При сдвиге возникают нормальные напряжения

Напряжения и деформации при чистом сдвиге. Закон Р. Гука

Деформация чистого сдвига без других видов сопротивления встречается крайне редко. Обычно чистый сдвиг сочетается с каким-либо другим видом деформации: растяжением, сжатием, изгибом. Все это усложняет изучение этого простого вида деформации.

Рассмотрим короткую консоль длиной а, загруженную поперечной нагрузкой Q, равномерно распределенной по площади поперечного сечения F этой консоли. В такой консоли влиянием явления изгиба с достаточной степенью точности можно пренебречь.

Задачу будем рассматривать в рамках гипотезы плоских сечений и гипотезы о малости перемещений. Кроме того, будем считать, что продольные волокна короткого бруса не деформируются и не взаимодействуют между собой в поперечном направлении. Поэтому в нем не возникают нормальные напряжения σ, а лишь только касательные напряжения τ. Таким образом, данный брус находится в условиях чистого сдвига. При равномерном распределении силы Q и малости длины а консоли в любом её сечении, касательные напряжения τ, можно находить по формуле:

В результате действия приложенной нагрузки форма консоли измениться. Её вид после деформации показан на рис. 6.1 штриховой линией. Величина линейного перемещения Δh=кк ׳ угловой точки к консоли называется абсолютным сдвигом. Первоначально прямой угол консоли изменится на величину γ. Отношение

называется относительным сдвигом. Между касательными напряжениями τ и относительным сдвигом до определенного значения нагрузки Q наблюдается линейная, т. е. пропорциональная зависимость:

где G – модуль упругости II рода, или модуль сдвига. Таким образом, при рассмотрении деформации чистого сдвига наряду с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона μ появилась еще одна постоянная упругости G. Используя формулу (6.2) и (6.1) из формулы (6.3) получим:

Формула (6.4) является второй формой закона Гука, позволяющей определять через заданную нагрузку значение абсолютного сдвига Δh. Произведение GF называется жесткостью бруса при сдвиге, которая характеризует податливость бруса при сдвиге. Чем больше жесткость GF, тем менее брус деформативен и, наоборот, чем меньше жесткость GF, тем брус более деформативен, т. е. материал его слабее сопротивляется изменению его формы.

Деформация чистого сдвига в отдельности, как уже сказано выше, встречается крайне редко. Она, как правило, сочетается с другими видами деформаций, например, со смятием в заклепочных и болтовых соединениях, или является составляющей напряженного состояния балок при поперечном изгибе. Однако в достаточной степени точности можно считать, что сварные фланговые швы или тонкостенная труба при действии на нее скручивающих моментов М_кр находятся в условиях чистого сдвига. Пользуясь этим положением, в лабораторных условиях из опыта на кручение определяют модуль сдвига G.

6.2. Зависимость между модулем сдвига G, модулем продольной упругости E и коэффициентом Пуассона μ

Установим зависимость между модулем сдвига G и модулем нормальной упругости Е. Материал бруса характеризуется коэффициентом Пуассона μ Рассмотрим малый элемент размером аHа с диагональю , находящийся в условиях чистого сдвига при действии касательных напряжений τ (рис. 6.2а).Найдем относительное удлинение диагонали этого элемента, как отношение абсолютного удлинения к ׳ к ׳׳ =Δd к первоначальной длине d:

Из рисунка 6.2а видно отрезок кк ׳ =аγ. Тогда абсолютное удлинение диагонали Δd=кк ׳ ·соs45 0 =аγсоs45 0 = аγ. Подставляя в формулу (6.5) значения Δd и d, получаем:

а с учетом закона Гука при чистом сдвиге (6.3):

Выразим величину относительного удлинения диагонали ε_d (рис. 6.2а) через главные напряжения, характеризующие деформацию чистого сдвига: σ₁= τ; σ₂= -τ (п.5.5 рис. 4.9). Применяя обобщенный закон Гука при плоском напряженном состоянии (4.37), записываем:

Сравнивая выражения для ε_d (6.6) и (6.7) имеем:

Формула (6.8) связывает модуль сдвига G с модулем нормальной упругости Е. Таким образом между тремя упругими постоянными существует одна зависимость. Следовательно, независимых упругих постоянных существует только две. А это дает возможность, определив две из них третью найти по формуле (6.8).

Источник



Научная электронная библиотека

Лекция 6. СДВИГ (СРЕЗ)

Понятие чистого сдвига. Элементы конструкций, работающих в условиях чистого сдвига. Деформации, напряжения. Площадки чистого сдвига. Закон Гука при сдвиге. Условие прочности при сдвиге (срезе).

Сдвиг (срез) – вид деформации, при котором одна часть стержня смещается относительно другой (скользит). Сдвиг, как вид нагружения, встречается редко и имеет место в заклепочных и сварных соединениях. Деформация сдвига происходит в случае, если к стержню приложены две равные по модулю противоположно направленные силы P , перпендикулярные к его продольной оси. Расстояние между этими силами должно быть малым, чтобы можно было пренебречь моментом, создаваемым силами.

Рис. 16. Расчетная схема при сдвиге

Используя метод сечений (разрезая стержень между силами P), можно установить, что в поперечном сечении стержня возникает только одно внутреннее усилие – поперечная сила Q.

Такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня действует только поперечная сила, называют чистым сдвигом.

Мера скольжения одного поперечного сечения относительно другого – касательные напряжения τ.

Принято, что касательные напряжения распределены по всей площади поперечного сечения равномерно. Если в поперечном сечении стержня площадью A возникает внутренняя поперечная сила Q = P, то касательные напряжения в любой точке этого сечения будут равны: T = Q/A = P/A.

Рис. 17. Чистый сдвиг

При чистом сдвиге возникает плоское напряженное состояние, тогда напряжения, действующие на площадке составляющей угол α с вертикальной исходной площадкой равны:

Касательные напряжения τ, приведенные на рис. 17, по абсолютной величине больше касательных напряжений по любым другим площадкам. Таким образом, они являются экстремальными, а площадки, по которым они действуют – площадками сдвига. Так как по этим площадкам не действуют нормальные напряжения, то их называют площадками чистого сдвига и они образуют с главными площадками углы, равные 45°.

При чистом сдвиге нормальные напряжения на любых двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по модулю и противоположны по направлению.

Касательные напряженияτ измеряются в таких же единицах, что и нормальные напряжения: мегапаскалях, килоньютонах на квадратные сантиметры, килограммах силы на квадратный сантиметр (МПа, кН/см2, кгс/см2) и т.п.

В результате сдвига одно поперечное сечение стержня смещается относительно другого на величину δ, называемую абсолютным сдвигом.

Рис. 18. Углы сдвига

Малый угол γ, на который изменится первоначально прямой угол, – относительный сдвиг, выражается в радианах. Угол сдвига γ пропорционален касательным напряжениям. Математическая зависимость между углом сдвига и касательным напряжением называется законом Гука при сдвиге:

Зависимость между модулем сдвига и модулем Юнга:

Значение коэффициента Пуассона μ находится в пределах 0 ≤ μ ≤ 0,5.

Источник

Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом сдвиге

2014-02-24
4038

Рис. 6.2

Рис. 6.1

Напряжения и деформации при чистом сдвиге

Чистым сдвигом называется такой частный случай плоского напряжённого состояния, при котором на площадках бесконечно малого элемента действуют только касательные напряжения (рис.6.1).

Чистый сдвиг имеет место при работе ряда элементов конструкций. Так, мы встречались с этим напряжённым состоянием, когда рассчитывали на прочность балки при поперечном изгибе, – на нейтральной линии σ = 0 и τ = τ_max (см. п.5.8). Кроме того, в условиях чистого сдвига находится материал при резке ножницами (рис.6.2,а), при кручении круглого сплошного или трубчатого стержня (рис.6,2б), в заклёпочных (рис.6.2,в), болтовых и сварных соединениях.

Определим напряжения по наклонным площадкам (рис.6.3). По формулам (3.9) и (3.10) при плоском напряжённом состоянии

.

В нашем случае σ_x = σ_y = 0, τ_xy = τ поэтому получим

При α = ± 45 0 Þ τ_α = 0 и σ_α = m τ, т.е. главные напряжения при чистом сдвиге (рис.6.3)

. (6.3)

Итак, главные напряжения – сжимающее и растягивающее – равны между собой и численно равны экстремальным касательным напряжениям.

Тот же самый результат можно получить, используя формулу (3.18) для определения главных напряжений при плоском напряжённом состоянии

Рассмотрим деформацию элемента abcd (рис.6.4). Закрепляем одну из граней. Квадрат abcd превращается в ромб a¢b¢cd, поскольку по граням элемента нет нормальных напряжений. В то же время диагональ ac, совпадающая с направлением σ₁, удлиняется, а диагональ bd – укорачивается.

. (6.4)

ac = ℓ – длина диагонали, , ∆ℓ – абсолютное удлинение диагонали,

∆ℓ = a′a ∙ cos 45 0 = ∆S ∙ cos 45 0 = γh ∙ cos 45 0 . Относительное удлинение диагонали есть не что иное, как главное удлинение ε₁ при плоском напряжённом состоянии, поскольку главное напряжение σ₁ действует в направлении диагонали ac.

.

Итак, при чистом сдвиге

. (6.5)

Теперь выразим ε₁ через σ, воспользовавшись обобщённым законом Гука для плоского напряжённого состояния (3.26)

. (6.6)

Приравняем правые части формул (6.5) и (6.6)

, .

Множитель перед γ является коэффициентом пропорциональности между касательным напряжением и соответствием ему углом сдвига, и называется модулем сдвига или модулем касательной упругости:

. (6.7)

Для стали G = 8 ∙10 3 кН/см 2 или G = 8 ∙ 10 4 МПа.

Модуль сдвига – это третья упругая постоянная изотропного упругого материала, выражающаяся через первые две (модуль нормальной упругости Е и коэффициент Пуассона ν) формулой (6.7).

Таким образом, закон Гука при сдвиге имеет вид

В аналогичной форме записывается этот фундаментальный закон и при линейном напряжённом состоянии – σ = Eε (см. формулу (2.9)), и при объёмном напряжённом состоянии: σ_cp = Kθ (см. формулу (3.36)).

Для проверки прочности детали, испытывающей деформацию чистого сдвига, необходимо использовать теории прочности (см.п.3.7). Касательные напряжения на гранях элемента равны τ, допускаемое напряжение при растяжении – [σ]. Как указывалось выше, главные напряжения при чистом сдвиге σ₁ = τ, σ₂ = 0, σ₃ = – τ.

Составим условие прочности по четырём классическим теориям прочности:

а) по первой теории – теории наибольших нормальных напряжений в соответствии с формулой (3.41)

Подставляем значение σ₁ и получаем:

Правая часть формулы (6.9) представляет собой допускаемое напряжение при чистом сдвиге; то есть по первой теории прочности

б) по второй теории – наибольших линейных деформаций в соответствии с формулой (3.44)

или τ – ν (0 – τ) ≤ [σ],

. (6.11)

Для металлов ν = 0,25 – 0,42. Следовательно, по второй теории прочности

[τ] II = (0,7 – 0,8)[σ]; (6.12)

в) по третьей теории – теории наибольших касательных напряжений в соответствии с формулой (3.48)

. (6.13)

т.е. допускаемое напряжение при сдвиге по третьей теории прочности

г) по четвёртой теории – энергетической в соответствии с формулой (3.50)

,

или ,

. (6.15)

Следовательно, допускаемое напряжение при сдвиге по четвёртой теории прочности

Отметим, что чистый сдвиг – это тот случай плоского напряжённого состояния, который легко осуществить в лабораторном эксперименте – достаточно испытать на кручение тонкостенную трубу. Опыты показали, что для пластичной и обычной конструкционной стали предел текучести при сдвиге составляет примерно 60% от предела текучести при растяжении

Таким образом, для пластичных материалов наиболее подходят формулы (6.16) и (6.14), полученные на основании четвёртой и третьей теорий прочности.

6.3. Расчёт заклёпочных и сварных соединений

Полученные выше величины допускаемых напряжений применяют при расчётах на прочность деталей, испытывающих деформацию среза (заклёпок, болтов, шпонок, некоторых сварных соединений).

Рассмотрим заклёпочные соединения. Если в XIX веке единственным способом изготовления металлоконструкций (мостов, ферм и перекрытий зданий, котлов, трубопроводов, корпусов судов и прочих) был способ соединения деталей с помощью заклёпок, то в настоящее время заклёпки повсеместно вытеснены сваркой. Сварные соединения экономичнее и технологичнее заклёпочных. В то же время заклёпочные обладают одним весьма существенным достоинством – они надёжнее сварных. Заклёпочные соединения никогда не разрушаются внезапно, поэтому периодический контроль позволяет обнаружить плохие заклёпки и вовремя заменить их. Существует целая отрасль современной техники, в которой применяются только заклёпочные соединения – это авиация. В железнодорожных мостах, испытывающих большие динамические нагрузки, сварка не применяется – детали соединяются на заклёпках или на болтах.

При расчёте заклёпочного соединения (рис.6.5,а) считают, что усилия между заклёпками распределены равномерно. Условие прочности на срез:

, (6.17)

где i – число заклёпок, в нашем примере i=8.

Нагрузка, приложенная к каждой заклёпке, помимо среза, вызывает смятие контактирующих поверхностей. Смятие – это пластическая деформация по поверхности контакта. Расчёт на смятие так же, как и расчёт на срез, проводят приближённо, поскольку закон распределения давления по поверхности контакта точно не известен. Если принять криволинейный закон распределения (рис.6.5,б), то максимальное напряжение смятия на цилиндрической поверхности будет

,

где F_см – площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость:

Условие прочности на смятие имеет следующий вид:

. (6.18)

Допускаемое напряжение на смятие устанавливают опытным путём; обычно его можно принять равным [σ_см] = (2 – 2,5)[σ_—].

Учитывая, что заклёпки ослабляют листы, последние проверяют на растяжение в наиболее ослабленном сечении (рис.6.5,в):

, (6.19)

где m – число отверстий в ряду заклёпок; в нашем примере m = 2.

В соединении, показанном на рис. 6.5, силы Р стремятся сдвинуть листы относительно друг друга. Эти силы стремятся не только срезать заклёпки, но и изогнуть их. Однако изгибающий момент мал, и вызванными ими нормальными напряжениями можно пренебречь.

Болты, работающие на срез, рассчитываются аналогично заклёпкам.

Сварные соединения принято рассчитывать на срез или на растяжение. Наиболее распространены соединения встык и с помощью угловых, или валиковых, швов. Соединения встык применяются, когда листы находятся в одной плоскости. При толщине листов δ ≤ 8 мм кромки их не обрабатываются (рис.6.6,а); при δ = 8 – 20 мм кромки скашивают и заваривают листы с одной стороны (V-образный шов, рис.6.6,б); при δ ≥ 20 мм кромки скашивают и заваривают листы с двух сторон (Х-образный шов, рис.6.6,в). Расчётную толщину шва принимают равной толщине листа δ, наплывы не учитываются. Рассчитываются соединения встык на растяжение или сжатие по формуле

, (6.20)

где ℓ = b – 10 мм – расчётная длина сварного шва (10 мм – длина непровара по краям шва);

b – ширина листа;

[σ_Э] – допускаемое напряжение для сварного шва.

Соединения с помощью угловых швов делают, когда листы параллельны или перпендикулярны. Сюда относятся соединения внахлёстку (рис.6.7,а), с накладками (рис.6.7,б) и в тавр (рис.6.7,в). Если направление углового шва перпендикулярно к действующему усилию, то шов называется лобовым (рис.6.7,а); если параллельно- фланговым (рис.6.7,б).

Рассмотрим расчёт фланговых и лобовых (торцевых) швов, то есть таких швов, которые должны сопротивляться действию касательных напряжений. Ясно, что фланговые швы работают на срез в биссекторных сечениях (рис.6.8). Считается, что касательные напряжения равномерно распределены по площади сечения АА₁В₁В. Площадь среза каждого шва

Фланговые швы всегда ставят парами. Условие прочности на срез принимает вид (с учётом возможного непровара по краям шва)

, (6.21)

где m – число швов;

[τ_Э] – допускаемое напряжение на срез материала электрода.

Для соединения с двумя накладками, показанного на рис.6.7,б, m = 4 и δ = δ₁. Для соединения внахлёст, показанного на рис.6.8, m = 2.

При расчёте лобовых швов пренебрегают составляющей нормальных напряжений на том основании, что сопротивление стали срезу ниже, чем растяжению. Лобовые швы условно рассчитывают на срез так же, как и фланговые, предполагая, что касательные напряжения равномерно распределены по площади биссекторного сечения. Условие прочности (см. схему на рис.6.7,а):

. (6.22)

Отметим, что вследствие незначительной протяжённости материала шва в направлении действия силы лобовые швы являются жёсткими, поэтому разрушаются при малых остаточных деформациях и плохо сопротивляются действию циклических и ударных нагрузок. Фланговые швы – вязкие, разрушаются после значительных остаточных деформаций, поэтому они предпочтительнее лобовых.

Источник