Меню

Определить значение тока в момент коммутации

Процесс коммутации

Дата публикации: 20 августа 2014 .
Категория: Статьи.

Период коммутации

Период коммутации Tк представляет собой время, в течение которого секция замкнута накоротко щеткой и коммутируется.

В случае простой петлевой обмотки секция, изображенная на рисунке 1, а в виде петли, присоединяется к соседним коллекторным пластинам. При этом значение Tк равно времени перемещения коллектора, вращающегося с окружной скоростью vк, на ширину щетки bщ:

Рисунок 1. Определение периода коммутации

Обозначим: Dк – диаметр коллектора,

– коллекторное деление и

– коэффициент перекрытия (обычно βк = 2,0 – 4,0, а при сложных петлевых обмотках βк достигает 7,0). Тогда

(n – число оборотов якоря; K – число пластин коллектора) и для простой петлевой обмотки, согласно выражению (1),

(5)

При сложной, m-ходовой петлевой обмотке (рисунок 1, б) между началом и концом секции располагается m – 1 коллекторных пластин. При этом секция замкнута накоротко в течение времени перемещения коллектора на длину дуги bщ – (m – 1) × bк, и, следовательно,

Подставив сюда bщ = βк × bк, число ходов обмотки m = a / p (где а – число пар параллельных ветвей обмотки; p – число пар полюсов) и значение vк из формулы (4), получим

(6)

Выражение (6) действительно также для простой петлевой обмотки (a / p = 1) и, кроме того, как можно показать, для простой и сложной волновых обмоток.

Пусть, например, мы имеем машину с простой петлевой обмоткой и n = 1500 об/мин = 25 об/с, K = 100, βк = 2,5. Тогда по формуле (5) или (6)

Таким образом, процесс коммутации протекает быстро и по отношению к внешней цепи машины является периодическим процессом с частотой порядка 1000 – 3000 Гц.

Уравнения коммутации

Исследуем закономерности коммутации секции для простой петлевой обмотки и примем сначала для простоты, что ширина щетки равна коллекторному делению (рисунок 2).

Последовательные моменты коммутации секции

Рисунок 2. Последовательные моменты коммутации секции

Составим второе уравнение Кирхгофа для коммутируемой секции (рисунок 2):

i × rс + i1 × (rп + rщ1) – i2 × (rп + rщ2) = ∑e , (7)

где i – ток в коммутируемой секции, принимаемый положительным для начального момента коммутации (рисунок 2, а); i1, i2 – токи, протекающие через соединительные проводники («петушки») и коллекторные пластины 1 и 2 к щетке; rс – сопротивление секции; rп – сопротивление «петушка»; rщ1, rщ2 – сопротивление щеточного контакта между пластинами 1 и 2 и щеткой; ∑e – сумма электродвижущих сил, индуктируемых в коммутируемой секции в результате процесса самоиндукции в короткозамкнутой секции и других явлений.

Кроме того, для узловых точек а и б на рисунке 2 можно составить два первых уравнения Кирхгофа:

Процесс коммутации определяется изменением во времени токов i, i1, i2. Эти токи могут быть определены из уравнений (7) и (8), если известны все другие величины. Однако в общем случае решение этих уравнений весьма затруднительно. Действительно, iа, rс и rп можно считать постоянными и заданными величинами. Однако rщ1 и rщ2 являются весьма сложными математическими трудно определимыми функциями токов i1, i2 и времени t. То же можно сказать и о сумме электродвижущих сил ∑e. Поэтому ниже, следуя так называемой классической теории коммутации, находим приближенное решение, которое позволяет выявить основные закономерности процесса коммутации и определить способы ее улучшения.

Подставим i1 и i2 из уравнений (8) и (7). Тогда получим

(9)

Первый член этого выражения представляет собой так называемый основной ток коммутации секции, а второй член – добавочный ток коммутации. Очевидно, что знаменатели в выражении (9) определяют сопротивление короткозамкнутого контура коммутируемой секции. Добавочный ток коммутации поэтому можно рассматривать как ток короткого замыкания секции, определяемый электродвижущей силой ∑e.

Коммутация сопротивлением, прямолинейная коммутация

Рассмотрим сначала случай, когда ∑e = 0. При этом в секции существует только основной ток коммутации. Изменение тока секции i определяется только изменением rщ1 и rщ2, вследствие чего этот случай называется коммутацией сопротивлением.

(10)

В классической теории коммутации принимается, что rщ1 и rщ2 обратно пропорциональны контактным площадям S1 и S2 пластин 1 и 2 со щетками (рисунок 2). При этом предполагается также, что токи i1 и i2 распределяются равномерно по этим площадям.

Пусть начало коммутации соответствует времени t = 0 (рисунок 2, а), а конец t = Tк (рисунок 2, в). Тогда при bщ = bк

(11)

где S – полная контактная площадь коллекторной пластины со щеткой в положении, показанном на рисунке 2, а и в.

Пусть, далее, переходное сопротивление между щеткой и пластиной в предельных положениях в соответствии с рисунком 2, а и в равно rщ. Тогда при указанных выше предположениях

(12)

Подставим теперь значения rщ1 и rщ2 из (12) в (10). Тогда найдем, что

(13)

Зависимость i от t, согласно выражению (13), является линейной (рисунок 3, а). Такую коммутацию поэтому называют прямолинейной.

Прямолинейная и криволинейная коммутация сопротивлением

Рисунок 3. Прямолинейная (а) и криволинейная (б) коммутация сопротивлением

Установим распределение плотности тока под щеткой для этого случая коммутации. Плотности тока под сбегающим и набегающим краями щетки соответственно равны:

На рисунке 3, а для некоторого момента времени t в соответствии с уравнениями (8) показаны также значения токов i1 и i2. При этом из рисунка 3, а следует, что

(14)

Очевидно, что при прямолинейной коммутации (рисунок 3, а) α1 = α2 = const. Поэтому в течение всего периода коммутации также jщ1 = jщ2 = const.

Таким образом, при прямолинейной коммутации плотность тока под всей щеткой на протяжении всего времени коммутации неизменна, как если бы щетки находились на сплошном вращающемся контактном кольце, а не на коллекторе. Такой случай коммутации поэтому является теоретически идеальным.

Можно показать, что и при bщ > bк коммутация простой петлевой обмотки является прямолинейной, если только ∑e = 0 и rс = rп = 0.

Если rс ≠ 0 и rп ≠ 0, то по равенствам (9) и (12) можно установить, что при ∑e = 0 ток i изменяется так, как показано на рисунке 3, б. Следовательно, в общем случае коммутация сопротивлением не является прямолинейной. Однако в обычных условиях отклонение кривой на рисунке 3, б от прямой линии мало, и им можно пренебречь.

Замедленная и ускоренная коммутация

В общем случае, при ∑e ≠ 0, на основной ток коммутации накладывается добавочный ток, определяемый последним членом равенства (9):

или в соответствии с равенствами (12)

(16)
Добавочный ток коммутации
Рисунок 4. Добавочный ток коммутации

Зависимость сопротивления короткозамкнутого контура секции rк от времени согласно выражению (16) изображена на рисунке 4. Если предположить, что ∑e по абсолютной величине постоянна, то характер зависимости iк.д от t при ∑e > 0 и ∑e 0 ток iк.д складывается с основным током коммутации, который можно принять линейным. При этом получается случай так называемой замедленной коммутации (рисунок 5, а), когда изменение тока i в начале коммутации происходит медленно и ускоряется к концу.

Значение тока на сбегающем краю щетки i1 в этом случае сохраняется большим вплоть до конца коммутации, вследствие чего и плотность тока jщ1 под этим краем щетки к концу коммутации становится большой. Размыкание контура короткозамкнутой секции сбегающим краем щетки при этом аналогично выключению или разрыву цепи тока с r и L при помощи рубильника.

По изложенным причинам при замедленной коммутации возникают благоприятные условия для искрения под сбегающим краем щетки.

Замедленная и ускоренная коммутация

Рисунок 5. Замедленная (а) и ускоренная (б) коммутация

Этому способствует также то обстоятельство, что контакт на краях щетки менее устойчив (из-за наличия зазора между щеткодержателем и щеткой, последняя качается, и края щетки стираются больше и так далее).

При ∑e div > .uk-panel’>» data-uk-grid-margin>

Источник

Определить значение тока в момент коммутации

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.

При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

  1. Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.
  2. Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.
  3. Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.
  4. Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.
  5. Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).
Читайте также:  Модуль магнитной индукции кругового тока в центре кругового витка с током

Классический метод расчета

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.

Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи

при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током ,

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать

Подставив в (1) значение тока через конденсатор

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); — известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); — к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

где и — соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; — число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); — число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).

Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная — свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, общее решение уравнения (2) имеет вид

Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации

В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации

Название закона

Формулировка закона

Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)

Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)

Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при .

Пример. Определить токи и производные и в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.

В соответствии с законами коммутации

На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место

Для известных значений и из уравнения

Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)

Корни характеристического уравнения. Постоянная времени

Выражение свободной составляющей общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).

Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения

Вид корней характеристического уравнения

Выражение свободной составляющей

Корни вещественные и различные

Корни вещественные и

Пары комплексно-сопряженных корней

Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).

Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением

Читайте также:  Что за процедура когда бьют током

которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения

называемым логарифмическим декрементом колебания, где .

Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t , определяемая для цепей первого порядка, как:

где р – корень характеристического уравнения.

Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Источник

8. Переходные процессы в линейных
электрических цепях

8.1. Общая характеристика переходных процессов

В электрических цепях возможны включения и отключения отдельных ветвей, короткие замыкания участков цепи, различного рода переключения. Любые изменения в электрических цепях можно представить в виде переключений или коммутаций. Характер коммутации указывается в схеме с помощью рубильника со стрелкой. По направлению стрелки можно судить, замыкается или размыкается рубильник.
При коммутации в цепи возникают переходные процессы, т.е. процессы перехода токов и напряжений от одного установившегося значения к другому.
Изменения токов и напряжений вызывают одновременное изменение энергии электрического и магнитного полей, связанных с элементами цепи — емкостями и индуктивностями. Однако энергия электрического поля и энергия магнитного поля могут изменяться только непрерывно, так как скачкообразное изменение потребовало бы от источника бесконечно большой мощности. На этом рассуждении основаны законы коммутации.

Первый закон . В любой ветви с индуктивностью ток не может изменяться скачком и в момент коммутации сохраняет то значение, которое он имел непосредственно перед моментом коммутации

где iL (0+) — ток в ветви с индуктивностью в момент коммутации, сразу после коммутации. Знак «+» в формуле обычно не записывается. Время переходного процесса отсчитывается от момента коммутации;
iL (0) — ток в индуктивности непосредственно перед коммутацией.

Второй закон . Напряжение на емкости сразу после коммутации сохраняет то значение, которое оно имело непосредственно перед моментом коммутации.

где uC (0+) — напряжение на емкости в момент коммутации;
uC (0) — напряжение на емкости непосредственно перед моментом коммутации.

Допущения, применяемые при анализе переходных процессов.

  1. Полагают, что переходный процесс длится бесконечно большое время.
  2. Считают, что замыкание и размыкание рубильника происходит мгновенно, без образования электрической дуги.
  3. Принимают, что к моменту коммутации предыдущие переходные процессы в цепи закончились.

В соответствии с классическим методом расчета, переходный ток в ветви схемы представляют в виде суммы принужденного и свободного токов.

где iпр(t) — принужденный ток, определяется в установившемся режиме после коммутации. Этот ток создается внешним источником питания. Если в цепь включен источник постоянной ЭДС, принужденный ток будет постоянным, если в цепи действует источник синусоидальной ЭДС, принужденный ток изменяется по периодическому, синусоидальному закону;
iсв(t) — свободный ток, определяется в схеме после коммутации, из которой исключен внешний источник питания. Свободный ток создается внутренними источниками питания: ЭДС самоиндукции индуктивности или напряжением заряженной емкости.

Свободный ток определяют по формуле:

Количество слагаемых в формуле равно числу реактивных элементов (индуктивностей и емкостей) в схеме.
P1, P2 — корни характеристического уравнения.
А1, А2 — постоянные интегрирования, определяются с помощью начальных условий.
Начальные условия — это переходные токи и напряжения в момент коммутации, в момент времени t, равный нулю.
Начальные условия могут быть независимыми или зависимыми.
Независимыми называют начальные условия, подчиняющиеся законам коммутации, законам постепенного, непрерывного изменения. Это напряжение на емкости uc(0) и ток в ветви с индуктивностью iL(0) в момент коммутации.
Остальные начальные условия: напряжение и ток в ветви с сопротивлением uR(0) и iR(0), напряжение на индуктивности uL(0) , ток в ветви с емкостью iC(0) — это зависимые начальные условия. Они не подчиняются законам коммутации и могут изменяться скачком.

8.2. Переходные процессы в цепях
с одним реактивным элементом

Короткое замыкание в R-L цепи

На рис. 8.1 изображена электрическая цепь, в которой включен источник постоянной ЭДС. В результате коммутации рубильник замыкается и образуется замкнутый на себя R-L контур.

До коммутации по индуктивности протекал ток

Этот ток создавал постоянное магнитное поле в индуктивной катушке.

Определим закон изменения тока в индуктивности после коммутации.
В соответствии с классическим методом

Принужденный ток после коммутации замыкается через рубильник, имеющий нулевое сопротивление, и через индуктивность не протекает. Индуктивный ток имеет только свободную составляющую

Магнитное поле, исчезая, индуктирует в индуктивной катушке ЭДС самоиндукции. Свободный ток в R-C контуре существует за счет этой электродвижущей силы.
Запишем уравнение для свободного тока в R-L контуре, используя второй закон Кирхгофа.

Ищем решение этого уравнения в виде экспоненты

Подставим значения свободного тока и производной тока в уравнение (8.1)

Уравнение (8.2), полученное из уравнения (8.1), называется характеристическим.

— корень характеристического уравнения.

— постоянная времени переходного процесса, измеряется в секундах.
Постоянная времени τ — это интервал времени, за который переходный ток уменьшается в e раз.

Постоянную интегрирования А определяем с помощью начального условия.

В соответствии с первым законом коммутации,

Напряжение на индуктивности .

На рис. 8.2 изображены кривые переходного тока в ветви с индуктивностью и переходного напряжения на индуктивности. Переходный ток и напряжение по экспоненте стремятся к нулю. В инженерных расчетах полагают, что через интервал времени, равный (4 ÷ 5)τ, переходный процесс заканчивается.

Подключение R-L цепи к источнику постоянной ЭДС

В схеме на рис. 8.3 до коммутации рубильник разомкнут. В результате коммутации рубильник замыкается и подключает R-L цепь к источнику постоянной ЭДС. Определим закон изменения тока i(t).

Принужденный ток в установившемся режиме после коммутации

В свободном режиме из схемы исключен внешний источник питания. Схема на рис. 8.3 без источника ЭДС ничем не отличается от схемы на рис. 8.1.

Свободный ток определяется по формуле
.
Запишем значение переходного тока для момента
коммутации, (t = 0). ,
откуда .

До коммутации рубильник был разомкнут, и ток в схеме отсутствовал.
Сразу после коммутации ток в индуктивности остается равным нулю.

Напряжение на индуктивности

На рис. 8.4 изображены кривые переходного, принужденного, свободного токов и переходного напряжения на индуктивности.

Свободный ток и напряжение на индуктивности плавно уменьшаются до нуля. В момент коммутации свободный и принужденный токи одинаковы по абсолютной величине.
Переходный ток начинается при включении с нуля, затем возрастает, приближаясь к установившемуся постоянному значению.

Короткое замыкание в R-C цепи

В схеме на рис. 8.5 в результате коммутации рубильник замыкается, и образуется замкнутый на себя R-C контур.
До коммутации емкость полностью зарядилась до напряжения, равного ЭДС источника питания, то есть uc(0-) = E. После коммутации емкость полностью разряжается, следовательно, принужденный ток в R-C цепи и принужденное напряжение на конденсаторе равны нулю.

В цепи существует только свободный ток за счет напряжения заряженного конденсатора.
Запишем для R-C контура уравнение по второму закону Кирхгофа
.

Ток через конденсатор .

Получим дифференциальное уравнение

Решение этого уравнения .

Подставим значение свободного напряжения и производной от напряжения

Уравнение называется характеристическим.

— корень характеристического уравнения;

— постоянная времени переходного процесса;

Переходный ток и переходное напряжение на конденсаторе по показательному закону уменьшаются до нуля (рис. 8.6).

Подключение R-C цепи к источнику постоянной ЭДС

Полагаем, что до коммутации конденсатор не заряжен, напряжение на нем uc(0-) = 0.
В результате коммутации рубильник замыкается, и конденсатор полностью заряжается (рис. 8.7).
Принужденное напряжение на емкости равно ЭДС источника питания ucпр= E.

В момент коммутации .

В соответствии со вторым законом коммутации

Кривые напряжений и тока изображены на рис. 8.8.

Источник

Законы коммутации и начальные условия (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6

1. Законы коммутации и начальные условия.

В общем случае переходный процесс занимает некоторое (теоретически бесконечно большое) время. Например, можно услышать как постепенно снижается до нулевой громкость звука работающего радиоприемника при отключении его от источника электропитания.

Читайте также:  Как измерить паразитный ток

Любой установившийся режим характеризуется определенным запасом энергии магнитного и электрического полей в каждый момент времени

, (1.1)

где ik (ul) — мгновенный ток (напряжение) в катушке Lk (на конденсаторе Cl ); k и l — индексы суммирования.

В переходном режиме происходит изменение запасенной в цепи энергии и это изменение не может происходить скачкообразно (мгновенно), так как скачкообразное изменение энергии потребует бесконечно больших мощностей P = dW / dt в цепи, что лишено физического смысла.

На основании этого вывода и соотношения (1.1) могут быть сформулированы два закона коммутации при конечных по величине воздействиях в цепи.

1. Ток в любом индуктивном элементе является непрерывной функцией времени и не может изменяться скачком, в частности для момента коммутации t = 0

iL(0+) = iL(0-) = iL(0) ,(1.2)

где t = 0- — момент времени непосредственно предшествующий моменту коммутации; t = 0+ — момент времени сразу после мгновенной коммутации.

2. Напряжение на любом емкостном элементе является непрерывной фуекцией времени и не может изменяться скачком. В частности для момента коммутации

uC(0+) = uC(0-) = uC(0) ,(1.3)

Таким образом, токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в начальный момент t = 0+ после коммутации имеют те же значения, что и непосредственно перед коммутацией при t = 0- и затем плавно изменяются. Заметим, что токи и напряжения на резисторах, а также токи через емкости и напряжения на индуктивностях могут изменяться скачкообразно, так как с ними непосредственно не связана запасаемая в цепи энергия.

Начальные условия

Значения напряжений на емкостях и токов в индуктивностях цепи в момент коммутации, т. е. в начальный момент, образуют независимые начальные условия задачи. Независимые начальные условия определяют начальный запас энергии в цепи. Различают задачи с нулевыми начальными условиями, когда для всех емкостей uC(0+) = 0 и для всех индуктивностей iL(0+) = 0, и с ненулевыми, когда указанные требования нарушаются хотя бы в одном из реактивных элементов. Независимые начальные условия могут быть заданы или рассчитаны с применением законов коммутации.

Начальные значения токов в ветвях без катушек индуктивности или напряжений на элементах, не являющихся конденсаторами, называются зависимыми начальными условиями. Они определяются по независимым начальным условиям с применением законов Кирхгофа или других методов расчета для момента времени t = 0+.

2.Классический метод анализа переходных процессов

Классический метод анализа переходных процессов основан на составлении системы дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием уравнений для элементов и законов Кирхгофа для мгновенных токов и напряжений в цепи:

Для определения интересующей реакции систему исходных уравнений путем исключения остальных переменных приводят к одному линейному уравнению n-го порядка с постоянными коэффициентами:

,(1.4)

где i(t) — искомая переменная; f(t) — правая часть, обусловленная возмущающими силами, т. е. функциями источников.

Напомним известные из курса математики сведения о решении линейных дифференциальных уравнений. Общее решение линейного дифференциального уравнения (1.4) определяется в виде суммы двух составляющих:

i(t) = iсв(t) + iвын(t

Первая составляющая называется свободной или собственной и определяется как общее решение соответствующего однородного уравнения, которое получается из (1.4) путем приравнивания нулю правой части f(t) = 0:

(1.6)

Для определения общего решения (1.6) составляется характеристическое уравнение, которое получается из (1.6) путем замены k — той производной на pk. При этом сама искомая переменная заменяется на единицу. Характеристическое уравнение

pn + bn-1pn-1 + . +b1p + b0 = 0(1.7)

является алгебраическим уравнением степени n и его корни pk определяют общее решение однородного дифференциального уравнения:

, (1.8)

где Ak — постоянные интегрирования.

Решение (1.8) записано для случая различных корней pk. Входящие в (1.8) n постоянных интегрирования определяются по известным независимым начальным условиям.

Заметим, что в однородном дифференциальном уравнении (1.6) правая часть приравнивается нулю, что означает отсутствие в цепи внешнего воздействия, т. е. источника. Поэтому токи и напряжения в ветвях цепи будут определяться только параметрами и свойствами самой цепи, а также начальным запасом энергии. Физически очевидно, что для реальных цепей собственная составляющая iсв(t) при отсутствии источников должна стремиться со временем к нулю. Эта составляющая существует во время переходного процесса.

Вторая составляющая iвын(t) решения (1.5) называется вынужденной и представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1.4) (с ненулевой правой частью). Из математики известно, что вид частного решения определяется видом правой части уравнения. В частности, если правая часть f(t) — константа, то и частное решение ищется в виде константы. Если правая часть является гармонической функцией с определенными частотой, амплитудой и начальной фазой, то и частное решение будет гармонической функцией той же частоты, для которой нужно определить амплитуду и начальную фазу.

Получить полный текст Подготовиться к ЕГЭ Найти работу Пройти курс Упражнения и тренировки для детей

Таким образом, вынужденная составляющая обусловлена воздействием источников в цепи и при t ®Ґ искомая переменная i(t) ® iвын(t). Поэтому вынужденная составляющая называется установившейся и определяется как установившееся значение (в случае постоянной вынуждающей силы) или как установившаяся функция (в случае гармонической вынуждающей силы) для искомой переменной в цепи после коммутации

iвын(t) = iуст(t) (1.9)

Необходимо отметить, что определение вынужденной составляющей в случае воздействия сигналов более сложной формы, чем упомянутые выше, представляет достаточно сложную задачу.

В заключении приведем рекомендуемый порядок расчета переходных процессов классическим методом.

1. Определить независимые начальные условия iLk(0+) и uCk(0+) с использованием законов коммутации.

2. Для цепи после коммутации составить систему уравнений Кирхгофа с использованием уравнений для элементов.

3. Полученную систему разрешить относительно искомой переменной. При этом получится одно дифференциальное уравнение n-ой степени, где n равно общему числу индуктивностей и емкостей, в которых можно задавать независимые начальные условия.

4. Определить решение полученного дифференциального уравнения

(1.10)

где iвын(t)=iуст(t) — вынужденная (установившаяся) составляющая; pk — корни характеристического уравнения; Ak — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

3. Переходный процесс в r, L – цепи при включении на источник постоянного напряжения

Источник



Портал ТОЭ

6.1 Законы коммутации

Переходным называется процесс , возникающий в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. Особенность его заключается в непериодических изменениях напряжения и тока во времени.

Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи, под которой условно понимается процесс замыкания или размыкания рубильника (рис. 6.1 ).

Процесс перехода от исходного установившегося режима к последующему происходит не мгновенно, т.к. каждому состоянию электрической цепи соответствует определённый запас энергии электрических и магнитных полей в L , C элементах: энергия магнитного поля катушки W L = Li 2 ∕ 2 , энергия электрического поля конденсатора W C = Cu 2 ∕ 2 .

Для мгновенного или скачкообразного изменения энергии полей необходима бесконечно большая мощность источников энергии, т.к. мощность

Реальные же источники обладают конечной мощностью, поэтому энергия меняется непрерывно, в связи с этим, например, при размыкании цепи катушки возникает электрическая искра. Если в цепи нет накопителей энергии, переходный процесс совершается мгновенно.

Из положения о невозможности скачкообразного изменения энергии следуют законы коммутации.

1-ый закон коммутации. В любой ветви с индуктивностью ток и магнитный поток в момент коммутации сохраняют те же значения, которые они имели до коммутации.

где t = 0 − – первый момент до коммутации;
t = 0+ – первый момент после коммутации.

Если допустить обратное, то u L = L ≈ L = L = ∞ , то есть не выполняется 2-ой закон Кирхгофа.

2-ой закон коммутации. В любой ветви напряжение и заряд на ёмкости сохраняют в момент коммутации те же значения, которые они имели до коммутации.

Доказательство: i C = C ≈ C = C = ∞ , т.е. не выполняется 1-ый закон Кирхгофа.

При этом могут изменяться скачком токи в R , C элементах и напряжения в R , L элементах.

Значение тока в индуктивности и напряжения на ёмкости в момент коммутации называются независимыми начальными условиями .

При нулевых начальных условиях индуктивность в начальный момент после коммутации равносильна разрыву цепи, а ёмкость – короткому замыканию. При i L (0 − ) ≠ 0 индуктивность в первый момент после коммутации эквивалентна источнику тока i L (0+) , а при u C (0 − ) ≠ 0 ёмкость эквивалентна источнику ЭДС u C (0+) .

Независимые начальные условия характеризуют энергию электрических и магнитных полей, запасённых к моменту коммутации.

Зависимые начальные условия – производные от независимых (значения напряжения и тока на остальных элементах в начальный момент после коммутации).

Источник