Меню

Расчет по методу контурных токов мкт

МКТ – метод контурных токов

Метод контурных токов МКТ

Метод контурных токов ( МКТ ) при расчете токов цепи позволяет уменьшить количество уравнений до числа уравнений составляемых по II закону Кирхгофа

NВ – число ветвей электрической цепи;

NJ –число ветвей с источниками тока;

NУЗЛОВ – количество узлов электрической цепи.

Ток в любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви.

Выбирают и обозначают известные и неизвестные контурные токи.

Известные контурные токи – эти токи можно считать совпадающими с соответствующими токами источников тока и они являются заданными по условию задачи.

Неизвестные контурные токи – определяются по II закону Кирхгофа и для них составляется система уравнений метода контурных токов ( система уравнений МКТ) в виде:

Rkkсобственное сопротивление контура k;

Rkmобщее сопротивление контуров k и m, причем, если направление контурных токов в общей ветви для контуров k и m совпадают, то Rkm > 0, в противном случае Rkm

Источник

Расчёт электрических цепей онлайн по методу контурных токов

В программе онлайн-расчёта электрических цепей появился расчёт по методу контурных токов.

Выбор метода расчёта осуществляется в спадающем списке. Для расчёта по методу контурных токов необходимо выбрать метод расчёта «МКТ». Используемая методика при расчёте по методу узловых потенциалов приведена здесь.

Пример схемы и расчёт:

Исходные данные и схема:

  • E1:
    • Номер элемента: 1
    • Амплитудное значение: 100 В
    • Начальная фаза, °: 0
  • R1:
    • Номер элемента: 1
    • Сопротивление, Ом: 1
  • L1:
    • Номер элемента: 1
    • Сопротивление, Ом: 1
  • C1:
    • Номер элемента: 1
    • Сопротивление, Ом: 1

После нажатия кнопки «Расчёт» на исходной схеме появляется нумерация узлов и формируется решение:

Рассчитаем схему по методу контурных токов.

В данной схеме: узлов − 2, ветвей − 3, независимых контуров − 2.

Количество уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно $ N_\textrm<в>— N_\textrm <у>+ 1 $, где $ N_\textrm <в>$ − число ветвей без источников тока, $ N_\textrm <у>$ − число узлов.

Для данной схемы количество уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно 3 − 2 + 1 = 2.

Произвольно зададим направления обхода контуров и соответствующие контурные токи.

Принятые направления обхода контуров:
Контур №1 обходится через элементы $ \underline_ <1>$, $ R_ <1>$, $ L_ <1>$ в указанном порядке. Через эти элементы протекает контурный ток $ \underline_ <11>$.
Контур №2 обходится через элементы $ L_ <1>$, $ C_ <1>$ в указанном порядке. Через эти элементы протекает контурный ток $ \underline_ <22>$.

Составим уравнения по методу контурных токов.

Составим уравнение для контура №1:

$$ \underline_ <11>\cdot (R_<1>+jX_)+\underline_ <22>\cdot jX_=\underline_ <1>$$

Составим уравнение для контура №2:

$$ \underline_ <22>\cdot (jX_— jX_)+\underline_ <11>\cdot jX_=0 $$

Объединим полученные уравнения в одну систему, при этом перенесём известные величины в правую сторону, оставив в левой стороне только составляющие с искомыми контурными токами. Система уравнений по методу контурных токов для исходной цепи выглядит следующим образом:

$$ \begin\underline_ <11>\cdot (R_<1>+jX_)+\underline_ <22>\cdot jX_ = \underline_ <1>\\ \underline_ <22>\cdot (jX_— jX_)+\underline_ <11>\cdot jX_ = 0 \\ \end $$

Подставим в полученную систему уравнений значения сопротивлений и источников и получим:

$$ \begin(1+1j)\cdot \underline_<11>+ j \cdot \underline_<22>=100 \\ j \cdot \underline_<11>=0 \\ \end $$

Решим систему уравнений и получим искомые контурные токи:

Читайте также:  Импульсные токи в электростимуляции

Произвольно зададим направления токов в ветвях.

Принятые направления токов:
Ток $ \underline_ <1>$ направлен от узла ‘2 у.’ к узлу ‘1 у.’ через элементы $ \underline_ <1>$, $ R_ <1>$.
Ток $ \underline_ <2>$ направлен от узла ‘1 у.’ к узлу ‘2 у.’ через элементы $ L_ <1>$.
Ток $ \underline_ <3>$ направлен от узла ‘1 у.’ к узлу ‘2 у.’ через элементы $ C_ <1>$.

Рассчитаем токи в ветвях исходя из полученных контурных токов.

$$ \underline_ <1>=\underline_<11>=0=0 $$ $$ \underline_ <2>=\underline_<11>+\underline_<22>=0+(-100j)=-100j $$ $$ \underline_ <3>=-\underline_<22>=-(-100j)=100j $$

После завершения расчёта на экран также выводятся векторные диаграммы токов и напряжений.

Рекомендуемые записи

В программе онлайн-расчёта электрических цепей появился расчёт по методу узловых потенциалов. Выбор метода расчёта осуществляется в…

При расчёте электрических цепей, помимо законов Кирхгофа, часто применяют метод контурных токов. Метод контурных токов…

Наряду с решением электрических схем по законам Кирхгофа и методом контурных токов используется метод узловых…

Источник

Метод контурных токов (МКТ)

date image2015-03-22
views image4321

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Рассмотрим направленный граф схемы электрической цепи (рис.5.6), токи в ветвях которой требуется определить.

Дерево графа выделено на рисунке утолщенными линиями. Предположим, что известны токи в ветвях цепи, соответствующих связям в графе (ветви 1,2,3). Тогда токи в ветвях цепи, соответствующих ветвям дерева (ветви 4,5,6) могут быть найдены через токи связей из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для узлов цепи:

Нетрудно убедиться, что возможность выразить токи в ветвях дерева графа через токи в связях имеет место при любом выборе дерева графа. Таким образом, по известным токам в ветвях цепи, соответствующих связям графа, токи в остальных ветвях цепи могут быть определены, исходя из первого закона Кирхгофа без решения системы уравнений.

Токи связей будем называть в дальнейшем контурными токами. Такая терминология представляется естественной, поскольку именно связи определяют систему независимых контуров графа.

Метод контурных токов состоит в формировании уравнений электрической цепи только относительно токов связей (контурных токов). Система уравнений, составленная по методу контурных токов для схемы с независимыми контурами, имеет вид:

Здесь: — собственное сопротивление -го контура, — общее сопротивление -го и -го контуров, — контурная э.д.с. -го контура, — контурный ток -го контура (ток -ой связи).

Для уяснения правил формирования коэффициентов системы уравнений и ее правых частей рассмотрим следующий пример.

Определим токи в ветвях схемы, изображенной на рис.5.7а.

Изобразим направленный граф этой схемы (рис. 5.7б), включающий в себя два независимых контура. Схема содержит три ветви ( ) и два узла ( ) и уравнения, записанные для нее по законам Кирхгофа, имеют вид

Исключим из рассмотрения одну из неизвестных — ток ветви дерева , и, группируя подобные члены, получим

В соответствии с изложенным выше, токи связей и являются кон-турными токами, то есть и . Система уравнений (*) принимает характерный для метода контурных токов вид

Заметим, что при другом выборе направления обхода одного из контуров (например второго), уравнения (*) примут вид

Вводя в этом случае обозначения

придем снова к системе уравнений (**).

Таким образом, при любом выборе направления обхода независимых контуров (соотношения * и ***) стандартная форма записи уравнений метода контурных токов (**) достигается при выполнении следующих правил:

· собственное сопротивление контура определяется как сумма сопротивлений ветвей, входящих в этот контур;

Читайте также:  Электрические машины постоянного тока в режиме генератора

· общее сопротивление контуров представляет собой сопротивление общей ветви контуров и , причем оно положительно, если контурные токи протекают по общей ветви в одну сторону и отрицательно — в противном случае;

· контурная э.д.с представляет собой алгебраическую сумму э.д.с., входящих в контур, при этом знак каждого слагаемого определяется совпадением (+) или не совпадением (-) направления источника и направления обхода контура.

Решив сформированную относительно контурных токов систему, нетрудно записать выражения для токов ветвей. В рассматриваемом примере (обход контуров по часовой стрелке) имеем

Основное достоинство метода контурных токов состоит в том, что он позволяет расчленить задачу определения токов в ветвях на два этапа. На первом из них решается система уравнений ( — число ветвей схемы, — число ее узлов), записанная относительно токов в связях, на втором — токи ветвей дерева определяются по найденным на предыдущем этапе токам связей.

Решение системы алгебраических уравнений МКТ можно проводить с использованием теории определителей.

В качестве примера определим МКТ токи в ветвях схемы, которая вместе с ее графом изображена на рис.5.8

В данной схеме , , . Система уравнений имеет вид

Решение системы определяют соотношения:

где — главный определитель системы

а , , . — алгебраические дополнения, получаемые из путем вычеркивания в последнем -ой строки и -го столбца и умножения вновь полученного определителя на . Отмечая справедливость равенства (поскольку ), в данном случае получим:

Главный определитель вычисляется путем разложения по любой строке или столбцу. При разложении по первой строке

Считая контурные токи , и найденными, запишем соотношения, определяющие токи ветвей:

Применение метода контурных токов при расчете цепи, содержащей кроме источников э.д.с. источники тока, имеет некоторые особенности. Это связано с тем, что граф схемы, на основе которого формируются независимые контуры, не содержит ветвей с источниками тока. Учесть наличие в цепи источников тока можно таким образом: неидеальные источники тока заменяются эквивалентными источниками э.д.с., идеальные — устраняются переносом вдоль контура. Указанные рекомендации иллюстрируют схемы, изображенные на рис.5.9, для последней из которых формируются уравнения МКТ.

При формировании уравнений метода контурных токов в схеме, содержащей зависимые источники, их учитывают вначале как независимые. Затем управляющие токи и напряжения выражаются через контурные токи, используя уравнения Кирхгофа и компонентные уравнения. После этого слагаемые из правой части системы, содержащие контурные токи, переносятся влево от знака равенства.

В качестве примера сформируем систему уравнений по методу контурных токов для схемы, изображенной вместе с ее графом на рисунке

В данной задаче количество ветвей , узлов , независимых контуров . Тогда можем записать

Выразим управляющие переменные и через контурные токи

после чего подставим сформированные коэффициенты и правые части в систему контурных уравнений

Перенесем слагаемые, содержащие контурные токи, из правой части системы в левую:

Таким образом, получена система уравнений МКТ, коэффициенты которой учитывают наличие в схеме зависимых источников.

Источник



Метод контурных токов.Решение задач

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m — количество ветвей, а n — количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.

Читайте также:  При увеличении длины дуги сила тока

Основные понятия

Контурный ток — это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура. Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например I11, I22 и тд.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС — это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.

Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I1-I6.

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I11,I22,I33. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R4 принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:

Ток первого контура I11, умножаем на собственное сопротивление R11 этого же контура, а затем вычитаем ток I22, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R21 и ток I33, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R31. Данное выражение будет равняться ЭДС E1 этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.

Например, через резистор R4 протекает ток I4, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

А для остальных

Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!

Источник