Меню

Определить ток в цепи в момент коммутации

Портал ТОЭ

6.1 Законы коммутации

Переходным называется процесс , возникающий в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. Особенность его заключается в непериодических изменениях напряжения и тока во времени.

Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи, под которой условно понимается процесс замыкания или размыкания рубильника (рис. 6.1 ).

Процесс перехода от исходного установившегося режима к последующему происходит не мгновенно, т.к. каждому состоянию электрической цепи соответствует определённый запас энергии электрических и магнитных полей в L , C элементах: энергия магнитного поля катушки W L = Li 2 ∕ 2 , энергия электрического поля конденсатора W C = Cu 2 ∕ 2 .

Для мгновенного или скачкообразного изменения энергии полей необходима бесконечно большая мощность источников энергии, т.к. мощность

Реальные же источники обладают конечной мощностью, поэтому энергия меняется непрерывно, в связи с этим, например, при размыкании цепи катушки возникает электрическая искра. Если в цепи нет накопителей энергии, переходный процесс совершается мгновенно.

Из положения о невозможности скачкообразного изменения энергии следуют законы коммутации.

1-ый закон коммутации. В любой ветви с индуктивностью ток и магнитный поток в момент коммутации сохраняют те же значения, которые они имели до коммутации.

где t = 0 − – первый момент до коммутации;
t = 0+ – первый момент после коммутации.

Если допустить обратное, то u L = L ≈ L = L = ∞ , то есть не выполняется 2-ой закон Кирхгофа.

2-ой закон коммутации. В любой ветви напряжение и заряд на ёмкости сохраняют в момент коммутации те же значения, которые они имели до коммутации.

Доказательство: i C = C ≈ C = C = ∞ , т.е. не выполняется 1-ый закон Кирхгофа.

При этом могут изменяться скачком токи в R , C элементах и напряжения в R , L элементах.

Значение тока в индуктивности и напряжения на ёмкости в момент коммутации называются независимыми начальными условиями .

При нулевых начальных условиях индуктивность в начальный момент после коммутации равносильна разрыву цепи, а ёмкость – короткому замыканию. При i L (0 − ) ≠ 0 индуктивность в первый момент после коммутации эквивалентна источнику тока i L (0+) , а при u C (0 − ) ≠ 0 ёмкость эквивалентна источнику ЭДС u C (0+) .

Независимые начальные условия характеризуют энергию электрических и магнитных полей, запасённых к моменту коммутации.

Зависимые начальные условия – производные от независимых (значения напряжения и тока на остальных элементах в начальный момент после коммутации).

Источник

Законы коммутации

Название закона Формулировка закона
Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления) Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .
Второй закон коммутации (закон сохранения заряда) Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям(название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Читайте также:  Амперметр это прибор для измерения величины электрического тока

Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при .

Пример.Определить токи и производные и в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.

В соответствии с законами коммутации

На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место

Для известных значений и из уравнения

Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Законы коммутации

Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. Коммутация– это замыкание или размыкание коммутирующих приборов (рис. 4.3). В результате таких внезапных изменений па­раметров в электрической цепи происходит переход из энергети­ческого состояния, соответствующего докоммутационному ре­жиму, к энергетическому состоянию, соответствующему после­коммутационному режиму.

При анализе переходных процессов пользуются двумя законами (правилами) коммутации.

Первый закон коммутации: в любой ветви с катушкой ток и магнит­ный поток в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и дальше начинают изменяться с этих значений.Иначе: ток через катушку не может измениться скачком. Этот за­кон можно записать в виде равенства

Для доказательства закона достаточно рассмотреть уравнение цепи (рис. 4.4), составленное по второму закону Кирхгофа

Если допустить, что ток в цепи изменяется скачком, то напряжение на ка­тушке будет равно бесконечности

Тогда в цепи не соблюдается закон Кирхгофа, что невозможно.

В случае нескольких цепей связанных взаимной индуктивностью, но не имеющих в каждой катушке магнитных потоков рассеяния, в момент

Рис. 4.4 коммутации общий магнитный поток не может измениться скачком, тогда как токи в каждой из этих цепей могут измениться скачком.

Второй закон коммутации: в любой ветви напряжение и за­ряд на конденсаторе сохраняют в момент коммутации те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяются, на­чиная с этих значений.

Иначе: напряжение на конденсаторе не может измениться скачком

Для доказательства закона рассмотрим уравнение цепи (рис. 4.5) по второму закону Кирхгофа

Рис 4.4.

Если допустить, что напряжение на конденсаторе изменяется скачком, то про­изводная а второй закон Кирхгофа нарушается. Однако ток через конденсатор

Читайте также:  Прохождение электрического тока по проводнику таблица

может изменяться скачком, что не противоречит второму закону Кирхгофа.

С энергетической точки зрения невозможность скачка тока через катушку и напряжения на конденсаторе объясняются невозможностью мгновен­ного изменения запасенных в них энергии магнитного поля катушки Li 2 /2 и энер­гии электрического поля конденсатора Cu 2 /2. Для этого потребовалась бы беско­нечно большая мощность источника, что лишено физического смысла.

Дата добавления: 2015-03-19 ; просмотров: 14307 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник



Законы коммутации и начальные условия (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6

1. Законы коммутации и начальные условия.

В общем случае переходный процесс занимает некоторое (теоретически бесконечно большое) время. Например, можно услышать как постепенно снижается до нулевой громкость звука работающего радиоприемника при отключении его от источника электропитания.

Любой установившийся режим характеризуется определенным запасом энергии магнитного и электрического полей в каждый момент времени

, (1.1)

где ik (ul) — мгновенный ток (напряжение) в катушке Lk (на конденсаторе Cl ); k и l — индексы суммирования.

В переходном режиме происходит изменение запасенной в цепи энергии и это изменение не может происходить скачкообразно (мгновенно), так как скачкообразное изменение энергии потребует бесконечно больших мощностей P = dW / dt в цепи, что лишено физического смысла.

На основании этого вывода и соотношения (1.1) могут быть сформулированы два закона коммутации при конечных по величине воздействиях в цепи.

1. Ток в любом индуктивном элементе является непрерывной функцией времени и не может изменяться скачком, в частности для момента коммутации t = 0

iL(0+) = iL(0-) = iL(0) ,(1.2)

где t = 0- — момент времени непосредственно предшествующий моменту коммутации; t = 0+ — момент времени сразу после мгновенной коммутации.

2. Напряжение на любом емкостном элементе является непрерывной фуекцией времени и не может изменяться скачком. В частности для момента коммутации

uC(0+) = uC(0-) = uC(0) ,(1.3)

Таким образом, токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в начальный момент t = 0+ после коммутации имеют те же значения, что и непосредственно перед коммутацией при t = 0- и затем плавно изменяются. Заметим, что токи и напряжения на резисторах, а также токи через емкости и напряжения на индуктивностях могут изменяться скачкообразно, так как с ними непосредственно не связана запасаемая в цепи энергия.

Начальные условия

Значения напряжений на емкостях и токов в индуктивностях цепи в момент коммутации, т. е. в начальный момент, образуют независимые начальные условия задачи. Независимые начальные условия определяют начальный запас энергии в цепи. Различают задачи с нулевыми начальными условиями, когда для всех емкостей uC(0+) = 0 и для всех индуктивностей iL(0+) = 0, и с ненулевыми, когда указанные требования нарушаются хотя бы в одном из реактивных элементов. Независимые начальные условия могут быть заданы или рассчитаны с применением законов коммутации.

Начальные значения токов в ветвях без катушек индуктивности или напряжений на элементах, не являющихся конденсаторами, называются зависимыми начальными условиями. Они определяются по независимым начальным условиям с применением законов Кирхгофа или других методов расчета для момента времени t = 0+.

2.Классический метод анализа переходных процессов

Классический метод анализа переходных процессов основан на составлении системы дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием уравнений для элементов и законов Кирхгофа для мгновенных токов и напряжений в цепи:

Для определения интересующей реакции систему исходных уравнений путем исключения остальных переменных приводят к одному линейному уравнению n-го порядка с постоянными коэффициентами:

Читайте также:  Что делать после удара током первая помощь

,(1.4)

где i(t) — искомая переменная; f(t) — правая часть, обусловленная возмущающими силами, т. е. функциями источников.

Напомним известные из курса математики сведения о решении линейных дифференциальных уравнений. Общее решение линейного дифференциального уравнения (1.4) определяется в виде суммы двух составляющих:

i(t) = iсв(t) + iвын(t

Первая составляющая называется свободной или собственной и определяется как общее решение соответствующего однородного уравнения, которое получается из (1.4) путем приравнивания нулю правой части f(t) = 0:

(1.6)

Для определения общего решения (1.6) составляется характеристическое уравнение, которое получается из (1.6) путем замены k — той производной на pk. При этом сама искомая переменная заменяется на единицу. Характеристическое уравнение

pn + bn-1pn-1 + . +b1p + b0 = 0(1.7)

является алгебраическим уравнением степени n и его корни pk определяют общее решение однородного дифференциального уравнения:

, (1.8)

где Ak — постоянные интегрирования.

Решение (1.8) записано для случая различных корней pk. Входящие в (1.8) n постоянных интегрирования определяются по известным независимым начальным условиям.

Заметим, что в однородном дифференциальном уравнении (1.6) правая часть приравнивается нулю, что означает отсутствие в цепи внешнего воздействия, т. е. источника. Поэтому токи и напряжения в ветвях цепи будут определяться только параметрами и свойствами самой цепи, а также начальным запасом энергии. Физически очевидно, что для реальных цепей собственная составляющая iсв(t) при отсутствии источников должна стремиться со временем к нулю. Эта составляющая существует во время переходного процесса.

Вторая составляющая iвын(t) решения (1.5) называется вынужденной и представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1.4) (с ненулевой правой частью). Из математики известно, что вид частного решения определяется видом правой части уравнения. В частности, если правая часть f(t) — константа, то и частное решение ищется в виде константы. Если правая часть является гармонической функцией с определенными частотой, амплитудой и начальной фазой, то и частное решение будет гармонической функцией той же частоты, для которой нужно определить амплитуду и начальную фазу.

Получить полный текст Подготовиться к ЕГЭ Найти работу Пройти курс Упражнения и тренировки для детей

Таким образом, вынужденная составляющая обусловлена воздействием источников в цепи и при t ®Ґ искомая переменная i(t) ® iвын(t). Поэтому вынужденная составляющая называется установившейся и определяется как установившееся значение (в случае постоянной вынуждающей силы) или как установившаяся функция (в случае гармонической вынуждающей силы) для искомой переменной в цепи после коммутации

iвын(t) = iуст(t) (1.9)

Необходимо отметить, что определение вынужденной составляющей в случае воздействия сигналов более сложной формы, чем упомянутые выше, представляет достаточно сложную задачу.

В заключении приведем рекомендуемый порядок расчета переходных процессов классическим методом.

1. Определить независимые начальные условия iLk(0+) и uCk(0+) с использованием законов коммутации.

2. Для цепи после коммутации составить систему уравнений Кирхгофа с использованием уравнений для элементов.

3. Полученную систему разрешить относительно искомой переменной. При этом получится одно дифференциальное уравнение n-ой степени, где n равно общему числу индуктивностей и емкостей, в которых можно задавать независимые начальные условия.

4. Определить решение полученного дифференциального уравнения

(1.10)

где iвын(t)=iуст(t) — вынужденная (установившаяся) составляющая; pk — корни характеристического уравнения; Ak — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

3. Переходный процесс в r, L – цепи при включении на источник постоянного напряжения

Источник