Меню

Расчет однофазных цепей синусоидального тока символическим методом

3.2 Символический метод расчета цепей синусоидального тока

3.2 Символический метод расчета цепей синусоидального тока

При расчете линейных цепей символическим методом токи, напряжения, ЭДС и сопротивления входят в уравнения электрического состояния в виде комплексов. Основными законами, применяемыми для расчета электрических цепей, являются законы Ома и Кирхгофа

Решение задач символическим методом

Задача 3.2.1 Для схемы рис. 3.2.1 определить токи во всех ветвях и напряжения на всех участках, составить баланс активных и реактивных мощностей, построить векторную диаграмму цепи на комплексной плоскости, записать мгновенные значения токов, если u = Umsin(ωt + ψU), Um =600 В, ψU = –90°, R1 = 10 Ом, Х2 = R3 = Х3 = 20 Ом, Х4 = 50 Ом.

Задачу решить символическим методом.
Примечание. Решение этой задачи методом векторных диаграмм приведено в 3.1 Расчет цепей синусоидального тока методом векторных диаграмм

Рис. 3.2.1 Схема электрической цепи

Задачу решаем символическим методом в комплексных амплитудах.

Мгновенное значение напряжения

u = U m sin ( ω t + ψ U ) = 600 sin ( ω t − 90 ° ) , В ,

тогда комплексная амплитуда напряжения

U ? m = U m ⋅ e j ψ U = 600 ⋅ e − j 90 ° , В .

Комплексные сопротивления ветвей

Z _ 1 = R 1 − j X 4 = 10 − j 50 О м ; Z _ 2 = j X 2 = j 20 = 20 ⋅ e j 90 ° О м ; Z _ 3 = R 3 − j X 3 = 20 − j 20 = 20 2 ⋅ e − j 45 ° О м .

Эквивалентная электрическая схема представлена на рис. 3.2.2.

Рис. 3.2.2 Эквивалентная электрическая схема

Для схемы со смешанным соединением комплексное общее сопротивление

Z _ = Z _ 1 + Z _ 2 ⋅ Z _ 3 Z _ 2 + Z _ 3 = ( 10 − j 50 ) + 20 e j 90 ° ⋅ 20 2 e − j 45 ° j 20 + ( 20 − j 20 ) = = ( 10 − j 50 ) + 20 2 e j 45 ° = ( 10 − j 50 ) + ( 20 + j 20 ) = = 30 − j 30 = 30 2 e − j 45 ° О м .

Комплексная амплитуда общего тока по закону Ома

I ? 1 m = U ? m Z _ = 600 ⋅ e − j 90 ° 30 2 e − j 45 ° = 10 2 e − j 45 ° = 10 − j 10 А .

Комплексные амплитуды токов ветвей по формуле делителя токов

I ˙ 2 m = I ˙ 1 m ⋅ Z _ 3 Z _ 2 + Z _ 3 = 10 2 e − j 45 ° ⋅ 20 2 e − j 45 ° j 20 + ( 20 − j 20 ) = 20 e − j 90 ° = − j 20 А ; I ˙ 3 m = I ˙ 1 m ⋅ Z _ 2 Z _ 2 + Z _ 3 = 10 2 e − j 45 ° ⋅ 20 e j 90 ° j 20 + ( 20 − j 20 ) = 10 2 e j 45 ° = 10 + j 10 А .

Проверка по первому закону Кирхгофа

I ? 1 m = I ? 2 m + I ? 3 m = ( − j 20 ) + ( 10 + j 10 ) = 10 − j 10 = 10 2 e − j 45 ° А .

Действующие значения токов в ветвях

I 1 = I 1 m 2 = 10 2 2 = 10 А ; I 2 = I 2 m 2 = 20 2 = 10 2 А ; I 3 = I 3 m 2 = 10 2 2 = 10 А .

По формуле перехода от комплексных амплитуд к мгновенным значениям

i ( t ) = Im [ I ? m e j ω t ] = Im [ I m e j ψ I e j ω t ] = Im [ I m e j ( ω t + ψ I ) ] = I m sin ( ω t + ψ I )

мгновенные значения токов

i 1 ( t ) = I 1 m sin ( ω t + ψ I 1 ) = 10 2 sin ( ω t − 45 ° ) А ; i 2 ( t ) = I 2 m sin ( ω t + ψ I 2 ) = 20 sin ( ω t − 90 ° ) А ; i 3 ( t ) = I 3 m sin ( ω t + ψ I 3 ) = 10 2 sin ( ω t + 45 ° ) А .

Комплексная полная мощность источника

S ˜ и с т = P и с т + j Q и с т = U ? ⋅ I * 1 = 600 e − j 90 ° ⋅ 10 2 e + j 45 ° = = 6000 2 e − j 45 ° = 3000 − j 3000 В ⋅ А ,

откуда активная мощность источника

P и с т = Re [ S ˜ и с т ] = 3000 В т ,

реактивная мощность источника

Q и с т = Im [ S ˜ и с т ] = − 3000 в а р .

Активная мощность потребителей

P п о т р = I 1 2 R 1 + I 3 2 R 3 = 10 2 ⋅ 10 + 10 2 ⋅ 20 = 3000 В т .

Реактивная мощность потребителей

Q п о т р = I 1 2 ( − X 4 ) + I 2 2 X 2 + I 3 2 ( − X 3 ) = = 10 2 ⋅ ( − 50 ) + ( 10 2 ) 2 ⋅ 20 + 10 2 ⋅ ( − 20 ) = − 3000 в а р .

Для построения топографической диаграммы на комплексной плоскости необходимо рассчитать комплексные действующие значения потенциалов точек схемы

φ ? e = 0 ; φ ? d = φ ? e + I ? 1 ⋅ ( − j X 4 ) = 0 + 10 e − j 45 ° ⋅ 50 e − j 90 ° = 500 e − j 135 ° = − 250 2 − j 250 2 В ; φ ? b = φ ? d + I ? 2 ⋅ j X 2 = ( − 250 2 − j 250 2 ) + 20 2 e − j 90 ° ⋅ 20 e j 90 ° = − 50 2 − j 250 2 В ; φ ? c = φ ? d + I ? 3 ⋅ ( − j X 3 ) = ( − 250 2 − j 250 2 ) + 10 e j 45 ° ⋅ 20 e − j 90 ° = = ( − 250 2 − j 250 2 ) + ( 100 2 − j 100 2 ) = − 150 2 − j 350 2 В ; φ ? a = φ ? b + I ? 1 ⋅ R 1 = ( − 50 2 − j 250 2 ) + ( 5 2 − j 5 2 ) ⋅ 10 = − j 300 2 = U ? .

При построении векторной диаграммы на комплексной плоскости учитываем направления векторов напряжения на пассивных элементах. Например, вектор напряжения U ? R 1 = I ? 1 R 1 = φ ? a − φ ? b на комплексной плоскости направлен от точки b к точке a, а вектор напряжения U ? L 2 = I ? 2 j X 2 = φ ? b − φ ? d на комплексной плоскости направлен от точки d к точке b.

Топографическая диаграмма на комплексной плоскости приведена на рис. 3.2.3.

Рис. 3.2.3 Топографическая диаграмма на комплексной плоскости

Источник

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов.

Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС


Возьмем два участка цепи a — b и c — d (см. рис. 1) и составим для них уравнения в комплексной форме с учетом указанных на рис. 1 положительных направлений напряжений и токов.

Объединяя оба случая, получим

или для постоянного тока

Формулы (1) и (2) являются аналитическим выражением закона Ома для участка цепи с источником ЭДС , согласно которому ток на участке цепи с источником ЭДС равен алгебраической сумме напряжения на зажимах участка цепи и ЭДС, деленной на сопротивление участка. В случае переменного тока все указанные величины суть комплексы. При этом ЭДС и напряжение берут со знаком “+”, если их направление совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком “-”, если их направление противоположно направлению тока.

Основы символического метода расчета цепей
синусоидального тока

Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности.

Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.

1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС

3. Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:

§ первый закон Кирхгофа:

§ второй закон Кирхгофа

Определить: 1) полное комплексное сопротивление цепи ;
2) токи
Рис. 2

4. Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем:

5. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это вытекает из закона Ома), то

7. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме

или после подстановки численных значений параметров схемы

Читайте также:  Вычислить силу тока в паскале

Специальные методы расчета

Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с n неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если воспользоваться специальными методами расчета , к которым относятся методы контурных токов и узловых потенциалов.

Метод контурных токов

Идея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по замкнутым контурам, т.е. в случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа . Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать произвольно, лишь бы их число было равно и чтобы каждый новый контур содержал хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми . Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи.

Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных направлений перед началом расчета может не определять действительные направления токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком “-”, это означает, что его истинное направление противоположно.

Пусть имеем схему по рис. 3.

Выразим токи ветвей через контурные токи:

Обойдя контур aeda, по второму закону Кирхгофа имеем

Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров:

совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние.

Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем:

При составлении уравнений необходимо помнить следующее:

— сумма сопротивлений, входящих в i- й контур;

— сумма сопротивлений, общих для i- го и k- го контуров, причем ;

члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком “+”;

знак “+” перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление i- й и k- й контурные токи проходят в одном направлении, в противном случае ставится знак “-”;

если i- й и k- й контуры не имеют общих сопротивлений, то ;

в правой части уравнений записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур: со знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением контурного тока, и “-”, если не совпадает.

В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем:

Следует обратить внимание на то, что, поскольку , коэффициенты контурных уравнений всегда симметричны относительно главной диагонали.

Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в левых частях уравнений как известные контурные токи: k- й контурный ток, проходящий через ветвь с k- м источником тока равен этому току .

Метод узловых потенциалов

Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно , т.е. числу ветвей дерева .

Пусть имеем схему по рис. 4, в которой примем .

Допустим, что и известны. Тогда значения токов на основании закона Ома для участка цепи с источником ЭДС

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а :

и подставим значения входящих в него токов, определенных выше:

Сгруппировав соответствующие члены, получим:

Аналогично можно записать для узла b :

Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. В левой части i- го уравнения записывается со знаком “+”потенциал i- го узла, для которого составляется данное i- е уравнение, умноженный на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному i- му узлу, и со знаком “-”потенциал соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к i- му и k- му узлам.

Из сказанного следует, что все члены , стоящие на главной диагонали в левой части системы уравнений, записываются со знаком “+”, а все остальные – со знаком “-”, причем . Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали.

2. В правой части i- го уравнения записывается так называемый узловой ток , равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к i- му узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС направлена к i- му узлу, в противном случае ставится знак “-”. Если в подходящих к i- му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.

В заключение отметим, что выбор того или иного из рассмотренных методов определяется тем, что следует найти, а также тем, какой из них обеспечивает меньший порядок системы уравнений. При расчете токов при одинаковом числе уравнений предпочтительнее использовать метод контурных токов, так как он не требует дополнительных вычислений с использованием закона Ома. Метод узловых потенциалов очень удобен при расчетах многофазных цепей, но не удобен при расчете цепей со взаимной индуктивностью.

1. Основы теории цепей: Учеб.для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. В ветви на рис. 1 . Определить ток .

2. В чем заключается сущность символического метода расчета цепей синусоидального тока?

3. В чем состоит сущность метода контурных токов?

4. В чем состоит сущность метода узловых потенциалов?

5. В цепи на рис. 5 ; ; ; . Методом контурных токов определить комплексы действующих значений токов ветвей.

6. В цепи на рис. 6 . Рассчитать токи в ветвях, используя метод узловых потенциалов.

Источник

Примеры расчета различных цепей символическим методом

date image2015-05-26
views image12787

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Пример 3.9. На рисунке 3.46, приведена электрическая цепь с одним источником питания, параметры которой соответственно равны: U = 100 (B), r1 = 9 (Ом), xL1 = 12 (Ом), r2 = 6 (Ом), xC2 = 8 (Ом), r3 = 10 (Ом). Требуется определить токи во всех ветвях электрической цепи символическим методом.

1. Подготавливаем схему для расчета комплексов токов.

1.1. Направляем напряжение источника питания по действительной оси, т.к. комплекс вектора напряжения на входе соответственно равен:

1.2. Формируем комплексные сопротивления ветвей:

1.3. Схема для определения комплексов тока имеет вид, представленный на рисунке 3.47.

Читайте также:  Для чего применяются источники постоянного тока

2. Определяем комплексное входное сопротивление цепи.

2.1. Параллельно соединенную вторую и третью ветви, заменяем эквивалентной и определяем сопротивление :

2.2. Комплексное входное сопротивление цепи

3. Определяем комплексы токов.

3.1. Комплекс тока :

3.2. Определяем комплексы токов и .

3.2.1. Комплексное напряжение на зажимах второй и третьей ветви:

3.2.2. Комплекс тока :

3.2.3. Комплекс тока :

4. Проверяем рассчитанные комплексы токов, применяя первый закон Кирхгофа, согласно которому .

Полученный результат совпадает с рассчитанным значением комплекса тока . Следовательно .

Пример 3.10. На рисунке 3.48, представлена разветвленная электрическая цепь переменного тока, с параметрами (B), r1 = 6 (Ом), xL1 = 8 (Ом), r2 = 3 (Ом), xC2 = 4 (Ом), (A). Требуется определить токи во всех ветвях электрической цепи символическим методом.

1. Подготавливаем схему для расчета комплексов токов.

1.1. Формируем комплекс ЭДС и токов источников питания:

1.2. Формируем комплексные сопротивления ветвей:

1.3. Схема для определения комплексов тока имеет вид, представленный на рисунке 3.49.

2. Определим комплексы токов в ветвях методом контурных токов. Приведенная на рисунке 3.49 схема, имеет два контура. Второй контур включает в себя источник тока , поэтому контурный ток второго контура определен и равен току источника тока . Для определения комплексных токов ветвях, достаточно определить ток первого контура .

2.1. Составляем уравнения для определения контурного тока.

2.2. Подставляем числовые значения и рассчитываем контурный ток .

2.3. Определяем комплексные токи в ветвях.

2.3.1. Ток в первой ветви (А).

2.3.2. Ток во второй ветви

Пример 3.11. Рассмотрим расчет разветвленной цепи синусоидального тока с использованием различных методов (метод непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и др.).

На рисунке 3.50 приведена электрическая схема, с параметрами: (B), r1 = 12 (Ом), xL1 = 20 (Ом), xC1 = 11 (Ом), (B), r2 = 8 (Ом), xC2 = 6 (Ом), r3 = 4 (Ом), (B), r4 = 6 (Ом), xL4 = 8 (Ом), xC5 = 5 (Ом), xL6 = 6 (Ом). Требуется определить комплексные токи во всех ветвях электрической цепи различными методами.

1. Подготовим схему для расчета комплексов тока:

1.1. Формируем комплексы ЭДС источников питания:

1.2. Формируем комплексные сопротивления ветвей:

1.3. Вычертим схему для определения комплексов тока (рис. 3.51):

2. Осуществляем предварительный анализ схемы.

2.1. Количество ветвей – в = 6, количество узлов – y = 4. Выбираем положительное направление токов в ветвях (рис. 3.51).

2.2. Вычерчиваем граф схемы, в котором выделяем ветви дерева и ветви связи. Для данной схемы граф имеет вид, представленный на рисунке 3.52.

Ветвями дерева приняты ветви 6,5,3. Ветви связи (1,2,4) обозначены на схеме пунктирными линиями.

2.3. Используя граф схемы, формируем независимые (главные) контуры. При формировании первого независимого контура используем 1-ю ветвь связи, дополненную 5 и 6 ветвями дерева. Соответственно, второй главный контур состоит из ветви связи 2, дополненной 3 и 5 ветвями дерева; третий главный контур состоит из ветви связи 4, дополненной 3 и 6 ветвями дерева. Положительное направление обхода контура принимаем совпадающим с направлением тока в ветви связи.

3. Решаем задачу методом непосредственного применения законов Кирхгофа (рис. 3.52).

3.1. Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа.

3.2. По 1-му закону Кирхгофа:

3.3. По 2-му закону Кирхгофа:

3.4. Подставляем числовые значения в полученную систему уравнений:

3.5. Решая данную систему уравнений, определяем токи в ветвях:

4. Решаем задачу методом контурных токов (рис. 3.53).

4.1. Составляем уравнения для определения контурных токов:

4.2. Подставляем числовые значения и решаем систему уравнений:

4.2.1. Контурные сопротивления в символической форме

Сумма сопротивлений, принадлежащих нескольким контурам

Контурные ЭДС (В);

4.2.2. После подстановки цифровых данных система имеет вид

4.2.3. Решая данную систему уравнений, определяем контурные токи:

4.2.4. Определяем токи в ветвях электрической цепи, приведенной на рисунке 3.53.

5. Решаем задачу методом узловых потенциалов (рис. 3.54).

Потенциал четвертого узла принимаем равным нулю: . Следовательно, необходимо определить потенциалы , , .

5.1. Составляем уравнения для определения потенциалов , , :

5.2. Подставляем числовые значения и решаем систему уравнений.

5.2.1. Полные проводимости ветвей в комплексной форме

5.2.2. Сумма проводимостей ветвей, подключенных к соответствующим узлам:

Сумма проводимостей, соединяющих различные узлы

Узловые токи (А),

5.3.2. После подстановки цифровых данных система имеет вид

5.4. Решая данную систему уравнений произвольным методом, определяем комплексные потенциалы:

5.5. Определяем токи в ветвях электрической цепи, приведенной на рис. 3.54.

6. Находим ток методом эквивалентного генератора.

6.1. Определяем напряжение холостого хода .

6.1.1. Удаляем из исходной схемы сопротивление и вычерчиваем схему активного двухполюсника (рис. 3.55).

6.1.2. Определяем токи в схеме активного двухполюсника (рис. 3.56) методом двух узлов.

Потенциал третьего узла принимаем равным нулю: . Следовательно, необходимо определить потенциал .

6.1.2.1. Составляем уравнение для определения потенциала :

6.1.2.2. Сумма проводимостей ветвей, подключенных к первому узлу:

6.1.2.3. После подстановки цифровых значений, определяем потенциал :

6.1.2.4. Определяем токи в ветвях электрической цепи, приведенной на рисунке 3.56.

6.1.3. Определяем по второму закону Кирхгофа из контура 1241

Подставляем известные значения

6.2. Определяем входное сопротивление пассивного двухполюсника.

6.2.1. Удаляем источники питания и вычерчиваем схему пассивного двухполюсника (рис. 3.57).

6.2.2. Треугольник сопротивлений , , преобразовываем в звезду сопротивлений (рис. 3.58,а):

6.2.3. Последовательно соединенные элементы и , и заменяем эквивалентными и соответственно (рис. 3.58,б):

6.2.4. Параллельно соединенные элементы и заменяем эквивалентным (рис. 3.58,б):

6.2.5. Определяем входное сопротивление (рис. 3.58,в):

Источник



РАСЧЕТ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА СИМВОЛИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Методические указания к расчетно-графической работе № 2

по дисциплине “Электротехника” для студентов

Составители И.С.Некрасов, Е.П. Пахомова

Кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной техники

Расчет цепи однофазного синусоидального тока символическим методом: Методические указания к расчетно-графической работе/ Курск. гос. техн. ун-т; Сост. И.С.Некрасов, Е.П.Пахомова. Курск, 2007, 11 с.

Содержатся методические указания по расчету электрических цепей переменного тока символическим методом и задания для выполнения расчетно-графической работы.

Работа предназначена для студентов неэлектрических специальностей.

Табл. 2. Ил. 1. Библиогр.: 4 назв.

Текст печатается в авторской редакции

ЛР №020280 от 09.12.06. ПДЛ № 50-25 от 01.04.07.

Подписано в печать .Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.

Усл. печ. л. .Уч.-изд.л. Тираж 150 экз. Заказ .

Курский государственный технический университет.

Издательско-полиграфический центр Курского государственного технического университета. 305040 Курск, ул. 50 лет октября,94.

1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Приступая к выполнению расчетно-графической работы, следует повторить основные положения раздела электротехники “Электрические цепи синусоидального тока”. Работа выполняется с целью приобретения и закрепления навыков расчета цепей переменного тока.

Отчет о выполнении расчетно-графической работы должен содержать:

1) титульный лист;

2) расчетно-пояснительную записку;

3) список используемой литературы.

Пояснительная записка должна включать в себя следующие необходимые разделы.

1. Задание на выполнение расчетов, которое оформляется на втором листе пояснительной записки и содержит электрическую схему к расчету и программу исследования электрической цепи.

2. Расчеты, графики и диаграммы, предусмотренные программой. При выполнении каждого пункта задания необходимо выполнять заново чертеж преобразованной схемы. Все расчеты должны сопровождаться пояснительным текстом. При записи вычислений после числового значения рассчитываемой величины необходимо указывать сокращенное обозначение единиц измерения.

Читайте также:  Какие частицы создают электрический ток в металлах тест

3. Сводная таблица результатов, которая приводится в конце расчетов.

Расчетно-пояснительная записка оформляется на листах формата А4 в соответствии с требованиями ЕСКД.

Все элементы электрической схемы следует изображать в соответствии со стандартными условными графическими обозначениями, используя чертежные инструменты. Около условных графических обозначений необходимо проставлять буквенные обозначения основных параметров (сопротивление — R, емкость — С, индуктивность — L, ЭДС — Е и т.д.). Узлы электрической схемы могут быть обозначены буквами латинского алфавита (a, b, c, d. ) либо цифрами (1, 2, 3. ). При обозначении токов, сопротивлений и напряжений в различных ветвях схемы необходимо использовать индексы. В качестве нижних индексов могут применяться арабские или римские цифры, строчные буквы русского, латинского и греческого алфавитов, например:

В качестве верхних индексов допускаются штрихи и римские цифры, например:

В случае, когда одним обозначением заменяется разность двух величин, первая буква или цифра относится к уменьшаемому, а вторая — к вычитаемому:

Применение индексов с тремя буквами или цифрами не допускается.

2. ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

1. Найти действующие значения токов во всех ветвях электрической схемы символическим методом.

2. Составить баланс активных и реактивных мощностей.

3. Построить топографическую диаграмму напряжений и лучевую для токов.

Номер варианта состоит из трех цифр. Первая цифра в номере варианта соответствует номеру исходной схемы (рис. 2.1). Вторая цифра в номере варианта соответствует порядковому номеру строки в табл. 2.1, в которой заданы значения реактивных сопротивлений исходной схемы. Третья цифра в номере варианта соответствует порядковому номеру строки в табл. 2.2, содержащей значения активных сопротивлений ветвей исходной схемы и напряжения на входе этой схемы.

Таблица 2.1 Таблица 2.2

X1, Ом X2, Ом X3, Ом X4, Ом U, В R1, Ом R2, Ом R3, Ом R4, Ом jU, град
-45
-20
-30
-45
-60

3. ПРИМЕНЕНИЕ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА ДЛЯ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

При расчете электрических цепей часто приходится складывать, вычитать или просто качественно сопоставлять величины токов, напряжений, ЭДС, являющихся синусоидальными функциями времени. При этом графические построения или тригонометрические вычисления могут оказаться очень громоздкими. Однако задача может упроститься, если оперировать не с синусоидальными функциями времени, а с векторами, проекции которых на ось координат при их вращении образуют синусоидальные функции. Если зафиксировать положение векторов в определенный момент времени, то можно получить так называемую “векторную диаграмму”.

Векторные диаграммы являются удобным и эффективным средством качественного анализа электрических цепей. В некоторых случаях они могут быть использованы и для расчетов. Однако для этого удобнее пользоваться не геометрическими построениями (правила параллелограмма, треугольника, вычитания векторов), а алгебраическим суммированием их проекций на две взаимно перпендикулярные оси. Так каждый из слагаемых векторов и на рис. 3.1. может быть представлен в виде двух проекций на оси координат и , и . Затем можно алгебраически сложить соответствующие проекции, получив проекции результирующего вектора .

Приведенные выше рассуждения положены в основу двух методов анализа цепей синусоидального тока. Первый — метод разложения векторов на составляющие, которые при соответствующем выборе расположения осей называют активными и реактивными.

Второй метод заключается в следующем. Рассмотрим векторную диаграмму на комплексной плоскости (рис. 3.1):

пусть горизонтальная ось будет осью вещественных величин, а вертикальная — осью мнимых величин (в отличие от математики в электротехнике мнимую единицу обозначают не i, а , чтобы не путать с обозначением тока). Тогда вектор (см. рис. 3.1) может быть описан с помощью комплексных выражений одним из следующих способов:

Первая форма записи называется алгебраической, вторая — тригонометрической, третья — показательной. В основе взаимного перехода показательной и тригонометрической форм записи лежит формула Эйлера: .

Модуль комплексного числа, в частности тока, вычисляется , а аргумент — .

Сопряженный комплекс тока .

В частном случае, когда поворот вектора осуществляется на угол , из формулы Эйлера следует:

Таким образом, умножение комплексного числа на множитель означает поворот соответствующего вектора на угол .

Аналогично, с помощью комплексных чисел может быть описан вектор напряжения.

Описание в символической форме сопротивлений цепи переменного тока определяется характером их воздействия на сдвиг фаз между током и напряжением. Умножение вектора тока на активное сопротивление R изменяет только величину вектора, а умножение этого же вектора на индуктивное сопротивление не только изменяет длину вектора, но и поворачивает его на 90 в положительную сторону (против часовой стрелки). Умножение вектора на емкостное сопротивление изменяет длину вектора и поворачивает его на 90 в отрицательную сторону.

Если цепь будет содержать как активное R, так и реактивное X сопротивления, то полное сопротивление такой цепи будет комплексной величиной. Полное сопротивление обозначают прописной буквой Z, а модуль полного сопротивления — строчной буквой z:

Комплексом мощности называется произведение комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока:

где — угол сдвига фаз между током и напряжением, P — действительная часть комплексной мощности (активная мощность), Q — мнимая часть комплексной мощности (реактивная мощность).

Изображение проводимостей переменного тока в символической форме обосновывается так же, как и изображение сопротивлений: активная проводимость G является действительной величиной, индуктивная — мнимой отрицательной -jBL, а емкостная — положительной jBC.

Полная проводимость есть комплексная величина

На использовании комплексных выражений электрических величин основан символический метод анализа электрических цепей, в котором действия над вещественными функциями времени заменяются более простыми действиями над комплексными числами, благодаря чему становится возможным применение всех методов расчета цепей постоянного тока (законы Кирхгофа, метод контурных токов, метод наложения и т.д.).

Символический метод расчета цепей синусоидального тока является самым распространенным. Он позволяет при выполнении различных действий над электрическими величинами учитывать как абсолютные значения этих величин (модули), так и их фазы (аргументы).

Методику расчета электрических цепей переменного тока с использованием символического метода рассмотрим на примере решения задачи.

1. Определить токи и мощности во всех ветвях электрической цепи (рис. 3.2), если В; L=0,01274 Гн; L1=0,02548 Гн; R1=6 Ом; R2=5 Ом; C=636 мкФ; f=50 Гц.

2. Составить баланс активных и реактивных мощностей.

3. Построить топографическую диаграмму для напряжений и лучевую для токов.

Используя метод эквивалентных преобразований исходную схему можно привести к виду рис. 3.3.

Входное комплексное сопротивление цепи рис.3.3 можно вычислить следующим образом:

Теперь определяем общий ток цепи

Модуль или действующее значение этого тока будет равно

Определяем комплексное напряжение на сопротивлении

Модуль или действующее значение этого напряжения:

Теперь определяем токи и и их абсолютные значения:

Комплексная полная мощность всей цепи

Откуда Р=1846 Вт, Q=970 Вар.

Правильность вычислений проверяем составлением баланса мощностей. Для этого подсчитываем активные и реактивные мощности отдельных ветвей цепи.

Активная и реактивная мощности всей цепи соответственно равны

Незначительное расхождение с ранее найденными значениями активной и реактивной мощностей объясняется округлением чисел при вычислении.

Источник