Меню

Укажите направления токов ветвей

2.2. Метод токов ветвей

Метод токов ветвей основан на непосредственном применении законов Кирхгофа. В этом методе в качестве независимых переменных, относительно которых составляется система уравнений, выбираются токи в ветвях. Определив токи, можно определить напряжения всех элементов схемы по закону Ома.

Можно сформулировать основные этапы расчета цепи методом токов ветвей при рассмотрении конкретного примера.

Пример 2.3. Составить систему уравнений по законам Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 2.2. Определить токи в ветвях.

R 1 = R3 = 10 Ом; R2 = R4 = 20 Ом; J = 0.1 A; E = 1 В.

1. Пронумеровать узлы, приняв один из них за базисный (рис. 2.2).

2. Отметить произвольно положительные направления токов в ветвях (рис. 2.3).

3. Провести топологический анализ схемы: число узлов g = 4, число ветвей p = 6, число источников тока Nит = 1.

4. Подсчитать число независимых уравнений по законам Кирхгофа:

по первому закону – n1 = g – 1 = 3,

по второму закону – n11 = p – g – Nит + 1 = 2.

Таким образом, система уравнений должна состоять из 5 уравнений.

5. Записать уравнения по первому закону Кирхгофа для трех узлов:

для 1 узла i1 + i2 = – j;

для 2 узла – i2 + i3 + i4 = 0;

для 3 узла i4 + i5 = j.

6. Выбрать произвольно два независимых контура и направление обхода контуров, например, (R1 – R2 – E) и (E – R3 – R4), как показано на рис. 2.3.

7. Записать для двух контуров уравнения по второму закону Кирхгофа:

1 контур – –i1R1 + i2R2 = – E;

11 контур – i4R3 + i5R4 = E.

8. Представить систему уравнений, составленную по законам Кирхгофа, в матричной форме:

После подстановки в уравнения числовых значений и решения системы, получим выражения для токов:

i1 = – 3.3(3)·10 –2 A; i2 = – 6.6(6)·10 –2 A; i3 = – 0.16(6) A; i4 = 0.1 A; i5 = 0.

Отрицательный знак для токов i1, i2, i3 означает, что истинное направление токов в ветвях противоположно принятому направлению.

Полученное решение задачи требует проверки, которую проводят, как правило, по первому закону Кирхгофа. Например, проверим выполнение закона в первом узле: i1 + i2 = – j; –3.3(3)·10 -2 – 6.6(6)·10 -2 = –9.9(9)·10 -2 = –0.1. Закон выполняется. Проверку можно провести для любого узла.

По найденным значениям токов можно по закону Ома определить напряжение на любом элементе схемы.

Пример 2.4. Определить токи в ветвях схемы, изображенной на рис. 2.4, методом токов ветвей.

R 1 = R3 = 10 Ом; R2 = R4 = 20 Ом; R5 = 30 Ом; J = 1 А; E = 10 В.

1. Выберем положительные направления токов в ветвях, как показано на

рис.2.5, и проведем топологический анализ схемы.

Число ветвей p = 7, число узлов g = 4, число источников тока Nит = 1.

2. Количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа: n1 = 3, n11 = 3.

3. Пронумеруем три узла и выберем три независимых контура. На рис. 2.5 контура и направления их обхода показаны замкнутой линией со стрелкой.

4. Составим шесть уравнений по двум законам Кирхгофа:

i1 + i2 + i3= J;

i2 + i4+ i5 = 0;

i3 –i4 + i6 = –J;

i2R1 + i5R4 = E;

i2R1 + i3R2 – i4R3 = 0;

i4R3 – i5R4 + i6R5 = 0.

5. После подстановки числовых значений коэффициентов запишем уравнения в матричной форме:

где [i] – матрица – столбец токов ветвей; [a] – матрица коэффициентов при токах; [b] – матрица – столбец активных элементов,

.

Для решения системы уравнений шестого порядка целесообразно воспользоваться соответствующей вычислительной программой, например, «Mathcad 8».

В результате решения системы, получим:

i1 = 0.163 А; i2 = 0.628 А; i3 = 0.535 А; i4 = 0.442 А; i5 = 0.186 А; i6 = –0.023 А.

Проверка решения для 1 узла: –i1 + i2 + i3 = J,

–0.163 + 0.628 + 0.535 = 1.0 –решение правильное.

Источник

Укажите направления токов ветвей

Метод токов ветвей

Первый и самый простой метод анализа цепей постоянного тока называется методом токов ветвей. В этом методе нам сначала нужно определить направления токов в цепи, а затем написать уравнения, описывающие их отношения друг с другом через законы Кирхгофа и Ома. Как только мы получим уравнения для каждого из неизвестных токов, мы сможем решить систему уравнений, рассчитав тем самым все токи, а затем и все напряжения в цепи.

Для рассмотрения метода мы будем использовать следующую схему:

analiz5

Первое что нам нужно сделать — это выбрать узел цепи (место соединения проводов), который будет использоваться в качестве точки отсчета для поиска неизвестных токов. Мы выберем узел, соединяющий резистор R1 справа, R2 снизу и R3 слева.

analiz6

Теперь нам нужно проставить направления токов в примыкающих к этому узлу проводах, обозначив их I1, I2 и I3 соответственно. Имейте ввиду, эти направления будут только предполагаемыми. Если выяснится, что наши предположения оказались ошибочными, то мы это увидим в процессе математического расчета (любые «неправильные» направления токов отобразятся в виде отрицательных чисел).

analiz7

Согласно Первому Закону Кирхгофа, алгебраическая сумма токов входящих в узел и выходящих из него должна быть равна нулю, поэтому мы можем связать все токи нашей схемы (I1, I2 и I3) друг с другом при помощи одного уравнения. Все входящие в узел токи мы обозначим знаком «плюс», а выходящие из него — знаком «минус»:

analiz8

На следующем шаге нам нужно промаркировать полярности напряжений всех резисторов в соответствии с предполагаемыми направлениями токов. Конец резистора, в который ток втекает — будет отрицательным, а из которого вытекает — будет положительным (электрон заряжен отрицательно, и течет от минуса к плюсу):

Читайте также:  Как измерить потребляемую прибором силу тока

analiz9

Полярность батареи проставляется в соответствии со стандартом (короткий конец — отрицательный, длинный конец — положительный). В некоторых случаях вы можете обнаружить, что полярность резисторов не соответствует полярности батареи, а ток течет обратно через батарею. Ничего страшного, это только предполагаемое направление тока. Здесь важно помнить, что простановку полярности напряжений на резисторах и последующие расчеты нужно производить по изначально предполагаемым направлениям токов. Как отмечалось ранее, если ваши предположения окажутся неверными, то вы увидите это по окончательным результатам расчетов (они будут отрицательными). Сами же полученные величины все равно будут правильными.

Согласно Второму Закону Кирхгофа, алгебраическая сумма всех напряжений цепи должна равняться нулю. Исходя из этого, мы сможем создать несколько уравнений для нашей системы, подставив в них неизвестные значения токов (I1, I2 и I3). Для получения уравнений Второго Закона Кирхгофа нам нужно знать количество и полярность напряжений в каждой из ветвей цепи. В целях облегчения данной задачи давайте представим, что мы измерили все напряжения реальным вольтметром, обозначив неизвестные значения как положительное или отрицательное напряжение. Сначала мы создадим уравнение для левой ветви схемы, взяв за точку отсчета верхний левый угол, и двигаясь против часовой стрелки (выбор точки отсчета и направление — произвольны). Результат будет выглядеть следующим образом:

analiz10

analiz12

analiz13

analiz14

Закончив исследование левой ветви схемы, мы можем применить к полученным значениям Второй Закон Кирхгофа (сумма всех напряжений цепи равна нулю):

analiz15

Нам еще неизвестны значения напряжений на резисторах R1 и R2, поэтому мы не можем вставить их в уравнение в виде числовых величин. Однако, мы знаем, что сумма этих трех напряжений равна нулю, поэтому уравнение верно. Теперь пойдем дальше, и выразим неизвестные напряжения как произведение неизвестных токов и соответствующих им сопротивлений (применив Закон Ома: U = IR), а так же уберем все нулевые значения из левой части уравнения:

analiz16

Поскольку нам известны сопротивления всех резисторов, давайте подставим в уравнение конкретные числовые значения:

analiz17

У вас наверняка возник вопрос: зачем мы произвели все эти манипулирования с первоначальным видом уравнения (-28 + ER2 + ER1)? Какая разница в чем будет выражено уравнение, в напряжении или в токе (умноженном на сопротивление), если в обоих случаях последние два члена до сих пор неизвестны? Ответ на данные вопросы прост. Целью всех выше приведенных преобразований является получение уравнения Второго Закона Кирхгофа с использованием тех же неизвестных переменных, что и в уравнении Первого Закона Кирхгофа, так как это является необходимым условием для решения любой системы уравнений. Чтобы найти значения трех неизвестных токов (I1, I2 и I3), у нас должно быть три уравнения, связывающих их вместе.

Применив те же самые действия к правой ветви схемы (начиная с выбранного узла и двигаясь против часовой стрелки), мы получим еще одно уравнение Второго Закона Кирхгофа:

analiz18

analiz19

analiz20

analiz21

analiz22

Зная, что напряжение на каждом из резисторов может и должно быть выражено как произведение соответствующих токов и сопротивлений (величина которых известна), мы можем переписать это уравнение следующим образом:

analiz23

Теперь у нас есть система из трех уравнений (одно уравнение Первого и два уравнения Второго Законов Кирхгофа) с тремя неизвестными:

analiz24

Далее нам нужно перенести все известные величины в правые части уравнений, а неизвестные оставить в левой, дополнив их отсутствующими нулевыми значениями:

analiz25

Решив эту систему уравнений мы получим следующий результат:

analiz26

Таким образом, ток I1 равен 5 амперам, ток I2 равен 4 амперам и ток I3 равен минус 1 амперу. Отрицательное значение тока I3 означает что наше предположение по его направлению оказалось неверным. Давайте вернемся к первоначальной схеме и перерисуем стрелку этого тока на противоположное направление (исправив соответственно полярность напряжения на резисторе R3):

analiz27

Обратите внимание на тот факт, что в правой ветви схемы ток течет обратно через батарею 2. Это происходит благодаря более высокому напряжению батареи 1 (в которой ток течет «как обычно» — через цепь от минуса к плюсу). Означает ли это, что более «сильная» батарея всегда будет «побеждать» более слабую. Вовсе нет! Данный фактор зависит как от относительных напряжений батарей, так и от сопротивлений резисторов цепи. Единственным способом установления происходящих в цепи процессов является математический анализ.

Итак, величины всех токов данной цепи нам известны. Теперь, при помощи Закона Ома (U = IR), можно рассчитать напряжения на всех ее резисторах:

analiz28

Давайте теперь проанализируем эту схему при помощи программы PSPICE, проверив тем самым полученные результаты для напряжений. Данная программа, конечно, сможет рассчитать и токи, но тогда нам потребуется включить в схему дополнительные компоненты. Принимая во внимание этот факт, мы с вами пойдем по пути наименьшего сопротивления (если выданные программой значения напряжений совпадут с нашими расчетами, то и токи мы рассчитали правильно). Схема с номерами узлов для программы представлена ниже:

analiz29

analiz30

Как видите, результаты работы программы совпадают с нашими рассчетами: 20 вольт на резисторе R1 (узлы 1 и 2), 8 вольт на резисторе R2 (узлы 2 и 0) и 1 вольт на резисторе R3 (узлы 2 и 3). Обратите внимание на знаки всех этих напряжений: они имеют положительные значения! PSPICE основывает свою полярность на порядке, в котором перечислены узлы: первый узел должен быть положительным, а второй — отрицательным. Например, положительное (+) напряжение 20 вольт между узлами 1 и 2 означает, что узел 1 является положительным по отношению к узлу 2. Если бы число получилось отрицательным, то то ошибку следовало бы искать в порядке перечисления узлов.

Читайте также:  Максимальное значение несинусоидального тока

Источник

Основы теории цепей постоянного и переменного токов: Учебное пособие для самостоятельной работы студентов , страница 7

1. Выбираются направления токов ветвей. Число токов равно числу ветвей схемы. Токи ветвей с источниками тока известны (см. п. 2.7.1, рис.2.13).

2. Записываются уравнения по первому закону Кирхгофа. Их число на единицу меньше числа узлов схемы.

3. Выбираются независимые контуры и направления их обхода.

4. Записываются уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, при этом уравнения для контуров, включающих источники тока, не составляются. Независимым считается такой контур, который от любого соседнего отличается хотя бы одной ветвью.

5. В результате совместного решения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, определяются токи ветвей.

2.2. Метод контурных токов

В этом методе за неизвестные принимают токи независимых контуров (контурные токи), а токи ветвей выражают через контурные.

Рассмотрим правила формирования уравнений на примере схемы, приведенной на рис. 2.3, в которой известны ЭДС и ток источника тока, а также все сопротивления.

Рис. 2.3. Схема электрической цепи с контурными токами

Сначала выбираются независимые контуры и направления их обхода. Допустим, что в каждом контуре протекает свой контурный ток, совпадающий с направлением обхода – I11, I22, I33. Выберем направления токов ветвей и составим уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных контуров (для контура с источником тока уравнение не составляется, так как ):

Выразим токи ветвей через контурные

и подставим в систему (2.1):

После группировки получим:

В конечном итоге получим систему уравнений:

где R11, R22собственные сопротивления контуров 1 и 2, каждое из которых равно сумме сопротивлений, входящих в данный контур;

R12 = R21, R13, R23общие или взаимные сопротивления контуров. Общее сопротивление равно сопротивлению ветви, общей для рассматриваемых контуров. Общие сопротивления берутся со знаком «плюс», если контурные токи в них направлены одинаково и со знаком «минус», если контурные токи направлены встречно. Если контуры не имеют общей ветви, то их общее сопротивление равно нулю. В рассматриваемом примере R13 = 0;

Е11, Е22контурные ЭДС, каждая из которых равна алгебраической сумме ЭДС данного контура. ЭДС берется со знаком «плюс», если ее направление совпадает с направлением контурного тока, если не совпадает – со знаком «минус».

Структура уравнений (2.2), использующая понятия собственных и взаимных сопротивлений контуров, а также контурных ЭДС, является общей для метода контурных токов. В зависимости от сложности исследуемой цепи изменяется лишь количество уравнений.

2.2.1. Последовательность определения токов ветвей методом

контурных токов

1. Выбираются независимые контуры и направления контурных токов.

2. Записывается система уравнений в общем виде. Число уравнений равно числу независимых контуров схемы минус число контуров, содержащих источники тока. Количество слагаемых в левой части уравнения равно числу независимых контуров.

3. Определяются коэффициенты при неизвестных – собственные и общие сопротивления контуров, а также контурные ЭДС. Если общей ветвью контуров является источник ЭДС без сопротивления, то общее сопротивление этих контуров равно нулю.

4. Рассчитываются контурные токи.

5. Выбираются направления токов ветвей.

6. Определяются токи ветвей.

2.3. Метод узловых потенциалов

В этом методе за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы.

Рассмотрим правила формирования уравнений на примере схемы, приведенной на рис. 2.4, в которой известны ЭДС и ток источника тока, а также все сопротивления.

Рис. 2.4. Электрическая схема для метода узловых потенциалов

В этой схеме два неизвестных потенциала и , поскольку , , , потенциал одного из узлов, в данном случае , принимается равным нулю, что на схеме обозначают заземлением узла 3 ( ).

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 267
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 172
  • БГТУ 603
  • БГУ 155
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 963
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 120
  • ВГУЭС 426
  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им. Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1966
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 299
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 408
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 498
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 131
  • ИжГТУ 145
  • КемГППК 171
  • КемГУ 508
  • КГМТУ 270
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2910
  • КрасГАУ 345
  • КрасГМУ 629
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 138
  • КубГУ 109
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 369
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 331
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 637
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 455
  • НИУ МЭИ 640
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 213
  • НУК им. Макарова 543
  • НВ 1001
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1993
  • НГУЭУ 499
  • НИИ 201
  • ОмГТУ 302
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 120
  • РАНХиГС 190
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 245
  • РГГМУ 117
  • РГПУ им. Герцена 123
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 123
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 131
  • СПбГАСУ 315
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 146
  • СПбГПУ 1599
  • СПбГТИ (ТУ) 293
  • СПбГТУРП 236
  • СПбГУ 578
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 194
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 114
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1654
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1473
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2424
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 325
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 309
Читайте также:  Теплоотражающий костюм ток 2000

Полный список ВУЗов

  • О проекте
  • Реклама на сайте
  • Правообладателям
  • Правила
  • Обратная связь

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник



Метод контурных токов.Решение задач

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m — количество ветвей, а n — количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.

Основные понятия

Контурный ток — это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура. Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например I11, I22 и тд.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС — это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.

Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I1-I6.

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I11,I22,I33. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R4 принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:

Ток первого контура I11, умножаем на собственное сопротивление R11 этого же контура, а затем вычитаем ток I22, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R21 и ток I33, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R31. Данное выражение будет равняться ЭДС E1 этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.

Например, через резистор R4 протекает ток I4, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

А для остальных

Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!

Источник