Меню

Связь крутящим моментом с касательные напряжения

Связь между касательными напряжениями и крутящим моментом при кручении.

касательные напряжения при кручении круглого стержня распределяются по линейному закону и достигают своего максимума на периферии сечения.

71.Условия прочности и жесткости при кручении. Закон Гука. Условие прочности при кручении. Величина максимальных касательных напряжений в данном сечении равна:

где [τ] Ц допускаемое касательное напряжение при кручении.

Брус, работающий на изгиб, называют балкой. Главными плоскостями балки называют плоскости, проходящие через главные центральные оси поперечного сечения и продольную ось бруса. Силовой плоскостью называют плоскость, в которой приложена внешняя нагрузка. Линию пересечения силовой плоскости с поперечным сечением балки называют силовой линией. При изгибе балки ее продольная ось деформируется: волокна расположенные на выпуклой стороне растягиваются, а на вогнутой стороне — сжимаются. Слой балки, в котором не возникают при изгибе деформации растяжения — сжатия называют нейтральнымслоем, а линия пересечения этого слоя с поперечным сечением балки — нейтральной линией (осью). Если силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей балки, то изгиб называют прямым или плоским Если силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных плоскостей, то такой изгиб называют косым. Если в поперечных сечениях балки возникает только внутренний изгибающий момент, то изгиб называют чистым. Если в поперечных сечениях балки возникают внутренние изгибающий момент и поперечная сила, то изгиб называют поперечным.

Балка, лежащая на двух опорах, называется двухопорной балкой.

73.Экспериментальные исследования работы материала при чистом изгибе. В поперечных сечениях балки при прямом изгибе возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью. Изгиб, при котором ось балки после деформации остается в силовой плоскости, называется прямым изгибом.

74.Закон Гука при изгибе. Формулировка гипотезы плоских сечения: поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к оси балки до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к изогнутой оси после ее деформации.

Поскольку длина балки при изгибе не изменяется, продольное усилие (N), возникающее в поперечном сечении, должно равняться нулю. Элементарное продольное усилие .

Читайте также:  Характеристика работы со снятием напряжения

С учетом выражения :

Множитель можно вынести за знак интеграла (не зависит от переменной интегрирования).

Полученная формула представляет собой закон Гука при изгибе для стержня: изгибающий момент, возникающий в поперечном сечении, пропорционален кривизне оси балки. Закон Гука при изгибе: , откуда (формула Навье): , Jx — момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента, EJx — жесткость при изгибе, — кривизна нейтрального слоя.

75.Определение критической силы при продольном изгибе. Формула Эйлера. Если при любом возможном отклонении от состояния равновесия внутренние силы в деформированном стержне изменяются так, что он имеет стремление возвратиться к первоначальному прямолинейному состоянию и в итоге к нему возвращается, то упругое равновесие будет устойчивым.

Если стержень приобретает стремление продолжать деформироваться в направлении данного ему отклонения, то упругое равновесие будет неустойчивым. Между устойчивым и неустойчивым состояниями равновесия стержня находится переходное критическое состояние, при котором стержень может сохранить первоначально приданную ему форму, но может и потерять ее от самой незначительной, казалось бы, причины. Такое равновесие называют безразличным. Нагрузку, соответствующую критическому состоянию, называют критической. Задача по определению критической нагрузки для случая шарнирно опертого стержня впервые была решена Л. Эйлером в виде:

Понятие гибкости стержня.

Гибкость стержня — отношение расчётной длины стержня к наименьшему радиусу инерции его поперечного сечения.

Это выражение играет важную роль при проверке сжатых стержней на устойчивость. В частности, от гибкости зависит коэффициент продольного изгиба . Стержень с большей гибкостью, при прочих неизменных параметрах, имеет более низкую прочность на сжатие и сжатие с изгибом. Расчётная длина вычисляется по формуле: , где — коэффициент, зависящий от условий закрепления стержня, а — геометрическая длина. Расчётная длина также называется приведённой или свободной. Отсюда ввод дополнительных терминов:Условная гибкостьПриведённая гибкостьПредельная гибкостьСуществуют формулы для определения гибкости элементов составных сечений.

78.Применимость формулы Эйлера при продольном изгибе. Как показали опыты, решение Эйлера подтверждалось не во всех случаях. Причина состоит в том, что формула Эйлера была получена в предположении, что при любой нагрузке стержень работает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Следовательно, его нельзя применять в тех ситуациях, когда напряжения превосходят предел пропорциональности. В связи с этим найдем границы применимости решения Эйлера:

Читайте также:  Что такое амплитудное напряжение сети

где  радиус инерции сечения. Если стержень имеет одинаковые опорные закрепления в двух взаимно перпендикулярных плоскостях инерции, то при определении значения критической силы и критического напряжения, необходимо брать наименьшее значение момента инерции и, соответственно, радиуса инерции поперечного сечения. Введем понятие гибкости стержня:

Источник



Зависимость между крутящим моментом и касательным напряжением.

Рассмотрим круглое поперечное сечение бруса. Выделим элементарную площадку dA на расстоянии ? от центра О. Выразим крутящий момент через касательное напряжение.

При этом учтём, что в любой точке поперечного сечения бруса касательное напряжение направлено перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку (рисунок 44).

Такое направление напряжений следует из характера деформации. Элементарная касательная сила, приходящаяся на площадку dA, равна ?dA, а её момент относительно центра круглого поперечного сечения (точки О) dMz =( ?dA)?. Суммируя эти элемен

Рисунок 44 Сечение бруса.тарные моменты, получаем следующее выражение для крутящего момента: .

Теория кручения бруса круглого поперечного сечения основана на следующих допущениях:

1. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси после деформации (гипотеза Бернулли).

2. Расстояния между поперечными сечениями в процессе деформации не изменяются.

3. Радиусы поперечных сечений при деформации бруса не искривляются.

4. Материал бруса при деформации сопротивляется по закону Гука.

При выводе формулы касательных напряжений при кручении бруса круглого поперечного сечения используются три базовые формулы:

1. Формула зависимости между крутящим моментом и касательным напряжением:

2. Формула закона Гука для касательных напряжений: ? = G ?

3. Формула зависимости между углом сдвига продольных волокон и углом закручивания поперечных сечений бруса: ? = ? .

? = G ?
? = ?
? = G ?
?мах =
MZ = G
? =
? мах =
MZ = G

⋆ ⋆⋆

⋆ — Полярный момент инерции круга

⋆⋆ Формула показывает, что закон распределения касса-

тельных напряжений по поперечному сечению бруса

Читайте также:  Определить материал по величине напряжения

линейный: ? = 0 при ? = 0 – в центре сечения;

? = при ? = – во внешнем контуре

⋆⋆⋆ Отношение полярного момента

инерции поперечного сечения к его

радиусу называется полярным мо-

ментом сопротивления этого сечения.? мах

Рисунок 45. Эпюра касательных напряжений.

Полярным моментом инерции фигуры называется интеграл, взятый по всей её площади от произведения площади элементарной площадки на квадрат расстояния от неё до центра сечения фигуры: .

Рассмотрим круглое сечение диаметром d (рисунок 46). Выделим внутри его элементарную площадку площадью dA в виде кольца. Расстояние от центра до площадки обозначим ?, а толщину площадки d?. Если эту площадку вырезать и развернуть, то получим прямоугольник со сторонами 2?? и d?. Площадь такой площадки составит: dA = 2??d?. Подставим значение площади под интеграл и получим:

. Единицей измерения полярного момента

инерции является мм 4 . Рисунок 46. Круглое сечение. Полярным моментом сопротивлениякруглого сечения называется отношение полярного момента инерции сечения к егорадиусу.

Рисунок 46. Круглое сечение. Wp = = = .

Единицей измерения полярного момента инерции является мм 3 .

Источник

Распределение касательных напряжений при кручении

Рассмотрим консольный брус круглого поперечного сечения, нагруженный парой сил с моментом m, плоскость действия которого ортогональна оси бруса (рис. 5.1, а). Применяя метод сечений, устанавливаем, что в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент (рис. 5.1, б).

Выделим элемент бруса длиной dz, рис. 5.3

Пусть радиус вала равен r. Выделим внутри вала цилиндр с радиусом основания ρ

Элементарный момент силы dQ относительно оси z

Суммарный момент, собираемый с площади A, будет

Подставляя сюда выражение τρ из (5.1), получим

Здесь — полярный момент инерции сечения. Значит

Из условия равновесия отсеченной части M = Mкр. Следовательно,

Из закона Гука при сдвиге (5.1) имеем

Отсюда получаем искомое соотношение между касательным напряжением и крутящим моментом

Максимальное значение касательного напряжения по радиусу вала будет

Здесь Wρ – полярный момент сопротивления

Для кольцевого сечения

полярный момент сопротивления

где . Для круглого сечения и получаем

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник