Меню

Сила тока в момент размыкания цепи

Сила тока в момент размыкания цепи

При любом изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, после чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, по правилу Ленца, всегда имеют такое направление, чтобы оказывать сопротивление изменениям тока в цепи, т. е. имеет направление, противоположное току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки так же направлены, как и ослабевающий ток. Значит, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.

Исследуем процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ , катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R . Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток

сила тока при размыкании цепи

(пренебрегаем внутренним сопротивлением источника тока).

В момент времени t=0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет убывать, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции ξs = -L(dI/dt) оказывающей препятствие, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи задается законом Ома I= ξs/R, или

закон Ома при размыкании цепи(1)

Разделив в формуле (1) переменные, получим (dI/I) = -(R/L)dt . Интегрируя эту формулу по I (от I до I) и t (от 0 до t), найдем ln (I/I) = –Rt/L, или

сила тока при размыкании цепи(2)

где τ = L/R — постоянная, которая называется временем релаксации. Из (2) видно, что τ есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Значит, в процессе отключения источника тока сила тока уменьшается по экспоненциальному закону (2) и задается кривой 1 на рис. 1. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше τ и, значит, тем медленнее убывает ток в цепи при ее размыкании.

сила тока при размыкании и замыкании цепи
Рис.1

При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. ξ возникает э. д. с. самоиндукции ξs = -L(dI/dt) оказывающая препятствие, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR = ξ+ξs или

закон Ома при замыкании цепи

Зададим переменную u = (IR — ξ) преобразуем эту формулу как

закон Ома при замыкании цепи

где τ — время релаксации.

В момент замыкания (t=0) сила тока I = 0 и u = –ξ . Значит, интегрируя по u и (от –ξ до IR–ξ) и t (от 0 до t), найдем ln[(IR–ξ)]/(–ξ) = -t/τ, или

сила тока при замыкании цепи(3)

где I=ξ/R — установившийся ток (при t→∞).

Значит, в процессе включения источника тока увеличение силы тока в цепи определяется функцией (3) и кривой 2 на рис. 1. Сила тока увеличивается от начального значения I=0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I=ξ/R . При этом, скорость нарастания тока задается тем же временем релаксации τ = L/R, что и убывание тока. Установление тока осуществляется тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и чем больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндукции ξs , которая возникает при мгновенном нарастании сопротивления цепи постоянного тока от Rдо R. Допустим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I=ξ/R . При размыкании цепи ток будет менеться по формуле (2). Подставив в нее формулу для I и τ, найдем

сила тока при замыкании цепи

ЭДС самоиндукции

т. е. при значительном возрастании сопротивления цепи (R/R>>1), которая обладает большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз быть больше э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Значит, необходимо учитывать, что контур, который содержит индуктивность, нельзя резко размыкать, так как при этом (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и поломке измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции больших значений не достигнет.

Источник

Сила тока в момент размыкания цепи

По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы противодействовать изменениям тока в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.

Читайте также:  Направление тока в обмотках электромагнитов

Найдем сначала характер изменения тока при размыкании цепи. Пусть в цепь с не зависящей от индуктивностью L и сопротивлением R включен источник тока э.д.с. (рис. 65.1).

В цепи будет течь постоянный ток

(сопротивление источника тока считаем пренебрежимо малым). В момент времени отключим источник тока, замкнув одновременно цепь накоротко переключателем П. Как только сила тока в цепи начнет убывать, возникнет э. д. с. самоиндукции, противодействующая этому убыванию. Сила тока в цепи будет удовлетворять уравнению

Уравнение (65.2) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Разделив переменные, получим

(имея в виду дальнейшие преобразования, мы постоянную интегрирования написали в виде ). Потенцирование этого соотношения дает

Выражение (65.3) является общим решением уравнения (65.2). Значение найдем из начальных условий. При сила тока имела значение (65.1). Следовательно,

Подставив это значение в (65.3), придем к выражению

Итак, после отключения источника э. д. с. сила тока в цепи не обращается мгновенно в нуль, а убывает по экспоненциальному закону (65.4). График убывания дан на рис. 65.2 (кривая ).

Скорость убывания определяется имеющей размерность времени величиной

которую называют постоянной времени цепи. Заменив в (65.4) через получим

В соответствии с этой формулой есть время, в течение которого сила тока уменьшается в раз. Из (65.5) видно, что чем больше индуктивность цепи L и меньше ее сопротивление R, тем больше постоянная времени и тем медленнее спадает ток в цепи.

Для упрощения расчетов мы считали, что цепь в момент отключения источника тока замыкается накоротко. Если просто разорвать цепь с большой индуктивностью, возникающее высокое индуцированное напряжение создает искру или дугу в месте разрыва.

Теперь рассмотрим случай замыкания цепи. После подключения источника э. д. с., до тех пор пока сила тока не достигнет установившегося значения (65.1), в цепи кроме э. д. с. будет действовать э. д. с. самоиндукции. Следовательно, в соответствии с законом Ома

Мы пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению, которое отличается от уравнения (65.2) лишь тем, что в правой части вместо нуля в нем стоит постоянная величина Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения (см. § 52 1-го тома). Общее решение однородного уравнения имеет вид (65.3). Легко убедиться в том, что является частным решением уравнения (65.7).

Следовательно, общим решением уравнения (65.7) будет функция

В начальный момент сила тока I равна нулю. Отсюда Таким образом,

Эта функция описывает нарастание тока в цепи после подключения к ней источника э. д. с. График функции (65.8) дан на рис. 65.2 (кривая 2).

Источник

Сила тока в момент размыкания цепи

$5. Токи при замыкании и размыкании цепи

Рассмотрим цепь, состоящую из источника

тока с ЭДС ? , сопротивления R , индуктивности L и ключа К.

В цепи течет ток

В момент времени t = 0 отключим ЭДС, замкнув цепь накоротко (ключ в положении 2). Как только сила тока начнет убывать возникнет Э ДС самоиндукции, препятствующая этому убыванию.

Сила тока в цепи удовлетворяет закону Ома:

Пропотенцировав

— постоянная времени цепи, определяет скорость убывания (возрастания) тока в цепи,

следовательно, τ — время , в течение которого сила тока в цепи уменьшается в е раз. Чем больше L и меньше R (т.е. чем больше τ ), тем медленнее спадает ток в цепи.

  1. Ток при замыкании.
Читайте также:  При протекании тока через металлический проводник

После подключения Э ДС до тех пор, пока сила тока не достигнет установившегося значения , в цепи, кроме ЭДС ? будет действовать Э ДС самоиндукции, препятствующая мгновенному нарастанию тока.

Тогда закон Ома запишется в виде:

линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Его решение равно сумме общего решения однородного дифференциаль­ного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнений.

Общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения:

Общее решение неоднородного уравнения:

при t = 0 I = 0 , следовательно, I = const , тогда

§6 Взаимная индукция.

Трансформаторы

Рассмотрим два неподвижных контура (1 и 2), расположенных достаточно близко друг от друга. Если в контуре 1 течет ток I 1 , то магнитный поток, создаваемый этим током пропорционален I 1 . Обозначим через Ф21 ту часть потока, которая пронизывает контур 2 . Тогда

где L 21 — коэффициент пропорциональности.

Аналогично, при протекании в контуре 2 тока I 2 магнитный поток пронизывает контур 1 — Ф12

Явление возникновения Э ДС в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности L 12 и L 21 называются взаимной индуктивностью контуров.

L 12 и L 21 зависят от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружающей контуры среды.

Рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник. Магнитная индукция поля, создаваемого катушкой 1 с числом витков N 1 , магнитной проницаемость µ сердечника :

где -длина сердечника по средней линии

Магнитный поток через один виток катушки 2:

Полный магнитный поток:

  1. Трансформаторы (преобразователи) — устройства для повышения, понижения, гальванической развязки и др. напряжения и тока.

Принцип действия основан на явлении взаимной индукции. Первичная

и вторичная обмотки, имеющие N 1 и N 2 витков соответственно, укреплены на замкнутом железном сердечнике. Изменение потока в обмотке 1 , подключенной к переменной ЭДС, вызывает во вторичной обмотке появление Э ДС взаимной индукции, а в первичной — Э ДС самоиндукции.

Ток I 1 первичной обмотки определяется по закону Ома

R 1 — сопротивление первичной обмотки,

I 1 R 1 мало по сравнении и в переменных полях. Следовательно,

ЭДС взаимной индукции во вторичной обмотке

Знак “ — “означает, что фазы и противоположны.

— коэффициент трансформации.

k > 1- повышающий трансформатор;

k понижающий трансформатор.

Следовательно, токи в обмотках обратно пропорциональны числу витков в этих обмотках.

Трансформатор, состоящий из одной обмотки, называется автотрансформатором.

Источник



Токи при размыкании и замыкании цепи.

date image2015-10-22
views image11146

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т.е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. Ei, сопротивление R и индуктивность L. Под действием внешней э.д.с. в цепи течет постоянный ток Io =E/R (внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

В момент времени t = 0 отключим источник тока. Ток через катушку индуктивности начнет уменьшаться, что приведет к возникновению эдс самоиндукции Es= –L(dI/dt), препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I =Es/R, или

IR =–L(dI/dt). (18.1)

Разделив переменные, получим dI/I = – Rdt/L. Интегрируя это уравнение по I (от Io до I) и t (от 0 до t), находим ln(I/Io) = – Rt/L, или

I(t) =Io exp (– t/τ), (18.2)

где τ =L/R – постоянная, называемая временем релаксации, равная времени, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Читайте также:  Коэффициент усиления по току биполярного транзистора формула

Таким образом, в процессе отключения источника э.д.с. сила тока убывает по экспоненциальному закону (18.2) и определяется кривой 1 на рис. (19). Чем больше индуктивность цепи и меньше сопротивление, тем больше τ и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э.д.с E возникает э.д.с самоиндукции Es= –L(dI/dt), препятствующая, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома IR = E + Es или

IR = E –L(dI/dt). Введя новую переменную u = IR – E, преобразу- Рис.19. ем это уравнение к виду du/u = – dt/τ , где τ – время релаксации.

В момент замыкания (t = 0) сила тока I =0 и u = –E. Следовательно, интегрируя по u (от –E до IR–E) и t (от 0 до t), находим ln[(IR–E)/(–E)] = –t/τ, или

I(t)=Io[1-exp(–t/τ)], (18.3)

где Io= E/R – установившийся ток (при t → ¥).

Таким образом, в процессе включения источника э.д.с нарастание силы тока в цепи задается функцией (18.3) и определяется кривой 2 на рис.19. Сила тока возрастает от начального значения I=0 и асимптотически стремится к установившемуся значению Io= E/R. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации τ =L/R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.

Контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как возникновение при этом значительных э.д.с. самоиндукции может привести к пробою изоляции и выводу из строя электрических приборов.

Трансформаторы.

Принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении взаимной индукции. Первые трансформаторы были сконструированы и введены в практику русским электротехником П.Н.Яблочковым (1847 – 1894) и русским физиком И.Ф.Усагиным (1855 – 1919). Принципиальная схема трансформатора показана на рис. 20.

Первичная и вторичная катушки (обмотки), имеющие соответственно n1 и n2 витков, укреплены на замкнутом железном сердечнике. Так как концы первичной обмотки присоединены к источнику переменного напряжения с э.д.с. E1, то в ней возникает переменный ток создающий в сердечнике трансформатора переменный магнитный поток Ф, который практически полностью локализован в

железном сердечнике и, следовательно, почти целиком

пронизывает витки вторичной обмотки. Изменение этого потока вызывает во вторичной обмотке появление э.д.с. электромагнитной индукции, а в первичной – э.д.с. самоиндукции.

По закону Ома, ток I1, первичной обмотки определяется алгебраической суммой внешней э.д.с. и э.д.с. самоиндукции: I1R1=[Ei–d(n1Ф)/dt], где R1 – сопротивление первичной обмотки. Падение напряжения I1R1 на сопротивлении R1, при быстропеременных полях мало по сравнению с каждой из двух э.д.с., поэтому E1»n1dФ/dt.

Э.д.с. электромагнитной индукции, возникающая во вторичной обмотке,

Сравнивая выражения для E1 и E2, получим, что э.д.с., возникающая во вторичной обмотке,

где знак минус показывает, что э.д.с. в первичной и вторичной обмотках противоположны по фазе. Отношение числа витков n1/n2 показывающее, во сколько раз э.д.с. во вторичной обмотке трансформатора больше (или меньше), чем в первичной, называется коэффициентом трансформации.

Пренебрегая потерями энергии, которые в современных трансформаторах не превышают 2% и связаны в основном с выделением в обмотках джоулевой теплоты и появлением вихревых токов, и применяя закон сохранения энергии, можем записать, что мощности тока в обеих обмотках трансформатора практически одинаковы:

откуда, учитывая соотношение (19.2), найдем E2 /E1 = I1/I2 = n2/n1, т.е. токи в обмотках трансформатора обратно пропорциональны числу витков в этих обмотках.

Если n2/n1>1, то имеем дело с повышающим трансформатором, увеличивающим переменную э.д.с. и понижающим ток (применяется, например, для передачи электроэнергии на большие расстояния, так как в данном случае потери на джоулеву теплоту, пропорциональные квадрату силы тока, снижаются). Если n2/n1

Источник