Меню

Определить напряжение под углом

Напряжения на наклонных площадках. Условия на поверхности

Основы теории упругости

Внешние силы, которые действуют на твёрдое тело, можно разделить на две группы: поверхностные и массовые.

Поверхностные силы являются результатом взаимодействия двух тел. Примером поверхностных сил являются давление одного тела на другое при соприкосновении, давление здания на грунт, давление газа или жидкости на стенки сосуда и т. д.

Поверхностные силы характеризуются интенсивностью q v, т.е. величиной силы, приходящейся на единицу площади поверхности, на которой распределена эта сила. Интенсивность поверхностной силы также называется давлением. Размерность давления выражается в Н/м 2 (или Па). Проекции (компоненты) давления q v на оси координат x, y, z обозначаются X v, Y v, Z v, соответственно. Здесь ν – внешняя нормаль к поверхности тела, к которой приложена эта сила.

Массовые силы распределены по всей массе тела. Примером массовых сил являются сила тяжести, магнитные силы, силы инерции для тела, находящегося в движении, и т. д. Массовые силы, отнесённые к единице объёма (т. е. интенсивности массовых сил, называемые объёмными силами), также раскладывают на три проекции: X, Y, Z. Их размерность – Н/м 3 .

Проекция интенсивности внешней нагрузки считается положительной, если её направление совпадает с направлением соответствующей координатной оси. Поверхностные и массовые силы, так же как и параметры НДС, являются функциями координат точки.

В твёрдом теле всегда имеют место внутренние силы, которые выражают взаимодействие молекул между собой и обеспечивают существование твёрдого тела, его прочность. При действии на тело внешних сил оно деформируется. Вследствие этого возникают дополнительные внутренние силы.

Для исследования возникающих в теле внутренних сил воспользуемся методом сечений, который применим к находящемуся в равновесии телу, нагруженному внешними силами (рис. 2.1).

Рисунок 2.1 – К определению понятия «метод сечений»

Мысленно рассечём тело произвольной плоскостью на две части A и B и отбросим часть B . Оставшаяся часть A также находится в равновесии под воздействием приложенных внешних сил F 1, F 2, F 3. и системы внутренних сил, распределённых по сечению и представляющих собой действие удалённой части B на часть A.

Выделим в плоскости сечения вокруг точки M элементарную площадку ΔA, весьма малую, по сравнению с размерами сечения, но довольно большую, по сравнению с расстояниями между отдельными молекулами тела.

Обозначим через ΔF главный вектор внутренних сил, пересекающих площадку ΔA. Тогда напряжением внутренних сил, или полным напряжением, p v в точке М тела на лежащей в плоскости сечения площадке ΔA с нормалью ν называется предел отношения

Аналогично можно определить полные напряжения в остальных точках этого и других сечений, проведённых через тело.

Полное напряжение является вектором: оно характеризуется величиной и направлением. В общем случае вектор полного напряжения наклонён к площадке ΔA , на которой он действует, и не совпадает с направлением нормали ν к площадке. Поэтому вместо полного напряжения р v удобнее рассматривать его составляющие в сечениях, параллельных координатным плоскостям.

Для этого в окрестности точки O тела, нагруженного внешними силами, вырежем элементарный параллелепипед (рис. 2.2), рёбра dx, dy, dz, которого параллельны координатным осям x, y, z, а грани – параллельны координатным плоскостям xOy, xOz, yOz. На гранях этого параллелепипеда действуют полные напряжения, которые можно разложить на нормальную (нормальное напряжение) и касательную (касательное напряжение) составляющие к грани. В свою очередь, касательное напряжение можно разложить на две составляющие, параллельные координатным осям. В результате на каждой грани параллелепипеда действует по три напряжения – одно нормальное и два касательных. Напряжения обозначаются греческими буквами: σ − нормальные напряжения, τ − касательные напряжения.

Рисунок 2.2 – Напряжения на гранях элементарного параллелепипеда

Первый индекс в обозначении напряжений указывает ось, параллельно которой направлено напряжение, а второй индекс – ось, параллельно которой направлена внешняя нормаль к грани параллелепипеда, на которой действует напряжение. Если сказать короче, то первый индекс указывает направление напряжения, а второй – площадку, на которой оно действует.

Читайте также:  Опросные листы для трансформаторов напряжения

Примем следующее правило знаков для напряжений: для σ, если внешняя нормаль к площадке имеет положительное направление, то напряжение положительно. В случае τ, если его направление совпадает с положительным направлением соответствующей координатной оси. В соответствии с приведённым правилом знаков положительные нормальные напряжения являются растягивающими, а отрицательные – сжимающими. На рис. 2.2 показаны положительные направления напряжений. Напряжения, так же как и интенсивность поверхностной нагрузки, выражаются в Н/м 2 (Па).

Совокупность напряжений, действующих на трёх взаимно перпендикулярных гранях параллелепипеда, – три нормальных напряжения (σ x, σ y, σ z) и шесть касательных напряжений (τ xy, τ xz, τ yz, τ yx, τ zx, τ zy) – образует так называемый тензор напряжений, который характеризует напряжённое состояние в рассматриваемой точке O твёрдого тела.

Дифференциальные уравнения равновесия (уравнения Навье)

Выясним, каким условиям должны быть подчинены напряжения на гранях элементарного параллелепипеда, чтобы каждый элемент тела в своём взаимодействии с соседними элементами был в равновесии, а, следовательно, было в равновесии и всё тело.

Ввиду бесконечной малости параллелепипеда на рис. 2.2, принято, что напряжения во всём его объёме остаются неизменяемыми (однородное напряжённое состояние). В действительности компоненты тензора напряжений на параллельных гранях, отстоящих друг от друга на бесконечно малом расстоянии, отличаются одно от другого на бесконечно малую величину. Таким образом, как бы ни были близки грани элементарного объёма, имеет место приращение напряжений, пропорциональное расстоянию между гранями и равное частному дифференциалу этого напряжения. Поэтому на рис. 1.4 изображено уточнённое распределение напряжений на гранях параллелепипеда.

Рисунок 2.3 – Компоненты тензора напряжений, параллельные оси х

Рассмотрим напряжения, параллельные оси х: σ x, σ y, σ z.

Если на левой грани элемента с координатой х = 0 принять напряжение σ x, то на правой грани, имеющей координату dx, функция σ x получит приращение , равное частному дифференциалу этой функции по аргументу x . В итоге на правой грани параллелепипеда будет напряжение .

Аналогично рассуждая, получим выражения для касательных напряжений: и , а также для напряжений, параллельных осям y и z.

Кроме напряжений, на параллелепипед действуют массовые силы, компоненты которых на оси координат будут следующие:

X dx dy dz, Y dx dy dz, Z dx dy dz

Для тела, находящегося в равновесии, должны удовлетворяться шесть уравнений статики: три уравнения проекций сил на оси координат и три уравнения моментов этих сил относительно координатных осей.

Источник



Определение напряжений при растяжений стержня на площадках расположенных под углом к оси стержня

date image2014-02-02
views image905

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Определим напряжения, возникающие на некоторой наклонной площадке, со­ставляющей угол a с плоскостью нормального сечения, найдем и .

Т.о. нормальные и касательные напряже-ния являются функцией α, т.е. зависят от ориентации площадки. Из этого выражения (*) следует, что

Максимальные и минимальные (экстремальные) нормальные напряжения называют главными напряжениями, а площадки, на которых действуют главные напряжения, называют главными площадками. Т. о. при растяжении стержня все площадки расположенные под α=0◦ α=90◦ являются главными площадками. На площадках расположенных под углом β=α+90◦,можно записать Согласно (*)

Т.о., сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках величина постоянная. Количество главных напряжений определяет вид напряженного состояния, при растяжении имеем одно главное напряжение (≠0), поэтому растяжение относится к линейному (одноосному) напряженному состоянию. Условие прочности . В этом случае σ – действующее напряжение или рабочее напряжение, [σ] – допускаемое напряжение, — коэффициент запаса, =>произойдет разрушение;

При растяжении и сжатии

[σ]p МПа [σ]сж МПа
Сталь легированный 100…400 100…400
Чугун серый 28…50 120…150
Дуралюмин 80…150 80…150
Бетон 0,1…0,7 1…9

Для различных видов деталей коэффициент запаса различны. S=1,4…1,6- для «пластичных» материалов,

Читайте также:  Инвертор предназначен для преобразования напряжения

Источник

Напряжения на наклонных площадках

Рассмотрим, как будут изменяться напряжения на гранях малого элемента (рис. 4.3, а) при его повороте на угол a (рис. 4.3, б). Учитывая бесконечно малые размеры элемента, можно считать, что напряжения, например, на грани ВС (рис. 4.3, б) будут такими же, как и на наклонной (под углом a) площадке В 1 С 1 (рис. 4.3, а).

Рис. 4.3. Напряжения на наклонных площадках при двухосном напряженном состоянии

Площадь наклонной грани треугольного элемента обозначим A, тогда площади нижней и левой граней будут равны A·sin a и A·cos a, соответственно. Составим уравнения равновесия S n = 0 и S t = 0 для треугольного элемента B 1 C 1 D 1 (рис. 4.3, в).

Из этих равенств находим:

; (4.2)
. (4.3)

Полученные соотношения свидетельствуют, что и являются периодическими функциями от α с периодом π. Следовательно, каждая из этих функций в указанном периоде достигает максимальных и минимальных значений.

Найдем нормальные и касательные напряжения на площадке, повернутой на угол a + 90 о (рис. 4.3, б):

(4.4)
(4.5)

Складывая нормальные напряжения s a и s a +90, получим

(4.6)

Формула (4.6) выражает свойство инвариантности нормальных напряжений, которое формулируется следующим образом: сумма нормальных напряжений в точке по двум взаимно перпендикулярным направлениям есть величина постоянная.

Исследуя выражения для t a и t a +90 о , можно заметить, что касательные напряжения, действующие на смежных взаимно перпендикулярных площадках, равны, но имеют разные знаки, что, казалось бы, противоречит принятому ранее правилу знаков для касательных напряжений и закону их парности. Однако, такой результат подтверждает приведенные ранее определения. В принятой при рассмотрении равновесия малого элемента локальной системе координат положительный знак определяется совпадением его направления с локальной осью t. При этом, положительное напряжение t a стремится повернуть малый элемент против часовой стрелки и направлено к общему ребру. Отрицательное значение напряжения t a +90 о лишь подтверждает закон парности касательных напряжений, так как оно в этом случае также направлено к общему ребру (стремясь повернуть малый элемент по часовой стрелке) и равно t a по абсолютной величине.

Главные напряжения. Дифференцируя равенство (4.2) и приравнивая производную функции s a (a) нулю, получим

. (4.7)
, (4.8)

где – значение угла , при котором имеет экстремум. Полученное уравнение имеет два решения и , отличающихся на π/2:

(4.9)

Направления, определяемые углами и , называются главными направлениями, а площадки, перпендикулярные этим направлениям, называются главными площадками. На этих площадках действуют максимальное s 1 = s max и минимальное s 2 = s min нормальные напряжения, которые называются главными напряжениями. При этом s 1 больше s 2 в алгебраическом смысле (например, s 1 = +20 МПа, а s 2 = – 100 МПа). .

Выражение (4.8) не позволяет однозначно ответить на вопрос, какой из двух углов или указывает именно первое (или второе) главное направление. Поэтому более удобно пользоваться формулами (даются без вывода):

; . (4.10)

Нетрудно заметить, что если t a из (4.3) приравнять нулю, то также получим равенство (4.8). Отсюда следует, что на главных площадках касательные напряжения равны нулю. Таким образом, полное определение главных площадок формулируется следующим образом.

Главными площадками называются такие площадки, на которых нормальные напряжения экстремальны, а касательные напряжения равны нулю.

Чтобы получить формулы для главных напряжений, преобразуем выражения (4.2) и (4.4), с использованием известных тригонометрических соотношений cos 2 a = (1+cos 2a)/2 и sin 2 a = (1– cos 2a)/2 и запишем их вместе, причем верхние знаки соответствуют напряжению s a = s 1 = s max , а нижние – s a +90о = s 2 = s min .

. (4.11)

Представив выражение (4.8) в виде

,

и подставляя его в (4.11), после несложных преобразований с использованием формул тригонометрии, получим

. (4.12)

В этой формуле записаны сразу два выражения, одно – для определения s 1 =s max (используется знак «+» перед квадратным корнем), а второе – для определения s 2=s min (используется знак «–»).

Читайте также:  Падение напряжения внутри источника тока это

Если сложить s 1 и s 2, получим

(4.13)

что подтверждает свойство инвариантности суммы нормальных напряжений, т.е. то, что сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным направлениям не зависит от угла.

На рис. 4.4, а показан исходный элемент, вырезанный вблизи некоторой точки тела, а на рис. 4.4, б – элемент, грани которого совпадают с главными площадками (направления главных осей 1 и 2 выбраны произвольно).

То, что экстремальные нормальные напряжения названы главными, не случайно. Именно по значениям этих напряжений можно провести оценку прочности материала.

Рис. 4.4. К определению главных и максимальных касательных напряжений

Экстремальные касательные напряжения. Для некоторых материалов причиной разрушения или потери эксплуатационных свойств могут являться не нормальные, а касательные напряжения. Может возникнуть такое напряженное состояние в точке, когда нормальные напряжения еще не превышают своих опасных значений (s max o), но касательные напряжения уже будут больше их опасных значений (t max > t o). Поэтому необходимо знать величины экстремальных касательных напряжений и углы наклона площадок, на которых они действуют.

Углы наклона площадок с экстремальными значениями касательных напряжений можно найти, вычисляя производную функции t a (4.3) по a и приравнивая ее нулю:

(4.14)

Обозначая через b 0 угол наклона нормали к площадке с экстремальными касательными напряжениями, из (4.14) получим формулу для определения этого угла:

(4.15)

Сравнивая (4.8) с (4.15), можно записать следующее равенство

(4.16)

откуда следует, что b 0 = a 0 + 45°, т.е. нормаль к площадке с экстремальными касательными напряжениями составляет угол 45° с нормалью к площадке, на которой действуют главные напряжения (рис. 4.4,в).

Найдем значения экстремальных касательных напряжений. Для этого запишем в одном выражении (как это было сделано раньше для нормальных напряжений) для t max,min формулы (4.3) и (4.5) относительно главных направлений, подставляя угол a = 45° и учитывая равенство нулю касательных напряжений t на главных площадках:

. (4.17)

Окончательно получаем формулу для определения экстремальных касательных напряжений:

. (4.18)

Используя формулы (4.8) и (4.10) для нормальных напряжений, подставляя угол a = 45 ° , получим выражение для нормальных напряжений, действующих на площадке с экстремальными касательными напряжениями:

. (4.19)

Можно показать, что на всех площадках с экстремальными касательными напряжениями будут действовать одинаковые по величине нормальные напряжения s b:

(4.20)

Знак «+» в (4.18) относится к максимальным касательным напряжениям, а «–» к минимальным касательным напряжениям. Однако следует отметить, что знак касательного напряжения не имеет особого значения и физического смысла; он определяет только его направление в отличие от знака нормального напряжения, соответствующего сжатию («–») или растяжению («+»), что совсем не безразлично, так как хрупкие материалы значительно хуже работают на растяжение, чем на сжатие. Поэтому в дальнейшем нас будет интересовать величина экстремального касательного напряжения, взятая по модулю.

На рис. 4.4, в показана площадка (заштрихована), на которой действуют t 45 = t min = – (s 1 – s 2)/2 и s 45 = s b = (s 1 + s 2)/2 .

Закон Гука при двухосном напряженном состоянии. Рассмотрим деформированное состояние элемента, на гранях которого действуют два нормальных напряжения s x и s y (рис. 4.5,а). Вычислим деформацию , используя принцип независимости действия сил, в соответствии с которым

, (4.21)

где – деформация, обусловленная действием напряжений (рис. 4.5, б), а – действием напряжений (рис. 4.5,в).

Рис. 4.5. К выводу закона Гука при двухосном напряженном состоянии

Согласно закону Гука для одноосного напряженного состояния . Деформации по отношению к направлению действия напряжений являются поперечными деформациями и могут быть выражены при помощи коэффициента Пуассона: . В свою очередь, также вычисляется из закона Гука: В свою очередь .

Складываем и , а затем и :

Источник