Меню

Ток намагничивания в проводнике

Ток намагничивания в проводнике

В этой главе мы поговорим о некоторых материалах, в которых полный эффект магнитных моментов проявляется во много раз сильнее, чем в случае парамагнетизма или диамагнетизма. Это явление называется ферромагнетизмом. В парамагнитных и диамагнитных материалах при помещении их во внешнее магнитное поле возникает обычно настолько слабый наведенный индуцированный магнитный момент, что нам не приходится думать о добавочных магнитных полях, создаваемых этими магнитными моментами. Другое дело магнитные моменты ферромагнитных материалов, которые создаются приложенным магнитным полем. Они очень велики и оказывают существенное воздействие на сами поля. Эти индуцированные магнитные моменты так огромны, что они вносят главный вклад в наблюдаемые поля. Поэтому нам следует позаботиться о математической теории больших индуцированных магнитных моментов. Это, разумеется, чисто формальный вопрос. Физическая проблема состоит в том, почему магнитные моменты столь велики и как они «устроены». Но к этому вопросу мы подойдем немного позже.

Нахождение магнитных полей в ферромагнитных материалах несколько напоминает задачу о нахождении электрических полей в диэлектриках. Помните, сначала мы описывали внутренние свойства диэлектрика через векторное поле — дипольный момент единицы объема. Затем мы сообразили, что эффект этой поляризации эквивалентен плотности заряда , определяемой дивергенцией :

Полный же заряд в любой ситуации можно записать в виде суммы этого поляризационного заряда и всех других зарядов, плотность которых мы обозначим через . Тогда уравнения Максвелла, которые связывают дивергенцию с плотностью зарядов, примут вид:

Затем мы можем перебросить поляризационную часть заряда в левую сторону уравнения и получить

Этот новый закон говорит, что дивергенция величины равна плотности других зарядов.

Совместная запись и , как это сделано в уравнении (36.2), полезна, разумеется, только когда мы знаем какие-то соотношения между ними. Мы видели, что теория, связывающая наведенный электрический дипольный момент с полем, — вещь довольно сложная и ее на самом деле можно применять только в относительно простых случаях, но и то только как приближение. Я хочу напомнить вам об одном приближении. Чтобы найти наведенный дипольный момент атома внутри диэлектрика, необходимо знать электрическое поле, которое действует на отдельный атом. В свое время мы использовали приближение, пригодное во многих случаях; было предположено, что на атом действует поле, которое было бы в центре небольшой полости, оставшейся после удаления этого атома (считая, что дипольные моменты всех других соседних атомов при этом не изменяются). Вспомните также, что электрическое поле в полости внутри поляризованного диэлектрика зависит от формы этой полости. Эти результаты мы подытожили на фиг. 36.1. В тонкой дискообразной полости, перпендикулярной направлению поляризации, электрическое поле, как было показано с помощью закона Гаусса, имеет вид

С другой стороны, используя равенство нулю ротора, мы нашли, что электрическое поле внутри и вне иглообразной полости одно и то же:

Наконец, мы обнаружили, что величина электрического поля внутри сферической полости лежит между этими двумя значениями:

(сферическая полость). (36.3)

Это и было то поле, которым мы пользовались, рассуждая о том, что происходит с атомами внутри поляризованного диэлектрика.

Фиг. 36.1. Электрическое поле полости в диэлектрике зависит от формы полости.

Попробуем обсудить аналогичную задачу в случае магнетизма. Легче всего и короче просто сказать, что – магнитный момент единицы объема (намагниченность) – в точности аналогичен – электрическому дипольному моменту единицы объема (поляризация) и что, следовательно, отрицательная дивергенция эквивалентна «плотности магнитных зарядов» , что бы это ни означало. Но беда в том, что в физическом мире не существует такой штуки, как «магнитный заряд». Как мы знаем, дивергенция всегда равна нулю. Это, однако, не помешает нам провести искусственную аналогию и написать

по нужно понимать, что — величина чисто математическая. Затем мы можем все делать полностью аналогично электростатике и использовать все старые электростатические уравнения. К этому часто прибегают. Когда-то такая аналогия считалась даже правильной. Ученые верили, что представляет плотность «магнитных полюсов». Однако сейчас нам известно, что намагничивание материала происходит за счет токов, циркулирующих внутри атомов, т. е. либо вращения электронов, либо движения их в атоме. Следовательно, с физической точки зрения лучше описывать намагничивание только при помощи реальных атомных токов, а не вводить плотность каких-то мистических «магнитных зарядов». Эти токи иногда называются еще «амперовскими», ибо Ампер первый предположил, что магнетизм вещества происходит за счет циркуляции атомных токов.

Микроскопические плотности токов в намагниченном веществе, разумеется, очень сложны. Их величина зависит от местоположения в атоме: в некоторых местах они велики, в других — малы, в одной части они текут в одну сторону, а в другой — в противоположную (точно так же, как микроскопическое электрическое поле, которое внутри диэлектрика в высшей степени неоднородно). Однако во многих практических задачах нас интересуют только поля вне вещества или средние магнитные поля внутри него, причем под средним мы имеем в виду усреднение по очень многим атомам. В таких макроскопических задачах магнитное состояние вещества удобно описывать через намагниченность — средний магнитный момент единицы объема. Я расскажу сейчас, как атомные токи в намагниченном веществе вырастают до макроскопических токов, которые связаны с .

Разобьем плотность тока , которая является реальным источником магнитных полей, на разные части; одна из них описывает циркулирующие токи атомных магнитиков, а остальные — другие возможные токи. Обычно удобнее делить токи на три части. В гл. 32 мы делали различие между токами, свободно текущими по проводникам, и токами, обусловленными движением связанных зарядов в диэлектрике то туда, то сюда. В гл. 32, §2, мы писали

причем величина представляла токи от движения связанных зарядов в диэлектриках, a — все другие токи. Пойдем дальше. Я хочу из выделить часть , которая описывает усредненные токи внутри намагниченных материалов, и дополнительный член, который мы будем называть и который будет описывать все остальное. Он, вообще говоря, относится к токам в проводниках, но может описывать и другие токи, например токи зарядов, движущихся свободно через пустое пространство. Таким образом, полную плотность тока мы будем писать в виде

Разумеется, именно этот ток входит в уравнение Максвелла с ротором :

Теперь мы должны связать ток с величиной вектора намагниченности . Чтобы вы представляли, к чему мы стремимся, скажу, что должен получиться такой результат:

Если в магнитном материале нам всюду задан вектор намагниченности , то плотность циркуляционного тока определяется ротором . Посмотрим, можно ли понять, почему так происходит.

Читайте также:  Определить направление тока в проводнике по направлению силовых линий

Сначала возьмем цилиндрический стержень, равномерно намагниченный параллельно его оси. Мы знаем, что физически такая равномерная намагниченность означает на самом деле однородную повсюду внутри материала плотность атомных циркулирующих токов. Попытаемся представить себе, как выглядят эти реальные токи в поперечном сечении стержня. Мы ожидаем увидеть токи, напоминающие изображенные на фиг.36.2. Каждый атомный ток течет по кругу, образуя крохотную цепь, причем все циркулирующие токи текут в одном и том же направлении. Каким же тогда будет эффективный ток? В большей части стержня он, конечно, не дает вообще никакого эффекта, ибо рядом с каждым током есть другой ток, текущий в противоположном направлении. Если представить себе небольшую поверхность, показанную на фиг. 36.2 линией , которая, однако, чуть-чуть толще отдельного атома, то полный ток через такую поверхность должен быть равен нулю. Внутри материала никакого тока нет. Однако обратите внимание, что на поверхности материала атомные токи не компенсируются соседними токами, текущими в другом направлении. Поэтому по поверхности все время в одном направлении вокруг стержня течет ток. Теперь вам понятно, почему я утверждал, что равномерно намагниченный стержень эквивалентен соленоиду с текущим по нему электрическим током.

Фиг. 36.2. Схематическая диаграмма циркулирующих атомных токов в поперечном сечении железного стержня, намагниченного в направлении оси .

Как же эта точка зрения согласуется с выражением (36.7)? Прежде всего намагниченность внутри материала постоянна, так что все ее производные равны нулю. Это согласуется с нашей геометрической картиной. Однако на поверхности на самом деле не постоянна, она постоянна вплоть до поверхности, а затем неожиданно падает до нуля. Таким образом, непосредственно на поверхности возникает громадный градиент, который в соответствии с выражением (36.7) даст огромную плотность тока. Предположим, что мы наблюдаем за тем, что происходит вблизи точки на фиг. 36.2. Если выбрать направления осей и так, как это показано на фигуре, то намагниченность будет направлена по оси . Выписывая компоненты уравнения (36.7), мы получаем

Хотя производная в точке равна нулю, производная будет большой и положительной. Выражение (36.7) говорит, что в отрицательном направлении оси течет ток огромной плотности. Это согласуется с нашим представлением о поверхностном токе, текущем вокруг цилиндра.

Теперь мы можем найти плотность тока в более сложном случае, когда намагниченность в материале меняется от точки к точке. Качественно нетрудно понять, что если в двух соседних областях намагниченность различная, то полной компенсации циркулирующих токов не происходит, поэтому полный ток внутри материала не равен нулю. Именно этот эффект мы и хотим получить количественно.

Прежде всего вспомните, что в гл. 14, § 5 (вып. 5), мы выяснили, что циркулирующий ток создает магнитный момент

где — площадь, ограниченная контуром тока (фиг. 36.3).

Фиг. 36.3. Дипольный момент , контура тока равен .

Рассмотрим маленький прямоугольный кубик внутри намагниченного материала (фиг. 36.4). Пусть кубик будет так мал, что намагниченность внутри него можно считать однородной. Если компонента намагниченности этого кубика в направлении оси равна , то полный эффект будет таким, как будто по вертикальным граням течет поверхностный ток. Величину этого тока мы можем найти из равенства (36.9). Полный магнитный момент кубика равен произведению намагниченности на объем:

откуда, вспоминая, что площадь равна , получаем

Другими словами, на каждой из вертикальных поверхностей величина тока на единицу длины по вертикали равна .

Фиг. 36.4. Небольшой намагниченный кубик эквивалентен циркулирующему поверхностному току.

Представьте теперь два таких маленьких кубика, расположенных рядом друг с другом (фиг. 36.5). Кубик 2 несколько смещен по отношению к кубику 1, поэтому его вертикальная компонента намагниченности будет немного другой, скажем . Теперь полный ток на поверхности между этими двумя кубиками будет слагаться из двух частей. По кубику 1 в положительном направлении по оси течет ток , а по кубику 2 в отрицательном направлении течет ток . Полный поверхностный ток в положительном направлении оси будет равен сумме

Величину можно записать в виде произведения производной от по на смещение кубика 2 относительно кубика 1, которое как раз равно :

Тогда ток, текущий между двумя кубиками, будет равен

Чтобы связать ток со средней объемной плотностью тока , необходимо понять, что этот ток на самом деле размазан по некоторой области поперечного сечения. Если мы вообразим, что такими маленькими кубиками заполнен весь объем материала, то за такое сечение (перпендикулярное оси ) может быть выбрана боковая грань одного из кубиков. Теперь вы видите, что площадь, связанная с током, как раз равна площади одной из фронтальных граней. В результате получаем

Наконец-то у нас начинает получаться ротор .

Фиг. 36.5. Если намагниченность двух соседних кубиков различна, то на их границе течет поверхностный ток.

Но в выражении для должно быть еще одно слагаемое, связанное с изменением -компоненты намагниченности с изменением . Этот вклад в происходит от поверхности между двумя маленькими кубиками, поставленными друг на друга (фиг. 36.6). Воспользовавшись только что проведенными рассуждениями, мы можем показать, что эта поверхность будет давать в величину вклад, равный . Только эти поверхности и будут давать вклад в -компоненту тока, так что полная плотность тока в направлении оси получается равной

Определяя токи на остальных гранях куба или используя тот факт, что направление оси было выбрано совершенно произвольно, мы можем прийти к заключению, что вектор плотности тока действительно определяется выражением

Фиг. 36.6. Два кубика, расположенных один над другим, тоже могут давать вклад в .

Итак, если вы решили описывать магнитное состояние вещества через средний магнитный момент единицы объема , то оказывается, что циркулирующие атомные токи эквивалентны средней плотности тока в веществе, определяемой выражением (36.7). Если же материал обладает вдобавок еще диэлектрическими свойствами, то в нем может возникнуть и поляризационный ток . А если материал к тому же и проводник, то в нем может течь и ток проводимости . Таким образом, полный ток можно записать как

Источник

Намагничивающий ток и ток холостого хода

Намагничивающий ток. Величина и форма тока холостого хода определяются магнитным потоком трансформатора и «свойствами его магнитной системы. Выше показано, что магнитный поток изменяется во времени синусоидально: Ф = Фmsinωt, а его амплитуда определяется ЭДС:

Так как при холостом ходе ЭДС практически равна напряжению, то значение магнитного потока определяется напряжением первичной обмотки, ее числом витков и частотой.

Читайте также:  4 зертханалық жұмыс тiзбек бөлiгi үшiн ток күшінің кернеуге және кедергіге тәуелділігін зерттеу

Свойства магнитной системы трансформатора описываются в основном магнитной характеристикой, представляющей собой графическое изображение зависимости магнитного потока Ф от МДС трансформатора F или намагничивающего тока Iμ, пропорционального МДС. Свойства электрических машин часто изображаются графически, так как многие зависимости, и в первую очередь магнитная характеристика, имеют весьма сложное аналитическое выражение.

Магнитная характеристика трансформатора, как и других машин переменного тока, дает связь между амплитудными или мгновенными значениями потока и МДС. Зависимость потока от тока можно получить экспериментально или расчетно. При проектировании последний путь является единственным. Магнитную цепь трансформатора рассчитывают на основе закона полного тока. Дня замкнутого контура магнитной цепи однофазного трансформатора (см. рис. 2.1) имеем

где Fст = Нстlст, Fя = Hяlя, F3 = H3l3 — магнитные напряжения в стержнях, ярмах и стыках, Нст, Няи Нз — напряженности магнитного поля на этих участках магнитной системы, Iст, Iя и 1з — средние длины магнитных линий.

Напряженности магнитного поля Нст и Ня определяют в зависимости от магнитных индукций в стержнях и ярмах по экспериментальным данным для электротехнических сталей, из которых выполнены эти участки магнитной цепи.

Для примера в табл. 2.1 показана зависимость Н=f(B) для электротехнической холоднокатаной стали марки 3413 при постоянном токе и переменном токе частотой 50 Гц.

В расчетных участках магнитопровода магнитная индукция В = Ф/S, где S — площадь поперечного сечения данного участка магнитопровода. Длину магнитной линии принимают равной средней длине данного участка (стержня или ярма).

Для магнитопровода, собранного «впереплет» (см. рис. 2.5), зазор между стыками листов составляет около 0,5 мм. Однако конструктивно каждый стык перекрывается листом стали, и в зазоре между стержнем и ярмом магнитный поток частично замыкается по воздуху, а частично по стали. Поэтому магнитное напряжение Нз1з в стыках определяют по заводским экспериментальным данным, полученным для трансформаторов, сходных по конструкции и технологии изготовления.

Рис. 2.23. Магнитная характеристика трансформатора и построение кривой намагничивающего тока

Задаваясь значениями магнитного потока 25, 50, 75, 100 и 125% от номинального значения, определяют индукции на отдельных участках, по которым находят напряженности магнитного поля Hст, Hя, и Нз, а затем по формуле (2.16) — МДС, соответствующую выбранному значению магнитного потока. По полученным точкам строят магнитную характеристику трансформатора Ф=f(F). Отличительной особенностью этой кривой (рис. 2.23, а) является то, что в ней практически отсутствует начальный линейный участок, типичный для других электрических машин.

Величину и форму кривой намагничивающего тока трансформатора легко определить графически (рис. 2.23,6). В левом верхнем квадранте изображена синусоидальная кривая изменения магнитного потока во времени, а в правом верхнем — кривая намагничивания трансформатора, в которой МДС заменена пропорциональным ей током iμ = F/w1.

В правом нижнем квадранте показана искомая зависимость изменения во времени намагничивающего тока. Чтобы построить ее по кривой намагничивания для моментов времени 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6, определяют значения намагничивающего гока iμ, соответствующие мгновенным значениям магнитного потока. Эта кривая несинусоидальна, так как зависимость между током iμ и потоком Ф нелинейна. Чем сильнее насыщение магнитной системы, тем больше выражена неси­нусоидальность намагничивающего тока.

Для примера на рис. 2.24, а, б и в показаны графики намагничивающего тока реального трансформатора при трех различных значениях магнитного потока, которым соответствуют максимальные индукции Вm = 1,0; 1,4 и 2,0 Тл. Из графиков видно, что с увеличением индукции резко возрастает амплитуда намагничивающего тока и содержание высших гармонических, из которых наиболее ярко выражены третья и пятая.

Рис. 2.24. Кривые намагничивающего тока при различных значениях индукции в магнитопроводе

Амплитуда третьей гармонической iμ3 при Вm = 1,0 Тл составляет еколо 21% от амплитуды основной гармонической; при Вm = 1,4 она увеличивается до 27,5 %, а при Вm = 2,0 — до 69 %. Аналогично увеличивается пятая гармоническая iμ— соответственно 5,34, 11,5 и 35,5%.

Источник

Электрический ток. Закон Ома. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. Закон Джоуля-Ленца. О зонной теории , страница 10

Колебательный контур. Проведем анализ на примере последовательного колебательного контура.

Из , с учетом , получаем .

Разделим обе части уравнения на L. Кроме того, перейдем к уравнению для напряжения на конденсаторе ( ). В результате получим ,

где , . Частота собственных колебаний контура при отсутствии сопротивления (R=0) равна . Колебания незатухающие. При наличии сопротивления колебания становятся затухающими. В качестве частоты и периода затухающих колебаний принимаются соответственно величины и .

Время затухания (релаксации) .

Логарифмический декремент затухания .

Добротность контура определяется равенством

где и – соответственно амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе и в пределе низких частот.

Ширина резонансной кривой (которая определяется для зависимости квадрата амплитуды на половине ее высоты) равна

Намагничивание вещества. Вектор намагничивания J. Если в магнитное поле внести вещество, то поле изменится. Такое вещество называется магнетиком. Изменение поля вызвано тем, что всякое вещество под действием магнитного поля намагничивается – в веществе наводятся магнитные моменты. Намагниченное вещество создает дополнительное поле, которое вместе с первичным образует результирующее поле.

Магнетики бывают в основном двух сортов: диамагнетики и парамагнетики. Диамагнетики ослабляют магнитное поле, парамагнетики, наоборот, его усиливают. Диамагнитными свойствами обладают вещества, состоящие из молекул (атомов), магнитный момент которых равен нулю (например, инертные газы). Диамагнитный эффект в данном случае обусловлен внутримолекулярными токами. Если же магнитный момент молекулы в отсутствии поля отличен от нуля, то такое вещество является парамагнетиком. Парамагнетик усиливает внешнее поле вследствие частичной ориентации магнитных моментов по полю.

Существуют также ферромагнетики и сверхпроводники. Первые являются очень сильными парамагнетиками m

10 3 , а в специальных сплавах m

10 6 . Столь сильные магнитные свойства ферромагнетиков вызваны специфическим квантовым взаимодействием между электронами, аналогичным ковалентной химической связи.

Сверхпроводники являются идеальными диамагнетиками m=0. Таким же свойство обладает и плазма.

Намагничивание среды можно характеризовать с помощью магнитного момента единицы объема J. Эту величину называют вектором намагничивания или намагниченностью. По определению ,где DV – физически малый объем,

mi – магнитный момент отдельной молекулы. Под действием внешнего поля магнитные моменты молекул диамагнетика индуцируются в одном направлении (против поля), а изначально существующие магнитные моменты молекул парамагнетика приобретают преимущественную ориентацию (по полю). Намагничивание среды приводит к возникновению токов намагничивания.

Объемные и поверхностные токи намагничивания. Найдем связь между вектором намагничивания и токами намагничивания. Для этого рассмотрим вектор – потенциал намагниченной среды:

Вид этого потенциала позволяет установить связь между вектором намагничивания и токами намагничивания – поле с таким потенциалом создается объемными и поверхностными токами: ,

Читайте также:  Показания амперметра это сила тока

Связь между векторами J и H, B и H. Значение локальной намагниченности J зависит от магнитной индукции B в данной точке вещества. Однако ее принято связывать не с B, а с вектором H(напряжённость магнитного поля). Оказывается, что для большинства веществ эту связь можно считать линейной, которая для изотропной среды имеет вид

(2),где c – магнитная восприимчивость, безразмерная величина, характеризующая магнетик.

В отличие от диэлектрической восприимчивости, которая всегда положительна, магнитная восприимчивость c бывает как положительной, так и отрицательной. Для парамагнетиков c > 0 (J­­H), а диамагнетиков c 1, у диамагнетиков m 10 11 12

Источник



6.4.2. Токи намагничивания I′.

Как мы уже выяснили, намагничивание вещества обусловлено преимущественной ориентацией и индуцированием (гиромагнитный эффект) магнитных моментов отдельных молекул в одном направлении. Это же можно сказать и об элементарных круговых токах, связанных с каждой молекулой (ее магнитным моментом). Эти токи называют молекулярными токами. Такое поведение молекулярных токов приводит к появлению макроскопических токов I , называемых токами намагничивания. Они могут быть как объемными (внутри вещества), так и поверхностными. Обычные токи, текущие по проводникам, связаны с перемещением в веществе носителей тока (зарядов), их называют токами проводимости.

Что бы понять, как возникают токи намагничивания, представим себе сначала цилиндр из однородного магнетика (магнитные свойства постоянны во всем объеме вещества), намагниченность J которого однородна и направлена вдоль его оси (цилиндра). В таком случае, молекулярные токи в намагниченном магнетике ориентированы в плоскости перпендикулярной J и, соответственно оси цилиндра. На рис.17 показана часть цилиндра с его сечением перпендикулярным оси цилиндра. В сечении нанесены молекулярные круговые токи. Все они одинаковы как по величине кругового тока (отражаем одинаковой жирностью круговых Рис.17

линий тока), так и по радиусу, что отражает однородность намагниченности магнетика. Из рисунка видно, что у соседних молекул токи в местах их соприкосновения текут в противоположном направлении и макроскопически взаимно компенсируют друг друга. Нескомпесированными остаются только те токи, которые выходят на боковую поверхность цилиндра. Эти токи и образуют макроскопический поверхностный ток намагничивания I , циркулирующий по боковой поверхности цилиндра. Ток I возбуждает такое же макроскопическое магнитное поле, что и молекулярные токи вместе взятые.

Теперь пусть магнетик неоднородный, например, только в направлении оси X и вектор его намагниченности направлен параллельно оси Z. Тогда, как показано на рис.18, молекулярные токи в намагниченном магнетике ориентированы в плоскости XY, перпендикулярной, соответственно, вектору J. Указанная неоднородность магнетика отражена возрастающей в направлении оси X силой молекулярных токов, соответствующей толщине их линий. Направление и сила молекулярных токов указывает на то, что вектор J направлен за плоскость рисунка и растет по модулю с увеличением координаты X. Из рис.18 видно, что в точках касания молекулярных токов компоненты токов параллельные оси X полностью компенсируют друг друга, а параллельных оси Y нет и, следовательно, внутри неоднородного магнетика возникает макроскопический объемный ток намагничивания I , в данном случае, текущий в направлении оси Y. Соответственно говорят о линейной j (А/м 2 ) и поверхностной i (А/м) плотностях тока намагничивания. Рис. 18

6.4.3. О расчете поля b в магнетике.

Можно утверждать, что вклад от намагниченного магнетика в поле B равен вкладу, который был создан тем же распределением токов намагничивания I в вакууме. То есть в соответствии с законом Био-Савара это поле B и, соответственно, результирующее поле B будет определяться выражением (6.23):

B = B + B .

Напомним, что B – поле, создаваемое сторонними токами, например, токами проводимости.

Однако, неприятность в том, что распределением токов намагничивания I и, соответственно поля B , зависит не только от свойств и конфигурации магнетика, но и от искомого поля B. Поэтому задача о нахождении поля B в магнетике в общем случае непосредственно решена быть не может. Поэтому, так же как и для P, устанавливаем связь между током намагничения I и определенным свойством поля вектора J, а именно его циркуляцией.

6.4.4. Циркуляция вектора J.

Оказывается, что для стационарного случая циркуляция намагниченности J по произвольному замкнутому контуру Г равна алгебраической сумме токов намагничивания I , охватываемых контуром Г:

=I , (6.31)

где I = , причем интегрирование проводится по произвольной поверхности, натянутой на контур Г.

Докажем эту теорему. Для этого вычислим алгебраическую сумму молекулярных токов, охватываемых контуром Г.

Натянем на контур Г произвольную поверхность S. Из рис.19 видно, что внутри контура большая часть молекулярных токов, которые пересекают поверхность S дважды – входят и выходят, пересекая последнюю, следовательно, вклад от них в результирующий искомый ток равен нулю. Другая часть токов овивает контур Г, пересекая поверхность S только один раз. Эти молекулярные токи и создают макроскопический ток намагничивания I , пронизывающий поверхность S. Определим его. Рис.19.

Пусть для простоты магнетик однородный. Тогда можно положить, что каждый молекулярный ток и площадь им охватываемая равны Iм и Sм , соответственно. Теперь рассмотрим малый элемент длиной dl контура Г, который показан на рис.20. Положим, что вектор намагниченности J в месте нахождения элемента dl направлен под углом α к элементу dl, направление которого (на рисунке – слева на право) определяется, выбранным направлением обхода по контуру Г. Напомним, что Рис.20.

площади Sм молекулярных токов перпендикулярны J. Из рисунка видно, что элемент dl контура Г овивают те молекулярные токи, центры которых попадают внутрь косого цилиндра с объемом V = Sмcosα dl. Все эти молекулярные токи пересекают поверхность S только один раз. Их вклад в ток намагничивания dI = IмnV , где n концентрация молекул. Подставляя сюда выражение для V, получим dI = IмSмn cosα dl = Jcosα dl = Jdl (в этой записи учли, что IмSм = pm – модуль магнитного момента отдельного молекулярного тока, а IмSмn = J – модуль магнитного момента единицы объема вещества). Проинтегрировав полученное выражение dI = Jdl по всему контуру Г, получим выражение (6.31). Таким образом, теорема доказана.

Необходимо отметить, что в случае неоднородного магнетика ток намагничивания пронизываю всю поверхность S (смотри для сравнения рисунки рис.20 и рис.18), а не только у ее границы, прилегающей к контуру Г. Именно поэтому этот ток и можно (нужно) представить как I = , где интегрирование ведется по всей поверхностиS, ограниченной контуром Г.

Дифференциальная форма записи уравнения (6.31) имеет вид:

rotJ = j или [J] = j , (6.32)

т.е. ротор вектора J равен плотности тока намагничивания в той же точке пространства.

Заметим, поле J – вектора намагниченности магнетика определяется всеми токами, как токами I , так и токами проводимости I (сторонними токами). (Но! в некоторых случаях – определенная симметрия, J может определяться только I .)

Источник