Меню

Полная комплексная сопряженная мощность

3.4 Комплексная форма записи мощности

Допустим, что через электрическую цепь проходит гармонический ток, причем положительные направления тока и напряжения на зажимах цепи приняты совпадающими (рисунок 3.8).

Комплексные действующие значения тока и напряжения равны соответственно:

Фазовый сдвиг тока относительно напряжения равен разности начальных фаз

Умножим на комплексное действующее значение , сопряженное с .

Отсюда следует, что

Так как напряжение может рассматриваться как сумма активной и реактивной слагающих:

Аналогично мощность может быть выражена через активный и реактивный токи.

Таким образом, комплексная величина определяет действительной частью активную мощность, а мнимой частью реактивную мощность, поступающую в цепь.

Модуль S равен полной мощности. носит название мощности в комплексной форме, или комплексной мощности.

На комплексной плоскости изображает гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого служат Р и Q (рисунок 3.9).

Треугольник мощностей, изображенный на рисунке 3.9, подобен треугольнику сопротивлений

Поэтому мощности Р и Q на зажимах цепи могут быть записаны в следующем виде

Комплексное сопротивление цепи легко вычислить, если известны комплексная мощность и действующее значение тока I ,

Воспользовавшись выражением (2.28), получим

Эта формула справедлива при любой схеме соединений индуктивности, емкости и сопротивлений.

Энергетический метод определения комплексного сопротивления применим и к комплексной проводимости

где – комплексная проводимость, сопряженная с Y.

Итак, активные сопротивление и проводимость цепи зависят от поглощаемой цепью активной мощности, а реактивные сопротивление и проводимость – от разности максимальных значений энергии, запасаемых в магнитном и электрическом полях.

Источник



Комплексная мощность

Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Пусть , а . Тогда комплекс полной мощности:

где — комплекс, сопряженный с комплексом .

Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей (см. рис. 4). Рис. 4 соответствует (активно-индуктивная нагрузка), для которого имеем:

Читайте также:  Измерение активной мощности однофазного переменного тока ваттметром

Применение статических конденсаторов для повышения cos

Как уже указывалось, реактивная мощность циркулирует между источником и потребителем. Реактивный ток, не совершая полезной работы, приводит к дополнительным потерям в силовом оборудовании и, следовательно, к завышению его установленной мощности. В этой связи понятно стремление к увеличению в силовых электрических цепях.

Следует указать, что подавляющее большинство потребителей (электродвигатели, электрические печи, другие различные устройства и приборы) как нагрузка носит активно-индуктивный характер.

Если параллельно такой нагрузке (см. рис. 5), включить конденсатор С, то общий ток , как видно из векторной диаграммы (рис. 6), приближается по фазе к напряжению, т.е. увеличивается, а общая величина тока (а следовательно, потери) уменьшается при постоянстве активной мощности . На этом основано применение конденсаторов для повышения .

Какую емкость С нужно взять, чтобы повысить коэффициент мощности от значения до значения ?

Разложим на активную и реактивную составляющие. Ток через конденсатор компенсирует часть реактивной составляющей тока нагрузки :

Из (11) и (12) с учетом (10) имеем

но , откуда необходимая для повышения емкость:

Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи.

а) Постоянный ток

Для любой цепи постоянного тока выполняется соотношение:

Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.

Следует указать, что в левой части (14) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (14) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора).

Читайте также:  Петарды корсары по мощности

б) Переменный ток.

Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е.

В ТОЭ доказывается (вследствие достаточной громоздкости вывода это доказательство опустим), что баланс соблюдается и для реактивных мощностей:

где знак “+” относится к индуктивным элементам , “-” – к емкостным .

Умножив (16) на “j” и сложив полученный результат с (15), придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока (без учета взаимной индуктивности):

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Что такое активная мощность?
  2. Что такое реактивная мощность, с какими элементами она связана?
  3. Что такое полная мощность?
  4. Почему необходимо стремиться к повышению коэффициента мощности ?
  5. Критерием чего служит баланс мощностей?
  6. К источнику с напряжением подключена активно-индуктивная нагрузка, ток в которой . Определить активную, реактивную и полную мощности.

Ответ: Р=250 Вт; Q=433 ВАр; S=500 ВА.

  1. В ветви, содержащей последовательно соединенные резистор R и катушку индуктивности L, ток I=2 A. Напряжение на зажимах ветви U=100 B, а потребляемая мощность Р=120 Вт. Определить сопротивления R и XL элементов ветви.

Ответ: R=30 Ом; XL=40 Ом.

  1. Мощность, потребляемая цепью, состоящей из параллельно соединенных конденсатора и резистора, Р=90 Вт. Ток в неразветвленной части цепи I1=5 A, а в ветви с резистором I2=4 A. Определить сопротивления R и XL элементов цепи.

Источник

Выражение мощности в комплексной форме

date image2015-05-30
views image1107

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Широкое применение комплексного представления тока и напряжения в процессе анализа электрических цепей предполагает найти комплексное представление для активной, реактивной и полной мощности. На первый взгляд эта задача не должна вызывать затруднений. Достаточно в выражение для мощности подставить комплексные ток и напряжение. Посмотрим так ли это?

Читайте также:  Как определить удельную мощность двигателя

Пусть заданы комплексные ток и напряжение .

Тогда их произведение должно представлять полную мощность цепи.

Правая часть полученного выражения должна определять активную (действительную часть) и реактивную (мнимая часть) мощности. Но слагаемые правой части не соответствуют выражениям (4.16) и (4.21), так как в них сдвиг фаз определяется разностью

Чтобы устранить такое несоответствие пользуются искусственным приемом. Под комплексным изображением полной мощности понимают произведение комплексного напряжения на комплексно-сопряженный ток. Напомним, что два комплексных числа и называются взаимно сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются только знаком:

При таком определении комплексная мощность цепи определится выражением

Знак «тильда» означает комплекс полной мощности, составленный при участии сопряженного комплекса тока. Действительная часть комплексной мощности есть полная мощность, а мнимая часть — реактивная мощность. Модуль комплексного представления — полная мощность.

Рассмотрим пример. Пусть в схеме рис. (4.6) заданы ЭДС — [B] и параметры элементов: R1=3[Ом]; R2=2[Ом]; L=0,0095[Г]; . Определить активную, реактивную и полную мощности цепи.

Комплекс действующего значения напряжения на входе всей схемы равен

Комплексное сопротивление цепи

Переходим к показательной форме комплексного сопротивления. Для этого находим модуль

Источник