Меню

Циркуляция магнитного поля постоянных токов

Циркуляция магнитного поля

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Основные понятия.

Компас был известен давно, но магнитное поле ввели и стали исследовать после открытия Эрстеда. Он обнаружил, что проводник с током оказывает влияние на компас. Магнитное поле обозначается . Эта величина называется индукцией магнитного поля (МП). Поскольку величина магнитного поля определяется через силу, действующую на контур с током, то магнитное поле является силовой характеристикой. Следовательно, его можно изображать с помощью силовых линий. Они называются линиями магнитной индукции. Вектор, касательный к этой линии, есть магнитная индукция. Он задает направление МП, а его величина равна значению магнитной индукции в точке касания. Было обнаружено, что магнитное поле оказывает влияние только на движущиеся заряды. Таким образом, магнитное поле действует на проводник с током. Это действие также зависит от формы и расположения проводников с током и направления тока. Оказалось, что рамка с током ведет себя подобно магнитной стрелке. С ней можно связать магнитный момент. Тогда взаимодействие рамки с током и внешнего магнитного поля можно рассматривать взаимодействие магнитного момента с магнитным полем. Если контур с током плоский, магнитный момент такого контура равен . = ток в контуре, — площадь контура. Магнитный момент во внешнем магнитном поле будет выстраиваться по полю. Это означает, что на него действует вращающий момент. . Направление магнитного поля проводника с током определяется правилом правого винта. Источником магнитного поля могут служить постоянные магниты. Они изготавливаются из специальных соединений, которые называются ферромагнетиками. Магнитное поле постоянного магнита можно наблюдать с помощью железных опилок. Поскольку контур с током создает свое магнитное поле, то движущиеся электроны в атомах и молекулах также создают магнитные поля. Эти токи были названы микроскопическими или молекулярными токами в отличие от внешних токов, которые называются макроскопическими. Магнитная индукция есть сумма вкладов от всех токов. Эта идея Ампера о молекулярных токах послужила основой для введения ещё одной характеристики – напряженности магнитного поля. Напряженность МП связана с магнитным полем макротоков. Связь индукции и напряженности магнитного поля

где — магнитная постоянная, — магнитная проницаемость среды. Она показывает, во сколько раз магнитное поле макротоков изменяется за счет поля микротоков. Поскольку магнитная индукция является силовой характеристикой, она удовлетворяет принципу суперпозиции: . Единица измерения магнитной индукции – тесла.

. Единица напряженности магнитного поля – ампер на метр. .

Закон Био – Савара был установлен экспериментально. Их результаты были обобщены Лапласом. Для элемента с током этот закон в дифференциальной форме имеет вид:

В интегральной форме индукция МП, создаваемая линейными токами, равна

Вычисление этого интеграла в замкнутой форме не всегда возможно. Однако если контуры с током обладают симметрией, то подынтегральное выражение упрощается.

Закон Ампера

Ампер, исследуя влияние магнитного поля на проводник с током, установил, что сила, действующая на элемент тока равна

где элемент проводника с током . Направление вектора совпадает с направлением тока. — индукция МП. Направление силы находится согласно правилу левой руки или согласно определению векторного произведения. Модуль силы определяется

угол между векторами и .

Мы знаем, что ток создает магнитное поле, а также, что внешнее магнитное поле оказывает влияние на ток, поэтому интересно рассмотреть два параллельных прямых проводника, по которым текут токи и . Каждый из токов создает свое магнитное поле, которое воздействует на другой ток. Сила такое действия – это сила Ампера.

Пусть первый ток создает поле . В этом поле на второй ток действует сила Ампера . Т.к. угол между током и полем прямой, то величина силы Ампера равна

Величина магнитного поля, создаваемого прямым током равна , где — расстояние между токами (эту формулу получим в дальнейшем). Тогда сила, действующая на второй ток, определяется токами

Аналогично можно найти выражение для силы, действующей на первый ток со стороны второго тока.

Замечаем, что силы по величине равны, но направлены в противоположные стороны.

Величина силы взаимодействия двух токов .

Два одинаково направленных тока притягиваются друг к другу. Токи, напрвленные в противоположные стороны, отталкиваются.

СИЛА ЛОРЕНЦА

Т.к. ток — это направленное движение зарядов, то на движущийся заряд со стороны внешнего магнитного поля действует сила. Лоренц получил формулу для силы, которая действует на движущийся точечный заряд со стороны магнитного поля .

— скорость заряда. Направление силы Лоренца для определяется согласно правилу левой руки, либо согласно векторному произведению. Модуль силы Лоренца равен

Для сила равна нулю. Когда угол равен , сила имеет величину . Т.о. сила Лоренца изменяет скорость только по направлению. Следовательно, магнитное поле не совершает работы над движущейся заряженной частицей. Когда, кроме магнитного поля, есть электрическое поле, полная сила Лоренца

Рассмотрим движение точечной заряженной частицы в однородном магнитном поле. Пусть . В этом случае величина силы Лоренца равна . В этом случае частица всегда остается в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Поскольку по величине скорость не изменяется, то траекторией движения является окружность. Поскольку частица двигается по окружности на неё, кроме силы Лоренца действует центростремительная сила. Для любой точки траектории выполняется равенство сил.

. Отсюда находим радиус окружности . Период вращения . Для нерелятивистской частицы период не зависит от скорости. Поведение частицы в МП лежит в основе конструкции ускорителей. Для произвольной ориентации скорости частицы и направления магнитного поля, скорость можно разложить на параллельную и перпендикулярную компоненты: . В этом случае радиус окружности определяется : . За период частица пройдет расстояние вдоль поля равное . Если сложить эти два движения, то получим траекторию, которая является винтовой линией или спиралью с шагом

где — угол между скоростью и магнитным полем. Пусть магнитное поле неоднородное, угол и поле растет в направлении , тогда и уменьшаются с ростом . На этом эффекте основана фокусировка заряженных частиц в магнитном поле.

Эффект Холла

Мы познакомились с движением свободного заряда в МП. Выяснили, что на него со стороны МП действует сила Лоренца. Носителями тока в металлах и полупроводниках являются свободные электроны. В металле свободные электроны двигаются хаотично. Если к металлу приложить разность потенциалов, то электроны приобретут скорость, их движение станет упорядоченным, возникнет электрический ток. Поместим металлическую пластинку в магнитное поле, перпендикулярное приложенному электрическому полю. Тогда на движущиеся свободные электроны в металле со стороны магнитного поля будет действовать сила. Она направлена перпендикулярно току и магнитному полю. Под её действием электроны приобретут скорость в направлении силы. В итоге на одной из сторон пластинки будет избыток электронов. Они создают свое электрическое поле, действие которого компенсирует силу Лоренца. Установится стационарное состояние, соответствующее стационарному распределению заряда в поперечном направлении. Это эффект Холла.

На рисунке изображена металлическая пластинка с поперечными размерами: и . Разность потенциалов создает ток электронов, плотность которого . — заряд электрона, — концентрация электронов в металле. Поскольку заряд электрона отрицательный, он двигается в сторону противоположную . Приложенное МП направлено перпендикулярно току. Сила Лоренца направлена вверх. В итоге на верхней грани имеем избыток электронов, на нижней – их недостаток. Возникающее в результате электрическое поле уравновешивает силу Лоренца. . Напряженность можно выразить через разность потенциалов: . — холловская разность потенциалов. Сила тока , где — площадь поперечного сечения. Подставим выражение для плотности тока . Из этого выражения находим скорость . Найдем разность потенциалов . Заменяя скорость, получим

— постоянная Холла. Таким образом, мы выразили неизвестную величину через параметры, которые измеряются экспериментально. Эффект Холла используется для исследования природы проводимости и при изготовлении некоторого вида оборудования.

Циркуляция магнитного поля

Циркуляцией вектора по замкнутому контуру называется интеграл

Если контур охватывает источники магнитного поля, то этот интеграл отличен от нуля. В противном случае интеграл равен нулю. Сформулируем закон полного тока (теорема о циркуляции)

Читайте также:  Коллекторных двигателей постоянного тока определение

В правой части стоит алгебраическая сумма всех токов, которые охватываются контуром. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Ток считается положительным, если его направление и направление обхода контура образуют правовинтовую систему. Ток противоположного направления считается отрицательным.

Закон (1) удобно использовать, когда система обладает высокой симметрией. Рассмотрим ток , текущий по прямому бесконечному проводнику. Найдем магнитное поле этого тока.

Система обладает высокой симметрией: любую точку этого провода можно рассматривать как начало координат. Поворот пространства вокруг провода не изменяет физических характеристик системы. Поэтому контур интегрирования выбираем в виде окружности, плоскость которой перпендикулярна проводнику и её начало располагается на проводе. Точка наблюдения находится на окружности. Распишем интеграл (1)

Криволинейный интеграл равен:

. Приравнивая части закона полного тока, получим . Находим величину поля . Этот результат мы использовали ранее. Если вычислить циркуляцию статического электрического поля, получим нуль, поскольку является потенциальным полем. Циркуляция магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

Источник

Закон Био-Савара. Теорема о циркуляции

Магнитное поле постоянных токов различной конфигурации изучалось экспериментально французскими учеными Жан Батист Био и Феликсом Саваром (1820 г.). Они пришли к выводу, что индукция магнитного поля токов, текущих по проводнику, определяется совместным действием всех отдельных участков проводника. Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции:

Если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником в отдельности.

Индукцию проводника с током можно представить как векторную сумму элементарных индукций создаваемых отдельными участками проводника. На опыте невозможно выделить отдельный участок проводника с током, так как постоянные токи всегда замкнуты. Можно измерить только суммарную индукцию магнитного поля, создаваемого всеми элементами тока. Закон Био–Савара определяет вклад в магнитную индукцию результирующего магнитного поля, создаваемый малым участком Δl проводника с током I.

Здесь r – расстояние от данного участка Δl до точки наблюдения, α – угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на данном участке, μ – магнитная постоянная. Направление вектора определяется правилом буравчика: оно совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика при его поступательном перемещении вдоль тока. Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон Био–Савара на примере магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если просуммировать (проинтегрировать) вклады в магнитное поле всех отдельных участков прямолинейного проводника с током, то получится формула для магнитной индукции поля прямого тока:

которая уже приводилась в 1.16.

Иллюстрация закона Био–Савара

Закон Био–Савара позволяет рассчитывать магнитные поля токов различных конфигураций. Нетрудно, например, выполнить расчет магнитного поля в центре кругового витка с током. Этот расчет приводит к формуле

где R – радиус кругового проводника. Для определения направления вектора также можно использовать правило буравчика, только теперь его рукоятку нужно вращать в направлении кругового тока, а поступательное перемещение буравчика укажет направление вектора магнитной индукции.

Расчеты магнитного поля часто упрощаются при учете симметрии в конфигурации токов, создающих поле. В этом случае можно пользоваться теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции, которая в теории магнитного поля токов играет ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике.

Поясним понятие циркуляции вектора Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление его обхода. На каждом отдельном малом участке Δl этого контура можно определить касательную составляющую вектора в данном месте, то есть определить проекцию вектора на направление касательной к данному участку контура (рис. 1.17.2).

Замкнутый контур (L) с заданным направлением обхода. Изображены токи I1, I2 и I3, создающие магнитное поле

Циркуляцией вектора называют сумму произведений Δl, взятую по всему контуру L:

Некоторые токи, создающие магнитное поле, могут пронизывать выбранный контур L в то время, как другие токи могут находиться в стороне от контура.

Теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора магнитного поля постоянных токов по любому контуру L всегда равна произведению магнитной постоянной μ на сумму всех токов, пронизывающих контур:

В качестве примера на рис. 1.17.2 изображены несколько проводников с токами, создающими магнитное поле. Токи I2 и I3 пронизывают контур L в противоположных направлениях, им должны быть приписаны разные знаки – положительными считаются токи, которые связаны с выбранным направлением обхода контура правилом правого винта (буравчика). Следовательно, I3 > 0, а I2 Опубликовано в разделах: Электродинамика, Магнитное поле

Источник

Циркуляция магнитного поля

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Основные понятия.

Компас был известен давно, но магнитное поле ввели и стали исследовать после открытия Эрстеда. Он обнаружил, что проводник с током оказывает влияние на компас. Магнитное поле обозначается . Эта величина называется индукцией магнитного поля (МП). Поскольку величина магнитного поля определяется через силу, действующую на контур с током, то магнитное поле является силовой характеристикой. Следовательно, его можно изображать с помощью силовых линий. Они называются линиями магнитной индукции. Вектор, касательный к этой линии, есть магнитная индукция. Он задает направление МП, а его величина равна значению магнитной индукции в точке касания. Было обнаружено, что магнитное поле оказывает влияние только на движущиеся заряды. Таким образом, магнитное поле действует на проводник с током. Это действие также зависит от формы и расположения проводников с током и направления тока. Оказалось, что рамка с током ведет себя подобно магнитной стрелке. С ней можно связать магнитный момент. Тогда взаимодействие рамки с током и внешнего магнитного поля можно рассматривать взаимодействие магнитного момента с магнитным полем. Если контур с током плоский, магнитный момент такого контура равен . = ток в контуре, — площадь контура. Магнитный момент во внешнем магнитном поле будет выстраиваться по полю. Это означает, что на него действует вращающий момент. . Направление магнитного поля проводника с током определяется правилом правого винта. Источником магнитного поля могут служить постоянные магниты. Они изготавливаются из специальных соединений, которые называются ферромагнетиками. Магнитное поле постоянного магнита можно наблюдать с помощью железных опилок. Поскольку контур с током создает свое магнитное поле, то движущиеся электроны в атомах и молекулах также создают магнитные поля. Эти токи были названы микроскопическими или молекулярными токами в отличие от внешних токов, которые называются макроскопическими. Магнитная индукция есть сумма вкладов от всех токов. Эта идея Ампера о молекулярных токах послужила основой для введения ещё одной характеристики – напряженности магнитного поля. Напряженность МП связана с магнитным полем макротоков. Связь индукции и напряженности магнитного поля

где — магнитная постоянная, — магнитная проницаемость среды. Она показывает, во сколько раз магнитное поле макротоков изменяется за счет поля микротоков. Поскольку магнитная индукция является силовой характеристикой, она удовлетворяет принципу суперпозиции: . Единица измерения магнитной индукции – тесла.

. Единица напряженности магнитного поля – ампер на метр. .

Закон Био – Савара был установлен экспериментально. Их результаты были обобщены Лапласом. Для элемента с током этот закон в дифференциальной форме имеет вид:

В интегральной форме индукция МП, создаваемая линейными токами, равна

Вычисление этого интеграла в замкнутой форме не всегда возможно. Однако если контуры с током обладают симметрией, то подынтегральное выражение упрощается.

Закон Ампера

Ампер, исследуя влияние магнитного поля на проводник с током, установил, что сила, действующая на элемент тока равна

где элемент проводника с током . Направление вектора совпадает с направлением тока. — индукция МП. Направление силы находится согласно правилу левой руки или согласно определению векторного произведения. Модуль силы определяется

угол между векторами и .

Мы знаем, что ток создает магнитное поле, а также, что внешнее магнитное поле оказывает влияние на ток, поэтому интересно рассмотреть два параллельных прямых проводника, по которым текут токи и . Каждый из токов создает свое магнитное поле, которое воздействует на другой ток. Сила такое действия – это сила Ампера.

Читайте также:  Реле максимального тока электровоза

Пусть первый ток создает поле . В этом поле на второй ток действует сила Ампера . Т.к. угол между током и полем прямой, то величина силы Ампера равна

Величина магнитного поля, создаваемого прямым током равна , где — расстояние между токами (эту формулу получим в дальнейшем). Тогда сила, действующая на второй ток, определяется токами

Аналогично можно найти выражение для силы, действующей на первый ток со стороны второго тока.

Замечаем, что силы по величине равны, но направлены в противоположные стороны.

Величина силы взаимодействия двух токов .

Два одинаково направленных тока притягиваются друг к другу. Токи, напрвленные в противоположные стороны, отталкиваются.

СИЛА ЛОРЕНЦА

Т.к. ток — это направленное движение зарядов, то на движущийся заряд со стороны внешнего магнитного поля действует сила. Лоренц получил формулу для силы, которая действует на движущийся точечный заряд со стороны магнитного поля .

— скорость заряда. Направление силы Лоренца для определяется согласно правилу левой руки, либо согласно векторному произведению. Модуль силы Лоренца равен

Для сила равна нулю. Когда угол равен , сила имеет величину . Т.о. сила Лоренца изменяет скорость только по направлению. Следовательно, магнитное поле не совершает работы над движущейся заряженной частицей. Когда, кроме магнитного поля, есть электрическое поле, полная сила Лоренца

Рассмотрим движение точечной заряженной частицы в однородном магнитном поле. Пусть . В этом случае величина силы Лоренца равна . В этом случае частица всегда остается в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Поскольку по величине скорость не изменяется, то траекторией движения является окружность. Поскольку частица двигается по окружности на неё, кроме силы Лоренца действует центростремительная сила. Для любой точки траектории выполняется равенство сил.

. Отсюда находим радиус окружности . Период вращения . Для нерелятивистской частицы период не зависит от скорости. Поведение частицы в МП лежит в основе конструкции ускорителей. Для произвольной ориентации скорости частицы и направления магнитного поля, скорость можно разложить на параллельную и перпендикулярную компоненты: . В этом случае радиус окружности определяется : . За период частица пройдет расстояние вдоль поля равное . Если сложить эти два движения, то получим траекторию, которая является винтовой линией или спиралью с шагом

где — угол между скоростью и магнитным полем. Пусть магнитное поле неоднородное, угол и поле растет в направлении , тогда и уменьшаются с ростом . На этом эффекте основана фокусировка заряженных частиц в магнитном поле.

Эффект Холла

Мы познакомились с движением свободного заряда в МП. Выяснили, что на него со стороны МП действует сила Лоренца. Носителями тока в металлах и полупроводниках являются свободные электроны. В металле свободные электроны двигаются хаотично. Если к металлу приложить разность потенциалов, то электроны приобретут скорость, их движение станет упорядоченным, возникнет электрический ток. Поместим металлическую пластинку в магнитное поле, перпендикулярное приложенному электрическому полю. Тогда на движущиеся свободные электроны в металле со стороны магнитного поля будет действовать сила. Она направлена перпендикулярно току и магнитному полю. Под её действием электроны приобретут скорость в направлении силы. В итоге на одной из сторон пластинки будет избыток электронов. Они создают свое электрическое поле, действие которого компенсирует силу Лоренца. Установится стационарное состояние, соответствующее стационарному распределению заряда в поперечном направлении. Это эффект Холла.

На рисунке изображена металлическая пластинка с поперечными размерами: и . Разность потенциалов создает ток электронов, плотность которого . — заряд электрона, — концентрация электронов в металле. Поскольку заряд электрона отрицательный, он двигается в сторону противоположную . Приложенное МП направлено перпендикулярно току. Сила Лоренца направлена вверх. В итоге на верхней грани имеем избыток электронов, на нижней – их недостаток. Возникающее в результате электрическое поле уравновешивает силу Лоренца. . Напряженность можно выразить через разность потенциалов: . — холловская разность потенциалов. Сила тока , где — площадь поперечного сечения. Подставим выражение для плотности тока . Из этого выражения находим скорость . Найдем разность потенциалов . Заменяя скорость, получим

— постоянная Холла. Таким образом, мы выразили неизвестную величину через параметры, которые измеряются экспериментально. Эффект Холла используется для исследования природы проводимости и при изготовлении некоторого вида оборудования.

Циркуляция магнитного поля

Циркуляцией вектора по замкнутому контуру называется интеграл

Если контур охватывает источники магнитного поля, то этот интеграл отличен от нуля. В противном случае интеграл равен нулю. Сформулируем закон полного тока (теорема о циркуляции)

В правой части стоит алгебраическая сумма всех токов, которые охватываются контуром. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Ток считается положительным, если его направление и направление обхода контура образуют правовинтовую систему. Ток противоположного направления считается отрицательным.

Закон (1) удобно использовать, когда система обладает высокой симметрией. Рассмотрим ток , текущий по прямому бесконечному проводнику. Найдем магнитное поле этого тока.

Система обладает высокой симметрией: любую точку этого провода можно рассматривать как начало координат. Поворот пространства вокруг провода не изменяет физических характеристик системы. Поэтому контур интегрирования выбираем в виде окружности, плоскость которой перпендикулярна проводнику и её начало располагается на проводе. Точка наблюдения находится на окружности. Распишем интеграл (1)

Криволинейный интеграл равен:

. Приравнивая части закона полного тока, получим . Находим величину поля . Этот результат мы использовали ранее. Если вычислить циркуляцию статического электрического поля, получим нуль, поскольку является потенциальным полем. Циркуляция магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

Источник

Циркуляция вектора индукции магнитного поля

Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля

Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру, охватывающему токи, прямо пропорциональна алгебраической сумме токов, пронизывающих этот контур.

В виде формулы теорема записывается следующим образом:

\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;M_0\sum_^n\;=\;M_0I\)

В данном случае I будет означать полный ток .

Теорема используется для того, чтобы облегчить вычисление индукции магнитного поля, созданного совокупностью токов, текущих по проводам. Упрощение достигается с учетом симметрии и конфигурации токов. К примеру, с применением этой теоремы возможен расчет магнитной индукции для проводников с высокой степенью симметрии.

Взглянем на циркуляцию вектора \(\overrightarrow B\) . Предположим, что условный замкнутый контур находится в пространстве с магнитным полем, а также предположим направление его обхода. В таком случае, касательная составляющая \(B_l\) вектора \(\overrightarrow B\) определяется на каждом отдельно взятом маленьком участке \(\triangle l \) этого контура. Иными словами определяется проекция вектора \(\overrightarrow B\) на направление касательной к определенному участку контура.

Циркуляцией вектора \(\overrightarrow B\) является сумма произведений \(B_l\) и \(\triangle l\) , которая взята по целому контуру L: \(\overrightarrow B = \textstyle\sum_ <(L)>B_l \triangle l.\)

Исходя из этого, можно сформулировать следующее: принимая во внимание теорему о циркуляции, циркуляция вектора \(\overrightarrow B\) магнитного поля постоянных токов по каждому из контуров L в любой момент времени рассчитывается как произведение магнитной постоянной \(\mu_0\) на сумму всех токов:

Вывод из теоремы: так как циркуляция индукции магнитного поля не равняется нулю, магнитное поле прямолинейного тока не будет являться потенциальным.

\(\oint\limits_L\;(\overrightarrow Bd\overrightarrow l)\;\neq0\) , где \(\overrightarrow B\) обозначает вектор магнитной индукции, а dl является элементом произвольного контура L.

Чему равна циркуляция, закон Био–Савара

Циркуляция вектора \( \overrightarrow B\) прямолинейного тока вдоль замкнутого контура, который не охватывает этот проводник, равняется нулю. В случае, когда несколько токов оказываются охваченными контуром, циркуляция вектора \(\overrightarrow B\) равняется их алгебраической сумме:

\(\oint\limits_l\;(\overrightarrow Bd\overrightarrow l)\;=\;\mu_0\sum_i\;l_i\)

Закон Био-Савара определяет вклад \(\triangle\overrightarrow B\) в магнитную индукцию \(\overrightarrow B\) результативного магнитного поля, образуемого маленьким участком \(\triangle l \) проводника с током I.

В данном случае r является расстоянием от заданного участка \(\triangle l\) до точки наблюдения, \(\alpha\) обозначает угол между направлением на точку наблюдение и направлением тока на определенном участке, а \(\mu_0\) является магнитной постоянной.

Благодаря закону Био-Савара можно определить магнитные поля током с различными конфигурациями и вычислить магнитное поле в центре кругового витка с током.

Читайте также:  Свойства катушки с током применение электромагнита

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции

Предположим, что S — это поверхность, охватываемая контуром L. Правило правого винта будет связывать проложенную к поверхности нормаль и направление обхода контура L. В таком случае определить силу тока, текущего через поверхность S, можно с помощью следующей формулы:

\(I\;=\;\int\limits_S\;\overrightarrow jd\overrightarrow S\)

В этой формуле \(\overrightarrow j\) будет обозначать объемную плотность тока.

Исходя из этого, используем следующее написание формулы:

\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;\mu_0\int\limits_S\;\overrightarrow jd\overrightarrow S\)

Теперь образуем ротор вектора \(rot\overrightarrow B\) , основываясь на теореме Стокса, уточним, что:

Тогда формула примет вид:

\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;\int\limits_Srot\overrightarrow Bd\overrightarrow S\)

Теперь можно записать теорему о циркуляции в дифференциальной форме:

\(rot\overrightarrow B\;=\;\frac<4\pi>c\overrightarrow j\)

Источник



Теорема о циркуляции магнитного поля

date image2015-02-18
views image5875

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Теорема о циркуляции магнитного поля — одна из фундаментальных теорем классической электродинамики, сформулированная Андре Мари Ампером в 1826 году.

Циркуляция магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру пропорциональна сумме сил токов, пронизывающих контур циркуляции.

Математическая формулировка

В математической формулировке для магнитостатики теорема имеет следующий вид

Здесь — вектор магнитной индукции, — плотность тока; интегрирование слева производится по произвольному замкнутому контуру, справа — по произвольной поверхности, натянутой на этот контур. Данная форма носит название интегральной, поскольку в явном виде содержит интегрирование. Теорема может быть также представлена в дифференциальной форме

Эквивалентность интегральной и дифференциальной форм следует из теоремы Стокса.

Приведённая выше форма справедлива для вакуума. В случае применения её в среде (веществе), она будет корректна только в случае, если под j понимать вообще все токи, то есть учитывать и «микроскопические» токи, текущие в веществе, включая «микроскопические» токи, текущие в областях размерами порядка размера молекулы и магнитные моменты микрочастиц.

Поэтому в веществе, если не пренебрегать его магнитными свойствами, часто удобно из полного тока выделить ток намагничения, выразив его через величину намагниченности и введя вектор напряжённости магнитного поля

Тогда теорема о циркуляции запишется в форме

где под (в отличие от в формуле выше) имеются в виду т. н. свободные токи, в которых ток намагничения исключен (что бывает удобно практически, поскольку — это обычно уже в сущности макроскопические токи, которые не связаны с намагничением вещества и которые в принципе нетрудно непосредственно измерить).

В динамическом случае — то есть в общем случае классической электродинамики — когда поля меняются во времени (а в средах при этом меняется и их поляризация) — и речь тогда идет об обобщенной теореме, включающей , — всё сказанное выше относится и к микроскопическим токам, связанным с изменениями поляризации диэлектрика. Эта часть токов тогда учитывается в члене .

Практическое значение

Теорема о циркуляции играет в магнитостатике приблизительно ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике. В частности, при наличии определённой симметрии задачи, она позволяет просто находить величину магнитного поля во всём пространстве по заданным токам. Например, для вычисления магнитного поля от бесконечного прямолинейного проводника с током по закону Био — Савара — Лапласа потребуется вычислить неочевидный интеграл, в то время как теорема о циркуляции (с учётом осевой симметрии задачи) позволяет дать мгновенный ответ:

вопрос 47. Квантовая статистика электронов в металлах. Функция Ферми. Уровни Ферми. Выроденное состояние электронного газа в металлах.

Квантовая статистика базируется на принципе Паули, согласно которому в каждом энергетическом состоянии может находиться только один электрон. Отсюда сразу вытекает различие классического и квантового распределений электронов по энергиям. С классической точки зрения энергия всех электронов при температуре абсолютного нуля должна равняться нулю. А по принципу Паули даже при абсолютном нуле число электронов на каждом уровне не может превышать двух. И если общее число свободных электронов в кристалле равно n, то при 0 К они займут n 2 наиболее низких энергетических уровней.

В квантовой теории вероятность заполнения энергетических состояний электронами определяется функцией Ферми:

-1 (8.7)

где W — энергия уровня, вероятность заполнения которого определяется, WF — энергия характеристического уровня, относительно которого кривая вероятности симметрична.

При T = 0 К функция Ферми обладает следующими свойствами: F(W) =1, если WF ≤W и
F(W) =0, если W>WF .

Таким образом, величина WF определяет максимальное значение энергии, которую может иметь электрон в металле при температуре абсолютного нуля. Эту характеристическую энергию называют энергией Ферми или уровнем Ферми. Соответствующий ей потенциал j = WF/e называют электрохимическим потенциалом. Следует отметить, что энергия WF не зависит от объема кристалла, а определяется только концентрацией свободных электронов, что непосредственно вытекает из принципа Паули.

При нагревании кристалла ему сообщается тепловая энергия порядка kT. За счет этого возбуждения некоторые электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, начинают заполнять состояния с более высокой энергией: график функции распределения становится несколько пологим.

Распределение электронов в частично заполненной зоне (а) и функция вероятности заполнения электронами уровней (б): I – уровни, заполненные; II – интервал размывания; III – уровни, полностью свободные

Из формулы (8.7) легко видеть, что при любой температуре для уровня с энергией W =WF вероятность заполнения электронами равна 0,5. Все уровни, расположенные ниже уровня Ферми, с вероятностью больше 0,5 заполнены электронами. Наоборот, все уровни, лежащие выше уровня Ферми, с вероятностью более 0,5 свободны от электронов.

Распределение электронов по энергиям в металле можно представить параболической зависимостью, изображенной на рисунке 8.3. Электроны, расположенные в глубине от уровня Ферми, не могут обмениваться энергией с кристаллической решеткой, ибо для них все ближайшие энергетические состояния заняты.

Рис. 8.3. Распределение электронов по энергиям в металле: 1-Т = 0 К; 2 —Т >> 0 К

Системы микрочастиц, поведение которых описывается статистикой Ферми–Дирака, называют вырожденными. В состоянии вырождения средняя энергия электронного газа практически не зависит от температуры. Электронный газ в металле остается вырожденным до тех пор, пока любой из электронов не сможет обмениваться энергией с кристаллической решеткой, а это, в свою очередь, возможно лишь тогда, когда средняя энергия тепловых колебаний станет близкой к энергии Ферми. Для металлов температура снятия вырождения TF по порядку величины составляет 10 4 К, т.е. превышает не только температуру плавления, но и температуру испарения металлов.

Вследствие вырождения в процессе электропроводности могут принимать участие не все свободные электроны, а только небольшая часть их, имеющая энергию, близкую к энергии Ферми. Только эти электроны способны изменять свои состояния под действием поля. Электрический ток, возникающий в металле под влиянием разности потенциалов, отражает изменения в распределении электронов по скоростям. В соответствии с квантовой статистикой это распределение является производным от распределения по энергиям и симметрично в отсутствие внешнего поля. Под действием электрического поля происходит рассеяние электронов под большими углами в процессе их упругих столкновений с узлами решетки. В результате этого возникает избыток быстрых электронов, движущихся против поля, и дефицит быстрых электронов с противоположным направлением скорости.

При изменении температуры энергия Ферми WF изменяется незначительно, что является спецификой вырожденного состояния электронного газа. Столь малые изменения в таком широком температурном диапазоне можно не учитывать. Концентрации свободных электронов в чистых металлах различаются незначительно. Температурное изменение n также очень мало. Поэтому проводимость определяется в основном средней длиной свободного пробега электронов, которая, в свою очередь, зависит от строения проводника, т.е. химической природы атомов и типа кристаллической решетки.

вопрос 48. Теплообмен при ламинарном обтекании плоской изотермической пластины.

Теплообмен — самопроизвольный необратимый процесс переноса теплоты от более нагретых тел к менее нагретым телам.

Ламинарное течение — течение, при котором жидкость или газ перемещается слоями без перемешивания и пульсаций (то есть беспорядочных быстрых изменений скорости и давления).

Источник