Меню

Переходные процессы в цепях квазистационарного тока

Переходные процессы в электрических цепях

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Цель работы: Исследование процессов, происходящих в электрических цепях, содержащих R, L, C — элементы при условии квазистационарности токов.

Сведения из теории

Квазистационарными называются переменные токи, мгновенные значения которых во всех сечениях цепи практически одинаковы, а распространяемые в цепи электромагнитные возмущения имеют скорость, равную скорости света. К мгновенным значениям таких токов применяют закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа.

Достаточным условием квазистационарности является:

>t. Процессы, происходящие в такой электрической цепи (рис.13 а, б) при подаче на вход ее в момент t = 0 идеального прямоугольного импульса напряжения с амплитудой U от генератора с внутренним сопротивлением R2 = 0, иллюстрируется временными диаграммами на рис.14.

а б

Р и с. 13

С момента t = t1 (положим t1 = 0), начинается процесс заряда конденсатора, описываемый уравнениями рис.14 а, 14 б).

При t = t2 = tu напряжения на конденсаторе и резисторе описываются уравнениями (12), (14) и начинается разряд конденсаторов на сопротивление R (рис.14 а, 14 б). При этом полярность напряжения на резисторе меняется на противоположную в соответствии с направлением тока разряда конденсатора (ф-ла 13). Следует заметить, что форма напряжения Uc, UR существенно зависит от соотношения между постоянной времени цепи tс и длительностью импульса tu = t2 t1. На рис. 14 представлены следующие соотношения между tс и tu:

tс / tu = 1 ; tс / tu >> 1; tс / tu > 1 конденсатор за время действия импульса почти не заряжается и напряжение на резисторе R практически повторяет по форме и амплитуде импульс на входе. В течение действия импульса в электрическом поле конденсатора накапливается незначительное количество энергии и поэтому после окончания действия импульса (t = t2) в цепи практически не возникает переходный процесс. Такая RC — цепь называется переходной (разделительной).

При t = tu конденсатор успевает зарядиться до Uc(tс / tu) = 0,63U ,

UR(t) = UR(tс) = 0,37U0. После окончания действия импульса в цепи возникает переходный процесс, обусловленный рассеянием энергии, запасенной в конденсаторе. В цепи появляется разрядный ток, направление которого противоположно направлению зарядного тока. При

tс / tu > 1) называется интегрирующей.

Рассмотрим RC цепь, изображенную на рис. 16, т. е. с резистивным выходом:

I(t) = dq(t) / dt = C dUc(t) / dt

Получить полный текст Подготовиться к ЕГЭ Найти работу Пройти курс Упражнения и тренировки для детей

где q(t) — заряд на конденсаторе.

Напряжение на резисторе

UR(t) = I(t)R = RC × dUc / dt = RC d/dt × [Uвх(t) — UR(t)] ,

так как Uc(t) — UR(t) = Uвх(t).

Если UR(t) > RC = tс, где tф фрект импульса.

Обычно ограничиваются условием tс = RC = (0,01 ¸ 0,02) T.

Собрать схему по рис. 21 с конденсатором С = 0,01 мкФ, подобрать сопротивление R, получить на экране осциллографа картину и зарисовать ее.

Внести сопротивление R1 (увеличивая его) и зарисовать графики Uвх(t) и dUвх(t) / dt .

ПРИМЕР РАБОТЫ ПРОГРАММЫ

Период сигнала Т, с

Длительность импульса tи, с

Значение индуктивности L, Гн

Значение сопротивления R, Ом

Расчитанное значение постоянной времени TL, с

Экспериментальное значение постоянной времени TL, с

Источник

§ 33. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ

На практике токи чаще бывают нестационарными (переменными), чем постоянными. Можно ли для нестационарных токов применять законы постоянного тока?

Да, для расчета некоторых параметров непостоянного тока применяются эти законы, если ток – квазистационарный (как бы стационарный).

Квазистационарным называется такой нестационарный ток, мгновенные значения которого практически одинаковы на всех участках цепи.

При каких условиях непостоянный ток можно считать квазистационарным?

Это возможно, если время изменения его характеристик значительно больше, чем время установления электрического равновесия в цепи.

Движение зарядов на всех участках цепи происходит под действием электрического поля, которое распространяется, практически, со скоростью света с»3*108 м/с.

Следовательно, на участке цепи длиной l электромагнитное возмущение распространяется за время . Примем длину электрической цепи в лаборатории равной 3 м. Тогда время распространения поля в такой цепи t=10-8 с.

Если время изменения мгновенных значений тока будет значительно больше этой величины, то ток можно считать квазистацинарным. Рассмотрим примеры.

1.В качестве первого примера рассмотрим используемый на практике переменный ток с частотой 50 Гц. Период изменения его мгновенных значений Т=0,02с, что значительно больше времени установления этих значений в цепи длиной 3м.

Поэтому для расчетов некоторых величин в такой цепи можно использовать законы стационарного тока.

В лабораторных цепях такой длины токи частотой даже до 1000кГц можно считать квазистационарными.

При увеличении длины цепи переменного тока с частотой 50 Гц (при передаче электроэнергии на расстояние) время распространения поля возрастает и, при длине цепи больше 100 км, ток нельзя считать квазистационарным.

2. В качестве второго примера рассмотрим один из переходных процессов в лабораторной цепи, т. е. переход от одного установившегося в цепи режима к другому.

Замкнем конденсатор имеющий заряд q0 и емкость С на сопротивление R (рис.64).

Конденсатор начнет разряжаться и в цепи потечет убывающий по величине ток.

Рассмотрим такой малый промежуток времени dt, в течение которого в цепи прошел малый заряд dq, а напряжение на конденсаторе практически не изменилось.

Читайте также:  Расчет тока протекающего через резистор

Считая, что энергия электрического поля переходит только в тепловую энергию, можно записать: , . Учтем, что и .

Произведя преобразования и разделив переменные, получим: .

После интегрирования получим: (рис.65), где — время релаксации.

Как видно из формулы время релаксации – это время, за которое заряд конденсатора уменьшается в е раз.

Продифференцировав закон убывания заряда по времени, получим выражение для зависимости от времени силы тока в цепи: , где — сила тока в начальный момент времени.

Оценим время релаксации, например, для цепи с R=1 Ом и C=1мкФ. =10-6с>>10-8с- времени распространения поля в такой цепи. Следовательно, в такой цепи ток можно считать квазистационарным.

Источник

Квазистационарные процессы. RC- и RL-цепи

Колебательные и волновые процессы, которые изучаются в разных разделах физики, имеют много общих закономерностей. Движения груза на пружине, процессы в электрическом колебательном контуре, распространение света – все эти явления протекают аналогичным образом. Есть смысл говорить об их различной физической природе.

Для решения задачи о колебательных движениях груза на пружине необходимо знать и разбираться в законах Ньютона. Глубокие знания в электродинамике не требуются. Но математические уравнения, которые описывают эти состояния, одинаковые. Также обстоят дела и с волновыми процессами.

Квазистационарные процессы. Заряд и разряд конденсатора

Общность колебательных процессов и волновых закономерностей проявляется в общности математических уравнений, описывающих процессы различной физической природы.

Цепи постоянного тока распределяют электрический заряд на проводниках и токи на участках цепи стационарно, то есть независимо от времени. Электромагнитное поле таких цепей состоит из электростатического поля неподвижных зарядов и магнитного поля постоянных токов. Существование этих полей производится независимо друг от друга.

Если происходят изменения силы тока или напряжения на определенном участке цепи, то другие могут ощутить их на себе не сразу. Необходимо количество времени, равное времени τ распространения магнитного возмущения от одной точки к другой. Все электромагнитные возмущения обладают конечной скоростью, с которой и происходит их распространение. Она приравнивается к значению скорости света с , тогда τ ≈ l c , где l является расстоянием между наиболее удаленными точками цепи.

При наличии меньшего значения времени τ длительности процессов, происходящих в цепи, считается, что сила тока неизменна в любой момент времени на всех последовательно соединенных участках цепи. Такие процессы получили название квазистационарных.

Их исследуют при помощи законов постоянного тока, применяя к мгновенным значениям сил токов и напряжений на участках цепи.

Так как скорость света имеет достаточно большое значение, то установление электрического равновесия цепи достаточно мало. Отсюда следует, что квазистационарными считаются большинство процессов, протекающих очень быстро. Это сравнимо с колебаниями в радиотехнических цепях с многомиллионными частотами в секунду.

Простейшими примерами квазистационарных процессов являются процессы, проходящие в R C — и R L — цепях при подключении и отключении постоянного тока. Рисунок 2 . 1 . 1 показывает электрическую цепь, которая состоит из конденсатора с емкостью С , резистора с сопротивлением R , источником тока с ЭДС, равняющейся δ .

Рисунок 2 . 1 . 1 . Цепи зарядки и разрядки конденсатора через резистор.

Зарядка конденсатора через резистор

При замыкании ключа К в положение 1 конденсатор начнет заряжаться через резистор.

Квазистционарная цепь по закону Ома запишется как R J + U = δ , J – это мгновенное значение силы тока в цепи, U – мгновенное значение напряжения на конденсаторе. J равняется изменению заряда q конденсатора за единицу времени, то есть J = d q d t . В любой момент времени напряжение U будет q C . Отсюда получаем, что: C R d U d t + U = δ .

Это уравнение называется дифференциальным и описывает процесс заряжения конденсатора. При отсутствии первоначальной его зарядки, уравнение принимает вид:

U ( t ) = δ 1 — e x p — t τ , где выражение τ = R C – постоянная времени цепи, которая состоит из резистора и конденсатора. Скорость процесса характеризуется величиной τ . При t → ∞ , U ( t ) → δ . На рисунке 2 . 1 . 2 ( I ) показан процесс зарядки конденсатора через резистор.

Рисунок 2 . 1 . 2 . Зарядка ( I ) и разрядка ( I I ) конденсатора через резистор.

После полной зарядки конденсатора к напряжению δ необходимо переключить ключ К в положение 2 . Тогда пойдет процесс разряжения. Так как внешний источник цепи отсутствует, то δ = 0 . Разрядка описывается с помощью формулы

U ( t ) = δ e x p — t τ .

При разрежении, изображенном на рисунке 2 . 1 . 2 ( I I ) , необходимо обратить внимание на зависимость U ( t ) . Если t = τ , тогда происходит уменьшение напряжения в конденсаторе в e ≈ 2 , 7 раз.

Также проходят процессы в цепи, если имеется индуктивность L с резистором, имеющим сопротивление R , как показано на рисунке 2 . 1 . 3 .

Рисунок 2 . 1 . 3 . Цепь, содержащая катушку с индуктивностью L , резистор с сопротивлением R и источник тока с ЭДС, равной δ .

Если цепь из рисунка 2 . 1 . 3 замыкается ключом и внезапно размыкается, тогда можно говорить о процессе установления тока. Данная последовательная схема включает в себя источник тока и резистор r с малым сопротивлением для того, чтобы с замкнутым ключом К батарея не закоротила. Так как r ≪ R , для записи уравнения процесса установления тока с таким r разрешено им пренебречь. Тогда R J = δ — L d J d t .

Уравнение оказывается аналогичным уравнению, описывающему заряд конденсатора с переменной силой тока J . Получаем:

Читайте также:  Нормальный ток зарядки аккумулятора от генератора

J ( t ) = δ R 1 — e x p — t τ , выражение τ = L R – постоянная времени . Таким же образом получают закон убывания тока R L -цепей при замыкании ключа К .

J ( t ) = δ R e x p — t τ .

Видно, что процессы, происходящие в R C — и R L — цепях аналогичны механическим процессам во время движения в вязкой жидкости.

Зарядка конденсатора через резистор

Рисунок 2 . 1 . 4 . Модель R C — контура.

Зарядка конденсатора через резистор

Рисунок 2 . 1 . 5 . Модель R L — контура.

Источник

Переходные процессы в электрических цепях. Переходный процесс в электрической цепи – это квазистационарный процесс установления нового режима в электрической цепи

Переходный процесс в электрической цепи – это квазистационарный процесс установления нового режима в электрической цепи, возникающий в момент ее коммутации. Коммутацией называют любые скачкообразные переключения пассивных элементов цепи или источников энергии. Переходный процесс является промежуточным между прежним, установившимся процессом, существовавшим до коммутации, и новым, устанавливающимся в цепи. Значения токов и напряжений становятся близкими к установившимся практически через конечные промежутки времени. Физическая причина переходных процессов – перераспределение энергии в реактивных элементах цепи (катушках индуктивности и конденсаторах), происходящее вследствие коммутации.

Время, после которого можно считать переходные процессы оконченными, зависит от параметров L, C, R и от требований к точности рассмотрения процессов. В электрических цепях длительность переходных процессов составляет малые доли секунды. Поэтому наличием переходных процессов во многих случаях можно пренебречь.

Переходные процессы, происходящие в цепях под воздействием импульсных напряжений и токов, имеют очень большое значение. Импульсы, используемые в радиолокации, обладают длительностью от нескольких сотен до десятых долей микросекунды, поэтому длительность переходных процессов становится соизмеримой с длительностью самих импульсов.

Рассмотрим переходные процессы в цепях с индуктивностью и емкостью.

Существует несколько методов анализа линейных цепей. Мы воспользуемся классическим методом, который основан на решении системы интегродифференциальных уравнений для исследуемой цепи; полученную систему уравнений сводят в общем случае к линейному неоднородному уравнению n-го порядка, где n определяется числом реактивных элементов цепи.

1. Переходные процессы в цепях с индуктивностью

В цепях с большой индуктивностью при резком изменении тока в результате размыкания или замыкания цепи ярко выражено явление самоиндукции. По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие в проводниках вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменению тока, текущего в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при ее размыкании происходит не мгновенно, а постепенно.

Найдем характер изменения тока при размыкании цепи. Перед отключением источника тока (при ) в катушке течет ток . При размыкании ключа К в цепи, состоящей из катушки и лампочки (рис. 106.1), начинает действовать . Так как ток за малое время уменьшается на значительную величину, то – велико и тогда может оказаться, что . Поэтому лампочка, перед тем как погаснуть, ярко вспыхивает. создает в цепи ток того же направления, что и ток, созданный источником. Поэтому уменьшение тока при размыкании происходит постепенно.

Установим закон убывания тока с течением времени после отключения источника тока. По закону Ома, мгновенное значение силы тока , где R – сопротивление катушки и лампочки. С учетом формулы (88.3) получаем:

Учитывая, что при , из выражения (106.1) имеем

Источник



Квазистационарные цепи переменного тока

Переменным током называют электрический ток, изменяющийся со временем. К переменному току относят различные виды импульсных, периодических и квазипериодических токов. Наиболее употребителен переменный ток, сила которого I меняется во времени по гармоническому закону. В электротехнике и довольно часто в радиотехнике реализуются квазистационарные цепи переменного тока, для которых мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи одинаковы ввиду медленного их изменения, в то время как электромагнитные возмущения по цепи распространяются со скоростью света. Для мгновенных значений силы и напряжения квазистационарных токов справедливы законы постоянного тока: закон Ома и закон Джоуля–Ленца. Ранее, рассматривая цепь постоянного тока мы получили закон Ома для неоднородного участка цепи (см. форму- лу (56.5)). В случае квазистационарных токов необходимо учитывать наличие явления электромагнитной индукции, которое вызывает появление добавочной ЭДС вследствие неравной нулю правой части второго уравнения Максвелла: . Этой добавочной электродвижущей силой в данном случае будет ЭДС самоиндукции . Поэтому закон Ома для квазистационарных процессов запишется в виде

Квазистационарные токи и поля существуют по двум причинам. Во-первых, среди нестационарных токов есть такие, которые подобно стационарным протекают в замкнутых цепях и в каждом сечении любого неразветвленного участка цепи имеют одну и ту же силу тока. Во-вторых, область, в которой исследуется влияние полей, оказывается настолько ограниченной по размерам, что электромагнитные возмущения (волны) преодолевают ее практически мгновенно. Строго говоря, в любой точке пространства и в каждый момент времени переменное поле соответствует не тому распределению зарядов, которое имеет место в данный момент времени, а тому, которое было несколько раньше. Это запаздывающее согласование обусловлено фундаментальным свойством природы – ограниченностью скорости передачи любых материальных воздействий. В пустом пространстве электромагнитные возмущения (волны) распространяются со скоростью света. По этой причине полю, возникшему около зарядов, нужно некоторое время, чтобы достичь выбранной точки. С этим однако можно не считаться, если за время распространения поля распределение зарядов изменяется пренебрежимо мало. Тогда и будет выполняться условие квазистационарности тока. При этом существенно то, что квазистационарным поле может быть лишь в ограниченной области; на достаточно больших расстояниях необходимо учитывать запаздывание.

Читайте также:  2h2o электрический ток 2h2 o2

Большинство пассивных электрических цепей работает в линейном режиме, когда справедлив принцип суперпозиции. Форма гармонической переменной тока в такой цепи не искажается, в то время как наличие нелинейных элементов (трансформаторов, нелинейных преобразователей, диодов и т. п.) вызывает искажение гармонических сигналов, у них появляются высокочастотные составляющие. Квазистационарные цепи с сосредоточенными параметрами могут быть составлены как комбинации элементов: катушек индуктивности L, конденсаторов С и резисторов R. В линейных режимах величины L, C, R либо постоянны, либо зависят от времени; в нелинейных режимах они являются функциями силы тока.

С ростом частоты квазистационарное приближение перестает быть справедливым и для расчета цепей переменного тока необходимо обращаться непосредственно к уравнениям Максвелла.

1. Цепь, содержащая активное сопротивление (рис. 108.1, а)

Активным называют сопротивление, потребляющее энергию электрического тока, которая в соответствии с законом Джоуля–Ленца превращается в тепловую энергию. Активным является сопротивление резисторов. Пусть на резистор подано переменное напряжение, мгновенное значение которого определяется формулой

где – амплитуда напряжения. По закону Ома,

где – амплитуда силы тока в цепи резистора. Тогда формулу (108.3) можно записать в виде

Сопоставляя выражения (108.2) и (108.4), можно сделать вывод, что в цепи, содержащей активное сопротивление, ток и напряжение изменяются в одинаковых фазах. Векторная диаграмма амплитудных значений тока и напряжения представлена на рисунке 108.1, б.

2. Цепь, содержащая конденсатор (рис. 108.2, а)

При включении конденсатора в цепь переменного тока происходит его периодическая перезарядка с частотой . По цепи при этом протекает электрический ток.

Для зарядки и разрядки конденсатора требуется время, поэтому конденсатор в цепи переменного тока обладает некоторым сопротивлением . Это сопротивление является реактивным, не потребляющим энергию электрического тока. В первую четверть периода конденсатор заряжается и запасает энергию, во вторую четверть разряжается и возвращает энергию в электрическую цепь. Далее все повторяется. Следовательно, в конденсаторе не происходит рассеивания энергии электрического тока.

В любой момент времени заряд на обкладках конденсатора

Так как , то на основании формулы (108.5) получаем:

Амплитуда силы тока в цепи контура равна

Объединяя формулы (108.6) и (108.7), имеем

Падение напряжения на конденсаторе равно

Сравнивая выражения (108.8) и (108.9), заключаем, что напряжение в цепи, содержащей конденсатор, отстает по фазе от тока на . Векторная диаграмма для этого случая представлена на рисунке 108.2, б.

Из формулы (108.7) видно, что . На основании закона Ома делаем вывод, что это выражение определяет сопротивление конденсатора в цепи переменного тока, т. е.

Для постоянного тока , поэтому , а это означает, что постоянный ток не может течь через конденсатор.

3. Цепь, содержащая катушку индуктивности (рис. 108.3, а)

При протекании переменного тока через катушку индуктивности в ней возникает ЭДС самоиндукции , которая создает индукционный ток, препятствующий изменению основного тока в цепи. Поэтому катушка индуктивности обладает сопротивлением переменному току.

В любой момент времени

Из формул (108.2) и (108.11) имеем

Интегрируя это выражение, находим:

где амплитуда силы тока

Объединяя выражения (108.12) и (108.13), получаем:

Падение напряжения на катушке индуктивности равно

Сравнивая выражения (108.2) и (108.14), заключаем, что напряжение в цепи, содержащей катушку индуктивности, опережает по фазе ток на . Векторная диаграмма показана на рисунке 108.3, б.

Из формулы (108.13) видно, что . На основании закона Ома делаем вывод, что это выражение определяет сопротивление катушки индуктивности в цепи переменного тока, т. е.

Индуктивное сопротивление не потребляет энергии электрического тока, т. е. является реактивным. В первую четверть периода при возрастании тока в магнитном поле катушки запасается энергия. В следующую четверть периода при убывании тока энергия магнитного поля возвращается в электрическую цепь. Далее все повторяется. Следовательно, в катушке индуктивности не происходит рассеивания энергии электрического тока. Говорят, что индуктивность – недиссипативный элемент, в ней не растрачивается (не «диссипирует») электрическая энергия. То же самое относится и к конденсатору. Однако не следует забывать, что катушки изготавливаются из провода, обладающего некоторым активным сопротивлением, в котором происходит выделение джоулева тепла.

Таким образом, в цепи переменного тока резисторы обладают активным сопротивлением, конденсаторы и катушки индуктивности – реактивным.

4. Цепь, содержащая последовательно соединенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор (рис. 108.4, а)

В этом случае полное сопротивление цепи переменному току (импеданс цепи) Z определяется выражением

а сила тока в цепи

Формулу (108.18) называют законом Ома для переменного тока.

При пропускании переменного тока по такой цепи на ее элементах возникают падения напряжения: , и . Векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе ( ), катушке индуктивности ( ) и конденсаторе ( ) представлена на рисунке 108.4, б. Разность фаз между током и напряжением определяется отношением реактивного сопротивления к активному:

Источник