Меню

Векторная диаграмма токов разветвленной цепи переменного тока

Расчёт разветвлённой цепи с помощью векторных диаграмм

date image2015-03-08
views image6458

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Присоединяем заданные приёмники параллельно к источнику напряжения.

Это значит, что цепь состоит из трех ветвей, для которых напряжение источника является общим. Схема цепи показана на рисунке 2.1

Расчёт параллельной цепи можно выполнить двумя методами: по активным и реактивным составляющим токов и методом проводимостей.

2.1. Метод активных и реактивных составляющих токов

Этот метод предусматривает использование схемы замещения с последовательным соединением элементов (рис 2.1). В данном случае три параллельные ветви рассматриваются как три отдельные неразветвлённые цепи, подключенные к одному источнику с напряжением U. Поэтому в начале расчёта определяем полные сопротивления ветвей:

Углы сдвига фаз между напряжениями и токами в ветвях определяются также по синусу (или тангенсу):

Затем можно определять токи в ветвях по закону Ома:

Для определения тока в неразветвлённой части цепи нужно знать активные и реактивные составляющие токов в ветвях и неразветвленной части цепи:

Активная и реактивная составляющие тока в неразветвлённой части цепи:

Полный ток в неразветвлённой части цепи:

Угол сдвига фаз на входе цепи:

Sinφ = IP / I = –13,59 / 18,6 = –0,7312; φ = -46,98°; Cosφ = 0,6822.

Активные, реактивные и полные мощности ветвей:

S1 = U * I1 = 65 * 18 = 1170 В*А;

QC2 = I2 2 * XC2 = 3,53 2 * 12 = 150 вар;

S2 = U * I2 = 65 * 3,53 = 229 В*А;

Активные, реактивные и полные мощности всей цепи:

P = P1 + P2 = 648 + 174 = 822 Вт;

S = = = 1209 В*А, или

S = U * I = 65 * 18,6 = 1209 В*А;

P = S * Cosφ = 1209 * 0,6822 = 825 Вт;

Q = S * Sinφ = 12О9 * (-0,7312) = –887 вар.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами напряжений MU = 5 В/см и токов MI = 2 А/см. Векторную диаграмму начинаем строить с вектора напряжения, который откладываем вдоль горизонтальной положительной оси. Векторная диаграмма токов строится с учётом того, что активные токи Ia1 и Ia2 совпадают по фазе с напряжением. Поэтому их векторы параллельны вектору напряжения; реактивные ёмкостные токи Ip1 и Ip2 опережают по фазе напряжение и их векторы строим под углом 90 0 к вектору напряжения в сторону опережения; реактивный индуктивный ток Ip3 отстаёт по фазе

от напряжения и его вектор строим под углом 90° к вектору напряжения в сторону отставания. Вектор тока в неразветвлённой части цепи строим с начала построения в конец вектора индуктивного тока. Векторная диаграмма построена на рисунке 2.2.

2.2. Метод проводимостей

Метод проводимостей основан на применении схемы замещения с параллельным соединением элементов (рисунок 2.3).

Расчёт начинают с определения активных, реакти­вных и полных проводимостей ветвей и всей цепи:

Y1 = 1 / Zl = 1 / 3,61 = 0,277 См;

Y2 = 1 / Z2 = 1 / 18,4 = 0,0543 См;

G = G1 + G2 = 0,153 + 0,0414 = 0,1944 См;

Далее определяем активные, индуктивную и емкостные составляющие то­ков в ветвях заданной цепи:

IG1 = U * G1 = 65 * 0,153 = 9,945 A;

IC1 = U * BC1 = 65 * 0,23 = 14,95 A;

IG2 = U * G2 = 65 * 0,0414 = 2,69 A;

IC2 = U * BC2 = 65 * 0,0354 = 2,3 A;

I1 = U * Y1 = 65 * 0,277 = 18 A;

I2 = U * Y2 = 65 * 0,0543 = 3,53 A;

Отличие метода проводимостей в том, что мы можем конкретно опре­делить все индуктивные и емкостные составляющие токов в ветвях, а в методе активных и реактивных составляющих мы можем определить только общие реактивные токи с их положительными или отрицательными знаками, указывающими на индуктивный или ёмкостный характер ветви. Если предпо­ложить, например, что ветвь 2 задана параметрами R, L и C, а не R и С, как задано, то это различие проследить можно более наглядно. Тогда со­отношение между реактивными токами, полученными двумя методами вырази­лось бы в таком виде: IP2 = IL2 – IC2. В нашем случае эти соотношения имеют вид: Ia2 = IG1; Iа2 = IG2; IP1 = –IC1; IP2 = –IC2; IP3 = IL3.

Ток в неразветвлённой части цепи можно проверить и по его актив­ной и реактивной составляющим:

Угол сдвига фаз и мощности определяются аналогично.

Источник

Векторные диаграммы электрических цепей

При исследовании электрических цепей и моделировании часто пользуются векторными диаграммами токов и напряжений. Под векторной диаграммой понимается совокупность векторов, изображающих синусоидальные функции времени [1].

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

Представление синусоидальных функций в виде комплексных чисел

Векторная диаграмма – это удобный инструмент представления синусоидальных функций времени, коими являются, к примеру, напряжения и токи электрической цепи переменного тока.

Читайте также:  Как увеличить ток через диод

Рассмотрим, например, произвольный ток, представленный в виде синусоидальной функции

$$ i(t) = 10 \sin(\omega t + 30 \degree). $$

Данный синусоидальный сигнал можно представить в виде комплексной величины

$$ \underline = 10 \angle 30 \degree. $$

Для формирования комплексного числа используются модуль и фаза синусоидального сигнала.

Закон Ома в комплексной форме

Известно [1], что напряжение $ \underline $ на сопротивлении $ \underline $ связано с током $ \underline $, протекающим через это сопротивление, согласно закону Ома:

$$ \underline = \underline \cdot \underline. $$

Кроме того, известны соотношения, определяющие активное сопротивление резистора, индуктивное сопротивление катушки и ёмкостное сопротивление конденсатора:

где $ X_ = \omega L $, $ X_ = \frac<1> <\omega C>$, $ R $ – сопротивление резистора, $ L $ – индуктивность катушки, $ C $ – ёмкость конденсатора, $ \omega = 2 \pi f $ – циклическая частота, $ f $ – частота сети, $ j $ – мнимая единица.

Векторная диаграмма при последовательном соединении элементов

Для построения векторных диаграмм сперва составляют уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи.

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 1, и нарисуем для неё векторную диаграмму напряжений. Обозначим падение напряжение на элементах.

Последовательное соединение элементов электрической цепи для построения векторной диаграммы напряжений

Рис. 1. Последовательное соединение элементов цепи

Составим уравнение для данной цепи по второму закону Кирхгофа:

$$ \underline_ + \underline_ + \underline_ = \underline. $$

По закону Ома падение напряжений на элементах определяется по следующим выражениям:

$$ \underline_ = \underline \cdot R, $$

$$ \underline_ = \underline \cdot jX_, $$

$$ \underline_ = -\underline \cdot jX_. $$

Для построения векторной диаграммы необходимо отобразить приведённые в уравнении слагаемые на комплексной плоскости. Обычно вектора токов и напряжений отображаются в своих масштабах: отдельно для напряжений и отдельно для токов.

Из курса математики известно, что $ j = 1 \angle 90 \degree $, $ -j = 1 \angle -90 \degree $. Отсюда при построении векторной диаграммы умножение какого-либо вектора на мнимую единицу $ j $ приводит к повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки, а умножение на $ -j $ приводит к повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке.

При построении векторной диаграммы напряжений на комплексной плоскости сперва отобразим вектор тока $ \underline $, после чего относительного него будем отображать вектора падений напряжений (рис. 2) с учётом приведённых выше соотношений для мнимой единицы.

Падение напряжения на резисторе $ \underline_ $ совпадает по направлению с током $ \underline $ (т.к. $ \underline_ = \underline \cdot R $, а $ R $ – чисто действительная величина или, простыми словами, нет умножения на мнимую единицу). Падение напряжения на индуктивном сопротивлении опережает вектор тока на 90° (т.к. $ \underline_ = \underline \cdot jX_ $, а умножение на $ j $ приводит повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки). Падение напряжения на ёмкостном сопротивлении отстаёт от вектора тока на 90° (т.к. $ \underline_ = -\underline \cdot jX_ $, а умножение на $ -j $ приводит повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке).

Векторная диаграмма напряжений при последовательном соединение элементов цепи
Рис. 2. Векторная диаграмма напряжений при последовательном соединении элементов цепи

Векторная диаграмма при параллельном соединении элементов

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 3, и нарисуем для неё векторную диаграмму токов. Обозначим направление токов в ветвях.

Параллельное соединение элементов электрической цепи для построения векторной диаграммы напряжений

Рис. 3. Параллельное соединение элементов цепи

Составим уравнение для данной цепи по первому закону Кирхгофа:

$$ \underline— \underline_— \underline_— \underline_ = 0, $$

$$ \underline = \underline_ + \underline_ + \underline_ = 0. $$

Определим по закону Ома токи в ветвях по следующим выражениям, учитывая, что $ \frac<1> = -j $:

Для построения векторной диаграммы необходимо отобразить приведённые в уравнении слагаемые на комплексной плоскости.

При построении векторной диаграммы токов на комплексной плоскости сперва отобразим вектор ЭДС $ \underline $, после чего относительного него будем отображать вектора токов токов (рис. 4) с учётом приведённых выше соотношений для мнимой единицы.

Ток в резисторе IR совпадает по направлению с ЭДС $ \underline $ (т.к. $ \underline_ = \frac<\underline> $, а $ R $ – чисто действительная величина или, простыми словами, нет умножения на мнимую единицу). Ток в индуктивном сопротивлении отстаёт от вектора ЭДС на 90° (т.к. $ \underline_ = -j \frac<\underline>> $, а умножение на $ -j $ приводит повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке). Ток в ёмкостном сопротивлении опережает вектор ЭДС на 90° (т.к. $ \underline_ = j \frac<\underline>> $, а умножение на $ j $ приводит повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки). Результирующий вектор тока определяется после геометрического сложения всех векторов по правилу параллелограмма.

Читайте также:  В чем выражается плотность тока

Векторная диаграмма токов при параллельном соединении элементов цепи

Рис. 4. Векторная диаграмма токов при параллельном соединении элементов цепи

Для произвольной цепи алгоритм построения векторных диаграмм аналогичен вышеизложенному с учётом протекаемых в ветвях токов и прикладываемых напряжений.

Обращаем ваше внимание, что на сайте представлен инструмент для построения векторных диаграмм онлайн для трёхфазных цепей.

Список использованной литературы

  1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

Рекомендуемые записи

При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие…

При расчёте электрических цепей, помимо законов Кирхгофа, часто применяют метод контурных токов. Метод контурных токов…

Источник

Как построить векторную диаграмму токов и напряжений

Векторные диаграммы — метод графического расчета напряжений и токов в цепях переменного тока, в которых переменные напряжения и токи символически (условно) изображаются с помощью векторов.

В основе метода лежит тот факт, что всякую величину, меняющуюся по синусоидальному закону (смотрите — синусоидальные колебания), можно определить как проекцию на какое-то выбранное направление вектора, вращающегося вокруг своей начальной точки с угловой скоростью, равной угловой частоте колебаний изображаемой переменной величины.

Поэтому всякое переменное напряжение (или переменный ток), меняющееся по синусоидальному закону, можно изображать с помощью такого вектора, вращающегося с угловой скоростью, равной угловой частоте изображаемого тока, причем длина вектора в определенном масштабе изображает амплитуду напряжения, а угол — начальную фазу этого напряжения.

Если рассмотреть электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных источника переменного тока, резистора, индуктивности и конденсатора, где U – мгновенное значение переменного напряжения, а i – это ток в текущий момент времени, причем U изменяется по синусоидальному (косинусоидальному) закону, то для тока можно записать:

Согласно закону сохранения заряда, в любой момент времени ток в цепи имеет одно и то же значение. Следовательно на каждом элементе будет падать напряжение: UR– на активном сопротивлении, UC – на конденсаторе, и UL – на индуктивности. Согласно второму правилу Кирхгофа, напряжение источника будет равно сумме падений напряжений на элементах цепи, и мы имеем право записать:

Заметим, что согласно закону Ома: I = U/R, и тогда U = I*R. Для активного сопротивления значение R определяется исключительно свойствами проводника, оно не зависит ни от тока, ни от момента времени, следовательно ток совпадает по фазе с напряжением, и можно записать:

А вот конденсатор в цепи переменного тока обладает реактивным емкостным сопротивлением, и напряжение на конденсаторе все время отстает по фазе от тока на Пи /2 , значит пишем:

Катушка, обладающая индуктивностью, в цепи переменного тока выступает реактивным индуктивным сопротивлением, и напряжение на катушке в любой момент времени опережает по фазе ток на Пи/ 2 , следовательно, для катушки запишем:

Можно записать теперь сумму падений напряжений, но в общем виде для приложенного к цепи напряжения можно записать:

Видно, что здесь имеет место некий сдвиг фаз, связанный с реактивной составляющей общего сопротивления цепи при протекании по ней переменного тока.

Поскольку в цепях переменного тока и ток и напряжение изменяются по закону косинуса, причем мгновенные значения отличаются между собой лишь фазой, то физики придумали в математических расчетах рассматривать токи и напряжения в цепях переменного тока как векторы, поскольку тригонометрические функции можно описать через векторы. Итак, запишем напряжения в виде векторов:

Используя метод векторных диаграмм, можно вывести, например, закон Ома для данной последовательной цепи в условиях протекания по ней переменного тока.

Согласно закону сохранения электрического заряда, в любой момент времени ток во всех частях данной цепи одинаков, так отложим же векторы токов, построим векторную диаграмму токов:

Пусть в направлении оси Х будет отложен ток Im – амплитудное значение тока в цепи. Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, значит эти векторы будут сонаправленными, отложим их из одной точки.

Напряжение на конденсаторе отстает на Пи/2 от тока, следовательно откладываем его под прямым углом вниз, перпендикулярно вектору напряжения на активном сопротивлении.

Напряжение на катушке опережает на Пи /2 ток, следовательно откладываем его под прямым углом вверх, перпендикулярно вектору напряжения на активном сопротивлении. Допустим, что для нашего примера UL>UC.

Читайте также:  Выносная защита постоянного тока

Поскольку мы имеем дело с векторным уравнением, сложим векторы напряжений на реактивных элементах, и получим разницу. Она будет для нашего примера (мы приняли что UL>UC) направлена вверх.

Прибавим теперь вектор напряжения на активном сопротивлении, и получим, по правилу векторного сложения, вектор суммарного напряжения. Так как брали максимальные значения, то и получим вектор амплитудного значения общего напряжения.

Так как ток менялся по закону косинуса, то напряжение тоже меняется по закону косинуса, но со сдвигом фаз. Между током и напряжением есть постоянный сдвиг фаз.

Запишем закон Ома для общего сопротивления Z (импеданса):

Из векторных изображений по Теореме Пифагора можем записать:

После элементарных преобразований получим выражение для полного сопротивления Z цепи переменного тока, состоящей из R, C и L:

Тогда получим выражение для закона Ома для цепи переменного тока:

Заметим, что наибольшее значение тока получатся в цепи при резонансе в условиях, когда:

Косинус фи из наших геометрических построений получается:

Источник



Разветвленная цепь переменного тока.

Рассмотрим цепь переменного тока с параллельным соединением идеальной катушки индуктивности (R=0) и конденсатора, такая цепь называется идеальным колебательным контуром.

По законам параллельного соединения :

а т.к. переменные токи легче складывать в векторной форме, запишем эти выражения в векторной форме и рассмотрим разные случаи:

U-одинаково, значит строим один вектор напряжения.

Строим векторные диаграммы:

На первой векторной диаграмме вектор общего тока опережает на 90 градусов вектор напряжения (т.к. вектор тока емкостной ветви больше вектора тока индуктивной ветви), следовательно характер нагрузки всей цепи будет емкостным; на третьей векторной диаграмме вектор общего тока отстает от вектора напряжения на 90 град., (вектор тока индуктивной ветви больше вектора тока емкостной ветви),что соответствует индуктивному характеру нагрузки.

На второй векторной диаграмме особый случай (вектор тока емкостной ветви равен вектору тока индуктивной ветви), а в цепи до разветвления ток равен 0! Этот случай называется резонансом токов. Но в реальной цепи так не бывает, рассмотрим разветвленную цепь переменного тока с реальной катушкой индуктивности.

Разветвленная цепь переменного тока с реальной катушкой индуктивности.

Рассмотрим такую цепь: реальная катушка индуктивности кроме индуктивного сопротивления fL (Ом)имеет еще и активное сопротивление провода, которым она намотана

По первому закону Кирхгофа: запишем это уравнение в векторной форме:

А теперь рассмотрим векторные диаграммы для этой цепи:

А теперь выделим прямоугольный треугольник, если все стороны прямоугольного треугольника пропорционально уменьшить или пропорционально увеличить получатся подобные треугольники. Уменьшать и увеличивать будем в U раз.

По теореме Пифагора определим гипотенузы этих треугольников:

— ток в неразветвленной части цепи.

— общая проводимость цепи.

— коэффициент мощности разветвленной цепи переменного тока.

Методы расчета цепей переменного тока.

1. Метод векторных диаграмм

Если решение задачи не требует высокой точности, можно воспользоваться этим методом. Рассмотрим неразветвленную цепь переменного тока с произвольным числом элементов.

А теперь решим задачу этим методом:

Найдем полное сопротивление первой ветви:

Найдем ток первой ветви по закону Ома:

Для других ветвей делаем то же самое:

Векторная диаграмма строится в масштабе, поэтому, измерив длину вектора общего тока, можно определить его значение.

Метод проводимостей.

Решим эту задачу методом проводимостей:

Определяем активную проводимость первой ветви

Реактивная проводимость ветви с индуктивным характером считается положительной, а реактивная проводимость ветви емкостного характера- отрицательной:

Символический метод расчета цепей переменного тока.

Это расчет эл. цепей при помощи комплексных чисел.

Комплексное число-это число, состоящее из вещественной и мнимой части. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости в виде точки или вектора.

Способы изображения комплексных чисел:

1. Алгебраическая форма записи комплекса тока: , здесь 3-вещественная часть комплексного числа, а 4- это мнимая часть комплексного числа.

2. Тригонометрическая форма записи того же самого тока:

5-это модуль комплексного числа или длина вектора, изображающего комплексное число

3.Показательная форма записи: , где 5-это модуль комплексного числа, а -это угол между осью абсцисс и вектором, изображающим комплексное число.

Сопротивления в комплексной форме.

Источник