Меню

Преобразование значений емкости в ток

№21 Синусоидальный ток в емкости.

Система из двух проводящих тел, разделенных диэлектриком, образует конденсатор. Эти проводящие тела называются обкладками. Если к ним подключить источник энергии, то на них будет накапливаться заряд q, пропорциональный напряжению на конденсаторе uc

Коэффициент пропорциональности C между зарядом и напряжением называется емкостью конденсатора. Единица измерения емкости – фарада (Ф). Она имеет следующую размерность: Кл/В=А*с/В=с/Ом=Ом-1*с. Емкость зависит от формы, размеров конденсатора и от диэлектрической проницаемости диэлектрика между обкладками. Пусть напряжение, подаваемое источником на конденсатор, изменяется по закону:

При его возрастании от нуля до максимального значения конденсатор заряжается, на его обкладки от источника поступает электрический заряд. При уменьшении напряжения от максимума до нуля, заряд стекает с конденсатора, он разряжается. Таким образом, в проводах, соединяющих конденсатор с остальной цепью, постоянно движется электрический заряд, т.е. протекает электрический ток. Вывод о наличии электрического тока мы делаем, совершенно не касаясь вопроса о том, какие процессы происходят между обкладками конденсатора. Величина тока определяется зарядом, прошедшим в единицу времени через поперечное сечение проводника:

Она зависит от емкости и скорости изменения питающего напряжения, т.е. от частоты. От этих же факторов зависит и электрическая проводимость участка цепи с конденсатором. Ее называют емкостной проводимостью и определяют по формуле:

Величина, обратная емкостной проводимости, называется емкостным сопротивлением:

Подставляя в предыдущую формулу приложенное к конденсатору напряжение, получаем:

Действующее значение тока:

Последние три уравнения представляют разные формы записи закона Ома для конденсатора. Запишем их в символической форме:

Векторная диаграмма, построенная по приведенным выше уравнениям, показана на рисунке далее.

наклона каждого вектора к положительному направлению вещественной оси определяется начальными фазами в выражениях выше. Так как при определении напряжения Uc мы умножаем Ixc на -j, то вектор Uc оказывается повернутым относительно вектора тока на угол 90град. в отрицательном направлении, по часовой стрелке. Как отмечалось раньше, направление угла φ на диаграмме показывается от вектора тока к вектору напряжения.

Рис. 21.1 — Векторная диаграмма напряжения и тока в емкости

Пример 2.6. Напряжение на конденсаторе uC = 100sin (1000t –30°). Написать выражение мгновенного значения тока через конденсатор. Каким станет ток, если частота питающего напряжения увеличится вдвое? Емкость конденсатора С = 50 мкФ.

Решение. Определяем емкостное сопротивление:

то начальная фаза тока

При возрастании частоты вдвое емкостное сопротивление уменьшается также вдвое:

Амплитуда тока при этом увеличивается

Так как угол сдвига фаз не меняется, то мгновенное значение тока будет равно

Источник

Символический (комплексный) метод расчета цепей переменного тока

ads

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt3, когда при времени t3 сумма ωt3 + φ = 90° и соответственно,

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt7, когда при времени t7 сумма углов ωt7 + φ = 270° и, соответственно,

и имеет два нулевых значения при ωtn + φ = 0, когда ωtn = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)

и имеет нулевое значение при угле ωt11, когда при времени t11 сумма ωt11 + φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от значения 0 В до максимальных 311 В и обратно.

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Комплексное число на комплексной плоскости

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

действующее значение

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

Действующее значение напряжения

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

Читайте также:  Что проводит ток фарфор

1) показательная форма в виде

Показательная форма комплексного числа

2) тригонометрическая форма в виде

Тригонометрическая форма комплексного числа

3) алгебраическая форма

Алгебраическая форма комплексного числа

где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

В итоге получим

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду по следующим преобразованиям

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

      • Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
      • В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
      • При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
      • Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
      • Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.

Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

Схема с последовательным соединением элементов

Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

Схема с комплексными обозначениями

Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

По закону Ома ток в цепи равен

Закон ома в комплексной форме

где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как

Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при φ = 0° равно

Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

Находим комплексное сопротивление индуктивности

Находим комплексное сопротивление емкости

Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

Комплексные напряжения на элементах

Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2) действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;

      Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

Решение:
1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что

Комплексное сопротивление первой ветви:

Комплексное сопротивление второй ветви:

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Общее сопротивление цепи

— нагрузка носит активно-индуктивный характер

2. Находим действующие значения токов в ветвях:

Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

Действующие значения, соответственно,

3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

Источник

НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА — РЕФЕРАТЫ — Емкостные преобразователи

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Техника конструирования и применения датчиков, или, как ее
можно кратко назвать, сенсорика, за по­следние
годы развилась в самостоятельную ветвь из­мерительной техники. С ростом
автоматизации к дат­чикам физических параметров стали предъявляться все более
высокие требования. При этом особое значение придается следующим показателям:
*
миниатюрность
(возможность встраивания)
*
дешевизна (серийное
производство)
*
механическая
прочность
По структурному построению автоматизированные устройства
напоминают такие биологические системы, как, например, человек. Органам чувств
че­ловека соответствуют в автоматах (или роботах) датчики, а функции активных
органов выполняются исполнительными
устройствами. Анало­гом мозга как центрального устройства для обра­ботки
сигналов служит ЭВМ с ее системой памяти.
Датчик. Что это такое?
Понятием «датчик» в общем случае обозначают дешевый, но
надежный приемник и преобразователь измеряемой величины, обладающий умеренной точностью и пригодный для серийного изготовления. Общеупотребительные термины и определения для раз­личных
датчиков четко
сформулированы в Инструк­ции 2600 Общества немецких инженеров и Общества немецких электриков ФРГ(VDI/VDE-Richtline 2600).
Измерительный
прибор осуществляет преобразование входного сигнала x(t) в
выходной сигнал y(t):
y(t) = F[x(t)], (1)
где
x(t) и y(t) — векторные величины; F(x) —
требуемая функция преобразования. На выражение (1) можно смотреть на
информационную модель прибора, в которой осуществляется преобразование входной
информации в выходную.
В более общей формулировке прибор осуществляет операцию
отображения множества сигналов на входе xÎX в
множество сигналов на выходе yÎY, при этом
указанное отображение должно быть однозначным.
В реальных приборах функция преобразования зависит не только
от сигнала x(t), но также от
возмущения x(t) на сигнал x(t), от помехи J(t), действующей на
параметры прибора q(t), от несовершенства
технологий изготовления прибора h(t) и от помехи n(t), возникающих в самом приборе (трения, паразитных ЭДС и
др.), т. е.
y(t) = F[x,x,q(h,J),n)], (2)
где x,q,h,J,n — векторы.
На рис 1 приведена функциональная схема, отображающая
зависимость (2).
Измеряемыми величинами, на основе которых формирует полезный сигнал х(t), являются параметры первичной информации, такие, как давление, температура,
количество и расход жидкостей, линейные н угловые
размеры, расстояния, скорости, ускорения, деформации,
напряжения, вибрации, внутренние трещины, несплошности в материалах и др. К
числу вредных возмущений от- носятся
перегрузки, вибрации, электрические и магнитные поля, не- контролируемые
вариации температуры, давления, влажности
окружающей среды и т. д. Все эти возмущения
вносят погрешности в показания приборов.
Рис 1.
Функциональная схема прибора.
Прибор должен воспроизводить измеряемые величины с допу­скаемыми
погрешностями. При этом слово «воспроизведение», эквивалентное в данной трактовке слову «отображение», понимается в самом
широком смысле: получение на выходе прибора величин, пропорциональных
входным величинам; формирование заданных функций от входных величин (квадратичная и логарифмическая шкалы
и др.); получение производных и интегралов от
входных величин; формирование на выходе
слуховых или зрительных образов, отображающих свойства входной информации; формирование управляющих
сигналов, используемых для управления
контроля; запоминание и регистрация выходных сигналов.
Измерительный сигнал, получаемый от контролируемого объекта, передается
в измерительный прибор в виде импульса какого- либо вида энергии. Можно
говорить о сигналах: первичных — непосредственно характеризующих контролируемый процесс; воспринимаемых чувствительным
элементом прибора; подаваемых в мерительную схему, и
т.д. При передаче информации от контролируемого объекта
к указателю прибора сигналы претерпевают ряд изменений по уровню и спектру и преобразуются из одного вида энергии в
другой.
Необходимость такого преобразования вызывается тем, что
первичные сигналы не всегда удобны для передачи, переработки, дальнейшего
преобразования и воспроизведения. Например, при измерении температуры прибором,
чувствительный элемент которого помещается в контролируемую среду,
воспринимаемый поток тепла трудно передать, а тем более воспроизвести на
указателе прибора. Этой особенностью обладают почти все сигналы первич­ной
информации. Поэтому воспринимаемые чувствительными эле­ментами сигналы почти
всегда преобразуются в электрические сигналы, являющиеся универсальными.
Та часть прибора, в которой
первичный сигнал преобразуется, например, в электрический, называется первичным преобразователем. Часто
этот преобразователь совмещается с чувствитель­ным элементом. Сигналы с выхода
первичного преобразователя поступают на следующие
преобразователи измерительного при­бора.
Рис. 2
Функциональная схема прибора
На рис. 2 дана
функциональная схема прибора, на которой указаны: исследуемый объект ИО; первичный
преобразователь П1; устройство
сравнения УС; устройство обработки сигналов Об. 1, в котором производится
селекция, усиление, коррекция погрешностей, фильтрация и др.;
кодирующее устройство Код; модулятор М; канал передачи КП;
устройство детектирования
Д; устройство декодирования ДК; устройство обработки информации Oбр. 2, обеспечивающее
функциональное преобразование, коррекции погрешностей, формирование функции преобразования (1)
и др.; преобразователь Пр, выдающий информацию
на систему отображения
СОИ и на обратный преобразователь 0П, с которого поступают сигналы на
устройство сравнения. Эта схема является обобщенной и включает ряд элементов,
которые в более простых приборах могут
отсутствовать.
ЁМКОСТНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
Устройства, содержащие не менее двух поверхностей, между
которыми действует электрическое поле, называются электростатическими (ЭС) преобразователями. Электрическое поле создается
извне приложенным напряжением или возникает при действии на вход преобразователя измерительного сигнала.
Преобразователи, в которых
электрическое поле создается приложенным напряжением, составляют группу
емкостных преобразователей. Основным элементом в этих преобразователях является
конденсатор переменной емкости, изменяемой входным измерительным сигналом.
Рис.
3 Электростатический преобразователь
В дальнейшем под емкостным будем понимать преобразователь, в
котором используется конденсатор с двумя или несколькими электродами (рис. 3).
Для случая конденсатора с плоскими электродами площадью s, размещенными
друг от друга на расстоянии d
в среде с диэлектрической проницаемостью e, ёмкость будет
C = es/d (3)
Рассматриваемый преобразователь на электрической стороне характеризуется
приложенным напряжением и, зарядом q=CU, током
I=dq/dt и энергией W=CU/2. На неэлектрической стороне преобразователь
характеризуется изменением параметров,
входящих в выражение для емкости, т. е.Dd, Ds, De, и
силой f=dW/dx, где под х следует понимать любую из величинDd, Ds, De.
Емкостный преобразователь обратим: при приложении на
электрической стороне напряжения U, на неэлектрической сторо­не возникает сила f, которая используется в приборах уравно­вешивающего
преобразования как результат действия обратного преобразования, в ЭС вольтметрах и в приборах с бесконтакт­ным
подвесом. В этом последнем случае элемент массы m
может быть подвешен в электростатическом поле, если удовлетворяется условие f³ gm, где
g — ускорение силы тяжести.
К емкостным преобразователям близки по своим
характеристикам полупроводниковые
диоды, в которых используется зависимость
так называемой барьерной емкости от обратного напряжения. Такие преобразователи применяются в качестве
элементов с электрически управляемой емкостью и называются варикапами.
Другая группа ЭС преобразователей
основана на использовании сегнетоэлектриков, т. е. кристаллических
диэлектриков, которые при определенных
температурных условиях (при температуре ниже точки Кюри) обладают
самопроизвольной поляризацией при отсутствии внешних электрических полей.
Состояние кристаллических диэлектриков характеризуется
электрической индукцией D (или зарядом q), деформацией c и энтропией Э. Эти
величины зависят от напряженности электрического поля Е (или напряжения U), механического напряжения s (или силы F) и температуры Т. На рис. 4 схематически
показаны связи между указанными
величинами.
Рис.
4 Схема связей между параметрами диэлектрика
Жирными стрелками показаны связи Е®D, s®c, T®Э, а тонкими стрелками
изображены физические эффекты, свойственные
сегнетоэлектрикам:
1
— прямой
пьезоэлектрический эффект s®D (или q), проявляющийся в изменении поляризации кристалла действием механических напряжений;
2
— обратный
пьезоэлектрический эффект Е (или U)®c, характеризующийся деформацией кристалла под
днем электрического поля;
3 — пироэлектрический
эффект T®D (или
q), сводящийся к изменению заряда на
поверхности кристалла при изменении температуры;
4
— пьезокалорический эффект s®Э, проявляющийся
в изменении энтропии при изменении
механических напряжений.
Помимо указанных эффектов при изменении Е, s, Т
в кристаллах возникают побочные
явления, например, изменяются
диэлектрическая проницаемость, проводимость, оптические свойства и
т.д.
Из указанных эффектов рассмотрим прямой и обратный пьезоэффекты, а также эффект изменения
емкостной проводимости при изменении напряжения U.
Преобразователи, в которых используются
прямой или обратный пьезоэффекты, называются пьезоэлектрическими преобразователями.
Использование эффекта изменения емкостной проводимости в кристаллических полупроводниках обусловлено
нелинейной зависимостью заряда q от приложенного напряжения U.
Если зависимость q(U) линейна, то в выражении Dq=(¶q/¶U) величина C=¶q/¶U постоянна
и представляет собой емкость. В случае нелинейной зависимости
q(U) величина C=¶q/¶U также является
емкостью, но не постоянной, а зависящей от напряжения U, т. е. C(U). Преобразователи, основанные на использовании нелинейной зависимости
емкости от напряжения в сегнетоэлектриках, на­зываются
варикондами.
Емкостные датчики можно разделить на две основные группы —
датчики параметрические (недифференциальные) и датчики дифференциальные.
В схемах с параметрическими датчиками происходит
преобразование входной неэлектрической величины (угла поворота оси ротора датчика)
в электрическую выходную величину (частоту, ток, напряжение), функционально за­висящую
от входной величины.
В схемах с дифференциальными датчиками, включенными в следящие системы, с
датчика снимается лишь сигнал рассогласования,
который становится равным
нулю в установившемся состоянии следящей системы.
Примером параметрического емкостного датчика может служить переменная емкость, включенная в контур лампового генератора (рис. 5) . Здесь при измене­нии угла поворота оси ротора
изменяется емкость датчика и меняется частота генератора, являющаяся выходной величиной.

Читайте также:  Чему равна энергия магнитного поля контура с током

Источник



Цепь переменного тока с ёмкостью

Поскольку после того, как конденсатор зарядился полностью, он не пропускает через себя электрический ток, и поэтому идеальный конденсатор (ёмкость), установленный в цепи постоянного тока, обладает бесконечно большим сопротивлением.

Электрическая цепь переменного тока с емкостью

Цепь переменного тока с ёмкостью

Если же произвести подключение конденсатора к источнику переменного тока, то процесс его заряда и разряда будет осуществляться непрерывно. Это означает, что через ёмкость будет проходить переменный электрический ток.

Ток i при условии включения в цепь переменного тока некоторой ёмкости будет определяется количеством электричества q , протекающего по этой цепи в единицу времени. Из этого следует, что:

где Δq – это изменение заряда q (то есть количества электричества) в течение времени Δt .

Что касается заряда q , который накоплен при изменениях напряжения u в конденсаторе, то он также подвержен непрерывному изменению, которое выражается формулой:

где Δu – это изменение напряжения u в течение промежутка времени Δt .

Та скорость, с которой изменяется напряжение (она выражается отношением Δu / Δt ) будет иметь свои наибольшие значения тогда, когда угол ωt равняется 360° , 180° и 0° . Из этого следует, что значение тока i принимает свои наибольшие величины именно в эти моменты времени. Если же угол ωt равняется 270° и 90° , то i = 0 , поскольку скорость изменения напряжения Δu / Δt = 0 .

Почему ток отстает от напряжения по фазе

Ток и напряжение в цепи переменного тока с ёмкостью

Ток заряда, который принято считать положительным, в цепи течет тогда, когда происходит заряд конденсатора, то есть на протяжение первой четверти периода. По мере того, как разница потенциалов на электродах ёмкости растет вследствие накопления ею электрического заряда, значение тока i падает. Когда ωt = 90° , наступает полный заряд емкости, значение i = 0 , а разность потенциалов между электродами конденсатора обретает то же самое значение, что и напряжение источника тока.

Читайте также:  Как сделать резонанс токов

Значение тока i становится отрицательным тогда, когда он меняет свое направление. Это происходит тогда, когда ёмкость начинает разряжаться, то есть во второй четверти периода. Тогда, когда u = 0 а ωt = 180° , значение тока i становится максимальным. В этот же самый момент ток i начинает течь в обратном направлении (его принято считать отрицательным), начинается процесс перезарядки емкости, а полярность напряжения u источника также меняется на противоположную. Когда ωt = 270° значение тока i становится равным нулю, и поэтому процесс заряда прекращается. После чего начинается разряд при первоначальном (то есть положительном) направлении тока.

Получается, что ёмкость и заряжается, и разряжается два раза на протяжении одного периода изменения напряжения. Из этого следует, что переменный ток i протекает в цепи непрерывно. Когда ёмкость включается в цепь переменного тока, то ток i опережает напряжение u по фазе на угол, равный 90° . Можно также сказать, что напряжение u отстает по фазе от тока i на угол, равный 90° .

Емкостное сопротивление

Сопротивление, которое проявляет ёмкость к переменному току, носит название емкостного. Единицей измерения этой величины является Ом, а обозначается оно Хс. Физическая природа емкостного сопротивления заключается в том, что оно обусловлено возникающей в конденсаторе ЭДС ес . Направление этой электродвижущей силы противоположно приложенному напряжению u , поскольку заряженная ёмкость рассматривается в качестве источника, у которого между пластинами действует некоторая ЭДС ес . Именно она препятствует тому, чтобы под действием напряжения u происходило изменение тока, то есть оказывает определенное сопротивление его прохождению.

Источник