Меню

Расчет разветвленной цепи переменного тока пример

Пример решения задачи на расчет разветвленной цепи.

ОбразЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА РАСЧЕТ ОДНОФАЗНЫХ И ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.

Пример решения задачи на расчет неразветленной цепи.

Задача:Последовательно с катушкой, активное сопротивление которой R1=10 Ом и индуктив­ность L=0,0318 Гн, включен прием­ник, обладающий активным сопро­тивлением R2=1 Ом и емкостью С=796 мкф (рис. I). К цепи при­ложено переменное напряжение, изменяющееся по закону u=169,8·sin(314·t).

Определить: полное сопротив­ление цепи, коэффициент мощно­сти цепи, ток в цепи, активную, реактивную и полную мощности, а также построить в масштабе векторную диаграмму.

Как нужно изменить величину емкости, чтобы в цепи наступил резонанс напряжений? Индуктивность катушки остается постоянной.

Решение:

1. Сравнивая закон изменения напряжения о цепи с общим выражением u=UM·sin(ωt) , можно заключить, что амплиту­да напряжения UM=169,8 B, а ω=2π·f=314 (1/сек).

Отсюда действующее значение напряжения

2. Индуктивное сопротивление катушки

XL= ωL=2π·f·L=2·3.14·50·0.0318=10 Ом.

3. Емкостное сопротивление конденсатора

4. Полное сопротивление цепи

5. Коэффициент мощности цепи

6. Сила тока в цепи

7. Активная мощность

P=I 2 (R1+R2)=9.6 2 (10+1)=1014 Bт.

P=U·I·cos φ = 120·9.6·0.88=1014 Вт.

8. Реактивная мощность

Q=I 2 XLI 2 XC=I 2 (XLXC)=9.6 2 (10-4)=553 Вар.

Q=I·U·sin φ=120·9.6·0.49=553 Вар.

9. Полная мощность

S=I 2 z=9.6 2 ·12.5=1152 ВА

S=U·I=120·9.6=1152 BA

10. Построение векторной диаграммы начинаем с определения потерь напряжений на каждом сопротивлении:

Рис.2

Затем выбираем масштаб для напряжений (см. рис. 2). Построение диаграммы начинаем с вектора тока I, который от­кладываем по горизонтали вправо от точки О (рис. 2). Вдоль векто­ра тока откладываем в принятом масштабе напряжения UR1 и UR2 теряемые в активных сопротивлениях цепи. Эти напряжения совпа­дают по фазе с током. От конца вектора UR2 откладываем в сторону опережения вектора тока под углом 90° вектор потери напряжения UL в индуктивном сопро­тивлении. Из конца векто­ра UL откладываем вектор UC в сторону отставания от вектора тока на угол 90 ° . Геометрическая сумма че­тырех векторов равна пол­ному напряжению, прило­женному к цепи, т. е.

11. Для получения ре­зонанса напряжений необ­ходимо, чтобы ХCL=10 Ом, тогда , откуда При этом ток в цепи станет , где .

Пример решения задачи на расчет разветвленной цепи.

Задача: Катушка с активным сопротивлением R=20 и ин­дуктивностью L=0,0637 Гн соединена параллельно с конденсатором емкостью С =65 мкФ (рис. 3).

Определить: токи в ветвях и в неразветвленной части цепи, ак­тивные мощности ветвей, углы сдвига фаз между током и напряже­нием первой и второй ветвей и всей цепи, если к цепи приложено напряжение U=100B, частота тока f=50 Гц. Как нужно изменить емкость во второй ветви, чтобы в цепи наступил резонанс токов?

Построить векторную диаграмму.

Решение:

1. Индуктивное сопротивление катушки

XL=ωL=2π·f·L=2·3.14·50·0.0637=20 Ом.

2. Емкостное сопротивление конденсатора

3. Токи в ветвях

4. Коэффициенты мощности ветвей

5. Активные и реактивные составляющие токов ветвей

6. Ток в неразвлетвленной части цепи

Реактивные токи ветвей должны вычитаться, так как реактивный ток ветви с емкостью принимается отрицательным.

7. Коэффициент мощности всей цепи

8. Активные мощности ветвей

Построение векторной диаграммы начинаем c вектора напряжения U (рис. 4). Под углом φ1 к вектору напряжения (в сторону отста­вания) откладываем вектор тока I1, под углом φ2 (в сторону опере­жения) — вектор тока I2. Геометрическая сумма этих векторов пред­ставляет ток I в неразветвленной части цепи. Проекции токов вет­вей на вектор напряжения являются активными составляющими IR1 и IR2; проекции этих токов на вектор, перпендикулярный вектору на­пряжения, — реактивными составляющими IP1 и IP2.

9. При резонансе токов ток I совпадает на фазе с напряжением, что возможно при равенстве реактивных токов ветвей IP1=IP2 (см. векторную диаграмму (рис.5)).

Читайте также:  Активная мощность симметричной трехфазной цепи синусоидального тока

Источник

Символический (комплексный) метод расчета цепей переменного тока

ads

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt3, когда при времени t3 сумма ωt3 + φ = 90° и соответственно,

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt7, когда при времени t7 сумма углов ωt7 + φ = 270° и, соответственно,

и имеет два нулевых значения при ωtn + φ = 0, когда ωtn = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)

и имеет нулевое значение при угле ωt11, когда при времени t11 сумма ωt11 + φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от значения 0 В до максимальных 311 В и обратно.

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Комплексное число на комплексной плоскости

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

действующее значение

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

Действующее значение напряжения

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

1) показательная форма в виде

Показательная форма комплексного числа

2) тригонометрическая форма в виде

Тригонометрическая форма комплексного числа

3) алгебраическая форма

Алгебраическая форма комплексного числа

где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

В итоге получим

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду по следующим преобразованиям

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

      • Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
      • В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
      • При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
      • Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
      • Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.
Читайте также:  Типы генераторов постоянного тока их характеристики

Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

Схема с последовательным соединением элементов

Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

Схема с комплексными обозначениями

Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

По закону Ома ток в цепи равен

Закон ома в комплексной форме

где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как

Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при φ = 0° равно

Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

Находим комплексное сопротивление индуктивности

Находим комплексное сопротивление емкости

Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

Комплексные напряжения на элементах

Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2) действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;

      Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

Решение:
1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что

Комплексное сопротивление первой ветви:

Комплексное сопротивление второй ветви:

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Общее сопротивление цепи

— нагрузка носит активно-индуктивный характер

2. Находим действующие значения токов в ветвях:

Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

Действующие значения, соответственно,

3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

Источник

Решение. Расчет разветвленной цепи переменного тока

Расчет разветвленной цепи переменного тока

Разветвленные цепи переменного тока рассчитываются методом проводимости, при котором ток в каждой ветви представлен активной и реактивной составляющей.

Порядок расчета.

1. Для каждой ветви определяют активную, реактивную и полную проводимости,а так же общие их значения.

2. Определяют токи в ветвях и общий ток в цепи.

3. Определяют углы сдвига фаз ветвей и во всей цепи.

4. Определяют активную, реактивную и полную мощности.

Пример6К разветвленнойцепи переменного тока приложено напряжение U=100B. Активное сопротивление катушкиR1=20 0м, а индуктивное XL1=15 Oм. Емкостное сопротивление ветви Xc2=50 0м. Определить токи в ветвях, углы сдвига фаз, активную, реактивную и полную мощности.

Дано: U=100B R1=20 0м XL1=15 0м XC2=50 0м Определить токи в ветвях.

1.Определяем проводимости и ток для первой ветви:

2.Определяем проводимости и ток для второй ветви:

3.Для всей цепи:

Cosφ=g/y=0,032/0,032=0,99; φ=7 o

4.Активная, реактивная и полная мощности цепи:

Читайте также:  Скорость тока крови в клапанах

P=U 2 g=100 2* 0,032=320(Bт )

Q=U 2 b=100 2 *0,004=40(Bар )

S=U 2 y=100 2 *0,0322=322(BA)

5.Векторная диаграмма токов.

Построение векторной диаграммы токов начинают с выбора масштаба тока: в 1см=1А. Построение начинаем с вектора напряжения U. Токи откладывают с учетом углов сдвига фаз и характера нагрузки: в цепи с индуктивностью напряжение опережает ток на угол φ, а в цепи с емкостью –ток опережает напряжение на угол 90 о. Геометрическая сумма токов равна току в неразветвленной части цепи (Рис.9).

Источник



Разветвленная цепь переменного тока.

Рассмотрим цепь переменного тока с параллельным соединением идеальной катушки индуктивности (R=0) и конденсатора, такая цепь называется идеальным колебательным контуром.

По законам параллельного соединения :

а т.к. переменные токи легче складывать в векторной форме, запишем эти выражения в векторной форме и рассмотрим разные случаи:

U-одинаково, значит строим один вектор напряжения.

Строим векторные диаграммы:

На первой векторной диаграмме вектор общего тока опережает на 90 градусов вектор напряжения (т.к. вектор тока емкостной ветви больше вектора тока индуктивной ветви), следовательно характер нагрузки всей цепи будет емкостным; на третьей векторной диаграмме вектор общего тока отстает от вектора напряжения на 90 град., (вектор тока индуктивной ветви больше вектора тока емкостной ветви),что соответствует индуктивному характеру нагрузки.

На второй векторной диаграмме особый случай (вектор тока емкостной ветви равен вектору тока индуктивной ветви), а в цепи до разветвления ток равен 0! Этот случай называется резонансом токов. Но в реальной цепи так не бывает, рассмотрим разветвленную цепь переменного тока с реальной катушкой индуктивности.

Разветвленная цепь переменного тока с реальной катушкой индуктивности.

Рассмотрим такую цепь: реальная катушка индуктивности кроме индуктивного сопротивления fL (Ом)имеет еще и активное сопротивление провода, которым она намотана

По первому закону Кирхгофа: запишем это уравнение в векторной форме:

А теперь рассмотрим векторные диаграммы для этой цепи:

А теперь выделим прямоугольный треугольник, если все стороны прямоугольного треугольника пропорционально уменьшить или пропорционально увеличить получатся подобные треугольники. Уменьшать и увеличивать будем в U раз.

По теореме Пифагора определим гипотенузы этих треугольников:

— ток в неразветвленной части цепи.

— общая проводимость цепи.

— коэффициент мощности разветвленной цепи переменного тока.

Методы расчета цепей переменного тока.

1. Метод векторных диаграмм

Если решение задачи не требует высокой точности, можно воспользоваться этим методом. Рассмотрим неразветвленную цепь переменного тока с произвольным числом элементов.

А теперь решим задачу этим методом:

Найдем полное сопротивление первой ветви:

Найдем ток первой ветви по закону Ома:

Для других ветвей делаем то же самое:

Векторная диаграмма строится в масштабе, поэтому, измерив длину вектора общего тока, можно определить его значение.

Метод проводимостей.

Решим эту задачу методом проводимостей:

Определяем активную проводимость первой ветви

Реактивная проводимость ветви с индуктивным характером считается положительной, а реактивная проводимость ветви емкостного характера- отрицательной:

Символический метод расчета цепей переменного тока.

Это расчет эл. цепей при помощи комплексных чисел.

Комплексное число-это число, состоящее из вещественной и мнимой части. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости в виде точки или вектора.

Способы изображения комплексных чисел:

1. Алгебраическая форма записи комплекса тока: , здесь 3-вещественная часть комплексного числа, а 4- это мнимая часть комплексного числа.

2. Тригонометрическая форма записи того же самого тока:

5-это модуль комплексного числа или длина вектора, изображающего комплексное число

3.Показательная форма записи: , где 5-это модуль комплексного числа, а -это угол между осью абсцисс и вектором, изображающим комплексное число.

Сопротивления в комплексной форме.

Источник