Меню

Распределение плотности тока в проводнике matlab

Распределение плотности тока в проводнике matlab

Лабораторная работа 22

Исследование распределения постоянного тока в плоском проводящем листе

Цель работы – экспериментальное построенное графической картины поля постоянного тока в плоском проводящем листе.

1. Пояснения к работе

Электрическое поле постоянного тока в области, в которой отсутствуют сторонние электрические поля, является полем потенциальным и подчиняется уравнению Лапласа.

. (1.1)

Графическая картина плоскопараллельного поля постоянного тока образуется линиями равного потенциала и линиями тока. При её построении необходимо придерживаться ряда правил, вытекающих из основных уравнений поля и граничных условий.

Из уравнения непрерывности тока следует, что линии тока (линии, во всех точках которых вектор плотности тока направлен по касательной) непрерывны и не могут обрываться в каком либо месте проводящей среды. Они должны проходить от одного электрода к другому (от электрода с более высоким потенциалом к электроду с меньшим значением потенциала). Линии обреза проводящего листа, являясь границей раздела между проводящей средой и диэлектриком, представляют собой линии тока.

Так как , то линии тока должны быть перпендикулярны линиям равного потенциала. Поэтому к линиям обреза листа линии равного потенциала должны подходить под прямым углом. Если линии равного потенциала проводить так, чтобы разность потенциалов между соседними линиями была всюду одна и та же, а линиями тока разделить лист на равные трубки тока, то полученная система ортогональных кривых представит собой графическую картину электрического поля. В ней криволинейные прямоугольники подобны друг другу (рис.22.1) и для каждого из них будет выполняться равенство:

(1.2)

где: — номер криволинейного прямоугольника (ячейки);

— расстояние между линиями равного потенциала;

— расстояние между линиями тока.

По графической картине распределения постоянного тока в плоском проводящем листе можно получить ряд важных сведений об электрическом поле этого тока. Выяснить распределение потенциала в любой точке листа, легко определить вектор плотности тока , вектор напряженности , количество тепловой энергии , выделяемой в единице объема проводника в единицу времени, общее сопротивление листа или отдельных его частей и т.д.

Общий обзор графической картины поля дает также качественное представление о распределении тока. Плотность тока и выделение тепловой энергии будут большими в тех местах, где сетка графической картины поля будет гуще.

Направление вектора плотности тока совпадает с направлением касательной к линиям тока, а средняя его величина для данной ячейки определяется по уравнению:

(1.3)

где: — величина тока, протекающего через лист;

— число трубок тока;

— толщина листа.

Вектор напряженности электрического поля ячейки совпадает по направлению с вектором плотности тока и может быть найден из закона Ома в дифференциальной форме. Средняя для данной ячейки его величина определяется по формуле:

, (1.4)

где — удельная проводимость материала листа.

Количество тепловой энергии, выделяемой в единице объема проводника в единицу времени, также будет различно для каждой ячейки:

(1.5)

Расчет сопротивления для плоского листа произвольной формы производится по формуле:

(1.6)

где: — сопротивление — й ячейки;

— число промежутков между линиями равного потенциала.

С учетом равномерного распределения плотности тока в пределах ячейки получим формулу её сопротивления:

. (1.7)

2. Порядок выполнения работы

2.1. Собрать схему рис.22.2 и с помощью реостата установить ток 2 А.

2.2. Выбрать предел измерения гальванометра для определения потенциала различных точек поля. С этой целью сопротивление (магазин сопротивлений) установить равным критическому сопротивлению гальванометра, а величину сопротивления (магазин сопротивлений) установить максимальной и, поставив зонд вблизи одного из электродов, уменьшать сопротивление до тех пор, пока гальванометр не даст полного отклонения.

2.3. Построить линии равного потенциала электрического поля плоского проводящего листа.

Для этого с помощью зонда найти точки, имеющие потенциал, равный потенциалу точки (равенству потенциалов соответствует нулевое показание гальванометра), и соединить эти точки в линию равного потенциала. Остальные линии равного потенциала строятся так, чтобы разность потенциалов между любыми соседними линиями равного потенциала была одинаковой и равной .

Величина напряжения (число вольт, через которое проводятся линии равного потенциала) вычислить по формуле:

(2.1)

где — постоянная гальванометра ;

— сопротивление гальванометра;

— изменение положения световой стрелки гальванометра при переходе от одной эквипотенциальной линии к соседней (дел.)

Чтобы сетка графической картины поля была достаточно густой, на лист следует нанести 20-30 линий равного потенциала (при переходе от одной эквипотенциальной линии к другой изменять на 5 делений.

При построении линий равного потенциала ток следует поддерживать постоянным.

Построенную на проводящем листе картину линий равного потенциала перенести на кальку или на лист клетчатой бумаги.

2.4. Построенную на листе клетчатой бумаги картину линий равного потенциала дополнить картиной линий тока. Построение линий тока выполнить графически с учетом рекомендаций, данных в пояснении к работе.

2.5. Вычислить удельную проводимость материала плоского проводящего листа. Для этого в схеме рис.22.2 вместо листа включить узкую полоску из того же материала, определить отклонение стрелки гальванометра, и вычислить по (2.1) разность потенциалов между двумя штрихами, расположенными в средней части полоски и отстоящие друг от друга на расстоянии =1-2 см.

С этой целью наконечниками проводников, помеченными буквами и , коснуться вышеуказанных штрихов, расположенных в средней части полоски.

Вычислив сопротивление участка полоски , можно найти величину удельной проводимости материала:

, (2.2)

где: — расстояние между штрихами полоски;

— ширина полоски.

Результаты измерений и расчетов занести в таблицу 22.1.

Таблица 22.1

Экспериментальное определение удельной проводимости материала плоского проводящего листа.

I,

А

Cг,

А/дел

Rг,

Ом

rд,

Ом

rш,

Ом

,

дел

,

В

r,

,

см

,

см

h,

см

,

1/Ом см

2.6. По графической картине электрического поля плоского проводящего листа для наибольшей и наименьшей ячеек вычислить значение плотности тока, напряженность электрического поля, удельной мощности тепловых потерь и сопротивления ячейки. Вычислить также сопротивление плоского листа (1.6).

Результаты расчета свести в таблицу 22.2.

Таблица 22.2.

Характеристики электрического поля для наибольшей и наименьшей ячеек

N

п/п

I,

А

m,

n,

,

1/Ом см

h,

см

,

см

,

см

,

,

В/см

,

Вт/см3

,

Ом

,

Ом

1

2

2.7. Используя вычисленную в п.2.3 разность потенциалов между силовыми линиями равного потенциала, определить среднее значение напряженности электрического поля для наибольшей и наименьшей ячеек.

Сравнить полученные результаты с величинами напряженности
табл. 22.2.

3. Вопросы для самопроверки

3.1. Что представляет собой графическая картина электрического поля плоского проводящего листа?

3.2. Как строятся линии равного потенциала электрического поля проводящего листа?

3.3. Какие условия необходимо выполнять при графическом построении линий тока по известной картине расположения линий равного потенциала?

3.4. Как по графической картине электрического поля вычислить плотность тока, напряженность и удельную мощность тепловых потерь?

3.5. Каким образом находят сопротивление ячейки и общее сопротивление плоского листа произвольной формы?

Источник

5.5. Электрический поверхностный эффект в плоской шине. Эффект близости

Падение напряжения на проводе

Статья будет конкретная, с теоретическими выкладками и формулами. Кому не интересно, что откуда и почему, советую перейти сразу к Таблице 2 – Выбор сечения провода в зависимости от тока и падения напряжения.

И ещё – расчет потерь напряжения на длинной мощной трехфазной кабельной линии. Пример расчета реальной линии.

Итак, если взять неизменной мощность, то при понижении напряжения ток должен возрастать, согласно формуле:

P = I U. (1)

При этом падение напряжения на проводе (потери в проводах) за счет сопротивления рассчитывается, исходя из закона Ома:

U = R I. (2)

Из этих двух формул видно, что при понижении питающего напряжения потери на проводе возрастают. Поэтому чем ниже питающее напряжение, тем большее сечение провода нужно использовать, чтобы передать ту же мощность.

Для постоянного тока, где используется низкое напряжение, приходится тщательно подходить к вопросу сечения и длины, поскольку именно от этих двух параметров зависит, сколько вольт пропадёт зря.

График распределения тока.

На графике наглядно показано распределение плотности тока J в проводнике круглого сечения (цилиндрический). За пределами глубины проникновения плотность тока равна нулю или же ничтожно мала, потому как в этих местах проводника отсутствуют свободные электроны. Ток в этих местах отсутствует.

График плотности тока при скин-эффекте

Если из центра такого проводника где отсутствует ток, извлечь проводящий материал, то мы получим полый проводник в виде трубки (трубчатый). Проводящие характеристики от этого не изменятся, потому как тока там и не было, сопротивление такого проводника не изменится, но могут поменяться такие характеристики как индуктивность и емкость проводника.

Сопротивление проводника в цепи переменного тока зависит не только от материала проводника, но также от частоты тока. При высоких частотах, за счет скин-эффекта, весь ток начинает протекать практически по границе проводника, там где он контактирует со внешней, не проводящей средой.

Сопротивление медного провода постоянному току

Сопротивление провода зависит от удельного сопротивления ρ, которое измеряется в Ом·мм²/м. Величина удельного сопротивления определяет сопротивление отрезка провода длиной 1 м и сечением 1 мм².

Сопротивление того же куска медного провода длиной 1 м рассчитывается по формуле:

R = (ρ l) / S, где (3)

R – сопротивление провода, Ом,

ρ – удельное сопротивление провода, Ом·мм²/м,

l – длина провода, м,

S – площадь поперечного сечения, мм².

Сопротивление медного провода равно 0,0175 Ом·мм²/м, это значение будем дальше использовать при расчетах.

Не факт, что производители медного кабеля используют чистую медь “0,0175 пробы”, поэтому на практике всегда сечение берется с запасом, а от перегрузки провода используют защитные автоматы, тоже с запасом.

Из формулы (3) следует, что для отрезка медного провода сечением 1 мм² и длиной 1 м сопротивление будет 0,0175 Ом. Для длины 1 км – 17,5 Ом. Но это только теория, на практике всё хуже.

Ниже приведу табличку, рассчитанную по формуле (3), в которой приводится сопротивление медного провода для разных площадей сечения.

Таблица 0. Сопротивление медного провода в зависимости от площади сечения

S, мм² 0,5 0,75 1 1,5 2,5 4 6 10
R для 1м 0,035 0,023333 0,0175 0,011667 0,007 0,004375 0,002917 0,00175
R для 100м 3,5 2,333333 1,75 1,166667 0,7 0,4375 0,291667 0,175

Падение напряжения на печатных проводниках

Расчет электрических параметров ПП

Задачи конструирования печатных плат

При разработке конструкции печатных плат решаются следующие задачи:

1) схемотехнические — трассировка печатных проводников, минимизация количества слоев и т.д.;

2) радиотехнические — расчет паразитных наводок, параметров линий связи и т.д.;

3) теплотехнические — температурный режим работы печатной платы, теплоотвод и т.д.;

4) конструктивные — размещение элементов на печатной плате, контактирование и т.д.;

5) технологические — выбор меда изготовления, защита и т.д.

Все эти задачи взаимосвязаны между собой. Например, от метода изготовления зависят точность размеров проводников и их электрические характеристики, а от расположения печатных проводников — степень влияния их друг на друга и т.д.

Печатные проводники проходят на достаточно близком расстоянии друг от друга и имеют относительно малые линейные размеры сечения. С увеличением быстродействия ЭВМ все большее значение приобретают вопросы учета параметров проводников и высокочастотных связей между ними.

Рассмотрим определение основных характеристик печатных проводников.

Сопротивление проводника. Сопротивление проводника определяется выражением

— удельное объемное электрическое сопротивление проводника;
l
— длина проводника;
b
— ширина проводника;
t
— толщина проводника. Величина
ρ
различается для проводников, изготовленных различными методами. Так, для медных проводников, полученных электрохимическим осаждением, ρ равно 0,02-0,03 мкОм/м, а для медных проводников, полученных методом химического травления ρ равно примерно 0,0175 мкОм/м.

Постоянный ток в проводниках. Величина тока в печатных проводниках определяется, в первую очередь, ограничением на максимально допустимую плотность тока для конкретного материала γ. Для медных проводников, полученных электрохимическим осаждением γ равна около 20 А/мм2, и около 30 А/мм2 для проводников, полученных методом химического травления фольги.

Допустимый ток в печатных проводниках определяется как

а ширина должна отвечать следующему условию:

Падение напряжения на печатных проводниках определяется как:

В отличие от постоянного тока распределение переменного тока в печатных проводниках происходит неравномерно. Это обусловлено наличием поверхностного эффекта, возникающего при протекании по проводнику высокочастотного переменного тока. При этом внутри проводника образуется магнитное поле, приводящее к возникновению индукционного тока, взаимодействующего с основным. Вследствие этого происходит перераспределение тока по сечению проводника, и в результате его плотность в периферийных областях сечения возрастает, а ближе к центру уменьшается. На высоких частотах ток во внутренних слоях проводника уменьшается практически до нуля.

Расчет падения напряжения на проводе для постоянного тока

Теперь по формуле (2) рассчитаем падение напряжения на проводе:

U = ((ρ l) / S) I , (4)

То есть, это то напряжение, которое упадёт на проводе заданного сечения и длины при определённом токе.

Вот такие табличные данные будут для длины 1 м и тока 1А:

Таблица 1. Падение напряжения на медном проводе 1 м разного сечения и токе 1А:

S, мм² 0,5 0,75 1 1,5 2,5 4 6 8 10
U, B 0,0350 0,0233 0,0175 0,0117 0,0070 0,0044 0,0029 0,0022 0,0018

Эта таблица не очень информативна, удобнее знать падение напряжения для разных токов и сечений. Напоминаю, что расчеты по выбору сечения провода для постоянного тока проводятся по формуле (4).

Таблица 2. Падение напряжения при разном сечении провода (верхняя строка) и токе (левый столбец). Длина = 1 метр

S,мм²
I,A
1 1,5 2,5 4 6 10 16 25
1 0,0175 0,0117 0,0070 0,0044 0,0029 0,0018 0,0011 0,0007
2 0,0350 0,0233 0,0140 0,0088 0,0058 0,0035 0,0022 0,0014
3 0,0525 0,0350 0,0210 0,0131 0,0088 0,0053 0,0033 0,0021
4 0,0700 0,0467 0,0280 0,0175 0,0117 0,0070 0,0044 0,0028
5 0,0875 0,0583 0,0350 0,0219 0,0146 0,0088 0,0055 0,0035
6 0,1050 0,0700 0,0420 0,0263 0,0175 0,0105 0,0066 0,0042
7 0,1225 0,0817 0,0490 0,0306 0,0204 0,0123 0,0077 0,0049
8 0,1400 0,0933 0,0560 0,0350 0,0233 0,0140 0,0088 0,0056
9 0,1575 0,1050 0,0630 0,0394 0,0263 0,0158 0,0098 0,0063
10 0,1750 0,1167 0,0700 0,0438 0,0292 0,0175 0,0109 0,0070
15 0,2625 0,1750 0,1050 0,0656 0,0438 0,0263 0,0164 0,0105
20 0,3500 0,2333 0,1400 0,0875 0,0583 0,0350 0,0219 0,0140
25 0,4375 0,2917 0,1750 0,1094 0,0729 0,0438 0,0273 0,0175
30 0,5250 0,3500 0,2100 0,1313 0,0875 0,0525 0,0328 0,0210
35 0,6125 0,4083 0,2450 0,1531 0,1021 0,0613 0,0383 0,0245
50 0,8750 0,5833 0,3500 0,2188 0,1458 0,0875 0,0547 0,0350
100 1,7500 1,1667 0,7000 0,4375 0,2917 0,1750 0,1094 0,0700

Какие пояснения можно сделать для этой таблицы?

1. Красным цветом я отметил те случаи, когда провод будет перегреваться, то есть ток будет выше максимально допустимого для данного сечения. Пользовался таблицей, приведенной у меня на СамЭлектрике: Выбор площади сечения провода.

2. Синий цвет – когда применение слишком толстого провода экономически и технически нецелесообразно и дорого. За порог взял падение менее 1 В на длине 100 м.

Как пользоваться таблицей выбора сечения?

Пользоваться таблицей 2 очень просто. Например, нужно запитать некое устройство током 10А и постоянным напряжением 12В. Длина линии – 5 м. На выходе блока питания можем установить напряжение 12,5 В, следовательно, максимальное падение – 0,5В.

В наличии – провод сечением 1,5 квадрата. Что видим из таблицы? На 5 метрах при токе 10 А потеряем 0,1167 В х 5м = 0,58 В. Вроде бы подходит, учитывая, что большинство потребителей терпит отклонение +-10%.

Но. ПрОвода ведь у нас фактически два, плюс и минус, эти два провода образуют кабель, на котором и падает напряжение питания нагрузки. И так как общая длина – 10 метров, то падение будет на самом деле 0,58+0,58=1,16 В.

Иначе говоря, при таком раскладе на выходе БП 12,5 Вольт, а на входе устройства – 11,34. Этот пример актуален для питания светодиодной ленты.

И это – не учитывая переходное сопротивление контактов и неидеальность провода (“проба” меди не та, примеси, и т.п.)

Поэтому такой кусок кабеля скорее всего не подойдет, нужен провод сечением 2,5 квадрата. Он даст падение 0,7 В на линии 10 м, что приемлемо.

А если другого провода нет? Есть два пути, чтобы снизить потерю напряжения в проводах.

1. Надо размещать источник питания 12,5 В как можно ближе к нагрузке. Если брать пример выше, 5 метров нас устроит. Так всегда и делают, чтобы сэкономить на проводе.

2. Повышать выходное напряжение источника питания. Это черевато тем, что с уменьшением тока нагрузки напряжение на нагрузке может подняться до недопустимых пределов.

Например, в частном секторе на выходе трансформатора (подстанции) устанавливают 250-260 Вольт, в домах около подстанции лампочки горят как свечи. В смысле, недолго. А жители на окраине района жалуются, что напряжение нестабильное, и опускается до 150-160 Вольт. Потеря 100 Вольт! Умножив на ток, можно вычислить мощность, которая отапливает улицу, и кто за это платит? Мы, графа в квитанции “потери”.

Объяснение поверхностного эффекта

Следует подчеркнуть одинаковую плотность тока при подключении проводника к источнику питания с постоянным напряжением. Однако ситуация изменяется при прохождении волнового сигнала.


Распределение плотности тока в проводнике

Физическая картина возникновения

Для объяснения причин явления можно использовать вторую часть пояснительной картинки выше. В графической форме показаны силовые воздействия, которые образуются переменным полем. Электрическая составляющая (Е) направлена противоположно току (I), что объясняет возникающее сопротивление и соответствующее уменьшение амплитуды. По мере приближения к поверхности будет проявляться обратный эффект. Он вызван совпадением векторов напряженностей.

Уравнение, описывающее скин-эффект

Для выражения амплитуды через плотность тока берут определяющие соотношения из классических уравнений закона Ома и формул Максвелла. Дифференциалом по заданному временному интервалу можно вычислить значения магнитной и электрической компонент поля. В упрощенном виде рассматривают бесконечный проводящий образец, созданный из однородного материала.

Источник

Распределение плотности тока в проводнике matlab

Рельсотрон – импульсный электродный ускоритель масс, состоящий из двух параллельных электропроводных шин, вдоль которых движется электропроводная масса (снаряд или плазма) [8]. Принцип работы основан на превращении электрической энергии в кинетическую энергию снаряда. С изготовлением рельсотрона связан ряд серьёзных проблем: импульс должен быть настолько мощным и резким, чтобы снаряд не успел бы испариться и разлететься, но возникла бы ускоряющая сила, разгоняющая его вперед. Поэтому материал снаряда и рельс должен обладать как можно более высокой проводимостью, снаряд как можно меньшей массой, а источник тока как можно большей мощностью и меньшей индуктивностью [5, 6].

Количественное определение указанных характеристик позволит глубже познать особенности физических процессов, происходящих в рельсотроне, а также многих электрофизических устройств, работающих в импульсном электромагнитном поле (ЭМП), когда при проектировании и оптимизации их работы возникает необходимость расчета параметров с учетом проникновения (диффузии) ЭМП в массивные проводники [7]. В работе предложена математическая модель для исследования процессов, происходящих в рельсотроне, и алгоритм расчета электрических параметров на основе расчета энергии электромагнитного поля.

Необходимо учесть, что распределение плотности тока по сечению рельсотрона неравномерно. Форма импульса тока – несинусоидальна. Поэтому при расчёте распределения плотности тока по сечению проводника применялся принцип наложения. В соответствии с принципом суперпозиции (наложения) расчёт можно вести для каждой гармоники отдельно. Рассмотрим несинусоидальный импульс тока как ток от действия пяти гармоник, амплитуды и начальные фазы которых определяются с использованием разложения в ряд Фурье. Гармониками выше пятой можно пренебречь, степень приближения к исходному импульсу можно оценить, используя теорему Парсеваля [7]:

kolchan01.wmf

где k – номер гармоники; F0, Ak, kolchan02.wmf– постоянная составляющая, амплитуды косинусной и синусной составляющей k-й гармоники; f(t) – исследуемая функция; T – период.

Качественно приближения к исходному импульсу демонстрирует рис. 1. Сплошной линией изображена исходная функция, пунктирной – полученная в результате сложения пяти гармоник и постоянной составляющей, Im – амплитуда однополярного синусоидального импульса. Определим частотный спектр импульса. Для этого разложим импульс в ряд Фурье, определив коэффициенты разложения Ak, k = 0, . N. Для определения коэффициентов использовалась стандартная программа быстрого преобразования Фурье (FFT) программно-интегрированной среды MathCAD. Далее функция представлялась в виде ряда:

kolchan18.wmf

где kolchan03.wmf

Спектр и результат восстановления функции по коэффициентам представлены ниже.

Число коэффициентов разложения бралось N = 15. Из спектра импульса видно, что, начиная с 5 гармоники, относительный вклад высших гармоник в импульсе не превышает 5 %.

pic_59.wmfа

pic_60.wmfб

Рис. 1. Однополярный импульс: а – исходный импульс показан сплошной линией, пунктирной показан импульс, полученный в среде MathCAD; б – амплитудно-частотный спектр

Зная геометрические размеры рельсотрона, решаем уравнение электрического поля в проводнике (1) численным методом интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных путем сведения их к уравнениям в конечных разностях [2, 4].

kolchan04.wmf(1)

где E – напряженность электрического поля; μ = 4π∙10–7 – магнитная постоянная; γ = 57∙10 6 1/(Ом∙м) – удельная проводимость (для меди); ε = 8,86∙10 –12 – электрическая постоянная; ω – угловая частота.

В проводящей среде даже при очень высоких частотах произведение ω2ε много меньше ωγ. Поэтому с большой степенью точности слагаемым ω2εE можно пренебречь.

Программная среда pdetool математического пакета Matlab позволяет найти решения дифференциальных уравнений в двумерных областях методом конечных элементов [1, 3]. В результате получаем массив распределения плотности тока по поперечному сечению рельсотрона. Графики распределения плотности тока по сечению даны на рис. 2. С увеличением частоты плотность тока возрастает к периферии рельсотрона. Электрическое поле определяется через плотность kolchan05.wmfтока проводимость γ

kolchan06.wmf

Зная распределение тока по сечению, можно вычислить напряженности поля kolchan07.wmfи kolchan08.wmf. Электрическое поле определяется через плотность kolchan09.wmfтока проводимость γ. kolchan10.wmf.

Об адекватности метода можно судить по совпадению полученных результатов с известным расчётом распределения плотности тока круглого проводника с использованием функций Бесселя [2, с. 168–170], на рис. 3, б – пунктирная линия, с использованием среды pdetool математического пакета Matlab – сплошная линия.

Электрическое поле и магнитное связаны уравнением Максвелла.

kolchan11.wmf

Откуда определяется напряженность магнитного поля с учётом того, что у вектора напряжённости электрического поля присутствует только z-я составляющая (ось z направим вдоль оси рельсотрона (рис. 4))

kolchan12.wmf.

Известно, что операция дифференцирования является некорректно поставленной задачей (в частности, малые ошибки могут вызвать сколь угодно большие ошибки в производной). Для устойчивого дифференцирования функции E(x, y), заданной в виде дискретного массива данных в расчётных точках xi, yi значениями kolchan13.wmfв качестве приближения для E(x, y) примем сглаживающий кубический сплайн (СКС).

pic_61.tifа pic_62.wmfб

Рис. 2. а – распределение плотности тока по объёму рельсотрона; б – профиль распределения плотности тока, где а – ширина рельсотрона

pic_63.tifа pic_64.wmfб

pic_65.wmf

Рис. 3. а – распределение плотности тока по объёму проводника; б – профиль распределения плотности тока, где х – радиус проводника в метрах; в – распределение тока в цилиндрическом медном γ = 57∙106 Ом∙м проводе для разных частот

pic_66.tif

Рис. 4. Магнитное поле рельсотрона и ориентация осей декартовой системы координат для расчёта ЭМП методом конечных элементов

Вследствие того, что ток и магнитное поле распределяются внутри рельсотрона неравномерно, активное сопротивление и индуктивность для переменного тока отличаются от соответствующих значений квазистационарного тока.

Активное и индуктивное сопротивление рельсотрона при различных частотах определим с помощью теоремы Умова – Пойтинга в комплексной форме. С этой целью рассчитаем поток Пойтинга через боковую поверхность рельсотрона на длине в 1 метр и разделим на квадрат тока, протекающего по рельсотрону; получаем комплексное сопротивление на единицу длины [2].

kolchan14.wmf

kolchan15.wmf(2)

Из (2) определяется индуктивность рельсотрона и активное сопротивление на единицу длины для каждой расчётной гармоники входного тока.

kolchan16.wmf

kolchan17.wmf

Выводы

Приводится алгоритм определения распределения тока по поперечному сечению рельсотрона при воздействии синусоидального однополярного импульса на основе разложения импульса в ряд Фурье с дальнейшим определением величин погонной индуктивности и активного сопротивления рельсотрона для каждой расчётной гармоники тока. Полученная математическая модель позволяет определить распределения тока по поперечному сечению рельсотрона с достоверной погрешностью для дальнейших исследований без использования натурного эксперимента. Апробация метода была произведена на примере расчёта плотности тока проводника круглого сечения [2, с. 168–170].

Рецензенты:

Усов Ю.П., д.т.н., профессор кафедры ЭСиЭ ЭНИН, ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский политехнический университет», г. Томск;

Канев Ф.Ю., д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник, Институт оптики и атмосферы им. В.Е. Зуева СО РАН, г. Томск.

Источник



4.1. Сила тока и плотность тока в проводнике

В проводниках часть валентных электронов не связана с определенными атомами и может свободно перемещаться по всему его объему. В отсутствие приложенного к проводнику электрического поля такие свободные электроны — электроны проводимости — движутся хаотично, часто сталкиваясь с ионами и атомами, и изменяя при этом энергию и направление своего движения. Через любое сечение проводника в одну сторону проходит столько же электронов, сколько и в противоположную. Поэтому результирующего переноса электронов через такое сечение нет, и электрический ток равен нулю. Если же к концам проводника приложить разность потенциалов, то под действием сил электрического поля свободные заряды в проводнике начнут двигаться из области большего потенциала в область меньшего — возникнет электрический ток. Исторически сложилось так, что за направление тока принимают направление движение положительных зарядов, которое соответствует их переходу от большего потенциала к меньшему.

Электрический ток характеризуется силой тока I (рис. 4.1).

Сила тока есть скалярная величина, численно равная заряду переносимому через поперечное сечение проводника в единицу времени

Рис. 4.1. Сила тока в проводнике

Согласно (4.1), сила тока в проводнике равна отношению заряда , прошедшего через поперечное сечение проводника за время к этому времени.

Замечание: В общем случае сила тока через некоторую поверхность равна потоку заряда через эту поверхность.

Если сила тока с течением времени не изменяется, то есть за любые равные промежутки времени через любое сечение проводника проходят одинаковые заряды, то такой ток называется постоянным, и тогда заряд, протекший за время t, может быть найден как (рис. 4.2)

Рис. 4.2. Постоянный ток, протекающий через разные сечения проводника

Величина , численно равная заряду, проходящему через единицу площади поперечного сечения проводника за единицу времени, называется плотностью тока.

С учетом определения силы тока плотность тока через данное сечение может быть выражена через силу тока , протекающего через это сечение

При равномерном распределении потока зарядов по всей площади сечения проводника плотность тока равна

В СИ единицей измерения силы тока является ампер (А). В СИ эта единица измерения является основной.

Уравнение (4.1) связывает единицы измерения силы тока и заряда

В СИ единицей измерения плотности тока является ампер на квадратный метр (А/м 2 ):

Это очень малая величина, поэтому на практике обычно имеют дело с более крупными единицами, например

Плотность тока можно выразить через объемную плотность зарядов и скорость их движения v (рис. 4.3).

Рис. 4.3. К связи плотности тока j с объемной плотностью зарядов и дрейфовой скоростью v носителей заряда. За время dt через площадку S пройдут все заряды из объема dV = vdt S

Полный заряд, проходящий за время dt через некоторую поверхность S, перпендикулярную вектору скорости v, равен

Так как dq/(Sdt) есть модуль плотности тока j, можно записать

Поскольку скорость v есть векторная величина, то и плотность тока также удобно считать векторной величиной, следовательно

Здесь плотность заряда, скорость направленного движения носителей заряда.

Замечание: Для общности использован индекс , так как носителями заряда, способными участвовать в создании тока проводимости, могут быть не только электроны, но, например, протоны в пучке, полученном из ускорителя или многозарядные ионы в плазме, или так называемые «дырки» в полупроводниках «р» типа, короче, любые заряженные частицы, способные перемещаться под воздействием внешних силовых полей.

Кроме того, удобно выразить плотность заряда через число носителей заряда в единице объема — (концентрацию носителей заряда) . В итоге получаем:

Следует подчеркнуть, что плотность тока, в отличие от силы тока — дифференциальная векторная величина. Зная плотность тока, мы знаем распределение течения заряда по проводнику. Силу тока всегда можно вычислить по его плотности. Соотношение (4.4) может быть «обращено»: если взять бесконечно малый элемент площади , то сила тока через него определится как . Соответственно, силу тока через любую поверхность S можно найти интегрированием

Что же понимать под скоростью заряда v, если таких зарядов — множество, и они заведомо не движутся все одинаково? В отсутствие внешнего электрического поля, скорости теплового движения носителей тока распределены хаотично, подчиняясь общим закономерностям статистической физики. Среднее статистическое значение ввиду изотропии распределения по направлениям теплового движения. При наложении поля возникает некоторая дрейфовая скорость — средняя скорость направленного движения носителей заряда:

которая будет отлична от нуля. Проведем аналогию. Когда вода вырывается из шланга, и мы интересуемся, какое ее количество поступает в единицу времени на клумбу, нам надо знать скорость струи и поперечное сечение шланга. И нас совершенно не волнуют скорости отдельных молекул, хотя они и очень велики, намного больше скорости струи воды, как мы убедились в предыдущей части курса.

Таким образом, скорость в выражении (4.7) — это дрейфовая скорость носителей тока в присутствии внешнего электрического поля или любого другого силового поля, обуславливающего направленное (упорядоченное) движение носители заряда. Если в веществе возможно движение зарядов разного знака, то полная плотность тока определяется векторной суммой плотностей потоков заряда каждого знака.

Как уже указывалось, в отсутствие электрического поля движение носителей заряда хаотично и не создает результирующего тока. Если, приложив электрическое поле, сообщить носителям заряда даже малую (по сравнению с их тепловой скоростью) скорость дрейфа, то, из-за наличия в проводниках огромного количества свободных электронов, возникнет значительный ток.

Поскольку дрейфовая скорость носителей тока создается электрическим полем, логично предположить пропорциональность

так что и плотность тока будет пропорциональна вектору напряженности (рис. 4.4)

Более подробно этот вопрос обсуждается в Дополнении

Входящий в соотношение (4.9)

Коэффициент пропорциональности называется проводимостью вещества проводника.

Проводимость связывает напряженность поля в данной точке с установившейся скоростью «течения» носителей заряда. Поэтому она может зависеть от локальных свойств проводника вблизи этой точки (то есть от строения вещества), но не зависит от формы и размеров проводника в целом. Соотношение (4.9) носит название закона Ома для плотности тока в проводнике (его называют также законом Ома в дифференциальной форме).

Рис. 4.4. Силовые линии электрического поля совпадают с линиями тока

Чтобы понять порядки величин, оценим дрейфовую скорость носителей заряда в одном из наиболее распространенных материалов — меди. Возьмем для примера силу тока I = 1 А, и пусть площадь поперечного сечения провода составляет
1 мм 2 = 10 –6 м 2 . Тогда плотность тока равна j = 10 6 А/м 2 . Теперь воспользуемся соотношением (4.7)

Носителями зарядов в меди являются электроны (е = 1.6·10 -19 Кл), и нам осталось оценить их концентрацию . В таблице Менделеева медь помещается в первой группе элементов, у нее один валентный электрон, который может быть отдан в зону проводимости. Поэтому число свободных электронов примерно совпадает с числом атомов. Берем из справочника плотность меди — r Cu=8,9·10 3 кг/м3. Молярная масса меди указана в таблице Менделеева — MCu = 63,5·10 –3 кг/моль. Отношение

— это число молей в 1 м 3 . Умножая на число Авогадро Na = 6,02·10 23 моль –1 , получаем число атомов в единице объема, то есть концентрацию электронов

Теперь получаем искомую оценку дрейфовой скорости электронов

Для сравнения: скорости хаотического теплового движения электронов при 20°С в меди по порядку величины составляют 10 6 м/с, то есть на одиннадцать порядков величины больше.

Возьмем произвольную воображаемую замкнутую поверхность S, которую в разных направлениях пересекают движущиеся заряды. Мы видели, что полный ток через поверхность равен

где dq — заряд, пересекающий поверхность за время dt. Обозначим через q ‘ заряд, находящийся внутри поверхности. Его можно выразить через плотность заряда , проинтегрированную по всему объему, ограниченному поверхностью

Из фундаментального закона природы — закона сохранения заряда — следует, что заряд dq, вышедший через поверхность за время dt, уменьшит заряд q ‘ внутри поверхности точно на эту же величину, то есть dq ‘ = –dq или

Подставляя сюда написанные выше выражения для скоростей изменения заряда внутри поверхности , получаем математическое соотношение, выражающее закон сохранения заряда в интегральной форме

Напомним, что интегрирования ведутся по произвольной поверхности S и ограниченному ею объему V.

Источник

Читайте также:  Двигателя пост тока от напряжения