Меню

Первые главные напряжения формула

Главные напряжения и главные площадки

Главные площадки – это площадки, проходящие через исследуемую точку, на которых Касательные напряжения отсутствуют.

Главные напряжения – это возникающие на главных площадках нормальные напряжения

В общем случае нагружения (при объемном напряженном состоянии) среди множества площадок, проходящих через некоторую точку тела, всегда можно найти три взаимно перпендикулярные главные площадки . В окрестности любой точки деформированного твердого тела всегда можно выделить элементарный параллелепипед, ориентированный в пространстве таким образом, что по его граням будут возникать только нормальные (главные) напряжения (см. рис. 6.2).

изображение Главные площадки напряжения сопромат

Главные напряжения обозначаются изображение Главные площадки напряжения сопромат. Индексы расставляются после вычисления главных напряжений. Должно выполняться неравенство:

изображение Главные площадки напряжения сопромат

изображение Главные площадки напряжения сопромат– наибольшее, а изображение Главные площадки напряжения сопромат– наименьшее нормальное напряжение в исследуемой точке тела.

В частном случае нагружения может получиться так, что все три главных напряжения в исследуемой точке тела равны между собой. Тогда любая площадка, проведенная через эту точку, является главной площадкой .

По значениям главных напряжений дается оценка прочности материала в исследуемой точке деформированного твердого тела.

При плоском напряженном состоянии на грани элементарного параллелепипеда с нормалью х полностью отсутствует не только касательное, но и нормальное напряжение. Площадка тоже является главной площадкой , главное напряжение на которой равно нулю.

Пусть мы нашли для случая плоского напряженного состояния, что экстремальные напряжения в исследуемой точке тела равны изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа, а изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа. Индексы главных напряжений : изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа , изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа, изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа.

Если получилось изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа, а изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа, то тогда изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа , изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа , изображение Главные площадки напряжения сопроматМПа .

Источник



Тензор напряжений.
Главные площадки и главное напряжение.
Виды напряжённого состояния.

Известно, что напряжения на площадке, проходящей через заданную точку нагруженного тела, зависят от ее ориентации. Совокупность напряжений на множестве площадок, которые можно провести через какую-либо точку тела, называется напряженным состоянием в данной точке .

Читайте также:  Нормальное касательное напряжение 2 теория прочности

Введем в произвольной точке тела декартову прямоугольную систему координат Oxyz. Рассмотрим в точке O элементарный (бесконечно малый) куб, ребра которого параллельны осям системы координат. Пусть длины ребер куба равны da. Нарисуем на гранях куба нормальные <σx, σy, σz> и касательные xy, txz, tyx, tyz, tzx, tzy> напряжения, параллельные одной из осей координат (рис. 1).

разложение тензора напряжений

Нормальные напряжения направлены наружу куба и перпендикулярны его граням, а касательные напряжения лежат в плоскостях граней куба. Индекс нормальных напряжений соответствует оси, которой они параллельны. Первая буква двойного индекса касательных напряжений совпадает с индексом нормального напряжения на той же грани. В силу третьего закона Ньютона напряжения на противоположных гранях элементарного куба равны по модулю и противоположны по направлению.

Закон парности касательных напряжений : на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны по модулю и направлены обе либо к ребру, либо от ребра:

закон парности касательных напряжений

В курсе «Сопротивление материалов» тензором напряжений называется матрица:

тензор напряжений

Главные площадки и главные напряжения.

Главными площадками напряжений называются площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения.

Направления нормалей к ним называются главными осями напряжений , а нормальные напряжения на них – главными напряжениями .

главные напряжения

Виды напряженного состояния.

Виды напряженного состояния: линейное напряженное состояние (два главных напряжения равны нулю), плоское напряженное состояние (одно из главных напряжений равно нулю) и объемное напряженное состояние (все главные напряжения не равны нулю).

Источник

Определение главных напряжений

date image2015-06-26
views image2201

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Главными напряжениями называются нормальные напряжения, действующие по площадкам, где отсутствуют касательные напряжения. Координатные оси, являющиеся нормалями к таким площадкам, называются главными осями тензора напряжений, а сами площадки – главными площадками.

Главные напряжения определяются из кубичного уравнения:

Читайте также:  Как измерить напряжение переменного тока вольтметром постоянного тока

Подставляя численные значения инвариантов тензора напряжений из (2.1), получаем:

Кубичное уравнение всегда имеет три корня. При этом встретиться два случая:

1) уравнение имеет один действительный корень и два комплексно сопряженных;

2) уравнение имеет три действительных корня.

Уравнения для определения главных напряжений и главных деформаций всегда имеют три действительных корня. Решать их можно по-разному.

1. Можно сначала определить подбором один из корней уравнения, а затем разложить левую часть уравнения (2.2) на два сомножителя: линейный двучлен и квадратный трехчлен. После этого из решения квадратного уравнения определяются два оставшиеся корня.

2. Существует и аналитический способ решения, для этого используются формулы Кардано.

Воспользуемся вторым способом.

à Решение кубичного уравнения по формулам Кардано

Пусть задано кубическое уравнения:

получают приведенное кубичное уравнение:

Здесь и вычисляются по формулам:

Формулы Кардано для случая уравнения с тремя действительными корнями имеют вид:

Далее с помощью подстановки (2.4) в (2.3) находят корни исходного уравнения.

à Решение уравнения (2.2):

Подстановка (2.4) с новыми обозначениями получает вид:

Здесь изменен знак второго слагаемого подстановки потому, что .

Подставляя (2.10) в (2.9) получим уравнение аналогичное (2.5):

Здесь коэффициенты и вычисляются по формулам (2.6):

Далее по формулам (2.7) находим:

По формулам (2.8) находим корни уравнения (2.11):

Учитывая (2.10), находим корни исходного уравнения (2.9), являющимися главными напряжениями:

В соответствии с правилом индексации главных напряжений введены обозначения: — алгебраически максимальное напряжение; — алгебраически среднее (минимаксное) напряжение; — алгебраически минимальное напряжение.

Величины и вычислялись с точностью до третьего знака после запятой для того, чтобы в дальнейшем при решении систем уравнений, в которых от зависят величины коэффициентов, избежать возможных больших погрешностей, если встретятся малые разности больших величин.

Читайте также:  Каким соотношением связаны между собой величины напряжение разность потенциалов электродвижущая сила

Тензор напряжений в главных осях имеет вид:

Источник