Меню

По векторной диаграмме записать аналитические выражения для напряжений

3.1 Расчет цепей синусоидального тока методом векторных диаграмм

3.1 Расчет цепей синусоидального тока методом векторных диаграмм

Полезной иллюстрацией расчета любой электрической цепи является ее топографическая диаграмма напряжений и векторная лучевая диаграмма токов или векторная диаграмма токов и векторная диаграмма напряжений на комплексной плоскости, которая позволяет находить графическим путем напряжения между любыми точками электрической цепи без дополнительных вычислений Примеры решения типовых задач методом векторных диаграмм

Задача 3.1.1 Для схемы рис. 3.1.1 определить токи во всех ветвях и напряжения на всех участках, составить баланс активных и реактивных мощностей, построить полную векторную диаграмму цепи, записать мгновенные значения токов, если U = Umsin(ωt + ψU), Um =600 В, ψU = –90°, R1 = 10 Ом, Х2 = R3 = Х3 = 20 Ом, Х4 = 50 Ом.

1. Заменим разветвленный участок эквивалентной ветвью с параметрами R23 и X23, для чего рассчитаем активные и реактивные проводимости параллельных ветвей

g 2 = R 2 Z 2 2 = R 2 R 2 2 + X 2 2 = 0 ; b 2 = X 2 Z 2 2 = X 2 R 2 2 + X 2 2 = 20 0 + 20 2 = 0,05 С м ; g 3 = R 3 Z 3 2 = R 3 R 3 2 + X 3 2 = 20 20 2 + 20 2 = 0,025 С м ; b 3 = − X 3 Z 3 2 = − X 3 R 3 2 + X 3 2 = − 20 20 2 + 20 2 = − 0,025 С м ; g 23 = g 2 + g 3 = 0 + 0,025 С м ; b 23 = b 2 + b 3 = 0,05 + ( − 0,025 ) = 0,025 С м ; R 23 = g 23 y 23 2 = g 23 g 23 2 + b 23 2 = 0,025 0,025 2 + 0,025 2 = 20 О м ; X 23 = b 23 y 23 2 = b 23 g 23 2 + b 23 2 = 0,025 0,025 2 + 0,025 2 = 20 О м .

2. Эквивалентная схема приведена на рис. 3.1.2, по которой рассчитаем ток неразветвленной части исходной схемы

i 1 = I 1 m sin ( ω t + ψ U − φ в х ) ,

I 1 m = U m ( R 1 + R 23 ) 2 + ( X 23 − X 4 ) 2 = 600 ( 10 + 20 ) 2 + ( 20 − 50 ) 2 = − 10 2 А ; φ в х = a r c t g X 23 − X 4 R 1 + R 23 = a r c t g 20 − 50 10 + 20 = − 45 ° .

Таким образом, мгновенное значение тока

i 1 = I 1 m sin ( ω t + ψ U − φ в х ) = 10 2 sin [ ω t + ( − 90 ° ) − ( − 45 ° ) ] = 10 2 sin ( ω t − 45 ° ) А .

Действующее значение тока

I 1 = I 1 m 2 = 10 2 2 = 10 А .

3. Напряжение на эквивалентном участке

U b d = U b d m sin ( ω t + ψ U − φ в х + φ 23 ) ,

U b d m = I 1 m Z 23 = I 1 m R 23 2 + X 23 2 = 10 2 ⋅ 20 2 + 20 2 = 400 В ; φ 23 = a r c t g X 23 R 23 = a r c t g 20 20 = 45 ° .

U b d = U b d m sin ( ω t + ψ U − φ в х + φ 23 ) = 400 sin [ ω t + ( − 90 ° ) − ( − 45 ° ) + 45 ° ] = 400 sin ( ω t ) В .

4. Действующее значение токов параллельных ветвей и напряжения эквивалентного участка:

U b d = U b d m 2 = 400 2 = 200 2 В ; I 2 = U b d Z 2 = U b d X 2 = 200 2 20 = 10 2 А ; I 3 = U b d Z 3 = U b d R 3 2 + X 3 2 = 200 2 20 2 + 20 2 = 10 А .

5. Углы сдвига фаз напряжений и токов второй и третьей ветвей

φ 2 = a r c t g X 2 R 2 = a r c t g 20 0 = 90 ° ; φ 3 = a r c t g − X 3 R 3 = a r c t g − 10 20 = − 45 ° .

6. Мгновенные значения токов параллельных ветвей

i 2 = I 2 2 sin ( ω t + ψ U b d − φ 2 ) = 20 sin ( ω t − 90 ° ) А ; i 3 = I 3 2 sin ( ω t + ψ U b d − φ 3 ) = 10 2 sin ( ω t + 45 ° ) А ,

ψ U b d = ψ U − ψ в х + φ 23 = ( − 90 ° ) − ( − 45 ° ) + 45 ° = 0.

7. Проверим баланс активных мощностей

P и с т = U I 1 cos φ в х = 600 2 ⋅ 10 ⋅ cos ( − 45 ° ) = 3000 В т ; P п о т р = I 1 2 R 1 + I 3 2 R 3 = 10 2 ⋅ 10 + 10 2 ⋅ 20 = 3000 В т ; P и с т = P п о т р = 3000 В т .

8. Проверим баланс реактивных мощностей

Q и с т = U I 1 sin φ в х = 600 2 ⋅ 10 ⋅ sin ( − 45 ° ) = − 3000 в а р ; Q п о т р = I 1 2 ( − X 4 ) + I 2 2 X 2 + I 3 2 ( − X 3 ) = 10 2 ⋅ ( − 50 ) + ( 10 2 ) 2 ⋅ 20 + 10 2 ⋅ ( − 20 ) = − 3000 в а р ; Q и с т = Q п о т р = − 3000 в а р .

Таким образом, баланс активных и реактивных мощностей сходится, т.е. задача решена верно, и можно переходить к построению полной векторной диаграммы.

9. Рассчитаем напряжения на элементах электрической цепи

U a b = I 1 R 1 = 10 ⋅ 10 = 100 В ; U b d = I 2 X 2 = 10 2 ⋅ 20 = 200 2 В ; U b c = I 3 R 3 = 10 ⋅ 20 = 200 В ; U c d = I 3 X 3 = 10 ⋅ 20 = 200 В ; U d e = I 1 X 4 = 10 ⋅ 50 = 500 В .

Векторная диаграмма приведена на рис. 3.1.3.

Задача 3.1.2 В схеме рис. 3.1.4 известны показания приборов вольтметра – 100 В, первого амперметра – 3 А, второго амперметра – 2 А, ваттметра – 160 Вт.

Читайте также:  Тонна напряжения что это

Рассчитать параметры схемы X1, X2, R2.

Показание ваттметра определяется выражением активной мощности участка электрической цепи

P W = U W I W cos ( U ¯ W I ¯ W ^ ) = U I 2 cos φ 2 = I 2 2 R 2 = P 2 ,

R 2 = P 2 I 2 2 = P W I 2 2 = 160 2 2 = 40 О м .

Полное сопротивление второй ветви

Z 2 = R 2 2 + X 2 2 = U I 2 = 100 2 = 50 О м ,

X 2 = Z 2 2 − R 2 2 = 50 2 − 40 2 = 30 О м .

Из треугольника сопротивлений второй ветви

cos φ 2 = R 2 Z 2 = 40 50 = 0,8 ; sin φ 2 = X 2 Z 2 = 30 50 = 0,6.

Активная составляющая тока

I 2 а = I 2 cos φ 2 = 2 ⋅ 0,8 = 1,6 А .

Реактивная составляющая тока

I 2 р = I 2 sin φ 2 = 2 ⋅ 0,6 = 1,2 А .

На основании векторной диаграммы рис. 3.1.5 определяем ток в емкости

I 1 = I 2 р + I 2 − I 2 а 2 = 1,2 + 3 2 − 1,6 2 = 3,74 А .

По закону Ома находим емкостное сопротивление

Источник



Векторная диаграмма токов и напряжений

Цифровое представление динамических процессов затрудняет восприятие, усложняет расчет выходных параметров после изменения условий на входе или в результате выполненной обработки. Векторная диаграмма токов и напряжений помогает успешно решать обозначенные задачи. Ознакомление с теорией и практическими примерами поможет освоить данную технологию.

Диаграмма, поясняющая процесс короткого замыкания в трехфазной цепи счетчика электроэнергии

Разновидности векторных диаграмм

Для корректного отображения переменных величин, которые определяют функциональность радиотехнических устройств, хорошо подходит векторная графика. Подразумевается соответствующее изменение основных параметров сигнала по стандартной синусоидальной (косинусоидальной) кривой. Для наглядного представления процесса гармоническое колебание представляют, как проекцию вектора на координатную ось.

С применением типовых формул несложно рассчитать длину, которая получится равной амплитуде в определенный момент времени. Угол наклона будет показывать фазу. Суммарные влияния и соответствующие изменения векторов подчиняются обычным правилам геометрии.

Различают качественные и точные диаграммы. Первые применяют для учета взаимных связей. Они помогают сделать предварительную оценку либо используются для полноценной замены вычислений. Другие создают с учетом полученных результатов, которые определяют размеры и направленность отдельных векторов.

Круговая диаграмма

Допустим, что надо изучить изменение параметров тока в цепи при разных значениях сопротивления резистора в диапазоне от нуля до бесконечности. В этой схеме напряжение на выходе (U) будет равно сумме значений (UR и UL) на каждом из элементов. Индуктивный характер второй величины подразумевает перпендикулярное взаимное расположение, что хорошо видно на части рисунка б). Образованные треугольники отлично вписываются в сегмент окружности 180 градусов. Эта кривая соответствует всем возможным точкам, через которые проходит конец вектора UR при соответствующем изменении электрического сопротивления. Вторая диаграмма в) демонстрирует отставание тока по фазе на угол 90°.

Линейная диаграмма

Здесь изображен двухполюсный элемент с активной и реактивной составляющими проводимости (G и jB, соответственно). Аналогичными параметрами обладает классический колебательный контур, созданный с применением параллельной схемы. Отмеченные выше параметры можно изобразить векторами, которые расположены постоянно под углом 90°. Изменение реактивной компоненты сопровождается перемещением вектора тока (I1…I3). Образованная линия располагается перпендикулярно U и на расстоянии Ia от нулевой точки оси координат.

Векторные диаграммы и комплексное представление

Такой инструментарий помогает строить наглядные графические схемы колебательных процессов. Аналогичный результат обеспечивает применение комплексных числовых выражений. В этом варианте, кроме оси с действительными, применяют дополнительный координатный отрезок с мнимыми значениями. Для представления вектора пользуются формулой A*ei(wt+f0), где:

  • А – длина;
  • W – угловая скорость;
  • f0 – начальный угол.

Значение действительной части равно A*cos*(w*t+f0). Это выражение описывает типичное гармоническое колебание с базовыми характеристиками.

Примеры применения

В следующих разделах приведены описания задач, которые решают с помощью представленной методики. Следует подчеркнуть, что применение комплексных чисел пригодно для сложных расчетов с высокой точностью. Однако на практике достаточно часто сравнительно простой векторной графики с наглядным отображением исходной информации на одном рисунке.

Механика, гармонический осциллятор

Таким термином обозначают устройство, которое можно вывести из равновесного состояния. После этого система возвращается в сторону исходного положения, причем сила (F) соответствующего воздействия зависит от дальности первичного перемещения (d) прямо пропорционально. Величину ее можно уточнить с помощью постоянного корректирующего коэффициента (k). Отмеченные определения связаны формулой F=-d*k

Формулы для расчета основных параметров гармонического осциллятора

К сведению. Аналогичные процессы происходят в системах иной природы. Пример – создание аналога на основе электротехнического колебательного контура (последовательного или параллельного). Формулы остаются теми же с заменой соответствующих параметров.

Свободные гармонические колебания без затухания

Продолжая изучение темы на примерах механических процессов, можно отметить возможность построения двухмерной схемы. Скорость в этом случае на оси Х отображается так же, как и в одномерном варианте. Однако здесь можно учесть дополнительно фактор ускорения, которое направляют под углом 90° к предыдущему вектору.

Читайте также:  Нормальное напряжение при внецентренном растяжении равно

Гармонический осциллятор с затуханием и внешней вынуждающей силой

В этом случае также можно воспользоваться для изучения взаимного влияния дополнительных факторов векторной графикой. Как и в предыдущем примере, скорость и другие величины представляют в двухмерном виде. Чтобы правильно моделировать процесс, проверяют суммарное воздействие внешних сил. Его направляют к центру системы (точке равновесия). С применением геометрических формул вычисляют амплитуду механических колебаний после начального воздействия с учетом коэффициента затухания и других значимых факторов.

Расчет электрических цепей

Векторную графику применяют для сравнительно несложных цепей, которые созданы из набора элементов линейной категории: конденсаторы, резисторы, катушки индуктивности. Для более сложных схем пользуются методикой расчета «Комплексных амплитуд», в которой реактивные компоненты определяют с помощью импедансов.

Векторная диаграмма для схемы соединений без нейтрального провода – звезда

Векторная диаграмма в данном случае выполняет функцию вспомогательного чертежа, который упрощает решение геометрических задач. Для катушек и конденсаторов, чтобы не пользоваться комплексным исчислением, вводят специальный термин – реактивное сопротивление. При синусоидальном токе изменение напряжения на индуктивном элементе описывается формулой U=-L*w*I0sin(w*t+f0).

Несложно увидеть подобие с классическим законом Ома. Однако в данном примере изменяется фаза. По этому параметру на конденсаторе напряжение отстает от тока на 90°. В индуктивности – обратное распределение. Эти особенности учитывают при размещении векторов на рисунке. В формуле учитывается частота, которая оказывает влияние на величину этого элемента.

Схемы и векторные диаграммы для идеального элемента и диэлектрика с потерями

Преобразование Фурье

Векторные технологии применяют для анализа спектров радиосигналов в определенном диапазоне. Несмотря на простоту методики, она вполне подходит для получения достаточно точных результатов.

Сложение двух синусоидальных колебаний

В ходе изучения таких источников сигналов рекомендуется работать со сравнительно небольшой разницей частот. Это поможет создать график в удобном для пользователя масштабе.

Фурье-образ прямоугольного сигнала

В этом примере оперируют суммой синусоидальных сигналов. Последовательное сложение векторов образует многоугольник, вращающийся вокруг единой точки. Для правильных расчетов следует учитывать отличия непрерывного и дискретного распределения спектра.

Дифракция

Для этого случая пользуются тем же отображением отдельных синусоид в виде векторов, как и в предыдущем примере. Суммарное значение также вписывается в окружность.

Построение векторной диаграммы напряжений и токов

Для изучения технологии выберем однофазный источник синусоидального напряжения (U). Ток изменяется по формуле I=Im*cos w*t. Подключенная цепь содержит последовательно подключенные компоненты со следующими значениями:

  • резистор: Ur=Im*R*cos w*t;
  • конденсатор: Uc=Im*Rc*cos (w*t-π/2), Rc=1/w*C;
  • катушка: UL= Im*RL*cos(w*t+π/2), RL=w*L.

При прохождении по цепи переменного тока на реактивных элементах будет соответствующий сдвиг фаз. Чтобы построить вектора правильно, рассчитывают амплитуды и учитывают изменение направлений. Ниже приведена последовательность создания графики вручную.

Диаграмма напряжений и токов на отдельных элементах

Далее с применением элементарных правил геометрии проверяют взаимное влияние векторов.

Решение векторного уравнения

На первом рисунке приведен результат сложения двух векторов при условии, когда Uc меньше UL. Добавив значение на сопротивление, получим результирующее напряжение Um. На третьей иллюстрации отмечен общий фазовый сдвиг.

Векторное отображение процессов в параллельном колебательном контуре, резонанс напряжений

В топографической диаграмме начало координат совмещают с так называемой точкой «нулевого потенциала». Такое решение упрощает изучение отдельных участков сложных схем.

Специализированный редактор онлайн

В интернете можно найти программу для построения векторных диаграмм в режиме online.

Видео

Источник

Векторные диаграммы электрических цепей

Возможно, для турбо-версии статьи у вас некорректно отображаются формулы. Для корректного отображения статьи посмотрите оригинальную версию.

При исследовании электрических цепей и моделировании часто пользуются векторными диаграммами токов и напряжений. Под векторной диаграммой понимается совокупность векторов, изображающих синусоидальные функции времени [1].

Представление синусоидальных функций в виде комплексных чисел

Векторная диаграмма – это удобный инструмент представления синусоидальных функций времени, коими являются, к примеру, напряжения и токи электрической цепи переменного тока.

Рассмотрим, например, произвольный ток, представленный в виде синусоидальной функции

$$ i(t) = 10 \sin(\omega t + 30 \degree). $$

Данный синусоидальный сигнал можно представить в виде комплексной величины

$$ \underline = 10 \angle 30 \degree. $$

Для формирования комплексного числа используются модуль и фаза синусоидального сигнала.

Закон Ома в комплексной форме

Известно [1], что напряжение $ \underline $ на сопротивлении $ \underline $ связано с током $ \underline $, протекающим через это сопротивление, согласно закону Ома:

Читайте также:  Электромеханический стабилизатор напряжения трехфазный 20 квт

$$ \underline = \underline \cdot \underline. $$

Кроме того, известны соотношения, определяющие активное сопротивление резистора, индуктивное сопротивление катушки и ёмкостное сопротивление конденсатора:

где $ X_ = \omega L $, $ X_ = \frac<1> <\omega C>$, $ R $ – сопротивление резистора, $ L $ – индуктивность катушки, $ C $ – ёмкость конденсатора, $ \omega = 2 \pi f $ – циклическая частота, $ f $ – частота сети, $ j $ – мнимая единица.

Векторная диаграмма при последовательном соединении элементов

Для построения векторных диаграмм сперва составляют уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи.

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 1, и нарисуем для неё векторную диаграмму напряжений. Обозначим падение напряжение на элементах.

Рис. 1. Последовательное соединение элементов цепи

Составим уравнение для данной цепи по второму закону Кирхгофа:

$$ \underline_ + \underline_ + \underline_ = \underline. $$

По закону Ома падение напряжений на элементах определяется по следующим выражениям:

$$ \underline_ = \underline \cdot R, $$

$$ \underline_ = \underline \cdot jX_, $$

$$ \underline_ = -\underline \cdot jX_. $$

Для построения векторной диаграммы необходимо отобразить приведённые в уравнении слагаемые на комплексной плоскости. Обычно вектора токов и напряжений отображаются в своих масштабах: отдельно для напряжений и отдельно для токов.

Из курса математики известно, что $ j = 1 \angle 90 \degree $, $ -j = 1 \angle -90 \degree $. Отсюда при построении векторной диаграммы умножение какого-либо вектора на мнимую единицу $ j $ приводит к повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки, а умножение на $ -j $ приводит к повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке.

При построении векторной диаграммы напряжений на комплексной плоскости сперва отобразим вектор тока $ \underline $, после чего относительного него будем отображать вектора падений напряжений (рис. 2) с учётом приведённых выше соотношений для мнимой единицы.

Падение напряжения на резисторе $ \underline_ $ совпадает по направлению с током $ \underline $ (т.к. $ \underline_ = \underline \cdot R $, а $ R $ – чисто действительная величина или, простыми словами, нет умножения на мнимую единицу). Падение напряжения на индуктивном сопротивлении опережает вектор тока на 90° (т.к. $ \underline_ = \underline \cdot jX_ $, а умножение на $ j $ приводит повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки). Падение напряжения на ёмкостном сопротивлении отстаёт от вектора тока на 90° (т.к. $ \underline_ = -\underline \cdot jX_ $, а умножение на $ -j $ приводит повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке).

Рис. 2. Векторная диаграмма напряжений при последовательном соединении элементов цепи

Векторная диаграмма при параллельном соединении элементов

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 3, и нарисуем для неё векторную диаграмму токов. Обозначим направление токов в ветвях.

Рис. 3. Параллельное соединение элементов цепи

Составим уравнение для данной цепи по первому закону Кирхгофа:

$$ \underline— \underline_— \underline_— \underline_ = 0, $$

$$ \underline = \underline_ + \underline_ + \underline_ = 0. $$

Определим по закону Ома токи в ветвях по следующим выражениям, учитывая, что $ \frac<1> = -j $:

Для построения векторной диаграммы необходимо отобразить приведённые в уравнении слагаемые на комплексной плоскости.

При построении векторной диаграммы токов на комплексной плоскости сперва отобразим вектор ЭДС $ \underline $, после чего относительного него будем отображать вектора токов токов (рис. 4) с учётом приведённых выше соотношений для мнимой единицы.

Ток в резисторе I R совпадает по направлению с ЭДС $ \underline $ (т.к. $ \underline_ = \frac<\underline> $, а $ R $ – чисто действительная величина или, простыми словами, нет умножения на мнимую единицу). Ток в индуктивном сопротивлении отстаёт от вектора ЭДС на 90° (т.к. $ \underline_ = -j \frac<\underline>> $, а умножение на $ -j $ приводит повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке). Ток в ёмкостном сопротивлении опережает вектор ЭДС на 90° (т.к. $ \underline_ = j \frac<\underline>> $, а умножение на $ j $ приводит повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки). Результирующий вектор тока определяется после геометрического сложения всех векторов по правилу параллелограмма.

Рис. 4. Векторная диаграмма токов при параллельном соединении элементов цепи

Для произвольной цепи алгоритм построения векторных диаграмм аналогичен вышеизложенному с учётом протекаемых в ветвях токов и прикладываемых напряжений.

Обращаем ваше внимание, что на сайте представлен инструмент для построения векторных диаграмм онлайн для трёхфазных цепей.

Источник