравнения – алгебраическая сумма произведений ЭДС во всех ветвях, примыкающих к узлу, на проводимость своей ветви плюс сумма источников тока, примыкающих к узлу; с плюсом берутся источники тока и ЭДС, направленные к узлу, с минусом – противоположные.

  1. После расчета потенциалов узлов определяются токи в ветвях по закону Ома и первому закону Кирхгофа. Ток в ветви с нулевым сопротивлением определить по закону Ома нельзя. В этом случае используется первый закон Кирхгофа.
  2. Матрица системы уравнений симметрична относительно главной диагонали. Уравнения в системе имеют размерность тока.
Читайте также:  Регулятор напряжения для vw passat b3

Определить токи методом узловых потенциалов ( Рис. 13.4).

Заземляем узел d:

Тогда автоматически определяются потенциалы узлов e и a. Потенциал узла e также равен нулю. ЭДС E 1 направлена от меньшего потенциала к большему, значит потенциал узла a больше потенциала узла d на величину ЭДС:

Систему уравнений составляем для потенциалов узлов b и c:

Обратить внимание: в первом уравнении в левой части фигурирует потенциал узла a, так как узел a связан с узлом b ветвью с сопротивлением R 2.

Потенциал узла a известен, поэтому перенесем его в правую часть системы с противоположным знаком:

После решения системы уравнений определяем токи по закону Ома и первому закону Кирхгофа. Чтобы правильно использовать закон Ома, расставим на схеме напряжения ( Рис. 13.5):

Напряжения связаны с потенциалами следующими соотношениями:

Определяем токи по закону Ома:

Токи I 1 и I 7 определяем по первому закону Кирхгофа:

.

Метод двух узлов

В том случае, если в цепи имеется всего два узла, использование метода узловых потенциалов приведет к одному уравнению, из которого сразу можно выразить напряжение между узлами.

Для цепи с двумя узлами ( Рис. 13.6) составим уравнение по методу узловых потенциалов, приравняв нулю потенциал узла b:

Так как напряжение между узлами:

Анализ формулы (13.6) позволяет обобщить ее для любой произвольной цепи с двумя узлами:

В числителе выражения (13.7) – сумма источников тока плюс сумма произведений ЭДС на проводимость своей ветви. С плюсом берутся источники, направленные к узлу большего потенциала. В знаменателе – сумма проводимостей всех ветвей, как активных, так и пассивных.

Определить токи методом двух узлов ( Рис. 13.7).

В соответствии с методом двух узлов напряжение между узлами:

Токи определяются по закону Ома:

14. ТЕОРЕМА О КОМПЕНСАЦИИ

Выделим из сложной схемы ветвь. Сложная цепь, рассматриваемая относительно какой-либо ветви, называется двухполюсником. Если внутри схемы есть источники энергии, двухполюсник называется активным ( Рис. 14.1).

Если в ветвь включить две одинаковые и противоположно направленные ЭДС ( Рис. 14.2), то ни в самой ветви, ни в активном двухполюснике токораспределение не изменится.

Читайте также:  Как подобрать реле напряжения для генератора

По второму закону Кирхгофа запишем равенство:

Так как ЭДС E может иметь любое произвольное значение, потребуем, чтобы выполнялось равенство:

. (14.2)

Подставив (14.2) в (14.1), обнаружим, что

.

Напряжение между точками c и a равно нулю. Значит, потенциалы этих точек равны, и точки можно соединить ( Рис. 14.3).

Источник



Метод узлового напряжения (двух узлов)

ads

Наиболее простым методом расчета электрической цепи с двумя узлами – является метод узлового напряжения или метод двух узлов.

Важно отличать метод узлового напряжения (метод двух узлов) от метода узловых напряжений.

Содержание

Метод узлового напряжения (двух узлов)

Рисунок 1 – Электрическая цепь с двумя узлами

Рисунок 1 – Электрическая цепь с двумя узлами

Определим разность потенциалов между двумя узлами цепи А и B.

Найдём потенциал точки А, перемещаясь по первой ветви от узла B до А.

Исходя из выражения (1) можно записать:

Выразим ток первой ветви

где r1 и g1 – сопротивление и проводимость первой ветви соответственно.

Аналогично составляются уравнения для оставшихся ветвей.

По первому закону Кирхгофа запишем уравнение для узла B

Подставим в вышеуказанное уравнение выражения токов (2-5).

Раскрыв скобки, находим узловое напряжение U:

Общее выражение узлового напряжения

Исходя из вышеизложенного, узловое напряжение равно отношению алгебраической суммы произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей к сумме проводимостей всех ветвей. ЭДС направленная к узлу A, записывается со знаком «+», если в противоположную сторону, то со знаком «-».

Давайте рассмотрим применения метода на конкретном примере.

Пример решения задач методом двух узлов (метод узлового напряжения)

Пример. Электрическая цепь постоянного тока представлена на рисунке 2. Определить токи в ветвях методом двух узлов, если ЭДС источников равна E1 = 40 В, E2 = 50 В, E3 = 10 В, а сопротивления r1 = 10 Ом, r2 = 20 Ом, r3 = 15 Ом, r4 = 12 Ом.

Метод узлового напряжения (двух узлов)

Рисунок 2 – Электрическая цепь

Порядок расчёта:

Метод двух узлов

  1. Так как действительные направления токов до расчёта цепи нам неизвестны — произвольно указываем направления токов в ветвях, например, как на Рисунке 3.
Читайте также:  Регулятор напряжения денсо замена

Рисунок 3

  1. Определим проводимость ветвей.

  1. Найдем напряжение U. Для этого воспользуемся формулой 6.

В числителе записываем произведения ЭДС на проводимости соответствующих ветвей, причем ЭДС направленная к узлу A, записывается со знаком «+», если в противоположную сторону, то со знаком «-».

В знаменателе указываем сумму проводимостей всех ветвей:

Подставляем раннее найденные значения проводимостей и значения ЭДС указанные в условии задачи:

  1. Определим токи в ветвях. С учетом направления ЭДС

Подставляем численные значения

Токи I3 и I4 получились с отрицательными значениями, следовательно их направление противоположно ранее принятому.

Рисунок 4 – Реальные направления токов.

Рисунок 4 – Реальные направления токов.

Правильность решения можно проверить при помощи баланса мощностей.

Так же для себя правильность решения задачи можно проверить выполнением первого закона Кирхгофа, а именно:

Источник

Метод двух узлов. Решение задач

Одним из распространенных методов расчета электрических цепей является метод двух узлов. Этот метод применяется в случае, когда в цепи всего два узла.

Алгоритм действий таков:

1 — Потенциал одного из узлов принимается равным нулю

2 — Составляется узловое уравнение для другого узла

3 — Определяется напряжение между узлами

4 — По закону Ома, находятся токи в ветвях

1 – Примем потенциал узла 2 равным нулю φ2=0. Тогда напряжение U12 будет направлено из точки с большим потенциалом, к точке с меньшим.

2 — Составим узловое уравнение для узла 1.

где g1,g2,g3 проводимости ветвей Знак ЭДС определяется её направлением, если к узлу, то положительное, если от узла – отрицательное.

3 – Определим напряжение U12 между узлами

А так как φ2=0, то

Для общего случая формула напряжения выглядит следующим образом

4 – Найдем токи в ветвях. Причем если направление ЭДС совпадает с направление напряжения, то берем напряжение со знаком плюс. В противном случае со знаком минус.

Как всегда, лучше всего проверить задачу с помощью баланса мощностей. Напомним, что мощность источников ЭДС должна быть равна мощности приемников.

Таким образом, задача решена методом двух узлов. Спасибо за внимание!

Источник