Меню

Синтез передаточной функции регулятора

Spacer type=block align=LE

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

РАЗДЕЛ 2: СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ.


Тема 7:Синтез регуляторов линейных САУ


Постановка задачи синтеза регуляторов

Синтез регуляторов (корректировка устройств) – задача теории управления, так как необходимо учитывать особенности конкретных САУ. Другие задачи (рассматриваемые ранее) решаются другими науками. В инженерной практике необходим труд большого числа специалистов для синтеза. Эта задача аналитически точно не решается.

Стабилизация ОУ, повышение запаса устойчивости;

Обеспечение необходимости точности воспроизведения воздействий в установившемся режиме;

Обеспечение заданного качества в переходном режиме.

Большое число методов разработано для линейных стационарных систем. Большинство методов в той или иной мере основаны на аппарате математического программирования – раздел математики, посвященный методам поиска экстремумов функций многих переменных. При наличии ограничений в виде равенств или неравенств.

Решение задач этими методами часто носит эвристический характер. При синтезе регуляторов пользуются положениями и понятиями ТАУ: управление, управляемые переменные, качество управления.

Пример качества управления:

обеспечение близости x(t) к x зад = const (задача стабилизации)

обеспечение близости x(t) к x зад (t) – задача пропорционального управления.

При этом КП рассматривает функцию:

Структура скорости САУ включает в себя элементы, без которых невозможна работа системы (функционально необходимые элементы). При этом дополнительные элементы, как правило, не обеспечивают требуемого режима работы без соответствующего регулятора.

Существуют устойчивые системы, способные возвращаться к некоторому постоянному состоянию после прекращения воздействия. В управляемых объектах наличие регуляторов обязательно.

Качество процессов управления.

Идеальная система точно воспроизводящая входной сигнал представляет собой передаточную функцию = 1 на всех частотах, так как выходной сигнал точная копия входного, но таких систем, как правило, не существует. На практике идеальной считается система, реакция которой на входной сигнал — запаздывающее звено.

То есть выходной сигнал отличается от входного по амплитуде и запаздывает на некоторое время.

Реальная АЧХ имеет следующий вид:

При решении практических задач учитываются обязательно вопросы качества САУ. Напомним некоторые ключевые положения ТАУ:

1. Устойчивость системы – это свойство является одним из основных условий работоспособности любого САУ. Она означает, что переходные процессы в системе будут затухающими. Для анализа устойчивости используются различные методы. Удобно пользоваться ВЛХ (ААЧХ, РЧХ);

2. Качество переходного процесса при воздействии ступенчатой функции.

Качество переходного процесса характеризуется:

а) время управления Т j – минимальное время, в течение которого

— отклонение от устойчивого значения;

в) частота колебаний:

г) число колебаний h(t) за время t;

д) время нарастания переходного процесса: Т н – абсцисса первой точки пересечения h(t) c h уст ;

е) дикремент затухания – обозначается χ или ξ.

Оценка качества управления при гармоничных воздействиях

Корневые методы оценки качества управления: характер переходного процесса оценивается по полосам корней характеризующего уравнения замкнутого САУ.

Синтез регуляторов линейных стационарных систем .

Большинство нелинейных систем в некоторых условиях (на определенных участках фазовой траектории) могут быть представлены как линейные. При проектировании САУ применяют следующие способы коррекции динамических характеристик:

Преимущество: проще реализуемо, но чувствительней к помехам

Недостатки: предъявляют повышенные требования к основным элементам системы.

параллельная коррекция (регулятор включен параллельно);

меньше зависят от помех, проще обеспечивается питанием, но на практике элементы КОС сложнее и более громоздки и требуют больших коэффициентов усиления.

3. корректирующая ОС (регулятор – элемент местной ОС);

4. комбинированная коррекция.

При синтезе регуляторов используют ключевые понятия:

— эталонный оператор системы, обеспечивающий требуемое количество процесса;

— эталонный выходной сигнал при эталонном входном.

В задачах синтеза регуляторов выделяют следующие:

1. обеспечение устойчивости (стабилизация);

2. повышение запаса устойчивости;

3. повышение точности управления в устойчивом режиме;

4. улучшение переходного процесса.

Таким образом, при синтезе САУ необходимо обосновать структуру схемы и выбор способов технической реализации этой схемы, отвечающих динамическим, энергетическим, эксплуатируемым требованиям.

Этапы создания САУ можно представить в следующем виде:

1 этап – формулировка цели управления, выбор управляемых переменных, формулировка требований к ним.

2 этап – выбор структуры схемы, место включения корректирующих устройств. Учитываются надежность, габариты, масса…

3 этап – построение математической модели функционально необходимых элементов, задачи идентификации (параметрическая или непараметрическая).

4 этап – выбор эталонной п.функции или переходной характеристики.

5 этап – выбор и обоснование структуры корректирующих устройств.

6 этап – расчет численных параметров корректирующих устройств.

7 этап – исследование синтезируемой САУ с точки зрения достижения цели управления.

8 этап – формирование технического задания на эскизное проектирование и создание опытных образцов, серийное производство.

Методы определения структуры регуляторов.

Стабилизация объектов введением ОС по производным.

Структура схемы оборота, охваченного ОС:

Характеристическое уравнение исходной системы имеет вид:

Для скорректированной схемы:

Таким образом, видим, что структура характеристического уравнения та же, а изменились коэффициенты. Путем изменения коэффициентов можно добиться равенства многочлена (2) эталонам (требуемым). Таким образом, расположение корней характеризующего уравнения замкнутой схемы обеспечивается ОС до (n-1) порядка (необязательно включаются все производные до (n-1)).

Читайте также:  Регулятор давления bmw e60

Например, комбинированное звено:

 — эталонный декремент затухания.

Изменение динамических свойств системы введение дифференцирующих звеньев в прямую цепь.

Наличие дифференцирующего звена в прямой цепи позволяет формировать управляющий сигнал u(t) с прогнозом, то есть и наоборот.

Подбором k g и k с изменяют динамические свойства системы.

Влияние коэффициентов усиления и интеграторов в прямой цепи на работу САУ в установившемся режиме.

Установившаяся ошибка САУ определяется выражением:

с 0 , с 1 …- коэффициенты ошибок, соответственно по положению, по скорости и т.д.

Из ТАУ известна формула:

w(S) – п. ф. замкнутой системы

(5), где k – коэффициент усиления разомкнутой системы.

Из (5) видно, что . На основе (4) легко показать, что при включении в прямую цепь одного интегратора с 0 =0, двух с 0 =с 1 =0 и т.д. При этом необходимо проводить исследование по обеспечению устойчивости.

Влияние местных ОС.

Основные виды ОС:

1.жесткая ОС w oc (S)=k oc , действует в переходном и установочном режимах, уменьшает инерционность системы, уменьшается коэффициент передачи.

2.инерционная жесткая ОС превращает усиленное звено в реальное дифференцирующее, с помощью которого можно получить производную входного сигнала.

3.гибкая ОС w oc (S)=k oc S действует в переходных режимах, увеличивает инерционность.

4. основная инерционная гибкая ОС .

Введение в ОС апериодического звена, возможно получить дифференциальное звено.

Подробно качество системы оценивается после подстановки .

Математические модели и анализ регулятора.

Существуют основные типы регуляторов:

1.П ( пропорциональное КУ) (П — управление) w ку (S)=k;

2.И (интегральное КУ) (И — управление) ,

3.ПИ (пропорционально-интегральное) (ПИ — управление)

Возможны более сложные структуры регулятора. Необходимо учесть следующие факторы:

1. Регулятор не должен повышать действие помех; включение в прямую цепь апериодического звена повышает устойчивость; если постоянная времени его больше постоянных времени элементов этой цепи и т.д.

Например: динамические характеристики некоторых регуляторов.

По своим возможностям ПИД является наиболее универсальным, позволяющим реализовать различные задачи управления.

Решения задач расчета параметров регуляторов в линейных системах.

Существует два подхода:

Первый состоит в том, что структура и параметры регулятора определяются точно, если заданы эталонные передаточные функции системы и п. ф. ОУ.

Реализация подхода дает точное решение, но требуется учесть следующее: неточное определение п. ф. КУ может нарушить системы, могут проявиться новые свойства и сложность реализации. Сложность данного подхода в точном определении п. ф.

Вторая основная идея состоит в обеспечении приближенного равенства эталонной и реальной п. ф. Структура регулятора определяется проектировщиком, его творчеством и опытом.

Создание теории методов синтеза может быть основано в конкретном случае на построении алгоритма решения задачи синтеза.

Тема 8: Основные методы синтеза регуляторов

1 методы построения эталонной передаточной функции в процессе оптимизации задач.

2 частотный метод синтеза КУ (по ЛАЧХ)

3 применение принципа динамической компенсации

4 спектральный метод синтеза КУ(функции Лагерра)

5 метод нелинейного программирования при расчете параметров КУ

6 метод порождающих функций

7 метод моментов

Синтез дискретных регуляторов.


Модели управляемых объектов с ЭВМ.

Внедрение микропроцессорной техники в системы управления – это реальность и перспектива. При этом часть элементов системы в силу физических процессов невозможно заменить цифровыми. Таким образом, имеет место класс непрерывных дискретных систем (гибридных). Они обладают свойствами, отличающимися от непрерывных и дискретных.

Непрерывная часть таких систем описывается дифференциальными уравнениями, а дискретная – разностными. Такое смешанное описание, дополненное математическими моделями ЦАП и АЦП, представляет определенную трудность при решении задач анализа и синтеза.

Существует два подхода в практике синтеза:

представление всей системы дискретной моделью, описываемой разностными уравнениями, и на основе этого синтез дискретного регулятора.

описание системы дифференциальными уравнениями, синтез непрерывного регулятора и дальнейшая реализация его на ЦВМ.

Оба подхода широко используются, имея свои достоинства и недостатки. Процесс, управляемый с помощью ЭВМ может представляться в следующем виде:

Рисунок 8.1 – Процесс, управляемый ЭВМ

АЦП осуществляет квантование по времени и по уровням сигнала x(t ). ЦАП формирует непрерывный сигнал, являясь экстраполятором. При синтезе регуляторов квантование по уровню, как правило, не учитывается, так как предполагают нелинейное описание системы, что значительно усложняет задачу. Квантование по уровню учитывают при анализе спроектированных систем.

Некоторые важнейшие соотношения:

квантование по времени с постоянным шагом Т замеряет непрерывные сигнал x(t) импульсной последовательностью:

применив к сигналу (1) преобразование Лапласа, получим формулу прямого дискретного преобразования Лапласа:

спектр непрерывного сигнала x(jw) после квантования меняется существенно:

Из (3) следует теорема Котельникова.

Выделение непрерывного сигнала частотой ω 0 из квантованной последовательности

ω к =2π/T≥2ω 0 (4), где ω к – частота квантования.

Выражение (3) характеризует эффект переноса частот, проявляющийся в том, что высокочастотная помеха не влияющая на непрерывную систему (фильтруемая ее инерциальными свойствами) действует на дискретную систему в области низких частот.

Нежелательные влияния эффекта переноса частот компенсируется введением доп. фильтров.

постановка (5) в (2) дает формулу прямого z -преобразования:

Читайте также:  Кто является регулятором для кредитных организаций

Существует два подхода к синтезу дискретных регуляторов, на основе дискретных или непрерывных моделей. Дискретная модель получается при рассмотрении процесса в тактовые моменты времени.

1 подход: В качестве примера рассмотрим экстраполятор нулевого порядка (АЦП), запоминающих значение поступающего сигнала в течение тактового периода T .

Экстраполятор имеет следующую передаточную функцию:

Задача синтеза регулятора решается рассмотрением дискретной модели, описываемой z передаточной функцией:

При необходимости из z – передаточной функции можно получить разностные уравнения:

Матрицы А и В определяются на основе соответствующих матриц непрерывных уравнений состояния. Это отдельная непростая задача.

Использование дискретной модели дает точное представление о движении объекта в тактовые моменты и не содержит информации о движении системы матричного уравнения тактовыми точками, что приводит к нежелательным явлениям («скрытые раскачивания»).

2 способ: Альтернативный подход основан на решении задачи синтеза в рамках непрерывной модели с последующей реализацией цифровыми методами. При этом изменения, внесенные в схему метода Рами, представляют в виде дополнительного запаздывания равного ½ периода квантования (это называется аналитически),

В этом случае синтез регуляторов выполняют для так называемого модифицированного объекта, который отличается от исходного наличием запаздывающего звена: (11) ,

при этом частота квантования должна быть существенно больше диапазона рабочих частот САУ.

Источник



4.2. Синтез регуляторов

Задача синтеза заключается в определении структуры и параметров контурных регуляторов. Синтез осуществляется по так называемой стандартной методике и заключается в следующем.

1) Синтез регуляторов производится последовательно, начиная с регулятора внутреннего контура (т.е. регулятора величины х1). После этого синтезируются регуляторы промежуточных контуров и, наконец, регулятор внешнего контура (регулятор величины хn).

2) Каждый контурный регулятор выполняется в виде последовательного корректирующего устройства, обеспечивающего желаемые свойства данной локальной системы регулирования. Регулятор строится с таким расчетом, чтобы своим действием он:

а) компенсировал действие (проявление инерционности) звена объекта, попадающего в данный контур;

б) обеспечивал астатизм системы по управляющему воздействию (т.е. равенство нулю установившейся ошибки САР при определенном типе управляющего воздействия);

в) обеспечивал оптимизацию процессов регулирования по выбранному критерию.

Рассмотрим более конкретно методику синтеза регуляторов и свойства контуров системы подчиненного регулирования.

4.2.1. Синтез регулятора первого контура и его свойства

Основой синтеза регулятора является расчетная схема САР величины x1 , изображенная на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Расчетная схема системы регулирования величины x1

Здесь показана замкнутая система с регулированием по отклонению, элементами которой являются регулятор, фильтр и звено объекта. Передаточные функции этих элементов обозначаются соответственно как R1(p), Фо(р), W1(p). Датчик регулируемой величины x1 обеспечивает единичную обратную связь замкнутой САР.

В задаче синтеза регулятора заданными элементами структурной схемы системы являются фильтр и звено объекта с передаточными функциями вида:

;

,

где Тμ — некомпенсируемая постоянная времени, выбираемая исходя из требуемого быстродействия и помехоустойчивости системы регулирования; τ1 , λ1 — параметры звена объекта, попадающего в первый контур регулирования.

Последняя формула описывает три основных типа звеньев объекта регулирования.

Если τ1 > 0 и λ1 > 0 , то звено является апериодическим. В этом случае параметры звена объекта определяются как λ1 -1 — коэффициент усиления; τ1 λ1 -1 — постоянная времени.

Если τ1 > 0 и λ1 = 0 то , т.е. звено является интегрирующим.

Если τ1 = 0 и λ1 > 0, то , т.е. звено является усилительным.

К числу элементов САР с известными параметрами отнесем также датчик регулируемой величины. Напомним, что нами принято D1(p) = 1, т.е. рассматривается система с безынерционной единичной обратной связью по величине х1.

Структура и параметры регулятора величины х1 выбираются исходя из решения трех перечисленных выше основных задач. Для решения первой задачи (компенсации действия звена объекта методом последовательной коррекции) в структуру регулятора вводится звено, передаточная функция которого обратна по отношению к передаточной функции компенсируемого звена

.

Для решения второй задачи (обеспечения астатизма) в структуру регулятора последовательно вводится интегрирующее звено

.

В соответствии с изложенными принципами общий вид передаточной функции регулятора определяется формулой

.

Итак, в структурном отношении регулятор состоит из двух частей: компенсирующей и интегрирующей.

Следующий этап синтеза регулятора заключается в определении его параметров, оптимизирующих процессы регулирования по некоторому критерию. Параметры компенсирующей части регулятора полностью определяются параметрами объекта. Поэтому единственным варьируемым параметром регулятора, который может быть использован для оптимизации процесса, является постоянная времени его интегрирующего звена Т1. Эту величину удобно выражать в долях от некомпенсируемой постоянной времени Тμ , используя коэффициент α1: .

На рис. 2.3 показаны реакции САР на ступенчатое задающее воздействие при различных соотношениях постоянной времени интегрирующего звена регулятора и некомпенсируемой постоянной времени. При выборе коэффициента α1 > l, т.е. Т1 >> Тμ переходный процесс протекает гораздо медленнее и носит апериодический характер (кривая 3). Оптимальным вариантом настройки регулятора считается такой, при котором α1 = 2, т.е. Т1 = 2Тμ .

Рис. 4.3. Реакции САР на ступенчатое задающее воздействие

при различных вариантах настройки регулятора

Этот вариант настройки регулятора по существу является компромиссным, удачно сочетающим достаточно высокую скорость протекания процесса с одной стороны и небольшое перерегулирование с другой (кривая 2 рис. 4.3). Такой вариант настройки системы носит специальное название: настройка на технический или модульный оптимум. Рассмотрим подробнее основные свойства системы, настроенной на модульный оптимум.

Читайте также:  Rgb регулятор для светодиодных лент

При нулевых начальных условиях реакция САР на единичный скачок входного воздействия описывается следующим выражением:

.

График переходного процесса, характеризующего реакцию САР на скачок управляющего воздействия, изображен на рис. 4.4.

Рис. 4.4. График переходного процесса при настройке первой САР

на модульный оптимум

Основные показатели переходного процесса при настройке системы на модульный оптимум cледующие:

— время первого согласования — 4.7 Тμ;

— время достижения максимума — 6.28 Тμ ;

— время достижения зоны 5% отклонения — 4.1 Тμ ;

— время достижения зоны 1% отклонения — 8 Тμ;

На практике эти показатели служат определенным стандартом, которому должна удовлетворять оптимально настроенная система.

Таким образом, оптимальная настройка регулятора обеспечивает переходный процесс с незначительным перерегулированием σ = 4,3% и реальной длительностью отработки задания (оцениваемой по времени достижения максимума) порядка 6,28 Тμ .

Отсюда следует важный вывод о том, что благодаря компенсирующему действию регулятора быстродействие системы не зависит от параметров объекта регулирования и полностью определяется выбранной величиной базовой (некомпенсируемой) постоянной времени Тμ. Поэтому величина Тμ может быть использована в качестве инструмента для достижения необходимого быстродействия САР при сохранении стандартного перерегулирования.

Для синтеза последующих регуляторов необходимо определение передаточной функции замкнутой системы регулирования величины х1 как элемента, подчиненного следующему регулятору. Сначала найдем передаточную функцию разомкнутой системы:

.

В итоге получаем выражение, характеризующее стандартную передаточную функцию разомкнутой системы, настроенной на модульный оптимум:

.

Пользуясь известной из теории автоматического регулирования [5] формулой замыкания системы единичной отрицательной обратной связью

,

найдем передаточную функцию замкнутой системы, настроенной на модульный оптимум:

. (4.11)

Это выражение можно представить в так называемой канонической форме

(4.12)

Она характеризует рассмотренную САР как оптимально демпфированную систему второго порядка с постоянной времени и коэффициентом демпфирования.

Для оценки свойств рассматриваемой САР при гармонических воздействиях служит частотная передаточная функция, которую можно получить путем замены аргумента «р» передаточной функции (4.11) на новый аргумент . Выражение частотной передаточной функции (ЧПФ) замкнутой САР величины х1 имеет вид:

(4.13)

Для каждого значения частоты Ω гармонического задающего воздействия ЧПФ есть комплексное число, модуль которого характеризует коэффициент усиления, а аргумент — фазовый сдвиг выходного сигнала по отношению ко входному. Поэтому частотную передаточную функцию удобно представить в показательной форме:

, (4.14)

где ; (4.15)

. (4.16)

Есть соответственно амплитудная и фазовая частотные характеристики системы. На рис. 4.5 изображена логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) замкнутой системы, определяемая выражением

(4.17)

Рис. 4.5. Логарифмические амплитудно-частотные характеристики

замкнутой САР величины x1 : —— асимптотическая; — — — — точная

Как видно, в пределах полосы частот входного воздействия, ограниченной сверху величиной Ω1 = 1/√2 Тμ значения L1 (Ώ) ≈ 0, т.е. коэффициент усиления замкнутой САР близок к единице. Поэтому данный диапазон частот называют полосой пропускания системы. При дальнейшем повышении частоты коэффициент усиления быстро уменьшается. Итак, полоса пропускания замкнутой САР величины x1 полностью определяется величиной некомпенсируемой постоянной времени Тμ. Настройка на модульный оптимум обеспечивает отсутствие резонансного максимума ЛАЧХ, т.е. равномерную передачу частотного спектра входного сигнала в пределах полосы пропускания САР.

Источник

Синтез регулятора по желаемой передаточной функции (операторный метод)

Пусть регулятор включен последовательно с объектом управления. Введем обозначения:

– для объекта управления: , A(s) и B(s) – известные полиномы степенейmOиnO,mO 11 .

Объединим регулятор состояния и наблюдатель в одном динамическом регулятор (рисунок 6).

Рисунок 9 – Замкнутая система с динамическим регулятором

Вычислим матрицы динамического регулятора командой:

[Ar Br Cr Dr] = reg( А, В, С, D, К, L );

Вычислим передаточную функцию динамического регулятора:

[numr denr] = ss2tf( Ar, Br, Cr, Dr );

Wreg = tf( numr, denr );

В результате получим следующую передаточную функцию:

Проведем анализ замкнутой системы с помощью инструмента SISODesignTool.

По корневому годографу (рисунок 10) видно, что все корни находятся в левой полуплоскости, следовательно система устойчива.

Рисунок 10 – Корневой годограф системы с модальным регулятором

Из частотных характеристик системы (рисунок 11) видим, что имеется запас по амплитуде 27 дБ и запас по фазе 83.5°, следовательно система устойчива.

Рисунок 11 – ЛАЧХ и ЛФЧХ системы с модальным регулятором

Построим график переходного процесса замкнутой системы (рисунок 12). Как видно, система устойчивой и с приемлемым качеством переходных процессов. Также следует заметить, что переходный процесс гораздо лучше по сравнению с процессом, полученном в операторном методе (рисунок 8), хотя при этом появляется ошибка перерегулирования.

Рисунок 12 – График переходного процесса системы с модальным регулятором

Источник