Меню

Виды мощностей в цепях синусоидального тока

№28 Энергия и мощность в цепи синусоидального тока.

Пусть на некотором участке цепи, напряжение на зажимах которого равно u, током i за время dt переносится электрический заряд dq = idt. Затрачиваемая источником энергия равна при этом dw = udq = uidt, а развиваемая мощность p = dw/dt = ui. Эта величина называется мгновенной мощностью и определяет скорость и направление движения энергии на рассматриваемом участке. Если энергия поступает в цепь и накапливается в ней, функция w(t) возрастает, и мгновенная мощность положительна как производная возрастающей функции. Напряжение u и ток i в эти моменты времени имеют одинаковые знаки. Процесс накопления энергии в цепи наблюдается, например, при заряде конденсатора. В те моменты времени, когда u и i имеют разные знаки, мгновенная мощность отрицательна, функция w(t), определяющая энергию, поступающую в цепь, убывает, так как только убывающая функция имеет отрицательную производную. Убыль энергии в электрической цепи означает возврат ее источнику. Такая ситуация возникает при разряде конденсатора.

Энергия, поступающая в цепь, может не возвращаться к источнику, а необратимо преобразовываться в тепло или механическую работу. Количество этой энергии определяется законом Джоуля–Ленца и за время, равное периоду синусоидального тока, равно:

Эта величина, отнесенная ко времени Т, определяет среднее значение мгновенной мощности за период и называется активной мощностью:

Физически активная мощность представляет собой энергию, выделяющуюся в виде тепла или механической работы в единицу времени.

Пусть ток и напряжение на входе произвольного пассивного двухполюсника описываются выражениями:

Подставляя их в формулу ранее и интегрируя, получаем:

Используя соотношения между сторонами в треугольниках напряжений и токов, сопротивлений и проводимостей, можно написать цепочку формул для вычисления активной мощности:

Рассмотрим теперь энергетические процессы, происходящие в отдельно взятых элементах.

В активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе (φ = 0); в любой момент времени их знаки одинаковы, мгновенная мощность положительна, т.е. в него постоянно поступает энергия электрического тока, преобразуясь в тепловую или механическую. Активная мощность равна:

В реактивных элементах угол сдвига фаз по величине равен 90°. В индуктивности, при отстающем токе, он положителен, в емкости, при опережающем токе, – отрицателен. Подставляя φ = +- 90° в выражение напряжения на входе цепи, получим u = Um sin (ωt+-90°) = +-Um cos(ωt). При таком напряжении мгновенная мощность колеблется с двойной частотой, изменяясь по синусоидальному закону:

т.е. дважды за полпериода меняет знак. Подстановка этого выражения приводит к результату: P = 0. Равенство нулю активной мощности означает, что в реактивных элементах не происходит необратимого преобразования электромагнитной энергии в тепловую и механическую.

Можно показать, что в индуктивности в течение первой четверти периода, при возрастании тока от нуля до Im, в магнитном поле индуктивности накапливается энергия WM=(LI2m)/2. В течение следующей четверти периода, когда ток уменьшается до нуля, эта энергия из магнитного поля возвращается во внешнюю цепь.

В емкости – аналогично: в течение одной четверти периода, когда напряжение на обкладках конденсатора возрастает от нуля до Um, конденсатор заряжается, в его электрическом поле накапливается энергия: Wэ=(СU2m)/2. В следующую четверть периода конденсатор разряжается, его напряжение уменьшается до нуля, и накопленная в электрическом поле энергия возвращается в цепь. Энергию, которой электрическое поле конденсатора и магнитное поле катушки обмениваются с цепью, будем называть энергией обмена.

Для энергии магнитного поля WM и электрического поля WЭ можно записать следующие формулы:

Величины QL=I2XL и QC=I2XC имеющие размерность мощности, называются соответственно реактивной мощностью индуктивности и реактивной мощностью емкости. К работе, совершаемой переменным током, они отношения не имеют, а являются величинами, пропорциональными энергии магнитного и электрического полей: QL=ωWM, QC=ωWЭ.

В цепи, содержащей одновременно и индуктивность и емкость, колебания энергии происходят таким образом, что в те моменты времени, когда магнитное поле индуктивности накапливает энергию, электрическое поле емкости энергию отдает, и наоборот. Т.е., когда энергия магнитного поля положительна, энергия электрического поля отрицательна. Суммарная энергия электрического и магнитного полей за четверть периода равна:

где Q – реактивная мощность цепи, она пропорциональна суммарной энергии электрического и магнитного полей и может быть определена через реактивные сопротивления:

Читайте также:  Максимальный обратный ток мка

При резонансе, когда XL=XC , равны реактивные мощности QL и QC и энергии WM и WЭ , накапливаемые в магнитном и электрическом полях. В этом случае обмен энергией между индуктивностью и емкостью происходит без участия источника.

Для вычисления реактивной мощности можно написать цепочку формул:

При анализе электрических цепей часто используется треугольник мощностей, который можно получить, умножив стороны треугольника сопротивлений на квадрат тока (рис. 28.1). Для него справедливы следующие соотношения:

Буквой S, стоящей рядом с гипотенузой треугольника, обозначается полная мощность. Ее можно вычислить по одной из следующих формул:

Рис. 28.1 — Треугольник мощностей

Полная мощность определяется той электрической энергией, которая вырабатывается генератором и отдается в цепь. Она характеризует габариты электрических машин и аппаратов. Величина напряжения определяет уровень изоляции – ее толщину и расстояние между токоведущими частотами, а ток – поперечное сечение проводника, условия охлаждения машины.

При cosφ = 1 полная мощность равна наибольшему значению активной мощности, которую можно получить при заданных напряжении и токе.

Единицы измерения мощности, имея одну и ту же размерность, называются по-разному. Единица активной мощности – ватт (Вт), реактивной – вольт-ампер реактивный (вар), полной – вольт-ампер (ВА).

Комплексная мощность определяется произведением комплекса напряжения и сопряженного комплекса тока:

Источник

Мощность в цепи синусоидального тока

Мгновенное значение мощности синусоидального тока равно произведению мгновенного значения напряжения и тока:

Пусть к цепи приложено напряжение

под действием которого в цепи протекает ток

, где φ – разность фаз между напряжением и током.

Таким образом мгновенное значение мощности имеет две составляющие:

— переменная составляющая с частотой 2ω.

Следовательно, мгновенная мощность изменяется во времени с удвоенной частотой. При этом мощность положительная, если напряжение и ток совпадают по направлению, и отрицательная, если напряжение и ток имеют разные знаки

p›0 при ui›0

p‹0 при ui‹0

Когда мощность положительна тогда эл. энергия передается от источника к приемнику и наоборот.

Для количественной оценки энергетических процессов пользуются средним значением мощности Pср, которую можно найти вычислив работу за один период:

Средняя мощность характеризует интенсивность передачи эл. энергии от источника к приемнику и ее преобразование в другие виды энергии, то есть активный необратимый процесс. Поэтому среднюю мощность называют активной:

Цепь с активным элементом – резистором R (φ=0)

Напряжение и ток всегда совпадают по фазе, по этому мгновенное значение мощности всегда будет величиной неотрицательной,

то есть вся энергия расходуется на преобразование в тепло или в другие виды энергии (рис.4).

Так как cosφ=1, активная мощность равна:

Цепь с индуктивностью L (φ=π/2)

Мгновенное значение мощности имеет только переменную составляющую:

В цепи с индуктивностью происходит обмен эл. энергией между источником и катушкой индуктивности (рис.5).

Первую четверть периода ток не совпадает по направлению с напряжением на источнике, мощность при этом отрицательная, а энергия при этом передается от катушки к источнику питания.

Вторую четверть периода ток совпадает по направлению с напряжением, мощность положительна, а энергия передается от источника питания к катушке.

В течение третьей четверти периода ток вновь не совпадает по направлению с напряжением и запасенное в магнитном поле катушки энергия передается источнику питания – мощность отрицательна.

Таким образом в течение одного периода электроэнергия дважды поступает от источника в катушку и обратно. При этом вся передаваемая энергия запасается в магнитном поле катушки, и затем вся возвращается источнику.

Такая энергия обмена между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена электроэнергией характеризуется реактивной мощностью QL, равной амплитуде мгновенного значения мощности:

, [вольт-ампер реактивные, ВАр, кВАр].

Реактивная мощность может быть определена как

где — индуктивная проводимость.

Цепь с емкостью С (φ=-π/2)

Мгновенное значение мощности имеет только переменную составляющую:

В цепи с емкостью также происходит обмен электроэнергией между источником питания и конденсатором (рис.6).

В течение первой четверти периода энергия запасается в электрическом поле конденсатора.

Во второй четверти периода энергия поля конденсатора возвращается к источнику питания.

Читайте также:  От какого полюса направление движения электрического тока

Таким образом в течение одного периода энергия дважды поступает от источника к конденсатору и обратно, при этом вся передаваемая энергия запасается в электрическом поле конденсатора и затем возвращается источнику.

Реактивная мощность может быть определена как:

Цепь с R, L, C элементами (-π/2≤φ≤π/2)

Мгновенное значение мощности описывается выражением:

Заштрихованная площадь (рис.7), ограниченная положительным значением мощности, больше отрицательной. Это означает, что часть электроэнергии передается от источника к приемнику и преобразуется в них в другие виды энергии. Количественно процесс преобразования оценивается активной мощностью:

Реактивная составляющая мощности —

изменяется с двойной частотой и расположена выше оси абсцисс на значение активной мощности p.

Амплитуда UI переменной составляющей мощности называется полной мощностью S [ВАр, кВАр]:

где — полная проводимость.

Если цепь включает элементы и индуктивным и с емкостным сопротивлением, то ее реактивное сопротивление:

Так как реактивная составляющая сопротивления может быть как положительной, так и отрицательной, то и реактивная составляющая мощности может быть положительно и отрицательной.

Комплексная полная мощность:

где — ток комплексно сопряженный

Коэффициент мощности.

Косинус угла сдвига фаз называется коэффициентом мощности. Он показывает, Какая доля полной мощности составляет активная мощность, или какая доля всей электроэнергии преобразуется в другие виды энергии.

Коэффициент мощности очень важный эксплуатационный параметр электроприемников. Увеличение его приводит к экономии электроэнергии и удешевлению устройств электропередачи.

Когда , то есть (активный режим — резонанс), активная мощность равна полной мощности.

Предположим, что мощность и напряжение генератора составляют:

Максимально допустимый ток в линии:

Imax=10000/100=100 A

Потребляемая мощность приемника P=1 кВт

а) cosφ=1, Iпр=P/(Ucosφ)=1000/100=10 A – к генератору можно подключить 10 таких приемников;

б) cosφ=0,5, Iпр=1000/(100*0,5)=20 A – к генератору можно подключить 5 таких приемников;

) cosφ=0,1, Iпр=1000/(100*0,1)=100 A – к генератору можно подключить 1 такой приемник.

Приемники с низким коэффициентом мощности загрязняют линии бесполезным реактивным током и снижают коэффициент использования, мощность генераторов – источников используются не полностью.

Источник

Мощность в цепи синусоидального тока

Мгновенной мощностью называют произведение мгновенного напряжения на входе цепи на мгновенный ток.
Пусть мгновенные напряжение и ток определяются по формулам:

Среднее значение мгновенной мощности за период

Из треугольника сопротивлений , а .

Получим еще одну формулу:

Среднее арифметическое значение мощности за период называют активной мощностью и обозначают буквой P.
Эта мощность измеряется в ваттах и характеризует необратимое преобразование электрической энергии в другой вид энергии, например, в тепловую, световую и механическую энергию.
Возьмем реактивный элемент (индуктивность или емкость). Активная мощность в этом элементе , так как напряжение и ток в индуктивности или емкости различаются по фазе на 90 o . В реактивных элементах отсутствуют необратимые потери электрической энергии, не происходит нагрева элементов.
Происходит обратимый процесс в виде обмена электрической энергией между источником и приемником. Для качественной оценки интенсивности обмена энергией вводится понятие реактивной мощности Q.
Преобразуем выражение (7.23):

Где — мгновенная мощность в активном сопротивлении;

— мгновенная мощность в реактивном элементе (в индуктивности или в емкости).
Максимальное или амплитудное значение мощности p2 называется реактивной мощностью

где x — реактивное сопротивление (индуктивное или емкостное).
Реактивная мощность, измеряемая в вольтамперах реактивных, расходуется на создание магнитного поля в индуктивности или электрического поля в емкости. Энергия, накопленная в емкости или в индуктивности, периодически возвращается источнику питания.
Амплитудное значение суммарной мощности p = p1 + p2 называется полной мощностью.
Полная мощность, измеряемая в вольтамперах, равна произведению действующих значений напряжения и тока:

где z — полное сопротивление цепи.
Полная мощность характеризует предельные возможности источника энергии. В электрической цепи можно использовать часть полной мощности

Где — коэффициент мощности или «косинус «фи».

Коэффициент мощности является одной из важнейших характеристик электротехнических устройств. Принимают специальные меры к увеличению коэффициента мощности.
Возьмем треугольник сопротивлений и умножим его стороны на квадрат тока в цепи. Получим подобный треугольник мощностей (рис. 7.18).

Из треугольника мощностей получим ряд формул:

При анализе электрических цепей символическим методом используют выражение комплексной мощности, равное произведению комплексного напряжения на сопряженный комплекс тока.
Для цепи, имеющей индуктивный характер (R-L цепи)

Читайте также:  Как посчитать работу тока в приборе

где
— комплекс напряжения;
— комплекс тока;
— сопряженный комплекс тока;
— сдвиг по фазе между напряжением и током.
, ток как в R-L цепи, напряжение опережает по фазе ток.

Вещественной частью полной комплексной мощности является активная мощность.
Мнимой частью комплексной мощности — реактивная мощность.
Для цепи, имеющей емкостной характер (R-С цепи), . Ток опережает по фазе напряжение.

Активная мощность всегда положительна. Реактивная мощность в цепи, имеющей индуктивный характер, — положительна, а в цепи с емкостным характером — отрицательна.

Баланс мощностей

Для схемы на рис. 7.19 запишем уравнение по второму закону Кирхгофа.

Умножим левую и правую части уравнения на сопряженный комплекс тока

где — результирующее реактивное сопротивление;
I 2 — квадрат модуля тока.

Где — полная комплексная, активная и реактивная мощности источника питания.

Где — активная и реактивная мощности, потребляемые элементами схемы.

Два комплексных числа равны, если равны по отдельности их вещественные и мнимые части, следовательно уравнение (7.24) распадается на два:

Полученные равенства выражают законы сохранения активных и реактивных мощностей.

Трехфазные цепи

Основные определения

Трехфазная цепь является совокупностью трех электрических цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, сдвинутые относительно друг друга по фазе на 120 o , создаваемые общим источником. Участок трехфазной системы, по которому протекает одинаковый ток, называется фазой.

Трехфазная цепь состоит из трехфазного генератора, соединительных проводов и приемников или нагрузки, которые могут быть однофазными или трехфазными.

Трехфазный генератор представляет собой синхронную машину. На статоре генератора размещена обмотка, состоящая из трех частей или фаз, пространственно смещенных относительно друг друга на 120 o . В фазах генератора индуктируется симметричная трехфазная система ЭДС, в которой электродвижущие силы одинаковы по амплитуде и различаются по фазе на 120 o . Запишем мгновенные значения и комплексы действующих значений ЭДС.

Сумма электродвижущих сил симметричной трехфазной системы в любой момент времени равна нулю.

На схемах трехфазных цепей начала фаз обозначают первыми буквами латинского алфавита

( А, В, С ), а концы — последними буквами ( X, Y, Z ). Направления ЭДС указывают от конца фазы обмотки генератора к ее началу.
Каждая фаза нагрузки соединяется с фазой генератора двумя проводами: прямым и обратным. Получается несвязанная трехфазная система, в которой имеется шесть соединительных проводов. Чтобы уменьшить количество соединительных проводов, используют трехфазные цепи, соединенные звездой или треугольником.

Источник



Мощности в цепях синусоидального тока

Всего различают 5 видов мощностей: мгновенная, активная, полная, комплекс полной мощности, реактивная.

1. Мгновенная мощность [Вт]

содержит постоянную составляющую и косинусоидальную с двойной частотой. Постоянная составляющая зависит от амплитуд напряжения и тока и фазы комплексного сопротивления.

2. Активная мощность [Вт]

Интеграл от косинусоидальной функции за период равен нулю, поэтому

Вещественную часть комплексного сопротивления называют активной составляющей сопротивления. Именно она определяет активную мощность.

3. Полная мощность S[ВА]

Эту мощность ещё называют габаритной, т. к. она фактически определяет размеры электротехнического устройства.

Из выражения для активной и полной мощностей видно, что — коэффициент мощности, в энергетике он играет большую роль.

Для лучшего использования электрических машин и аппаратов желательно иметь возможно более высокий коэффициент мощности или возможно меньший сдвиг по фазе тока относительно напряжения, то есть стремятся получить = 1. Так, например, для питания приёмника мощностью 10 000 кВт при = 0,7 источник питания должен быть рассчитан на мощность 14 300 , а при = 1 – на 10 000 .

Высокий коэффициент мощности желателен также для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям. При данной активной мощности P приёмника ток в линии тем меньше, чем больше значение .

Для увеличения коэффициента мощности приёмника необходимо уменьшить его реактивную мощность .

4. Комплекс полной мощности [ВА]

где — комплексно сопряженное с .

5. [Вар] — реактивная мощность

В цепи синусоидального тока выполняется баланс мощностей:

Генерируемые и потребляемые мощности считают по те же правилам, что и в цепях постоянного токе. В любой отдельно взятой схеме должен выполняться баланс мощностей.

Источник